分部积分法顺序口诀
口诀在微积分教学中的应用举例
口诀在微积分教学中的应用举例微积分作为数学的分支之一，是研究变化率和累积效应的学科。
在微积分的学习过程中，口诀可以起到很好的辅助作用，帮助学生记忆公式和理解概念。
下面将给出一些微积分教学中常用的口诀，并举例阐述其应用。
一、导数计算口诀1. 两常三三常： sinx' = cosx, cosx' = -sinx, tanx' = sec²x, cotx' = -csc²x这是常用三角函数的导数公式口诀，可以帮助学生计算各种函数的导数。
对于函数y = sin(3x)，通过这个口诀我们可以很容易地得到其导数y' = 3cos(3x)。
2. ln无底e，e无ln： (lna)' = 1/a, (eax)' = aeax1. 下标提上来，上下颠倒记；左加右减，右加左减不变号这是积分换元法中的一个口诀，用于记忆换元法的步骤和符号的变化规律。
对于积分∫(2x+3)dx，我们可以令u = 2x+3，那么x = (u-3)/2，dx = du/2。
代入积分式中，得到∫(2x+3)dx = ∫udu/2，再根据口诀中的规律，将下标带到外面，符号由加变减，得到∫udu/2 = (u²/2)/2 + C = (u²+4)/4 + C。
将u恢复为原来的表达式，得到原积分的结果为(x²+4x+8)/4 + C。
2. 偶次高次加前面，奇次主角里移动；头尾同时两边换，要考虑符号进和出这是积分分部积分法中的一个口诀，用于记忆分部积分的步骤和符号的变化规律。
对于积分∫xexdx，我们可以将x看作是整个函数f(x)的导数，将exdx看作是g(x)的积分。
根据口诀中的规律，对于偶次高次加前面的部分，我们选择f(x) = x，g(x) = ex；对于奇次主角里移动的部分，我们选择f(x) = ex，g(x) = x。
按照分部积分公式∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫g(x)f'(x)dx，我们可以得到∫xexdx = xex - ∫exdx = xex - ex + C。
利用口诀计算分部积分的方法
利用口诀计算分部积分的方法作者：吕昂来源：《中国校外教育·综合(上旬)》2013年第03期分部积分是积分运算的基本方法之一。
运用分部积分法计算积分问题时，通常采用“竖式法”或“表格法”等，但这些方法往往操作起来十分复杂或不容易理解。
本文将介绍一种简便的计算法——口诀法，以达到简化运算的目的。
分部积分口诀法分部积分口诀高等数学是高职高专的一门公共基础课，微积分是高职高专学生的必修内容。
一元函数微积分实际上包括两部分内容，一部分是微分学（极限、导数、导数的应用），另一部分是积分学（不定积分、定积分）。
对于高职学生来讲，求函数的导数相对来说比较容易理解，计算方法也比较容易掌握。
而对于积分来说学生时常会感觉到比较困难，有时做题无从下手。
不定积分的计算方法主要包括：直接积分法、换元积分法（第一换元法、第二换元法）、分部积分法。
而其中的分部积分法更是较难掌握，传统计算分部积分时通常采用“竖式法”或“表格发”，但这些方法操作起来往往比较复杂或不易理解。
下面将介绍一种简单有效的分部积分计算方法——口诀法。
在利用分部积分法计算积分问题时，被积函数通常是两个不同类型函数的乘积。
不妨假设这两个不同类型的函数为 U（x）和 V（x），则分部积分口诀公式为：为进一步理解上面公式，我们首先来研究一下选择积分函数的先后顺序。
下面我们来看几个例子。
由例1可以看出，当被积表达式中的 U（x）和 V（x）是由幂函数和三角函数组成时，通常“积”三角函数.由例2可以看出，当被积表达式中的 U（x）和V（x）是由幂函数和对数函数组成时，通常“积”幂函数.有些积分需要接连应用几次分部积分法才能完成.由例3可以看出，当被积表达式中的 U（x）和V（x）是由幂函数和eax（指数函数）组成时，通常“积”eax（指数函数）.有些积分在接连使用几次分部积分后，会出现与原来积分相同类型的项，经过移项合并后，可得所求积分.由例4可以看出，当被积表达式中的 U（x）和 V（x）是由eax（指数函数）和三角函数组成时，通常“积”eax（指数函数）.总结以上数例，可知凡属于以下类型的不定积分，常可利用分部积分来计算：（其中k，m为自然数）.选择积分的先后顺序为：eax（指数函数），三角函数，幂函数，对数函数下面对口诀公式给出进一步说明：即在 U（x）和 V（x）中，如果有eax（指数函数）先积eax（指数函数）；没有eax（指数函数），先积三角函数；既没有eax（指数函数），又没有三角函数，则积幂函数。
巧记分部积分法
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参考文献 ［］ １ 吴赣 昌 高等数 学（ ＿ － － ｚ 类第 四版上册 ） Ｍ］北 京 ： ￣ － Ｙ ［ 中国人 民大 学 出版社 ， １ ． ２ １ ０ ［］ ２ 关赣 昌． 积分 （ 管类类 第三版 ）Ｍ］北京 ： 微 经 ［ 中国人 民大学 出
版 社 ．０ ９ ２０
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盖息
高校 理科 研 究
Ｉ ｉ 分 部积 分法 ５２
昆明理 工 大学津桥 学院建 筑艺术及 工学 系 任献 花
［ 摘
郝 冰 陈付 彬
要】 分部 积分法是 大学高等数学教 学的一 个重 点， 也是 学生学习的难点。本文给 出了使用分部积分法的 口诀 ， 并结合 实例讨论
了该 口诀 的 实用 性 。
［ 关键词 ］ 分部积分法 口诀 直接把 山 看成 幽 分部积 分公式对学 生来 说非常 简单 ， 但是如何 熟练地用分部 积分 法来求积分对大多数独立学 院的学生来 说却是难点。运用 分部积分公 对 于被 积 函 数 中只 含有 ａｃｉ￣ ａｃｏ ． ａｃａ ３ 、 ｒｃｌ２、 ｒｓｎ ’、 ｒｃ ｓ ７、 ｒｔｎ ＂ ａｃｏ ７ ｌａ 、 ｉ（ ３ 、 ｏ（ ｘ 等 函数的不定 积分 ｎ ’ ｓ Ｉ － ｃｓ１ ） ｎｎ ） ｎ 由于被积 函数 只有一个 嘲 数， 可以考虑直接 把 ｄ ｘ看成 幽 。
一
分部积分法 integration by parts
微积分中的一类积分办法：对于那些由两个不同函数组成的被积函数，不便于进行换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。
具体操作如：根据“反对幂三指”先后顺序，前者为u，后者为v（例：被积函数由幂函数和三角函数组成则按口诀先积三角函数（即：按公式∫udv = uv -∫vdu + c把幂函数看成U，三角函数看成V，））。原公式：(uv)'=u'v+uv'求导公式：d(uv)/dx = (du/dx)v + u(dv/dx)写成全微分形式就成为：d(uv) = vdu + udv
移项后，成为：udv = d(uv) -vdu
两边积分得到：∫udv = uv -∫vdu
#39;(x)dx=v(x)u(x)-∫v'(x)u(x)dx
例：∫xcosxdx = xsinx -∫sinxdx从这个例子中，就可以体会出分部积分法的应用。
例如∫1/0arcsin xdx=[xarcsinx]1/0-∫1/0 xdarcsinx从这个例子中就可以看到在定积分上是如何应用的。
斐波拉契数列
斐波拉契数列（又译作“斐波那契数列”或“斐波那切数列”）是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明（如右词条图），起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长为2，以后顺次加上边长为3、5、8、13、21……等等的正方形。这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。
分部积分法顺序口诀
不便于进行换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。
根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。
分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。
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基本信息中文名称分布积分法外文名称Integration by parts目录1定义2应用折叠编辑本段定义不便于进行换元的组合分成两部份进行积分部积分法分部积分法分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。
根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。
分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。
折叠编辑本段应用在不定积分上的应用具体操作如：根据“反对幂三指”先后顺序，前者为u，后者为v（例：被积函数由幂函数和三角函数组分部积分法分部积分法成则按口诀先积三角函数（即：按公式∫udv = uv - ∫vdu + c把幂函数看成U，三角函数看成V，））。
原公式：(uv)'=u'v+uv'求导公式：d(uv)/dx = (du/dx)v + u(dv/dx) 写成全微分形式就成为：d(uv) = vdu + udv移项后，成为：udv = d(uv) -vdu两边积分得到：∫udv = uv - ∫vdu例：∫xcosxdx = xsinx - ∫sinxdx从这个例子中，就可以体会出分部积分法的应用。
在定积分上的应用与不定积分的分部积分法一样，可得∫b/a u(x)v'（x）dx=[∫u(x)v'（x）dx]b/a=[u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx]b/a=[u(x)-v(x)]b/a- ∫b/a v(x)u'(x)dx简记作∫b/a uv'dx=[uv]b/a-∫b/a u'vdx 或∫b/a udv=[uv]b/a-∫b/a vdu例如∫1/0arcsin xdx=[xarcsinx]1/0-∫1/0 xdarcsinx从这个例子中就可以看到在定积分上是如何应用的。
积分换底公式uv
积分换底公式uv
分部积分公式是非常重要的的一个公式，有了它能在某些积分题目中利用公式快速的解出答案。
同时也能在某些被积函数不能直接找到原函数的情况下解出答案。
1.分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。
2.它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。
它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。
3.常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三"。
分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。
4.不定积分的公式（1）、adx=ax+C，a和C都是常数（2）、x^a dx=[x^（a+1）]/（a+1）+C，其中a为常数目a-1
（3）、J1/xdx=lnxl+
（4）、Jatxdx=（1/lna）aAx+C，其中a>0且a
（5）、Jexxdx=eAx+C
（6）、J cosxdx=sinx+
（7）、Isinxdx=-cosx+C
（8）、cotxdx=Inlsinxl+C=-Inlcscxl+C
5.求不定积分的方法：
第一类换元其实就是一种拼凑，利用f（x）dx=df（x）；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f
（x）看为一个整体，求出最终的结果。
分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f’（x）dx=df（x）变形，再用Jxdf（x）=f（x）x-ff
（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。
高数分部积分法公式
高数分部积分法公式
分部积分法公式是∫ u'v dx = uv - ∫ uv' dx。
分部积分法简介
分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。
它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。
它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。
常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。
分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。
分部积分公式：∫u'vdx=uv-∫uv'dx。
分部积分：
(uv)'=u'v+uv'
得：u'v=(uv)'-uv'
两边积分得：∫u'vdx=∫(uv)'dx-∫uv'dx。
即：∫u'vdx=uv-∫uv'dx，这就是分部积分公式，也可简写为：∫vdu=uv-∫udv。
积分基本公式
1、∫0dx=c
2、∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c
3、∫1/xdx=ln|x|+c
4、∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5、∫e^xdx=e^x+c
6、∫sinxdx=-cosx+c
7、∫cosxdx=sinx+c
8、∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9、∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c。
高数求解积分技巧口诀
高数求解积分技巧口诀高等数学中求解积分是一个重要的部分，而掌握一些积分技巧可以极大地简化求解过程。
下面是一些常见的求解积分的技巧口诀，总结为以下几类：一. 基本积分法则：1. 基本积分公式：根据基本积分公式可以将各种常见函数的积分求解出来，例如幂函数、指数函数、三角函数等。
2. 垂直配对：对于一个函数，如果它的导函数可以表示为另一个函数的导函数，则可以通过反求导的方式求解出原函数的积分。
3. 基本换元法：通过引入一个新的变量，使得被积函数变得更加简单，从而简化求解过程。
二. 分部积分法：1. 分部积分法：通过将被积函数进行分解，再对其中的一部分进行求导，另一部分进行积分，可以将原函数的积分转化为另一个积分问题，从而简化求解过程。
2. 递归运用：分部积分法可以反复运用，即多次进行分部积分，从而求解出复杂的积分问题。
三. 特殊代换法：1. 倒代换法：当被积函数中含有一个较大的指数函数时，可以通过引入一个新的变量，将被积函数转化为一个更简单的形式。
2.三角代换法：对于含有三角函数的积分问题，可以通过引入一个新的变量，将被积函数转化为一个含有简单三角函数的形式。
四. 分式分解法：1. 部分分式分解法：当被积函数为一个分式时，可以通过将其分解为若干个简单的分式相加的形式，从而简化求解过程。
五. 积分表法：1. 积分表：熟练掌握常见函数的积分表，可以在求解积分时直接查表，从而快速得到答案。
2. 查表运算：在求解较为复杂的积分时，可以尝试将被积函数进行适当的变换，使其形式接近于积分表中的形式，从而查表求解。
六. 几何应用法：1. 几何意义：对于一些平面或空间几何问题，可以通过求解相应的积分问题来得到几何量的大小。
2. 镜像对称：利用几何镜像对称的特点，可以将原函数的积分问题简化为一个更简单的形式。
七. 换元积分法：1. 符号变换：对于一些特殊的积分问题，可以通过符号的变化来使被积函数更易于处理。
2. 复合换元法：通过引入复合函数的形式，可以将被积函数的形式转化为一个更易于处理的形式。
分部积分法
ex sin x ex cos x ex sin x dx
2 ex sin x dx ex sin x ex cos x C
ex
sin
x
dx
1 2
e x (sin
x
cos
x)
C
注: 也分可部设积分u怎选为，三反角对函幂数指, 但三两，次u总所在设前类边型必须一致.
例7. 求
例8. 求
任选一个为u
例6. 求 ex sin x dx.
回头积分
解:
sin x exdx sin x d ex
u v
u
v
ex sin x ex dsin x ex sin x cos xex dx
uv
v
u
u v
ex sin x cos x d ex ex sin x [cos xex exd cos x]
例5 求
解:
x arccos x xd arccos x
x arccos x
x dx
1 x 2
x arccos x
1 2
(1
x
2
)
1 2
d(1
x
2
)
x arccos x 1 x2 C
分部积分u怎选，反对幂指三， u总在前边
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三、指数函数与三角函数
3. ex sin xdx ex cos xdx
解: 令 x t , 则 x t2 , dx 2t d t
原式 2 t e t d t 2 t d e t 2[te t e t dt ]
2(t et et ) C 2e x ( x 1) C
分部积分u怎选，反对幂指三， u总在前边
关于分部积分法中u和dv的选择规律
关于分部积分法中u和dv的选择规律
定积分的分部积分法：分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。
它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。
它的主要原理是将不易直接求
结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。
常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。
分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、
三角函数的积分。
不定积分的公式
1、∫adx=ax+c，a和c都是常数。
2、∫x^adx = [x^（a + 1）]/（a + 1）+c，其中a为常数且a≠-1。
3、∫1/xdx =ln|x|+c。
4、∫a^xdx =（1/lna）a^x+c，其中a\ue0且a≠1。
5、∫e^xdx =e^x+c。
分部积分法顺序口诀
1.有关不定积分用分部积分法做不定积分,有个口诀叫反对幂指三,这个口诀是指的是遇到不定积分，用分部时，按照反对幂指三的顺序来处理，就是类似与加减乘除中，如果同时出现，就先乘除后加减，被积函数是幂函数或指数函数或对数函数或三角函数或反三角函数的乘积，优先考虑使用分部积分法。
2.所谓的“反对幂指三”：反三角函数,对数函数,幂函数,指数函数,三角函数.说明白点就是这五种函数都可以在分部积分法中当做是v`（x）dx中的v`(x).因为将它们五种函数放到d中很容易,一般ln, log, e, 和tan, sec, cos, sin，cot, cosec的单数幂的时候优先考虑分部
3.被积函数是幂函数或指数函数或对数函数或三角函数或反三角函数的乘积，优先考虑使用分部积分法。
分部积分法优先顺序
分部积分法优先顺序
分部积分法是微积分中的一种重要方法，用于求解一些复杂的积分问题。
在使用分部积分法时，我们需要注意一些优先顺序，以便更加高效地解决问题。
我们需要优先考虑使用分部积分法来求解无穷积分。
这是因为无穷积分通常比较复杂，而分部积分法可以将其转化为一个更简单的形式。
例如，对于形如∫x^2e^xdx的积分，我们可以使用分部积分法将其转化为∫x^2d(e^x)，从而更加容易求解。
我们需要优先考虑使用分部积分法来求解含有三角函数的积分。
这是因为三角函数在积分中经常出现，而分部积分法可以将其转化为一个更加简单的形式。
例如，对于形如∫xsinxdx的积分，我们可以使用分部积分法将其转化为∫xd(cosx)dx，从而更加容易求解。
第三，我们需要优先考虑使用分部积分法来求解含有对数函数的积分。
这是因为对数函数在积分中也经常出现，而分部积分法可以将其转化为一个更加简单的形式。
例如，对于形如∫xlnxdx的积分，我们可以使用分部积分法将其转化为∫lnxd(x^2/2)dx，从而更加容易求解。
我们需要优先考虑使用分部积分法来求解含有指数函数的积分。
这是因为指数函数在积分中也经常出现，而分部积分法可以将其转化为一个更加简单的形式。
例如，对于形如∫xe^xdx的积分，我们可
以使用分部积分法将其转化为∫xd(e^x)dx，从而更加容易求解。
分部积分法是一种非常重要的微积分方法，可以用于求解各种复杂的积分问题。
在使用分部积分法时，我们需要注意一些优先顺序，以便更加高效地解决问题。
分部积分法教学研究
分部积分法教学研究
作者：方银南
来源：《商情》2020年第37期
【摘要】分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。
它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。
它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。
常用的分部积分，是根据组成被积函数的基本函数类型，
將分部积分的顺序整理为口诀：“反、对、幂、三、指”。
分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分。
【关键词】分部积分法公式;“反、对、幂、三、指”
三、总结
本文主要是以例题的形式研究了使用分部积分法的技巧，有利于学生更好地掌握分部积分法。
参考文献：
[1]谢国瑞.高职高专数学教程[M].高等教育出版社，2010，3（2）.。
浅谈不定积分的分部积分法及其课程思政元素
浅谈不定积分的分部积分法及其课程思政元素
定积分的分部积分法：分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。
它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。
它的主要原理是将不易直接求
结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。
常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。
分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、
三角函数的积分。
不定积分的公式
1、∫adx=ax+c，a和c都是常数。
2、∫x^adx = [x^（a + 1）]/（a + 1）+c，其中a为常数且a≠-1。
3、∫1/xdx =ln|x|+c。
4、∫a^xdx =（1/lna）a^x+c，其中a\ue0且a≠1。
5、∫e^xdx =e^x+c。
分部积分法
Байду номын сангаас
1 2 1 2 1 2 2 2 1 ( x ln x - x d (ln x)) ( x ln x - x dx ) ( x ln x - xdx ) 2 2 x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( x ln x - x ) C x ln x - x C 2 2 2 4
x sin x sin xdx x sin x cos x C
写法二： x cos xdx x(sin x)' dx
xd (sin x)
x sin x sin xdx x sin x cos x C
例2：求 x 2 e x dx
1、能根据v' , 求出v;
2、右边的积分比左边简 单，且可求。
因此，解题时要判断被 积函数中哪一个看做 , 哪一个看做 ' , 这是最重要的。 u v
例1：求 x cos xdx
解：设u x, v' cos x, 则v sin x, 代入公式：
写法一： x cos xdx x(sin x)' dx x sin x x' sin xdx
解：设u x2 , v' e x , 则v e x
x 2 e x dx x 2 d (e x ) x 2e x e x d ( x 2 ) x 2 e x e x 2 xdx
x 2 e x 2 xd (e x ) x 2 e x 2( xe x e x dx )
x 2e x 2( xex e x ) C x 2e x 2 xex 2e x C
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分部积分法顺序口诀
一、口诀的运用
分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。
它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。
它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。
常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。
分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。
一般地，从要求的积分式中将
凑成
是容易的，但通常有原则可依，也就是说不当的分部变换不仅不会使被积分式得到精简，而且可能会更麻烦。
分部积分法最重要之处就在于准确地选取
，因为一旦
确定，则公式中右边第二项
中的
也随之确定，但为了使式子得到精简，如何选取
则要依
的复杂程度决定，也就是说，选取的
一定要使
比之前的形式更简单或更有利于求得积分。
依照经验，可以得到下面四种典型的模式。
记忆模式口诀：反（函数）对（数函数）幂（函数）三（角函数）指（数函数）。
通过这个题目我们会看到表格法的优势，幂函数的次数越高，一般算法需要的步骤越多越容易出错，而表格法相对来说会越来越简单
Ⅲ.(情形二)
一般方法
表格法。