定积分分部积分法

x)10
5 ln 2 3
ln
3.
例5
设 f (x)
x2 sin t
1
dt, 求 xf ( x)dx.
1t
0
解 因为sin t 没有初等形式的原函数，
t
无法直接求出 f ( x)，所以采用分部积分法
1
0 xf ( x)dx
11
2 0
f ( x)d( x2 )
1 2
x2
f
(
x)
1 0
1 2
1
0
于是
I2m
2m 1 2m
2m 3 2m 2
531 642
, 2
I2m1
2m 2m
1
2m 2 2m 1
6 7
4 5
2. 3
二、小结
定积分的分部积分公式
b udv
b
uv
b
vdu.
a
aa
（注意与不定积分分部积分法的区别）
思考题
设 f ( x) 在 0,1 上 连 续 ， 且 f (0) 1 ，
已积出的部分 要求值
解 原式
2 xdex
1
xex 12
2 exdx
1
2e2 e ex 12
2e2 e e2 e e2
定积分的分部积分法
已积出的部分要求值
2 4 x tan2 xdx 0
解
原式
4 0
x
x sec2
tan x 4
x 1
4
dx tan
4 xd 0
一、分部积分公式
设函数u( x)、v( x) 在区间a,b上具有连续
导数，则有abudv
uv b a
b
a vdu
.
定积分的分部积分公式
推导
uv uv uv,
b
a (uv
)dx
b
uv a
,
uv
b a
b
a
uvdx
b
a
uvdx,
b
udv
b
uv
b
vdu.
a
aa
◆定积分的分部积分法
例1 1 2 xexdx 1
f
(2)
3，
f
(2)
5
，求 1 0
xf
(2
x )dx
.
思考题解答
1
0
xf
(2 x )dx
1 2
1
0
xdf
(2
x)
1 2
xf
(2 x)10
1 2
1
f (2x)dx
0
1 2
f
(2)
1
4
f
(2 x )10
5 1 f (2) f (0) 2.
24
练习题
一、填空题：
1、设 n 为正奇数，则 2 sinn xdx ___________； 0
1 ln(1 x)
例4 计算 0 (2 x)2 dx.
解
1
0
ln(1 (2
x
x) )2
dx
1 0
ln(1
x)d
2
1
x
ln(1 x 2 x
)1 0
1
0
2
1
x
d
ln(1
x)
ln 2 1 1 1 dx
3 0 2 x 1 x
11 1 x 2 x
ln 2 3
ln(1
x)
ln(2
2
0
3 1.
12 2
例3 计算 4
xdx .
0 1 cos 2x
解 1 cos 2x 2cos2 x,
4
xdx
0 1 cos 2x
4
xdx
0 2cos2 x
4
0
xdtan x
2
1 2
x
tan
x
4
0
1 2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
4
0
tan xdx
8
1 2
ln
sec
x
4 0
ln 2 . 84
xdx
tan
2
x
x2 2
4 0
0
0
32
2
4
ln
cos x
4 0
32
ln 2 2
4 2 32
3 2 e2x sin 2xdx 0
解 原式 1
2 e2xd cos 2x
20
1 2
e2
x
cos
2
x
2 0
1 2
2 cos 2x e2x (2)dx
0
1 1 e
1
2 e2xd sin 2x
2
20
1 1 e 2
1 2
e2 x
sin
2
x
2 0
1 2
2 sin 2xde2x
0
1 1 e
2 e2x sin 2xd x
2
0
所以
2
e 2 x
sin 2xdx
1
1 e
0
4
分部积分过程：
abuvdxabudv[uv]ba abvdu[uv]ba abuvdx
x
2dx 2
1 2
cos x2
1 0
1 (cos1 1). 2
例6 证明定积分公式
In
2 sinn xdx
0
2 cosn xdx
0
n
n
n
1 1
n n n
3 2 3
3 4 4
1 2 2,
2
,
n为正偶数 n为大于1的正奇数
n n2 5 3
证 设 u sinn1 x, dv sin xdx,
例(41)
1
计算 02 arcsinxdx
1
11
解
02 arcsinxdx
[x arcsin x]2 0
02 xd
arcsin x
1 2
6
1
02
x 1 x2
dx
12
1 2
1
02
1 d(1 x2) 1 x2
[
1
x2
1
]2
3 1
12
0 12 2
分部积分过程：
abuvdx
b
audv
[uv]ba
abvdu[uv]ba
du (n 1)sinn2 x cos xdx, v cos x,
In
sinn1 x cos x
2
0
(n
1)
2 sinn2 x cos2 xdx
0
0
1 sin2 x
In
(n
1) 2 0
sin n 2
xdx
(n
1) 2 0
sin n
xdx
(n 1)In2 (n 1)In
In
n1 n In2
积分I n关于下标的递推公式
I n2
n n
3 2
In4
, 直到下标减到0或1为止
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 2
5 6
3 4
1 2
I0,
(m 1,2, )
2m 2m 2 6 4 2
I2m1
2m
1
2m
1
7
5
3 I1,
I0
2
dx
,
0
2
I1
2 sin xdx 1,
abuvdx
例(5)2 计算 01e xdx
解解解解 010101eee xxxddxx令令令 xxttt22 010101eeetttttdtddttt222010101t01tddtedeetett t
22[t[etet]t1]010220101eettddtt22ee22[[eett]]1010 22
1
例2 计算 2 arcsin xdx. 0
解 令 u arcsin x, dv dx,
则 du dx , v x, 1 x2
1
2 arcsin xdx
0
x
arcsin
1
x2 0
1 2
0
1
1
1 2
2 6 20
1 d(1 x2 ) 1 x2
xdx 1 x2
12
1
1 x2
0
x
2df
(
x
)
1 2
f
(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
x2 sin t
f ( x) 1
dt , t
f
(1)
1 sin
1 t
t
dt
0,
f
( x)
sin x2 x2
2x
2sin x
x2
,
1
0
xf
( x)dx
1 2
f
(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
1 2
1
0
2
x
sin
x 2dx
1 2
1
0
sin