高等数学牛顿—莱布尼茨公式

bx
例 1 (1) 已知(x) xet2dt, 求 (x).
解
(x)
1
xet2dt
ex2.
1
(2) 求 d x2 1 dt dx 1 1 t4
解
d x2 1 dt 1 (x2)' 2x
dx1 1t4
1(x2)4
1x8
变上限的积分求导：
(1)
d dx
u(x)
a
f
(t)dt
f[u(x)u ](x)
F(x) 是 f (x) 在区间 [a, b] 上任一原函数， 那么
b
a f(x)dxF(b)F(a).
为了今后使用该公式方便起见，把 上 式右端的
F(b)F(a)记F 作 (x)b,这样 上面公式就写成如下形式： a
bf(x)d xF (x)bF (b)F (a).
a
a
“Newton—Leibniz公式”
3
例5. 计算 | 2 x |dx. 1
例6. 计算正弦曲线 ysixn在 [0,]上x与 轴所围
的面积 .
y ysinx
o
x
例 见书
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f ( x ) C [ a , b ] , 且 F ( x ) f ( x ) ,则有
b
a
f
(x)dx
f()b (a)F ()b (a)F (b)F (a)
则变上限定积分
x
(x)a f (t)dt
在区间 [a, b] 上可导，并且它的导数等于被积函数，
即
(x)f(x)
或d
x
f(t)dtf(x)
dxa
定理2 (原函数存在定理）如f果 (x)在闭[a区 ,b]上 间连
y
则(x)
x
f(t)dt
a
y f(x) (x)
是f (x)在[a,b]上的一个原函 . O数 a x
(2)
d dx
b
u(x)
f
(t)dt
f[u(x)u ](x)
(3) d dx
u2(x) f (t)dt
u1(x)
f[ u 1 ( x )u 1 ( ] x ) f[ u 2 ( x )u 2 ] ( x )
例 见书
2. 牛顿——莱布尼茨公式公 式 定理 如果函数 f (x) 在区间[a, b]上连续，
区间 [a, b] 上变化时,
y
B
阴影部分的曲边梯形面
y = f (x)
积也随之变化，所 以 变
A
C
上限定积分
F(x)
x
a f (t)dt
Oa
x
bx
是上限变量 x 的函数.记作 (x) 即
则(x)
x
f(t)dt
a
x
变上限的积分 (x) f (t)dt 有下列重要性质: a
积分上限函数求导定理
定理1 若函数 f (x) 在区间 [a, b] 上连续，
6.3 牛顿——莱布尼茨公式
1 . 变上限的定积分
2. 牛顿——莱布尼茨公式公 式
1. 变上限的定积分
x
f (t)dt
如果 x 是区间 [a, b]上任意一a 点，定积分
x
a f (t)dt
表示曲线 y = f (x) 在部分区间 [a, x] 上曲边梯形
AaxC 的面积，如图中阴影部分所示的面积. 当 x 在
积分中值定理
微分中值定理
牛顿 – 莱布尼兹公式
2. 变限积分求导公式
例 3 计算下列定积分.
(1) 0111x2dx;
(2) 3 sin x wk.baidu.comx. 0
解
(1)
1 0
11x2dxarctaxn10
arc1taanrc0tan ; 4
(2) 3 sin x dx cos x 3
0
0
cos(cos0) 1 1 1
3
22
例4. 计算 1 1 dx . 2 x