2013年中考数学第37课时几何推理题
2013年中考几何题汇编(有答案)
2013年中考证明题汇编一、选择题1.（2013•大庆）（3分）正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，则△A1B1C1的面积是（）A．B．C．D．解：依题意画出图形，如下图所示：过点A1作A1D∥BC，交AC于点D，易知△AA1D是边长为1的等边三角形．又AC1=AC﹣CC1=3﹣1=2，AD=1，∴点D为AC1的中点，∴S△AA1C1=2S△AA1D=2××12=；同理可求得S△CC1B1=S△BB1A1=，∴S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1=×32﹣3×=．故选B．2.（2013•大庆）（3分）已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是（）A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形C．当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形D．当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形解：A、对角线AC与BD互相垂直，AC=BD时，无法得出四边形ABCD是矩形，故此选项错误；B、当AB=AD，CB=CD时，无法得到，四边形ABCD是菱形，故此选项错误；C、当两条对角线AC与BD互相垂直，AB=AD=BC时，∴BO=DO，AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两条对角线AC与BD互相垂直，∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项正确；D、当AC=BD，AD=AB时，无法得到四边形ABCD是正方形，故此选项错误；故选C．3.(2013年河北)如图4，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB. 若NF = NM = 2，ME = 3，则AN =A．3 B．4C．5 D．6解：∵菱形ABCD∴∠BAC＝∠DAC∵ME⊥AD，NF⊥AB∴∠AEM＝∠AFN∴△AME∽△ANF∴ME/AM＝NF/AN∵AM＝AN+NM＝AN+2∴3/（AN+2）＝2/AN∴AN＝4∴选B4．（2013•河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°解：如图，∠BAC=180°-90°-∠1=90°-∠1，∠ABC=180°-60°-∠3=120°-∠3，∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴90°-∠1+120°-∠3+120°-∠2=180°，∴∠1+∠2=150°-∠3，∵∠3=50°，∴∠1+∠2=150°-50°=100°．故选B．5. (2013年北京) 如图，直线，被直线所截，∥，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于A. 40°B. 50°C. 70°D. 80°解∠1＝∠2＝（180°－40°）＝70°，由两直线平行，内错相等，得∠4＝70°。
2013年中考数学解题方法及提分突破训练：反证法专题
解题方法及提分突破训练：反证法专题对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。
从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。
一真题链接1.用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 交于点P ，且AB 、CD 不是直径.求证：弦AB 、CD 不被P 平分.2.平面内有四个点，没有三点共线，证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形3. 平面内有四个点，没有三点共线证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形二 名词释义反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
例如： 已知：a 是整数，2能整除2a 。
试证：2能整除a① 探究：问题实际上是在讨论a 是奇数，还是偶数。
2013年初中数学中考舟山试题解析
浙江省舟山市2013年中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）1．（3分）（2013•佛山）﹣2的相反数是（）A．2B．﹣2 C．D ．考点：相反数．分析：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案．解答：解：﹣2的相反数是2，故选：A．点评：此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．2．（3分）（2005•浙江）如图，由三个小立方体搭成的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：找到从上面看所得到的图形即可．解答：解：从上面看可得到两个相邻的正方形，故选A．点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3．（3分）（2013•舟山）据舟山市旅游局统计，2012年舟山市接待境内外游客约2771万人次．数据2771万用科学记数法表示为（）A．2771×107B．2.771×107C．2.771×104D．2.771×105考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：2771万=27710000=2.771×107．故选B．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2013•嘉兴）在某次体育测试中，九（1）班6位同学的立定跳远成绩（单位：m）分别为：1.71，1.85，1.85，1.95，2.10，2.31，则这组数据的众数是（）A．1.71 B．1.85 C．1.90 D．2.31考点：众数．分析：根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数求解即可．解答：解：数据1.85出现2次，次数最多，所以众数是1.85．故选B．点评：考查众数的概念．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．5．（3分）（2013•嘉兴）下列运算正确的是（）A．x2+x3=x5B．2x2﹣x2=1 C．x2•x3=x6D．x6÷x3=x3考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．分析：根据合并同类项的法则、幂的乘方及积的乘方法则、同底数幂的除法法则，分别进行各选项的判断即可．解答：解：A、x2与x3不是同类项，不能直接合并，原式计算错误，故本选项错误；B、2x2﹣x2=x2，原式计算错误，故本选项正确；C、x2•x3=x5，原式计算错误，故本选项错误；D、x6÷x3=x3，原式计算正确，故本选项正确；故选D．点评：本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是熟练掌握各部分的运算法则．6．（3分）（2013•嘉兴）如图，某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为45°，则“蘑菇罐头”字样的长度为（）A．cm B．cm C．cm D．7πcm考点：弧长的计算．分析：根据题意得出圆的半径，及弧所对的圆心角，代入公式计算即可．解答：解：∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为45°，∴此弧所对的圆心角为90°，由题意可得，R=cm，则“蘑菇罐头”字样的长==π．故选B．点评：本题考查了弧长的计算，解答本题关键是根据题意得出圆心角，及半径，要求熟练记忆弧长的计算公式．7．（3分）（2013•舟山）下列说法正确的是（）A．要了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式B ．若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖C．甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差=0.1，=0.2，则甲组数据比乙组数据稳定D．“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件考点：全面调查与抽样调查；方差；随机事件；概率的意义．分析：由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．解答：解：A、要了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故本选项错误；B、若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏不一定会中奖，故本选项错误；C、若方差=0.1，=0.2，则甲组数据比乙组数据稳定，说法正确，故本选项正确；D、“掷一枚硬币，正面朝上”是随机事件，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．8．（3分）（2013•嘉兴）若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x 轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y=ax2+bx的对称轴为（）A．直线x=1 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=﹣4考点：二次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．分析：先将（﹣2，0）代入一次函数解析式y=ax+b，得到﹣2a+b=0，即b=2a，再根据抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=﹣即可求解．解答：解：∵一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），∴﹣2a+b=0，即b=2a，∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=﹣=﹣1．故选C．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，难度适中．用到的知识点：点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式；二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣．9．（3分）（2013•嘉兴）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC ．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A ．2B．8C．2D．2考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．专题：探究型．分析：先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的长，连接BE，由圆周角定理可知∠ABE=90°，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出CE的长．解答：解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，∴AC=AB=4，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，在Rt△AOC中，∵AC=4，OC=r﹣2，∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r﹣2）2，解得r=5，∴AE=2r=10，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°，在Rt△ABE中，∵AE=10，AB=8，∴BE===6，在Rt△BCE中，∵B E=6，BC=4，∴CE===2．故选D．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．10．（3分）（2013•舟山）对于点A（x1，y1），B（x2，y2），定义一种运算：A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2）．例如，A（﹣5，4），B（2，﹣3），A⊕B=（﹣5+2）+（4﹣3）=﹣2．若互不重合的四点C，D，E，F，满足C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，则C，D，E，F四点（）A．在同一条直线上B．在同一条抛物线上C．在同一反比例函数图象上D．是同一个正方形的四个顶点考点：一次函数图象上点的坐标特征．专题：新定义．分析：如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），先根据新定义运算得出（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），则x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，若令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=﹣x+k上．解答：解：∵对于点A（x1，y1），B（x2，y2），A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2），如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），那么C⊕D=（x3+x4）+（y3+y4），D⊕E=（x4+x5）+（y4+y5），E⊕F=（x5+x6）+（y5+y6），F⊕D=（x4+x6）+（y4+y6），又∵C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，∴（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），∴x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=﹣x+k上，∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上．故选A．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）（2013•嘉兴）二次根式中，x的取值范围是x≥3．考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．解解：根据题意得：x﹣3≥0，答：解得：x≥3．故答案是：x≥3．点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12．（4分）（2013•嘉兴）一个布袋中装有3个红球和4个白球，这些除颜色外其它都相同．从袋子中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为．考点：概率公式．分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解答：解：∵布袋中装有3个红球和4个白球，∴从袋子中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为：=．故答案为：．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．13．（4分）（2010•鞍山）因式分解：ab2﹣a= a（b+1）（b﹣1）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：首先提取公因式a，再运用平方差公式继续分解因式．解答：解：ab2﹣a，=a（b2﹣1），=a（b+1）（b﹣1）．点评：本题考查了提公因式法与公式法分解因式，关键在于提取公因式后要进行二次因式分解，因式分解一定要彻底，直到不能再分解为止．14．（4分）（2013•嘉兴）在同一平面内，已知线段AO=2，⊙A的半径为1，将⊙A绕点O按逆时针方向旋转60°得到的像为⊙B，则⊙A与⊙B的位置关系为外切．考点：圆与圆的位置关系；旋转的性质．专题：计算题．分析：根据旋转的性质得到△OAB为等边三角形，则AB=OA=2，而⊙A、⊙B的半径都为1，根据圆与圆的位置关系即可判断两圆的位置关系．解答：解：∵⊙A绕点O按逆时针方向旋转60°得到的⊙B，∴△OAB为等边三角形，∴AB=OA=2，∵⊙A、⊙B的半径都为1，∴AB等于两圆半径之和，∴⊙A与⊙B外切．故答案为外切．点评：本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的半径分别为R、r，两圆的圆心距为d，若d=R+r，则两圆外切．也考查了旋转的性质．15．（4分）（2013•嘉兴）杭州到北京的铁路长1487千米．火车的原平均速度为x千米/时，提速后平均速度增加了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为﹣=3 ．考点：由实际问题抽象出分式方程．分析：先分别求出提速前和提速后由杭州到北京的行驶时间，再根据由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，即可列出方程．解答：解：根据题意得：﹣=3；故答案为：﹣=3．点评：此题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系并列出方程．16．（4分）（2013•舟山）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB、BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为6．考点：正方形的性质；轴对称的性质．分析：根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数．再由勾股定理就可以求出小球经过的路径的总长度．解解：根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，第答：一次碰撞点为F，在反射的过程中，根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得第二次碰撞点为G，在DA 上，且DG=DA，第三次碰撞点为H ，在DC 上，且DH=DC，第四次碰撞点为M，在CB上，且CM=BC，第五次碰撞点为N ，在DA上，且AN=AD，第六次回到E点，AE=AB．由勾股定理可以得出EF=，FG=，GH=，HM=，MN=，NE=，故小球经过的路程为：+++++=6，故答案为：6．点评：本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形的性质来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数，由勾股定理来确定小球经过的路程，是一道数学物理学科综合试题，难度较大．三、解答题（共8小题，第17~19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）17．（6分）（2013•嘉兴）（1）计算：|﹣4|﹣+（﹣2）0；（2）化简：a（b+1）﹣ab﹣1．考点：整式的混合运算；实数的运算；零指数幂．专题：计算题．分（1）原式第一项利用负数的绝对值等于它的相反数化简，第二析：项利用平方根的定义化简，最后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果；（2）原式去括号合并即可得到结果．解答：解：（1）原式=4﹣3+1=2；（2）原式=ab+a﹣ab﹣1=a﹣1．点评：此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．18．（6分）（2013•嘉兴）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？考点：全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等；（2）根据三角形全等得出EB=EC，推出∠EBC=∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB=2∠EBC，代入求出即可．解答：（1）证明：∵在△ABE和△DCE中∴△ABE≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△DCE，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB，∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，∴∠EBC=25°．点评：本题考查了三角形外角性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．19．（6分）（2013•嘉兴）如图，一次函数y=kx+1（k≠0）与反比例函数y=（m≠0）的图象有公共点A（1，2）．直线l⊥x轴于点N （3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△ABC的面积？考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：（1）将A坐标代入一次函数解析式中求出k的值，确定出一次函数解析式，将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式；（2）设一次函数与x轴交点为D点，过A作AE垂直于x轴，三角形ABC面积=三角形BDN面积﹣三口安排下ADE面积﹣梯形AECN面积，求出即可．解答：解：（1）将A（1，2）代入一次函数解析式得：k+1=2，即k=1，∴一次函数解析式为y=x+1；将A（1，2）代入反比例解析式得：m=2，∴反比例解析式为y=；（2）设一次函数与x轴交于D点，令y=0，求出x=﹣1，即OD=1，∴A（1，2），∴AE=2，OE=1，∵N（3，0），∴到B横坐标为3，将x=3代入一次函数得：y=4，将x=3代入反比例解析式得：y=，∴B（3，4），即ON=3，BN=4，C（3，），即CN=，则S△ABC=S△BDN﹣S△AD E﹣S梯形AECN=×4×4﹣×2×2﹣×（+2）×2=．点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，三角形、梯形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．20．（8分）（2013•嘉兴）为了解学生零花钱的使用情况，校团委随机调查了本校部分学生每人一周的零花钱数额，并绘制了如图甲、乙所示的两个统计图（部分未完成）．请根据图中信息，回答下列问题：（1）校团委随机调查了多少学生？请你补全条形统计图；（2）表示“50元”的扇形的圆心角是多少度？补调查的学生每人一周零花钱数额的中位数是多少元？（3）四川雅安地震后，全校1000名学生每人自发地捐出一周零花钱的一半，以支援灾区建设．请估算全校学生共捐款多少元？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数．分析：（1）零用钱是40元的是10人，占25%，据此即可求得总人数，总人数乘以所占的比例即可求得零用钱是20元的人数，则统计图可以作出；（2）求出零用钱是50元的所占的比例，乘以360度即可求得对应的扇形的圆心角，根据中位数的定义可以求得中位数；（3）首先求得抽取的学生的零用钱的平均数，平均数的一半乘以1000即可求解．解答：解：（1）随机调查的学生数是：10÷25%=40（人），零花钱是20圆的人数是：40×20%=8（人）．；（2）50元的所占的比例是：=，则圆心角36°，中位数是30元；（3）学生的零用钱是：=32.5（元），则全校学生共捐款×32.5×1000=16250元．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．（8分）（2013•舟山）某学校的校门是伸缩门（如图1），伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°（如图2）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°（如图3）．问：校门打开了多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848）．考点：解直角三角形的应用；菱形的性质．分析：先求出校门关闭时，20个菱形的宽即大门的宽；再求出校门打开时，20个菱形的宽即伸缩门的宽；然后将它们相减即可．解答：解：如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABCD．根据题意，得∠BAD=60°，AB=0.3米．∵在菱形ABCD中，AB=AD，∴△BAD是等边三角形，∴BD=AB=0.3米，∴大门的宽是：0.3×20≈6（米）；校门打开时，取其中一个菱形A1B1C1D1．根据题意，得∠B1A1D1=10°，A1B1=0.3米．∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∠B1A1O1=5°，∴在Rt△A1B1O1中，B1O1=sin∠B1A1O1•A1B1=sin5°×0.3=0.02616（米），∴B1D1=2B1O1=0.05232米，∴伸缩门的宽是：0.05232×20=1.0464米；∴校门打开的宽度为：6﹣1.0464=4.9536≈5（米）．故校门打开了5米．点评：本题考查了菱形的性质，解直角三角形的应用，难度适中．解题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中，一切将迎刃而解．22．（10分）（2013•舟山）小明在做课本“目标与评定”中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？（1）①请帮小明在图2的画板内画出你的测量方案图（简要说明画法过程）；②说出该画法依据的定理．（2）小明在此基础上进行了更深入的探究，想到两个操作：①在图3的画板内，在直线a与直线b上各取一点，使这两点与直线a、b的交点构成等腰三角形（其中交点为顶角的顶点），画出该等腰三角形在画板内的部分．②在图3的画板内，作出“直线a、b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（在画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹．请你帮小明完成上面两个操作过程．（必须要有方案图，所有的线不能画到画板外，只能画在画板内）考点：作图—应用与设计作图；平行线的性质；等腰三角形的性质．分析：（1）方法一：利用平行线的性质；方法二：利用三角形内角和定理；（2）首先作等腰三角形△PBD，然后延长BD交直线a于点A，则ABPQ就是所求作的图形．作图依据是等腰三角形的性质与平行线的性质；（3）作出线段AB的垂直平分线EF，由等腰三角形的性质可知，EF是顶角的平分线，故EF即为所求作的图形．解答：解：（1）方法一：①如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即为直线a，b所成角的度数，②依据：两直线平行，同位角相等，方法二：①如图2，在直线a，b上各取一点A，B，连结AB，测得∠1，∠2的度数，则180°﹣∠1﹣∠2即为直线a，b所成角的度数；②依据：三角形内角和为180°；（2）如图3，以P为圆心，任意长为半径画弧，分别交直线b，PC于点B，D，连结BD并延长交直线a于点A，则ABPQ就是所求作的图形；（3）如图3，作线段AB的垂直平分线EF，则EF就是所求作的线．点评：本题涉及到的几何基本作图包括：（1）过直线外一点作直线的平行线，（2）作线段的垂直平分线；涉及到的考点包括：（1）平行线的性质，（2）等腰三角形的性质，（3）三角形内角和定理，（4）垂直平分线的性质等．本题借助实际问题场景考查了学生的几何基本作图能力，是一道好题．题目篇幅较长，需要仔细阅读，理解题意，正确作答．23．（10分）（2013•舟山）某镇水库的可用水量为12000万m3，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量．为实施城镇化建设，新迁入了4万人后，水库只能够维持居民15年的用水量．（1）问：年降水量为多少万m3？每人年平均用水量多少m3？（2）政府号召节约用水，希望将水库的使用年限提高到25年．则该镇居民人均每年需节约多少m3水才能实现目标？（3）某企业投入1000万元设备，每天能淡化5000m3海水，淡化率为70%．每淡化1m3海水所需的费用为1.5元，政府补贴0.3元．企业将淡化水以3.2元/m3的价格出售，每年还需各项支出40万元．按每年实际生产300天计算，该企业至少几年后能收回成本（结果精确到个位）？考点：一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．专题：应用题．分析：（1）设年降水量为x万m3，每人年平均用水量为ym3，根据题意等量关系可得出方程组，解出即可；（2）设该镇居民人均每年需节约z m3水才能实现目标，由等量关系得出方程，解出即可；（3）该企业n 年后能收回成本，根据投入1000万元设备，可得出不等式，解出即可．解答：解：（1）设年降水量为x万m3，每人年平均用水量为ym3，由题意得，，解得：．答：年降水量为200万m3，每人年平均用水量为50m3．（2）设该镇居民人均每年需节约z m3水才能实现目标，由题意得，12000+25×200=20×25z，解得：z=34，50﹣34=16m3．答：设该镇居民人均每年需节约16 m3水才能实现目标．（3）该企业n几年后能收回成本，由题意得，[3.2×5000×70%﹣（1.5﹣0.3）×5000]×﹣40n≥1000，解得：n≥8．答：至少9年后企业能收回成本．点本题考查了一元一次不等式、二元一次方程组的应用，解答本题评：的关键是仔细审题，得到等量关系与不等关系，难度一般．24．（12分）（2013•嘉兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．（1）当m=2时，求点B的坐标；（2）求DE的长？（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？考点：二次函数综合题．专题：数形结合．分析：（1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标；（2）延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4；（3）①根据点A和点B的坐标，得到x=2m，y=﹣m2+m+4，将m=代入y=﹣m2+m+4，即可求出二次函数的表达式；②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答．解答：解：（1）当m=2时，y=（x﹣2）2+1，把x=0代入y=（x﹣2）2+1，得：y=2，∴点B的坐标为（0，2）．（2）延长EA，交y轴于点F，∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，∴△AFC≌△AED，∴AF=AE，∵点A（m，﹣m2+m），点B（0，m），∴AF=AE=|m|，BF=m﹣（﹣m2+m）=m2，∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，∴△ABF∽△DAE，∴=，即：=，∴DE=4．（3）①∵点A的坐标为（m，﹣m2+m），∴点D的坐标为（2m，﹣m2+m+4），∴x=2m，y=﹣m2+m+4，∴y=﹣•++4，∴所求函数的解析式为：y=﹣x2+x+4，②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），点P的横坐标为3m，点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）﹣（m2）=﹣m2+m+4，把P（3m，﹣m2+m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得：﹣m2+m+4=﹣×（3m）2+×（3m）+4，解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8．（Ⅱ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图2），点P的横坐标为m，点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）+（m2）=m+4，把P（m，m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得：m+4=﹣m2+m+4，解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=﹣8，综上所述：m的值为8或﹣8．点评：本题是二次函数综合题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意数形结合及分类讨论．。
2013年安徽省中考数学试卷及答案解析
2013年安徽省初中毕业学业考试数学试题（含答案全解全析）(满分150分,考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项,其中只有一个是正确的,请把正确选项的代号写在题后的括号内.每一小题,选对得4分,不选、选错或选出的代号超过一个的(不论是否写在括号内)一律得0分.1.-2的倒数是()A.-12B.12C.2D.-22.用科学记数法表示537万正确的是()A.537×104B.5.37×105C.5.37×106D.0.537×1073.如图所示的几何体为圆台,其主(正)视图正确的是()4.下列运算正确的是()A.2x+3y=5xyB.5m2·m3=5m5C.(a-b)2=a2-b2D.m2·m3=m65.已知不等式组{x-3>0,x+1≥0.其解集在数轴上表示正确的是()6.如图,AB∥CD,∠A+∠E=75°,则∠C为()A.60°B.65°C.75°D.80°7.目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元,今年上半年发放了438元.设每半年．．．发放的资助金额的平均增长率为x,则下面列出的方程中正确的是()A.438(1+x)2=389B.389(1+x)2=438C.389(1+2x)=438D.438(1+2x)=3898.如图,随机闭合开关K1,K2,K3中的两个,则能让两盏灯泡同时．．发光的概率为()A.16B.13C.12D.239.图1所示矩形ABCD中,BC=x,CD=y,y与x满足的反比例函数关系如图2所示,等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点,M为EF的中点,则下列结论正确的是()图1图2A.当x=3时,EC<EMB.当y=9时,EC>EMC.当x增大时,EC·CF的值增大D.当y增大时,BE·DF的值不变10.如图,点P是等边三角形ABC外接圆☉O上的点.在以下判断中,不正确．．．的是()A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥ACC.当PO⊥AC时,∠ACP=30°D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.若√1-3x在实数范围内有意义,则x的取值范围是.12.因式分解:x2y-y=.13.如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别为PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2.若S=2,则S1+S2=.14.已知矩形纸片ABCD中,AB=1,BC=2.将该纸片折叠成一个平面图形,折痕EF不经过A点(E,F是该矩形边界上的点),折叠后点A落在点A'处,给出以下判断:①当四边形A'CDF为正方形时,EF=√2;②当EF=√2时,四边形A'CDF为正方形;③当EF=√5时,四边形BA'CD为等腰梯形;④当四边形BA'CD为等腰梯形时,EF=√5.其中正确的是(把所有正确结论的序号都填在横线上).三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.计算:2sin30°+(-1)2-|2-√2|.16.已知二次函数图象的顶点坐标为(1,-1),且经过原点(0,0),求该函数的解析式.四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.如图,已知A(-3,-3),B(-2,-1),C(-1,-2)是直角坐标平面上三点.(1)请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1;(2)请写出点B关于y轴对称的点B2的坐标.若将点B2向上平移h个单位,使其落在△A1B1C1内部,指出h的取值范围.18.我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图(1)所示基本图的特征点,显然这样的基本图共有7个特征点.将此基本图不断复制并平移,使得相邻两个基本图的一边重合,这样得到图(2),图(3),…(1)观察以上图形并完成下表:图形的名称基本图的个数特征点的个数图(1)17图(2)212图(3)317图(4)4………猜想:在图(n)中,特征点的个数为(用n表示);(2)如图,将图(n)放在直角坐标系中,设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1,2),则x1=;图(2013)的对称中心的横坐标为.图(n)五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图,防洪大堤的横断面是梯形ABCD,其中AD∥BC,坡角α=60°.汛期来临前对其进行了加固,改造后的背水面坡角β=45°.若原坡长AB=20m,求改造后的坡长AE.(结果保留根号)20.某校为了进一步开展“阳光体育”活动,购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍.已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵20元,购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000元要多,多出的部分能购买25副乒乓球拍.(1)若每副乒乓球拍的价格为x元,请你用含x的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用;(2)若购买的两种球拍数一样,求x.六、(本题满分12分)21.某厂为了解工人在单位时间内加工同一种零件的技能水平,随机抽取了50名工人加工的零件进行检测,统计出他们各自加工的合格品数是1到8这八个整数.现提供统计图的部分信息如图,请解答下列问题:(1)根据统计图,求这50名工人加工出的合格品数的中位数;(2)写出这50名工人加工出合格品数的众数的可能取值;(3)厂方认定,工人在单位时间内加工出的合格品数不低于3件为技能合格,否则,将接受技能再培训.已知该厂有同类工人400名,请估计该厂将接受技能再培训的人数.七、(本题满分12分)22.某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营,了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x 天销售的相关信息如下表所示.销售量p(件) p=50-x销售单价q(元/件)当1≤x ≤20时,q=30+12x;当21≤x ≤40时,q=20+525x.(1)请计算第几天该商品的销售单价为35元/件? (2)求该网店第x 天获得的利润y 关于x 的函数关系式; (3)这40天中该网店第几天获得的利润最大?最大利润是多少?八、(本题满分14分)23.我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”.如图1,四边形ABCD 即为“准等腰梯形”.其中∠B=∠C.(1)在图1所示的“准等腰梯形”ABCD 中,选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可);(2)如图2,在“准等腰梯形”ABCD 中,∠B=∠C,E 为边BC 上一点,若AB ∥DE,AE ∥DC.求证:AB DC =BE EC; (3)在由不平行于BC 的直线AD 截△PBC 所得的四边形ABCD 中,∠BAD 与∠ADC 的平分线交于点E,若EB=EC,请问当点E 在四边形ABCD 内部时(即图3所示情形),四边形ABCD是不是“准等腰梯形”,为什么?若点E不在四边形ABCD内部时,情况又将如何?写出你的结论.(不必说明理由)图1图2图3答案全解全析：1.A ∵-2×(-12)=1,∴-2的倒数是-12.2.C 537万=5 370 000=5.37×106,故选C.评析此题主要考查了科学记数法的定义.3.A 从这个几何体正面看,是上宽下窄的梯形,故选A.4.B A项: 2x与3y不是同类项,不能合并,故本选项错误;B项: 5m2·m3=5m5,故本选项正确;C项:(a-b)2=a2-2ab+b2,故本选项错误;D项:m2·m3= m5, 故本选项错误.故选B.5.D 解不等式x-3>0得x>3,解不等式x+1≥0得x≥-1,∴原不等式组的解集为x>3,在数轴上表示大于3的任何实数.故选D.6.C 如图所示,设AB与CE交于点F.∵AB∥CD,∴∠EFB=∠C,又∵∠EFB=∠A+∠E=75°,∴∠C=75°,故选C.7.B 依题意,得389(1+x)2=438,故选B.8.B 画出树状图.任意闭合其中两个开关的情况共有6种,其中能使两盏灯泡同时发光的情况有2种,故概率.是139.D ∵反比例函数图象过(3,3),,∴y=9x∵△AEF是等腰直角三角形,∴△EBC、△CDF都是等腰直角三角形,A项:在矩形ABCD中,BC=3时,CD=3,此时矩形ABCD是边长为3的正方形,∴当x=3时,EC=EM=3√2,故本选项错误;B项:∵当y=9时,x=1,∴EC=√2,CF=9√2,∴EM=5√2,即EC<EM,故本选项错误;C项:∵EC·CF=√2x·√2y=2xy=18,值不变,故本选项错误;D项:∵BE·DF=xy=9,值不变,故本选项正确.故选D.评析此题主要考查了矩形、等腰直角三角形、反比例函数的性质,是综合性较强的题. 10.C A项:∵弦PB是☉O的直径时最长,此时∠BCP=∠BAP=90°,∴∠ACP=∠CAP=30°,∴△APC是等腰三角形,故本选项正确;B项:若点P与点B不重合,当△APC是等腰三角形时,△PBA≌△PBC,∴∠BAP=∠BCP=90°,∠BPA=∠BPC,∴PB是☉O的直径,又∵∠BPA=∠BPC且AP=CP,∴PB⊥AC,即PO⊥AC,若点P与点B重合,由于△ABC是等边三角形,∴BO⊥AC,即PO⊥AC,故本选项正确;C项:当点P与点B重合时满足PO⊥AC,但此时∠ACP=60°,故本选项错误; D项:当∠ACP=30°时,则∠BCP或∠PBC=90°,∴△BPC一定是直角三角形,故本选项正确.故选C.11.答案x≤13.解析∵1-3x≥0,∴x≤1312.答案y(x+1)(x-1)解析x2y-y=y(x2-1)=y(x+1)(x-1).13.答案8解析∵P为平行四边形ABCD边AD上一点,∴△PDC、△PAB的面积之和与△PBC的面积相等,又∵E、F分别为PB、PC的中点,∴△PEF∽△PBC且相似比为1∶2,∴△PBC的面积是△PEF面积的四倍,∴S1+S2=4S=8.评析此题考查了平行四边形的性质、中位线的性质、相似三角形的性质.14.答案①③④解析①当四边形A'CDF为正方形时,如图1所示,A'是BC的中点,F是AD的中点,因此点E 与点B重合,此时EF=√2,故①正确;②当EF=√2时,除①这种情况外,还有其他情况,如图2所示,四边形A'CDF不一定为正方形,故②错误;③当EF=√5时,如图3所示,EF与BD重合,四边形BA'CD为等腰梯形,故③正确;④当四边形BA'CD为等腰梯形时,只有一种情况,即EF 与BD重合,EF=√5,故④正确.故填①③④.图1图2图3评析此题既考查学生的动手操作能力,又考查学生的推理能力.+1+√2-2=√2.(8分)15.解析原式=2×12评析此题主要考查了特殊角的三角函数值、乘方、绝对值,属基础题.16.解析由题意可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-1(a≠0).∵函数图象经过原点(0,0),∴a·(0-1)2-1=0,∴a=1.∴该函数的解析式为y=(x-1)2-1(或y=x2-2x).(8分)17.解析(1)如图所示.(4分)(2)点B 2的坐标为(2,-1);(6分) h 的取值范围为2<h<3.5.(8分) 18.解析 (1)22;5n+2.(4分) (2)√3;2 013√3.(8分) 19.解析 作AF⊥BC 于F. 在Rt△ABF 中,∠ABF=∠α=60°, AF=AB·sin 60°=20×√32=10√3(m).(5分)在Rt△AEF 中,∵∠β=45°,∴AF=EF.(7分) 于是AE=√AF 2+EF 2=10√6(m). 即坡长AE 为10√6 m.(10分) 20.解析 (1)(4 000+25x)元.(2分)(2)每副乒乓球拍的价格为x 元,则每副羽毛球拍的价格为(x+20)元. 由题意得2 000x=2 000+25x x+20,解得x 1=40,x 2=-40.经检验x 1,x 2都是原方程的根.(8分)但x>0,∴x=40.即每副乒乓球拍的价格为40元.(10分)评析 由题意找出等量关系,把有关量用含有未知数的代数式表示,列出方程是解题的关键所在,本题属于基础题.21.解析 (1)∵把合格品数从小到大排列,第25,26个数都是4,∴中位数为4.(4分)(2)众数的可能值为4,5,6.(7分)(3)这50名工人中,合格品数低于3件的有8人.因为400×850=64,所以该厂约有64人将接受技能再培训.(12分)评析 本题是统计的频数分布直方图问题,解题时要能从所给的统计图中获取有用的信息,难度较小.22.解析 (1)当1≤x≤20时,令30+12x=35,得x=10;当21≤x≤40时,令20+525x=35,得x=35.即第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件.(4分) (2)当1≤x≤20时,y=(30+12x -20)(50-x)=-12x 2+15x+500, 当21≤x≤40时,y=(20+525x -20)(50-x)=26 250x-525.∴y={-12x 2+15x +500 (1≤x ≤20),26 250x-525 (21≤x ≤40).(8分)(3)当1≤x≤20时,y=-12x 2+15x+500=-12(x-15)2+612.5. ∵-12<0,∴当x=15时,y=-12x 2+15x+500有最大值y 1,且y 1=612.5.当21≤x≤40时,∵26 250>0,∴26 250x随着x 的增大而减小,∴当x=21时,y=26 250x-525最大.于是,当x=21时,y=26 250x-525有最大值y 2,且y 2=26 25021-525=725.∵y 1<y 2.∴这40天中第21天该网店获得的利润最大,最大利润为725元 .(12分) 评析 此题难点是第(3)问要分别在不同范围内计算函数的最大值,然后再比较这两个最大值,取其中较大的.23.解析 (1)如图所示:(画出其中一种即可)(2)证明:∵AE∥CD,∴∠AEB=∠C,又∵AB∥ED,∴∠B=∠DEC,∴△ABE∽△DEC.∴AECD =BE EC.又∠B=∠C,∴∠B=∠AEB,∴AB=AE.故ABCD =BEEC.(6分)(3)是.理由如下:过E点分别作EF⊥AB,EG⊥AD,EH⊥CD,垂足分别为F,G,H(如图).∵AE平分∠BAD,∴EF=EG,又∵DE平分∠ADC,∴EG=EH,∴EF=EH,又∵EB=EC,∴Rt△BFE≌Rt△CHE,∴∠3=∠4,又∵EB=EC,∴∠1=∠2,∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠ABC=∠DCB.又∵四边形ABCD为AD截某三角形所得,且AD不平行于BC,∴四边形ABCD为“准等腰梯形”.当点E不在四边形ABCD内部时,有两种情况:当点E在四边形ABCD的边BC上时,如图①所示,四边形ABCD为“准等腰梯形”;当点E在四边形ABCD的外部时,如图②所示,四边形ABCD仍为“准等腰梯形”.图①图②。
2013年全国中考数学试题分类汇编_解直角三角形解读
2013年全国中考数学试题分类汇编解直角三角形（2013•郴州）我国为了维护队钓鱼岛P的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP∥BD），当轮船航行到距钓鱼岛20km的A处时，飞机在B处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时EC=5km．轮船到达钓鱼岛P时，测得D处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD （结果保留根号）．，即==5=5+20+5=25+5（25+5（2013•衡阳）如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位），=20×，+1.5+1.5（2013，娄底）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A 、B 两个探测点探测到C 处有生命迹象. 已知A 、B 两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30︒和45︒，试确定生命所在点C 的深度.（精确到0.1 1.41≈ 1.73≈）（2013•湘西州）钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以30海里/小时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B 处，发现此时钓鱼岛C与该船距离最短．（1）请在图中作出该船在点B处的位置；（2）求钓鱼岛C到B处距离（结果保留根号）=15×=55（2013•益阳）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠P AB=38.5°，∠PBA=26.5．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）（参考数据：sin38.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5°=0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50），≈=，≈=2（2013•巴中）2013年4月20日，四川雅安发生里氏7.0级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B 相距4米，探测线与地面的夹角分别为30°和60°，如图所示，试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1米，参考数据≈1.41，≈1.73）CD，=，=﹣≈3.5（2013，成都）如图，某山坡的坡面AB =200米，坡角∠BAC =30°，则该山坡的高BC 的长为______100____米.（2013•达州）钓鱼岛自古以来就是中国领土。
2013年中考数学压轴题及解析分类汇编(优选.)
2013年中考数学压轴题及解析分类汇编2013年中考数学压轴题及解析分类汇编2013中考数学压轴：相似三角形问题2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(一)2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(二)2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)2013中考数学压轴：等腰三角形问题2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一)2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二)2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题(三)2013中考数学压轴：直角三角形问题2013中考数学压轴题函数直角三角形问题(一)2013中考数学压轴题函数直角三角形问题(二)2013中考数学压轴题函数直角三角形问题(三)2013中考数学压轴：平行四边形问题2013中考数学压轴题函数平行四边形问题(一)2013中考数学压轴题函数平行四边形问题(二)2013中考数学压轴题函数平行四边形问题(三)2013中考数学压轴：梯形问题2013中考数学压轴题函数梯形问题(一)2013中考数学压轴题函数梯形问题(二)2013中考数学压轴题函数梯形问题(三)2013中考数学压轴：面积问题2013中考数学压轴题函数面积问题(一)2013中考数学压轴题函数面积问题(二)2013中考数学压轴题函数面积问题(三)2013中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一) 例1直线113y x=-+分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．(1) 写出点A、B、C、D的坐标；(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11闸北25”，拖动点Q在直线BG上运动，可以体验到，△ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况，点B上、下各有两种．思路点拨1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角．2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提．4．△ABQ与△COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个．满分解答（1）A (3，0)，B (0，1)，C (0，3)，D (－1，0)．（2）因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (3，0)、C (0，3)、D (－1，0) 三点，所以930,3,0.a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标为(1，4)．（3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ．因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB ⊥CD ．因此AB ⊥BG ，即∠ABQ ＝90°．因为点Q 在直线BG 上，设点Q 的坐标为(x ，3x ＋1)，那么22(3)10BQ x x x =+=±． Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3，如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似，存在两种情况：①当3BQ BA =时，10310x ±=．解得3x =±．所以1(3,10)Q ，2(3,8)Q --． ②当13BQ BA =时，101310x ±=．解得13x =±．所以31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．图2 图3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB ⊥BG ；二是BQ ==．我们换个思路解答第（3）题：如图3，作GH ⊥y 轴，QN ⊥y 轴，垂足分别为H 、N ．通过证明△AOB ≌△BHG ，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG ＝90°． 在Rt △BGH 中，sin 1∠=cos 1∠=①当3BQ BA=时，BQ =． 在Rt △BQN 中，sin 13QN BQ =⋅∠=，cos 19BN BQ =⋅∠=．当Q 在B 上方时，1(3,10)Q ；当Q 在B 下方时，2(3,8)Q --．②当13BQ BA =时，BQ =31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．例2Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系；（2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点A 在x 轴上运动，可以体验到，直线AB 保持斜率不变，n 始终等于m 的2倍，双击按钮“面积BDE ＝2”，可以看到，点E 正好在BD 的垂直平分线上，FD //x 轴．拖动点P 在射线FD 上运动，可以体验到，△AEO 与△EFP 相似存在两种情况．思路点拨1．探求m 与n 的数量关系，用m 表示点B 、D 、E 的坐标，是解题的突破口．2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD //x 轴．3．如果△AEO 与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况． 满分解答（1）如图1，因为点D （4，m ）、E （2，n ）在反比例函数k y x=的图像上，所以4,2.m k n k =⎧⎨=⎩ 整理，得n ＝2m ． （2）如图2，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △BEH 中，tan ∠BEH ＝tan ∠A ＝12，EH ＝2，所以BH ＝1．因此D (4，m )，E (2，2m )，B (4，2m ＋1)． 已知△BDE 的面积为2，所以11(1)2222BD EH m ⋅=+⨯=．解得m ＝1．因此D (4，1)，E (2，2)，B (4，3)． 因为点D （4，1）在反比例函数k y x =的图像上，所以k ＝4．因此反比例函数的解析式为4y x=．设直线AB的解析式为y＝kx＋b，代入B(4，3)、E(2，2)，得34,22.k bk b=+⎧⎨=+⎩解得12k=，1 b=．因此直线AB的函数解析式为112y x=+．图2 图3 图4（3）如图3，因为直线112y x=+与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），所以FD// x轴，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO与△EFP相似存在两种情况：①如图3，当EA EFAO FP=时，255=．解得FP＝1．此时点P的坐标为（1，1）．②如图4，当EA FPAO EF=时，255=．解得FP＝5．此时点P的坐标为（5，1）．考点伸展本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：第（1）题的结论m与n的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为12yx=-，直线AB为172y x=-．第（3）题FD不再与x轴平行，△AEO与△EFP也不可能相似．图52013中考数学压轴题函数相似三角形问题(二) 例3如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图像，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似．思路点拨1．第（2）题用含S 的代数式表示x 2－x 1，我们反其道而行之，用x 1，x 2表示S ．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y 2－y 1＝3．通过代数变形就可以了．2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB 与x 轴的夹角不变，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ 的斜率，因此假设直线PQ 与AB 的交点G 在x 轴的下方，或者假设交点G 在x 轴的上方．满分解答（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =-，顶点为M （1，18-）． （2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-⨯3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦．因此得到2172x x S -=． 当S =36时，212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.x x =⎧⎨=⎩ 此时点A 1的坐标为（6，3）． （3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ． 因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ． 由于3tan 4GAF ∠=，tan 5DQ t PQD QP t ∠==-，所以345t t =-．解得207t =．图3 图4 考点伸展第（3）题是否存在点G 在x 轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t 的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．例4如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上．（1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．图1动感体验请打开几何画板文件名“10宝山24”，拖动点A ′向右平移，可以体验到，平移5个单位后，四边形A A ′B ′B 为菱形．再拖动点D 在x 轴上运动，可以体验到，△B ′CD 与△ABC 相似有两种情况．思路点拨1．点A 与点B 的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B ′ 的坐标、AC 和B ′C 的长．2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．3．探求△ABC 与△B ′CD 相似，根据菱形的性质，∠BAC ＝∠CB ′D ，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论．满分解答(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上，所以444,20.m m n m m n -+=⎧⎨++=⎩ 解得43m =-，4n =． (2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB ＝5．因为四边形A A ′B ′B 为菱形，所以A A ′＝B ′B ＝ AB ＝5．因为438342+--=x x y ()2416133x =-++，所以原抛物线的对称轴x ＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x ＝4．因此平移后的抛物线的解析式为()3164342,+--=x y ．图2(3) 由点A (-2，4) 和点B′(6，0)，可得A B′＝45．如图2，由AM//CN，可得''''B N B CB M B A=，即2845=．解得'5B C=．所以35AC=．根据菱形的性质，在△ABC与△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D．①如图3，当''AB B CAC B D=时，535=，解得'3B D=．此时OD＝3，点D的坐标为（3，0）．②如图4，当''AB B DAC B C=时，355=，解得5'3B D=．此时OD＝133，点D的坐标为（133，0）．图3 图4考点伸展在本题情境下，我们还可以探求△B′CD与△AB B′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．我们也可以讨论△B′CD与△C B B′相似，这两个三角形有一组公共角∠B，根据对应边成比例，分两种情况计算．2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(三) 例5如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,图1动感体验请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△PAM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景．双击按钮“第(3)题”，拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，观察△DCA的形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，△DCA的面积最大．思路点拨1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程． 4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA ．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM ，x AM -=4．如果2==CO AO PM AM ，那么24)4)(1(21=----x x x ．解得5=x 不合题意．如果21==CO AO PM AM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ．此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM ，4-=x AM ．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4． 解方程24)4)(1(21=---xx x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---xxx，得0=x．此时点P与点O重合，不合题意．综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为221-=xy．设点D的横坐标为m)41(<<m，那么点D的坐标为)22521,(2-+-mmm，点E的坐标为)221,(-mm．所以)221()22521(2---+-=mmmDE mm2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆mmSDACmm42+-=4)2(2+--=m．当2=m时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．图5 图6第（3）题也可以这样解：如图6，过D 点构造矩形OAMN ，那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积．设点D 的横坐标为（m ，n ）)41(<<m ，那么42)4(21)2(214)22(21++-=--+-⨯+=n m m n n m n S ． 由于225212-+-=m m n ，所以m m S 42+-=． 例6如图1，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A ＝310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图 备用图动感体验请打开几何画板文件名“09闸北25”，拖动点D 可以在射线BA 上运动．双击按钮“第（2）题”，拖动点D 可以体验到两圆可以外切一次，内切两次．双击按钮“第（3）题”，再分别双击按钮“DE 为腰”和“DE 为底边”，可以体验到，△DEF 为等腰三角形．1．先解读背景图，△ABC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF也是等腰三角形．2．用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）题的先决条件，注意点E的位置不同，DE、MN表示的形式分两种情况．3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意．4．第（3）题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题．满分解答（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝310 AHAB=，所以AH＝32＝12AC．所以BH垂直平分AC，△ABC为等腰三角形，AB＝CB＝5．因为DE//BC，所以AB ACDB EC=，即53y x=．于是得到53y x=，（0x>）．（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以DE AEBC AC=，MN ANBC AC=，即|3|53DE x-=，1|3|253xMN-=．因此5|3|3xDE-=，圆心距5|6|6xMN-=．图2 图3 图4 在⊙M中，115226Mr BD y x===，在⊙N中，1122Nr CE x==．①当两圆外切时，5162x x +5|6|6x -=．解得3013x =或者10x =-． 如图5，符合题意的解为3013x =，此时5(3)15313x DE -==． ②当两圆内切时，5162x x -5|6|6x -=． 当x ＜6时，解得307x =，如图6，此时E 在CA 的延长线上，5(3)1537x DE -==； 当x ＞6时，解得10x =，如图7，此时E 在CA 的延长线上，5(3)3533x DE -==．图5 图6 图7（3）因为△ABC 是等腰三角形，因此当△ABC 与△DEF 相似时，△DEF 也是等腰三角形．如图8，当D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三角形DEF 的腰，符合题意，此时BF ＝2.5．根据对称性，当F 在BC 边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF ＝4.1．如图9，当DE 为等腰三角形DEF 的底边时，四边形DECF 是平行四边形，此时12534BF =．图8 图9 图10 图11考点伸展第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH 是△ABC 的高，D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点，那么四边形DEHF 是等腰梯形．例 7如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ⋅=2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO ＝23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“08杭州24”，拖动点A 在y 轴上运动，可以体验到，AQ 与BC 保持平行，OA ∶OB 与OA ∶OB ′保持3∶2．双击按钮“t ＝3”，“t ＝0．6”，“t ＝－0．6”，“t ＝－3”，抛物线正好经过点B （或B ′）．思路点拨1．数形结合思想，把OC OB OA ⋅=2转化为212t x x =⋅．2．如果AQ ∥BC ，那么以OA 、AQ 为邻边的矩形是正方形，数形结合得到t ＝b ． 3．分类讨论tan ∠ABO ＝23，按照A 、B 、C 的位置关系分为四种情况．A 在y 轴正半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况；A 在y 轴负半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况．满分解答（1）因为平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q （t ，b ），所以抛物线F 对应的解析式为b t x t y +--=2)(．因为抛物线与x 轴有两个交点，因此0>b t ．令0=y ，得-=t OB t b，+=t OC tb ． 所以-=⋅t OC OB (|||||tb)( +t t b)|-=2|t 22|OA t tb ==．即22bt t t-=±．所以当32t b =时，存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=． （2）因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为t t x t y +--=2)(．解得1,121+=-=t x t x ．①当0>t 时，由||||OC OB <，得)0,1(-t B ．如图2，当01>-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1-t t ，解得3=t ．此时二次函数的解析式为241832-+-=x x y ．如图3，当01<-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t ，解得=t 53．此时二次函数的解析式为-=y 532x ＋2518x ＋12548．图2 图3②如图4，如图5，当0<t 时，由||||OC OB <，将t -代t ,可得=t 53-，3-=t ．此时二次函数的解析式为=y 532x ＋2518x －12548或241832++=x x y ．图4 图5考点伸展第（2）题还可以这样分类讨论：因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为2()y t x t t =--+．由3tan 2OA ABO OB ∠==，得23OB OA =． ①把2(,0)3B t 代入2()y t x t t =--+，得3t =±（如图2，图5）． ②把2(,0)3B t -代入2()y t x t t =--+，得35t =±（如图3，图4）．2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一) 例1如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M 是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“11湖州24”，拖动点P在OC上运动，可以体验到，△APD的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上．双击按钮“第(3)题”，拖动点P由O向C运动，可以体验到，点H在以OM为直径的圆上运动．双击按钮“第(2)题”可以切换．思路点拨1．用含m的代数式表示表示△APD的三边长，为解等腰三角形做好准备．2．探求△APD是等腰三角形，分三种情况列方程求解．3．猜想点H的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt△OHM的斜边长OM是定值，以OM为直径的圆过点H、C．满分解答（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MC BD DM MB ===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-． ①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）． ②当PA ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H 5． 考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单： ①如图3，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以12PC MB CM BA ==．因此12PC =，32m =．②如图4，当PA ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43m =． 第（2）题的思路是这样的：如图6，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．图6 图7例2如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图像中可以看到，△APR的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形．思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组7, 4,3y xy x=-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.xy=⎧⎨=⎩所以点A的坐标是(3，4)．令70y x=-+=，得7x=．所以点B的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由8APR ACP PORCORAS S S S=--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t-⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t-+=．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，42AB =，所以OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ． 如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠PAQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况． 此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1．我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-． 如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得418t =． 如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在PA 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =．如7，当PA ＝PQ 时，那么12cos AQ A AP∠=．因此2cos AQ AP A =⋅∠．解方程52032(7)335t t -=-⨯，得22643t =． 综上所述，t ＝1或418或5或22643时，△APQ 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P 在CA 上，QP ＝QA 时，也可以用2cos AP AQ A =⋅∠来求解．2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二) 例3如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“10闸北25”，拖动点M在CA上运动，可以看到△BNP 与△MNA的形状随M的运动而改变．双击按钮“△BNP∽△MNA”，可以体验到，此刻两个三角形都是直角三角形．分别双击按钮“BP＝BN，N在AB上”、“NB＝NP”和“BP＝BN，N在AB的延长线上”，可以准确显示等腰三角形BNP的三种情况．思路点拨1．第（1）题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N 的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N 在AB 的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．4．探求等腰三角形BNP ，N 在AB 上时，∠B 是确定的，把夹∠B 的两边的长先表示出来，再分类计算．满分解答(1)如图2，图3，作NQ ⊥x 轴，垂足为Q ．设点M 、N 的运动时间为t 秒． 在Rt △ANQ 中，AN ＝5t ，NQ ＝4t ，AQ ＝3t ．在图2中，QO ＝6－3t ，MQ ＝10－5t ，所以MN ∶NP ＝MQ ∶QO ＝5∶3．在图3中，QO ＝3t －6，MQ ＝5t －10，所以MN ∶NP ＝MQ ∶QO ＝5∶3．(2)因为△BNP 与△MNA 有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．如图4，△BNP ∽△MNA ，在Rt △AMN 中，35AN AM =，所以531025t t =-．解得3031t =．此时CM 6031=．图2 图3 图4(3)如图5，图6，图7中，OP MP QN MN =，即245OP t =．所以85OP t =． ①当N 在AB 上时，在△BNP 中，∠B 是确定的，885BP t =-，105BN t =-．(Ⅰ)如图5，当BP ＝BN 时，解方程881055t t -=-，得1017t =．此时CM 2017=． (Ⅱ)如图6，当NB ＝NP 时，45BE BN =．解方程()1848105255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得54t =．此时CM 52=． (Ⅲ)当PB ＝PN 时，1425BN BP =．解方程()1481058255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得t 的值为负数，因此不存在PB ＝PN 的情况．②如图7，当点N 在线段AB 的延长线上时，∠B 是钝角，只存在BP ＝BN 的可能，此时510BN t =-．解方程885105t t -=-，得3011t =．此时CM 6011=．图5 图6 图7考点伸展如图6，当NB ＝NP 时，△NMA 是等腰三角形，1425BN BP =，这样计算简便一些．例4如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“10南通27”，拖动点E在BC上运动，观察y随x变化的函数图像，可以体验到，y是x的二次函数，抛物线的开口向下．对照图形和图像，可以看到，当E是BC的中点时，y取得最大值．双击按钮“m＝8”，拖动E到BC的中点，可以体验到，点F是AB的四等分点．拖动点A可以改变m的值，再拖动图像中标签为“y随x”的点到射线y＝x上，从图形中可以看到，此时△DCE≌△EBF．思路点拨1．证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式．2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF为等腰三角形，那么得到x＝y；一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值．满分解答(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EB CE BF =，即8m x x y -=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m =-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2．(3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m =，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m =，得m ＝2（如图4）．图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第（1）题得到218y x x m m =-+221116(8)(4)x x x m m m=--=--+， 那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程218x x x m m=-+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“09重庆26”，拖动点G 在OC 上运动，可以体验到，△DCG 与△DEF 保持全等，双击按钮“M 的横坐标为1.2”，可以看到，EF ＝2，GO ＝1．拖动点P 在AB 上运动的过程中，可以体验到，存在三个时刻，△PCG 可以成为等腰三角形．。
2013年北京中考数学试题答案及解析
正保远程教育旗下品牌网站 美国纽交所上市公司(NYSE:DL)中小学教育网 2013年北京中考数学试题答案及解析中小学教育网教师对今年北京中考数学试题与2012年北京市中考数学试卷和初三强化提高班的课程、模拟题进行了一些分析和对比，发现：2013年北京中考数学试卷，题型结构总体稳定，灵活性加强，难度稍微有点加深；今年中考的考查知识点与网校课程及讲义完全契合，95%左右的题目与课程讲义中给出的题目所考查的知识点完全相同，约有65%的题目与讲义中老师给出的题目只差一些具体数字（解题方法完全相同）。
这其中，多边形问题、常见辅助线的构造问题、平移旋转问题、应用题、二次函数图像与解析式、函数与圆综合题等都结合近年的中考真题做了专题讲解与复习。
可以这样说，学过这个班级的同学，对考题中90%的题目不陌生，甚至还有不少题目老师 “讲过”。
下面是网校老师对2013年北京中考数学试卷的分析及原题解析，供大家参考。
一、题型、题量及分值比例分布基本涵盖了《考试说明》所要求的所有知识点，如：数与代数、三角形、四边形、圆、一次函数、二次函数。
题量共25道题目，共72分。
难度比例约为：5：3：2二、试卷总体特点1、本套试卷在保持对基础知识的考查力度上，更加重视对数学思维方法和学生综合素质能力的考察，体现了“实践与操作，综合与探究，创新与应用”的命题特点。
2、在题型设计上，总体稳定，但加强了“实际应用问题”“几何探究问题”的考察力度与难度。
第17题，第22题，第22题都与实际生活联系比较紧密，第22题难度比较大；第22题难度加大，第25题难度与去年相比难度略有降低；如第22题是几何探究问题，重点考察学生探究，推理能力，难度加大。
试卷的分析，我们可以看出，2013年中考数学书卷在“稳中求变”的过程中，试题难度有所增加，由此可见这套试卷更加注重考察学生的综合能力。
一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013-2015）》中，北京市提出了共计约3960亿元的投资计划，将3960用科学记数法表示应为A ．39.6×102B ．3.96×103C ．3.96×104D ．0.396 ×104【考点】科学记数法与有效数字。
欣宜市实验学校二零二一学年度中考数学 第37章 简易推理复习题 试题
黔西北州欣宜市实验学校二零二一学年度第37章简易推理3城A的居民只说真话，城B的居民只说假话，城C的居民依次说真话和谎话．一天这三个城中的某城发生火灾，消防值班员被告知：“我们这儿有火灾，请快来！〞“什么地方？〞值班员问道：“在城C．〞答复道．问：消防车应开往哪一个城？3说谎者恒说谎话，老实者恒说真话，奸诈者有时说谎话有时说真话．只允许您提出一些是非题，要求对方答复“是〞或者“否〞〔例如，你是奸诈者吗〕．〔1〕有三人站在您面前，其中一人为说谎者，一人为老实者，另一人为奸诈者．他们都确知对方的身份，请问：您该如何问才可以确认每一个人的身份？〔2〕有四人站在您面前，其中一人为说谎者，一人为老实者，另二人为奸诈者，他们彼此都确知对方的身份．试证：两位奸诈者有方法透过事先商议如何答复您的提问，使您无法确认每一个人的身份．3背运岛上仅仅住着骑士和骗子，骑士任何时刻都说真话，而骗子那么总是说假话．每个人都住在自己的轻轨铁道站旁．轻轨铁道线路已经局部地被暴雨冲毁，但是每个人仍然可以乘轻轨到达某些其别人的住处．在一场台风过后，每位居民都申明：“如今我可以乘轻轨到达其住处的人数只及台风之前的一半．〞证明：骗子的人数不少于岛上居民总人数的三分之一．37.4 A、B、C、D、E、F是六名嫌疑犯，审讯他们时，他们的供词如下：A：“B、F作案了．〞B：“D、A作案了．〞C：“B、E作案了．〞D：“A、C作案了．〞E：“F、A作案了．〞案件是两人合伙所干，上述供词中有一人是假话，另四人是半真半假，问：哪两个人是罪犯？3一次运动会决赛，四所男、女选手各一名，根据以下条件判断谁和谁来自同一，哪四名选手是男生？〔1〕小周、小钱、小郑到小王的参加决赛．〔2〕小周、小钱分别获同一组的长跑冠、亚HY．〔3〕与小钱同校的男生恰好是小郑的表兄．〔4〕小郑回校时，小徐、小吴、小周去送行．〔5〕小吴、、小钱、小李分别获同组前三名，领奖时，小孙正热烈为本校获奖队员鼓掌．3某次考试，试题一共六道，均为判断题．考生认为正确的就画“√〞，认为错误的就画“×〞．记分的方法是，每道题答对的给2分，不答的给1分，答错的不给分．赵、钱、孙、李、周、吴、郑七人之答案及前六人的得分〔记录在表中〕，请在表中填出郑的得分，并简单说明你的思路．3一中的甲、乙、丙三个队和二中的A、B、C三个队举行篮球对抗赛．每队只与对方一个队比赛一场．比赛结果如下：①丙队在比赛中获得成功．②乙队比A队少得13分．③丙队与A队得分之和是72分．④丙队与C队得分之和是71分．⑤三场比赛的成功者都比负者多得11分．请你断定和丙队比赛的是哪个队？该队得多少分？3某地发生了一起撞车事件，事件发生后，肇事车主驾车逃跑了．有三位现场目睹者提供了如下线索：甲：“车牌号是四位数字，头两位数字是一样的．〞乙：“车牌号的后两位数字是一样的．〞丙：“车号是个完全平方数．〞你能知道这个车牌号码是多少吗？3将12个乒乓球分别标上自然数1，2，3，…，12，放在布袋中，甲、乙、丙三人各从袋中拿4个球，现知他们三人所拿球上标的数的和相等，甲有两个球标有5、12，乙有两个球标有6、8，丙有一个球标有1，求丙的其他三个球上所标的数．37.10 A、B、C、D、E五个孩子，每两个人一组，组成十组量得体重分别是82、8、8、85、86、8、87、88、8、91〔单位：kg〕．这五个孩子中，A不是最轻的，C不是最重的，C比A重2.8 kg以上，D比B重，E比D重．那么这五个孩子的体重分别是多少？311991个小球分给甲、乙、丙三人，每次分成m个、n个、p个球各一堆〔m＞n＞p〕．每人拿其中一堆，一共k〔k＜100〕次，恰好拿完．第一次甲、乙、丙顺次取到m、n、p个球，最后一次甲取到n个球，分完后甲一共计得到190个球．问m、n、p分别是多少？32某商店甲、乙、丙三种商品每件单价分别为2元、3元、5元，某人买这三种商品假设干件，一共付20元，此人发现其中有一种商品买多了，退还两件这种商品，但营业员只有10元一张的钱，没有零钱退，此人只得将其他两种商品购置的量做了调整，使总价保持不变．这时，此人所购置的三种商品中，乙种商品的件数是多少？并说明理由．3315个城，每个城派两支少年足球队参加友谊比赛，规定：同一城的两个队间不赛，任两个比赛的队赛过一次后，这两个队之间就不再赛了．比赛了假设干天后，一队的队长发现其他各队比赛场数各不一样．问：这时二队比赛了几场？37.14 A、B、C三个篮球队进展篮球比赛，规定：每场比赛后次日由胜队与另一队进展比赛，而负者那么休息一天．假设最后结果是A队胜10场，B队胜12场，C队胜14场，问：每队各打几场？甲、乙、丙三人参加田径对抗赛，赛前约定：各项比赛第一、第二、第三名分别记5分、2分、1分，累计得分最多者就是优胜者．现知道，甲获得百米赛跑第一名；丙获得优胜，累计得分22分；甲、乙各得9分．判断三人在比赛中所得名次个数的情况．甲、乙、丙一共三个队参加一次足球赛，规定：①每进一球记1分；②每场比赛胜队加10分；③每场平局，双方各加5分．比赛进展几场后，知道甲队已得8分，乙队已得2分，丙队已得22分，问：他们一一共进展了几场比赛，每场比赛中双方进球各是多少？甲、乙两队各派15名运发动进展十项田径运动的对抗赛．规定：第一名得10分，第二名得7分，第三名得5分，各种名次均无并列名次．比赛结果，甲队比乙队少得两个第一名，第二名也比乙队少，总分却比乙队多6分，甲队一共获得多少个第三名？1998年“世界杯〞足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组，在小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场．规定：每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；假设双方踢平，两队各得1分．：〔1〕这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数．〔2〕乙队总得分排在第一．〔3〕丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的．根据以上条件推断，总得分排在第四的是哪支队？甲、乙、丙、丁四人之间进展了假设干场围棋比赛，两人之间至多赛一场，每场胜者得2分，负者得0分，平局各得1分，下表是比赛的记录．由于记录员的粗心，此表中没有一个数据是正确的，请你另填一张正确的表，并简述理由．在足球锦标赛中，每队需与别的队各比赛一场，结果每队得分均不一样，而最后一名的队却曾战胜了前三名的各个队．试证明：参赛队不可能为12个队．〔每一场胜队得2分，平队各得1分，输队得0分〕有8个人参加象棋循环赛，每场比赛胜者得1分，负者得0分，平局那么双方各得0．5分，比赛后，发现8个人的得分全都不相等，第2名得得分是最后四名得分的和．问：第3名和第7名之间的胜负如何？10名选手参加围棋比赛，规定：每两名选手间都要比赛一次，胜者得2分，下和得1分，输者得0分．比赛结果说明：选手们所得分数各不一样，前两名选手都没输过，前两名的总分比第三名多20分，第四名所得分与后四名所得总分相等．那么，前六名得分分别是多少？在某举行的一次兵乓球邀请赛上，有三位专业选手与三位业余选手参加，比赛采用单循环方式进展，就是说每两名选手都要比赛一场，为公平起见用以下方法记分．开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分，那么一位业余选手至少要胜多少场，才能确保他的得分比某位专业选手得分高？团体购置公园门票，票价如下：今有甲、乙两个旅游团，假设分别购票，两团总计应付门票费1314元；假设合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费1008元．问：这两个旅游团各有多少人？某书店规定：一次性购书100元以下的按原价收款；原价在100~199．99元的按原价的90%收款；原价在200~299．99元的按原价的85%收款；原价在300元多300元以上的按80%收款．甲、乙两校的两位教师各选了假设干本书，各校分别计价，两校应交的钱合起来是400元；把两校的书合起来计价，就只需付368元．求两校所选图书原价各是多少元？某为鼓励节约用水，对自来水的收费HY做如下规定：每月每户用水量不超过10t局部按0．45元／t收费；超过10t而不超过20t局部按0．80元／t收费；超过20t局部按1.50元／t收费．某月甲户比乙户多缴水费7.10元，乙户比丙户多缴水费5元．问：甲、乙、丙该月各缴水费多少〔自来水按整吨收费〕？★★★37.27在黑板上写上三个整数，然后将其中～个擦去，换上其他两数之和减去1．将这个过程重复假设干次之后得到(15，1986,2000)，那么一开场黑板上写出的三个数是否可能是(2，2，2)★★37.28今有101枚硬币，其中有100枚真币和1枚伪币．伪币与真币的重量不同，现需弄清楚伪币终究比真币轻，还是比真币重．但只有一架没有砝码的天平，试问：怎样利用这架天平称两次，来到达目的？★★37.29有六个金币，其中一个是假币，其他五个是真币，两者的重量都不知，只知真币重量一样，和假币的重量不同．现有一座秤〔不是天平〕，它只能称出放置在秤盘上金币的总重量，请问：如何只称三次，就一定能把假币找出？★★★7.30在九枚外观均一样的金币中，其中有一枚的重量为a，有七枚的重量为6，最后一枚的重量为c，且a<b<c．用没有刻度的两臂天平，请给出称四次即可断定a+c<2b、a+c=2b或者a+c>2b的方案．★★★31一组砝码有60个．假设不能将60个砝码分成3个小组，使得每个小组20个砝码，而它们的重量之和各不一样，那么称其为不可分的．试找出所有不可分的砝码组，使得其60个砝码中至少有一个砝码重lkg，也至少有一个砝码重2kg．★★★37.32今有2000枚硬币，其中有两枚伪币，一枚轻于真币，另一枚重于真币，现有一架没有砝码的天平，试问：怎样利用这架天平称4次，以确定出终究是两枚伪币的重量之和重，还是两枚真币的重量之和重，还是两者一样重？★37.33 A对B说：“假设你活到明天早晨，那就请你到我这儿来．我想好了三个数字：a、b、c〔0≤a、b、c≤9〕．你对我说三个数x、y、z，我听了之后将告诉你ax+by+cz等于多少，然后请你猜这三个数字a、b、c各是几？假设猜不出，你的脑袋就该搬家了．〞B很是忧愁，你能帮助他摆脱困境吗？★★37.34在黑板上依次写下1，2，…，99，并用逗号分开．甲、乙两人轮流在逗号处改写为“+"或者“×〞的符号，直至所有逗号都消失为止．这时所得算式的结果假设为奇数，那么甲胜；假设为偶数，那么乙胜．在正确的策略下，谁必取胜？★★★35下面说法对吗？“任意7个正整数，其中一定有4个数，这4个数之和可以被4整除.“为什么？★★★36把全体正整数1，2，3，…任意分成两组，那么一定存在两个数，它们的平均数仍在这组数中.为什么？★★★37.37 a1，a2，a3，…都是质数〔可以一样〕，它们的平方和S比它们的乘积P的4倍小992，问：满足上述条件的数是否存在？假设存在，求出这8个质数；假设不存在，请说明理由.★★★38一大群乒乓球运发动进展循环赛，任何两人都赛一场，且只赛一场便有胜负．证明：比赛完毕后，一定有一个人，当他说出他手下败将以及他手下败将的手下败将的HY时，可以说出除自己之外的所有人的名字.★39班长排出了一张全班50位同学参与的为期30天的轮流值勤表，其中每天由4位同学值勤，而对每位同学来说，两次值勤之间的间隔时间是均不少于5天．证明：可以将每天值勤的人数增加到5位同学，使得每位同学的两次值勤之间的间隔时间是仍然保持为至少5天.★★★30一个六人会议，他们之中有七对朋友，而任何三人中至少有两人是朋友．证明：〔1〕存在一个人，他至少有三个朋友.〔2〕存在三个人，他们彼此是朋友．★★37.41证明：在任何6个人中，总有3个人互相认识或者者互不认识．★★37.42每当小金遇到一个人，他都试图理解谁与谁彼此之间互相认识．为了记录这些关系，他画了一个圆，每个人用一条弦代表，并且使两个互相认识的人所代表的弦相交〔可能相交于端点〕，假设两人互不认识那么其所代表的弦互不相交．小金认为对于任何公司里的人员，他都可以用这样的方式做记录．请问：小金的想法正确吗？。
2013海南省中考数学试题及答案解析
海南省2013年初中毕业生学业考试数学科试题（答案解析）一、选择题（共14小题，每小题3分，满分42分）B4．（3分）（2013•海南）某班5位学生参加中考体育测试的成绩（单位：分）分别是35、40、37、38、40．则5．（3分）（2013•海南）如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图为（）BB﹣×，故本选项错误；、=3，故本选项错误；、=6、7．（3分）（2013•海南）“辽宁号”航母是中国海军航空母舰的首舰，标准排水量57000吨，满载排水量675008．（3分）（2013•海南）如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（）10．（3分）（2013•海南）今年我省荔枝喜获丰收，有甲、乙两块面积相同的荔枝园，分别收获8600kg和9800kg，甲荔枝园比乙荔枝园平均每亩少60kg，问甲荔枝园平均每亩收获荔枝多少kg？设甲荔枝园平均B=．11．（3分）（2013•海南）现有四个外观完全一样的粽子，其中有且只有一个有蛋黄．若从中一次随机取出B∴则这两个粽子都没有蛋黄的概率是．12．（3分）（2013•海南）如图，在⊙O中，弦BC=1．点A是圆上一点，且∠BAC=30°，则⊙O的半径是（）13．（3分）（2013•海南）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是（）AB14．（3分）（2013•海南）直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（）B==5=，，解得，，==二、填空题（共16分，每小题4分）15．（4分）（2013•海南）因式分解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．16．（4分）（2013•海南）点（2，y1），（3，y2）在函数y=﹣的图象上，则y1＜y2（填“＞”或“＜”或“=”）．﹣的图象经过第二、四象限，且在每一象限内，17．（4分）（2013•海南）如图，AB∥CD，AE=AF，CE交AB于点F，∠C=110°，则∠A=40°．18．（4分）（2013•海南）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=5，∠B=60°，则BC=10．三、解答题（共6小题，满分62分）19．（10分）（2013•海南）计算：（1）4×（﹣）﹣+3﹣2；（2）a（a﹣3）﹣（a﹣1）2．（﹣）﹣﹣﹣20．（8分）（2013•海南）据悉，2013年财政部核定海南省发行的60亿地方政府“债券资金”，全部用于交通等重大项目建设．以下是60亿“债券资金”分配统计图：（1）请将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，a=36.7，b=20.5（都精确到0.1）；（3）在扇形统计图中，“教育文化”对应的扇形圆心角的度数为64°（精确到°1））由题意可得出：××21．（9分）（2013•海南）如图，在正方形网格中，△ABC各顶点都在格点上，点A，C的坐标分别为（﹣5，1）、（﹣1，4），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；（3）点C1的坐标是（1，4）；点C2的坐标是（1，﹣4）；过C、C1、C2三点的圆的圆弧的长是π（保留π）．OC=π22．（8分）（2013•海南）为迎接6月5日的“世界环境日”，某校团委开展“光盘行动”，倡议学生遏制浪费粮食行为．该校七年级（1）、（2）、（3）三个班共128人参加了活动．其中七（3）班48人参加，七（1）班参加的人数比七（2）班多10人，请问七（1）班和七（2）班各有多少人参加“光盘行动”？23．（13分）（2013•海南）（1）如图（1）点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE．求证：△BCP≌△DCE；（2）直线EP交AD于F，连接BF，FC．点G是FC与BP的交点．①若CD=2PC时，求证：BP⊥CF；②若CD=n•PC（n是大于1的实数）时，记△BPF的面积为S1，△DPE的面积为S2．求证：S1=（n+1）S2．=（（（﹣FD（n﹣（DP CE=1=，SSSS24．（14分）（2013•海南）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=kx﹣4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．（1）求该二次函数的解析式；（2）当点P的坐标为（﹣4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．连接AN，当△AMN的面积最大时，①求t的值；②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由．，即﹣AM ND=•t（）．t=，﹣（）＜，＜时，t=时，。
2013年中考数学几何推理题复习(人教版)
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三、多少事，从来急；天地转，光阴迫。一万年太久，只争朝夕。——毛泽东
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四、拥有梦想的人是值得尊敬的，也让人羡慕。当大多数人碌碌而为为现实奔忙的时候，坚持下去，不用害怕与众不同，你该有怎么样的人生，是该你亲自去撰写的。加油！让我们一起捍卫最初的梦想。——柳岩
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五、一个人要实现自己的梦想，最重要的是要具备以下两个条件：勇气和行动。——俞敏洪
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三十七、一块砖没有什么用，一堆砖也没有什么用，如果你心中没有一个造房子的梦想，拥有天下所有的砖头也是一堆废物；但如果只有造房子的梦想，而没有砖头，梦想也没法实现。——俞敏洪
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三十八、如意算盘，不一定符合事实。——奥地利
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三十九、志向不过是记忆的奴隶，生气勃勃地降生，但却很难成长。——莎士比亚
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四十、如果失去梦想，人类将会怎样？——热豆腐
第36讲┃ 几何推理题
7．如图 36－7，在梯形 ABCD 中，DC∥AB，AD＝BC, BD 平分∠ABC，∠A＝60°.过点 D 作 DE⊥AB，过点 C 作 CF⊥BD， 垂足分别为 E、F，连接 EF，求证：△DEF 为等边三角形．
图 36－7
第36讲┃ 几何推理题
证明：因为 DC∥AB，AD＝BC，∠A＝60°， 所以∠ABC＝∠A＝60°. 又因为 BD 平分∠ABC， 所以∠ABD＝∠CBD＝12∠ABC＝30°. 因为 DC∥AB，所以∠BDC＝∠ABD＝30°， 所以∠CBD＝∠CDB, 所以 CB＝CD. 因为 CF⊥BD，所以 F 为 BD 中点． 又因为 DE⊥AB，所以 DF＝BF＝EF. 由∠ABD＝30°，得∠BDE＝60°， 所以△DEF 为等边三角形.
第36讲┃ 几何推理题
(2)如图，连接 MC，∵DC＝DM，且∠MDC＝60°， ∴△MDC 是等边三角形，即 CM＝CD. 又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC＝ 180°－∠MDC＝180°－60°＝120°， ∴∠EMC＝∠ADC.又∵CE＝CA， ∴∠DAC＝∠CEM＝15°，∴△ADC≌△EMC， ∴ME＝AD＝DB.
2013年中考几何题汇编(有答案)
2013年中考证明题一、选择题1.（2013•大庆）（3分）正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，则△A1B1C1的面积是（）A．B．C．D．2.（2013•大庆）（3分）已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是（）A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形C．当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形D．当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形3.(2013年河北)如图4，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB. 若NF = NM = 2，ME = 3，则AN =A．3 B．4C．5 D．64．（2013•河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°5. (2013年北京) 如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于A. 40°B. 50°C. 70°D. 80°6. (2013年北京) 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。
若测得BE=20m ，EC=10m ，CD=20m ，则河的宽度AB 等于A. 60B. 40mC. 30mD. 20m7.（2013年天津）如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点.将△ADE 绕点E 旋转180°得△CFE ，则四边形ADCF 一定是（A ）矩形 （B ）菱形 （C ）正方形（D ）梯形8.（2013年长春）如图，含30°角的直角三角尺DEF 放置在△ABC 上，30°角的顶点D 在边AB 上，DE ⊥AB ．若B ∠为锐角，BC ∥DF ，则B ∠的大小为（A ）30°. （B ）45°. （C ）60°. （D ）75°.9．（2013年长春）如图，∠ABD=∠BDC=90°∠A=∠CBD ，AB=3，BD=2，则CD 的长为（A ）34. （B ）43. （C ）2. （D ）3.10.（2013年重庆）如图，AB ∥CD ，AD 平分∠BAC ，若∠BAD =70°， 那么∠ACD 的度数为（ ）A ．40°B ．35°C ．50°D ．45°11.(2013年重庆)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，连接CE 并延长与BA 的延长线交于点F ，若AE =2ED ，CD =3cm ，则AF 的长为（ ） A ．5cm B ．6cm C ．7cm D ．8cmFE D B AC12. （2013山东莱芜）如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为（）A. 10°B. 20°C. 25°D.30°二：填空题1.（3分）（2013•大庆）如图，三角形ABC是边长为1的正三角形，与所对的圆心角均为120°，则图中阴影部分的面积为．2.(2013年北京) 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为__________3.(2013年河北)如图11，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B = °．4.(2013济宁)如图，△ABC与△ABD中， AD与BC相交于O点，∠1=∠2,请你添加一个条件(不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，使AC=BD,并给出证明.你添加的条件是: ．5.（2013山西）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=12，BC=5，点E 在AB 上，将△DAE 沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A′处，则AE 的长为______.6.(2013年潍坊)如图，直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AB=10,BC=6，在线段AB 上取一点D ，作DF ⊥AB 交AC 于点F.现将ADF ∆沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点记为1A ；AD 的中点E 的对应点记为1E .若11FA E ∆∽BF E 1∆，则AD =__________.7.（2013山东莱芜）如图，矩形ABCD 中，AB=1，E 、F 分别为AD 、CD 的中点，沿BE 将△ABE 折叠，若点A 恰好落在BF 上，则AD= .8.(2013年河南)将一副直角三角板ABC 和EDF 如图放置（其中 ∠A =60°，∠F =45°），使点E 落在AC 边上，且 ED //BC ，则∠CEF 的度数为_________.9.(2013年天津)如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD ＝3，∠ADE ＝60°，则AE 的长为 ．三．证明题E F C D B AEDCAB1.（2013•大庆）（6分）如图，把一个直角三角形ACB （∠ACB=90°）绕着顶点B 顺时针旋转60°，使得点C 旋转到AB 边上的一点D ，点A 旋转到点E 的位置．F ，G 分别是BD ，BE 上的点，BF=BG ，延长CF 与DG 交于点H ． （1）求证：CF=DG ；（2）求出∠FHG 的度数．2.(2013年北京) 如图，已知D 是AC 上一点，AB=DA ，DE ∥AB ，∠B=∠DAE 。
(完整word版)2013年几何图形初步全国中考真题及答案
2013年中考数学分类汇编几何图形初步一．选择题1．(2013温州）下列各图中，经过折叠能围成一个立方体的是（）A．B． C．D．故选A．2．（2013宁波）下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方形包装盒的是（）A．B．C．D．解答：解：A．剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；B．剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意;C．剪去阴影部分后,能组成长方体,故此选项正确；D．剪去阴影部分后，组成无盖的正方体,故此选项不合题意；故选：C．3。
（2013福州)如图，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A．20°B．40°C．50°D．60°故选C．4．（2013昭通）如图是一个正方体的表面展开图,则原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是( ）A．美B．丽C．云D．南解答：解：由正方体的展开图特点可得:“建”和“南”相对；“设"和“丽”相对；“美”和“云”相对；故选D．5．（2013曲靖)如图是某几何体的三视图，则该几何体的侧面展开图是( ）A．B．C．D．解答:解：根据几何体的三视图可以得到该几何体是圆柱，圆柱的侧面展开图是矩形，且高度=主视图的高，宽度=俯视图的周长．故选A．6．(2013重庆市）已知∠A=65°，则∠A的补角等于（）A．125°B．105°C．115°D．95°故选C．7．（2013百色）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧面展开图的面积为( ）A．6cm2B．4πcm2 C．6πcm2 D．9πcm2解答：解：主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，俯视图为圆可得此几何体为圆柱,故侧面积=π×2×3=6πcm2．故选:C．8．(2013百色）已知∠A=65°,则∠A的补角的度数是（）A．15°B．35°C．115°D．135°解答：解：∵∠A=65°，∴∠A的补角=180°﹣∠A=180°﹣65°=115°．故选C．9．（2013台湾）数轴上A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，且C在AB上．若｜a｜=｜b｜，AC：CB=1：3，则下列b、c的关系式，何者正确?( )A．|c|=|b| B．|c｜=｜b｜C．|c｜=｜b｜D．｜c|=|b｜解答:解：∵C在AB上,AC:CB=1:3,∴|c｜=，又∵｜a｜=｜b|，∴|c｜=｜b｜．故选A．10．(2013台湾）附图的长方体与下列选项中的立体图形均是由边长为1公分的小正方体紧密堆砌而成．若下列有一立体图形的表面积与附图的表面积相同,则此图形为何？（）A． B． C．D．解答:解：∵立体图形均是由边长为1公分的小正方体紧密堆砌而成，∴附图的表面积为：6×2+3×2+2×2=22，只有选项B的表面积为：5×2+3+4+5=22．故选：B．11．（2013自贡）如图，将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为( ）A．B．9 C．D．解答：解：∵将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，∴这个正三角形的底面边长为1，高为=，∴侧面积为长为3，宽为3﹣的长方形,面积为9﹣3．故选A．12．（2013资阳）钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（）A．πB．πC．πD．π解答:解:从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°，则分针在钟面上扫过的面积是:=π．故选：A．13．（2013绵阳）把如图中的三棱柱展开,所得到的展开图是（）A．B．C．D．解答：解:根据两个全等的三角形，在侧面三个长方形的两侧，这样的图形围成的是三棱柱．把图中的三棱柱展开，所得到的展开图是B．故选B．14．（2013巴中）如图,是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“梦”字所在的面相对的面上标的字是（）A．大B．伟C．国D．的解答：解：这是一个正方体的平面展开图,共有六个面，其中面“伟”与面“国”相对，面“大”与面“中”相对，“的”与面“梦"相对．故选D．15．（2013山西省）如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（）A．B．C．D．解答：解:由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，A．可以拼成一个长方体；B．C、D．不符合长方体的展开图的特征，故不是长方体的展开图．故选A．16．（2013菏泽）下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（）A．B．C．D．解答：解：A．另一底面的三角形是直角三角形，两底面的三角形不全等,故本选项错误；B．折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误;C．折叠后能围成三棱柱,故本选项正确；D．折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误．故选C．17．（2013大连）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于（）A．35°B．70°C．110°D．145°解答：解：∵射线OC平分∠DOB．∴∠BOD=2∠BOC,∵∠COB=35°，∴∠DOB=70°，∴∠AOD=180°﹣70°=110°，故选：C．18．（2013无锡）已知圆柱的底面半径为3cm,母线长为5cm,则圆柱的侧面积是（）A．30cm2B．30πcm2C．15cm2D．15πcm2解答：解：根据圆柱的侧面积公式，可得该圆柱的侧面积为：2π×3×5=30πcm2．故选B．19．（2013南京)如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色．下列图形中,是该几何体的表面展开图的是（)A．B．C．D．解答：解:选项A和C带图案的一个面是底面,不能折叠成原几何体的形式;选项B能折叠成原几何体的形式;选项D折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．故选B．20．（2013岳阳）一个正方体的平面展开图如图所示,将它折成正方体后，与汉字“岳”相对的面上的汉字是（）A．建B．设C．和D．谐解答:解：正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形，“和”与“岳”是相对面, “建”与“阳”是相对面，“谐"与“设”是相对面．故选C．21．（2013湘西）下列图形中，是圆锥侧面展开图的是（）A．B．C．D．解答：解:圆锥的侧面展开图是光滑的曲面,没有棱,只是扇形．故选B．22．(2013随州）如图是一个长方体形状包装盒的表面展开图．折叠制作完成后得到长方体的容积是（包装材料厚度不计）( )A．40×40×70 B．70×70×80 C．80×80×80D．40×70×80解答:解：根据图形可知：长方体的容积是：40×70×80；故选D．23．（2013荆州）将一边长为2的正方形纸片折成四部分，再沿折痕折起来，恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥，则三棱锥四个面中最小的面积是( )A．1 B．C．D．解答：解：最小的一个面是等腰直角三角形，它的两条直角边都是2÷2=1，1×1÷2=．故三棱锥四个面中最小的面积是．故选C．24．（2013黄石)已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12cm，另一条直角边BC=5cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是（）A．90πcm2 B．209πcm2 C．155πcm2 D．65πcm2解答：解:圆锥的表面积=×10π×13+π×52=90πcm2．故选A．25．（2013黄冈）已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（）A．π B．4π C．π或4π D．2π或4π解答:解:①底面周长为4π时,半径为4π÷π÷2=2,底面圆的面积为π×22=4π；②底面周长为2π时，半径为2π÷π÷2=1，底面圆的面积为π×12=π．故选C．26．（2013恩施州）如图所示，下列四个选项中，不是正方体表面展开图的是( ）A．B．C．D．解答：解：选项A，B,D折叠后都可以围成正方体；而C折叠后折叠后第一行两个面无法折起来，而且下边没有面，不能折成正方体．故选C．27．（2013天门)小明为了鼓励芦山地震灾区的学生早日走出阴影，好好学习,制作了一个正方体礼盒（如图)．礼盒每个面上各有一个字，连起来组成“芦山学子加油”，其中“芦”的对面是“学",“加”的对面是“油",则它的平面展开图可能是 ( )A．B． C． D．解答：解:正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，A．“加”与“子"是相对面，故本选项错误;B．“芦”与“子"是相对面,故本选项错误；C．“芦”与“子”是相对面,故本选项错误；D．“芦"与“学”是相对面，“山”与“子”想相对面，“加”与“油”是相对面，故本选项正确．故选D．28．（2013六盘水）直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起,在图中所标记的角中,与∠1互余的角有几个（）A．2个B．3个C．4个D．6个解答：解:与∠1互余的角有∠2，∠3，∠4;一共3个．故选B．29．(2013河南省）如图是正方体的一种展开图,其每个面上都标有一个数字,那么在原正方体中，与数字“2”相对的面上的数字是（）A．1 B．4 C．5 D．6解答：解:正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“2”与“4”是相对面，“3”与“5"是相对面，“1”与“6"是相对面．故选B．30．（2013玉林防城港)若∠α=30°,则∠α的补角是( ）A．30°B．60°C．120°D．150°解答：解:180°﹣30°=150°．故选D．31．(2013钦州)下列四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是( ）A．B．C．D．解答：A．是三棱锥的展开图，故选项错误；B．是三棱柱的平面展开图，故选项正确;C．两底有4个三角形，不是三棱锥的展开图，故选项错误;D．是四棱锥的展开图，故选项错误．故选B．32．(2013南宁）如图所示,将平面图形绕轴旋转一周,得到的几何体是（）A．B．C．D．解答:解：半圆绕它的直径旋转一周形成球体．故选：A．33．(2013贵港）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后,有“共”字一面的相对面上的字是（)A．美 B．丽 C．家 D．园解答：解:正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“共”与“园”是相对面,“建”与“丽"是相对面，“美"与“家”是相对面．故选D．34．（2013厦门)∠A=60°，则∠A的补角是( ）A．160°B．120°C．60°D．30°解答：解：∵∠A=60°，∴∠A的补角=180°﹣60°=120°．故选B．二．填空题1．（2013义乌）把角度化为度、分的形式，则20。
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图 37－5
第37讲┃ 函数问题
解：(1)∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∠D＝∠DCB＝∠ABC＝90° . 由折叠对称性，有 AF＝AD＝10，FE＝DE. 在 Rt△ABF 中，BF＝ AF2－AB2＝ 102－82＝6. ∴FC＝4. 设 DE＝x， 在 Rt△ECF 中，42＋(8－x)2＝x2，解得 x＝5. ∴CE＝8－x＝3. ∵B(m,0)，∴E(m＋10,3)，F(m＋6,0).
2000a＋1600a＋1000100－2a≤160000， 根据题意，得 100－2a≤a，
1 解得 33 ≤a≤37.5.因为 a 是整数，所以 a＝34,35,36,37. 3 因此，共有四种进货方案. 设商店销售完毕后获得利润为 w 元． 则 w＝(2200－2000)a＋(1800－1600)a＋(1100－1000)(100－2a)＝ 200a＋10000. ∵200＞0，∴w 随 a 的增大而增大，∴当 a＝37 时， w 最大值＝200×37＋10000＝17400(元)． 所以当购买彩电 37 台，冰箱 37 台，洗衣机 26 台时，商店获取利润 最大，为 17400 元．
3 1 3 解：(1)由 S△ABO＝ ，得 |k|＝ ，所以|k|＝3，k＝± 3.又双曲线在第二、 2 2 2 四象限，k<0，故 k＝－3， 3 所以所求函数解析式分别为 y＝－x和 y＝－x－2. 3 (2)联立 y＝－x和 y＝－x－2，解之可得 A，C 的坐标分别为(1，－3)， (－3,1)． 1 1 设直线 AC 与 x 轴的交点为 D， OD＝2.故 S△AOC＝ ×2×1＋ ×2×3 则 2 2 ＝4.
第37讲┃ 函数问题
2． 在同一坐标系中， 一次函数 y＝ax＋b 和二次函数 y＝ax2 ＋bx 的图象可能为( A )
图 37－2
第37讲┃ 函数问题
[解析] 二次函数 y＝ax2＋bx 过点(0,0)，故排除选项 B 与 C.若 a＞0， 抛物线开口向上， 一次函数 y＝ax＋b 的 y 值随着 x 值的增大而增大；若 a＜0，抛物线开口向下，一次函数 y＝ax ＋b 的 y 值随着 x 值的增大而减小．故选 A.
图 37－1
[解析] 本题考查反比例函数图象与性质的应用，因为一次函数 y＝ －kx＋1 与 y 轴的交点为(0,1)，所以选项 B 和 C 都可以排除．A 中直线 y＝－kx＋1 经过第一、二、四象限，－k＜0，则 k＞0，而 k＞0 时，双 k 曲线 y＝x两分支各在第一、三象限，所以 A 可以排除．故选 D.
第37讲┃ 函数问题
(3)由(1)知 A(m,8)，E(m＋10,3)．
am－m－62＋h＝8， 依题意，得 2 am＋10－m－6 ＋h＝3，
a＝1， 4 解得 h＝－1.
∴M(m＋6，－1)．
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设对称轴交 AD 于 G. ∴G(m＋6,8)，∴AG＝6，GM＝8－(－1)＝9. ∵∠OAB＋∠BAM＝90° ，∠BAM＋∠MAG＝90° ， ∴∠OAB＝∠MAG. 又∵∠ABO＝∠MGA＝90° ，∴△AOB∽△AMG. OB AB m 8 1 ∴MG＝AG，即 ＝ .∴m＝12.故 a＝ ，h＝－1，m＝12. 9 6 4
第37讲┃ 函数问题
7.如图 37－5①， 矩形 ABCD 的一边 BC 在直角坐标系中的 x 轴 上，折叠边 AD，使点 D 落在 x 轴上点 F 处，折痕为 AE，已知 AB ＝8，AD＝10，并设点 B 坐标为(m，0)，其中 m＞0. (1)求点 E、F 的坐标(用含 m 的式子表示)； (2)连接 OA，若△OAF 是等腰三角形，求 m 的值； (3)如图②，设抛物线 y＝a(x－m－6)2＋h 经过 A、E 两点，其顶 点为 M，连接 AM，若∠OAM＝90°，求 a、h、m 的值．
第37讲┃ 函数问题
(2)分三种情形讨论： 若 AO＝AF， ∵AB⊥OF，∴OB＝BF＝6.∴m＝6. 若 OF＝AF，则 m＋6＝10，解得 m＝4. 若 AO＝OF，在 Rt△AOB 中，AO2＝OB2＋AB2＝m2＋64， ∴(m＋6)2＝ m2＋64， 7 解得 m＝ . 3 7 综上，m＝6 或 4 或 . 3
图 37－4
第37讲┃ 函数问题
解：(1)过 P 作 PQ⊥AB 于 Q，如图，则 PQ＝y，
易知 Rt△AQP∽Rt△ACB， y 4－x 3 12 ∴PQ∶BC＝AP∶AB，即 ＝ ，化简得 y＝－ x＋ (0<x<4)． 3 5 5 5 3 12 3 (2)令 x＝y，即 x＝－ x＋ ，解得 x＝ ，此时⊙P 与直线 AB 相切． 5 5 2 3 3 对应地有：当 0<x< 时，⊙P 与直线 AB 相离；当 <x<4 时，⊙P 与 2 2 直线 AB 相交．
第37讲┃ 函数问题
第37讲┃ 函数问题
第37讲┃ 函数问题
5． “五一”期间，为了满足广大人民的消费需求，某商店计划用 160000 元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表： 类别 彩电 冰箱 洗衣机 进价 2000 1600 1000 售价 2200 1800 1100 (1)若全部资金用来购买彩电和洗衣机共 100 台， 问商家可以购买 彩电和洗衣机各多少台？ (2)若在现有资金 160000 元允许的范围内，购买上表中三类家电 共 100 台，其中彩电台数和冰箱台数相同，且购买洗衣机的台数不超 过购买彩电的台数，请你算一算有几种进货方案？哪种进货方案能使 商店销售完这批家电后获得的利润最大？并求出最大利润． (利润＝售 价－进价)
第37讲┃ 函数问题
k 3．如图 37－3，Rt△ABO 的顶点 A 是双曲线 y＝x与直线 y＝ 3 －x＋k＋1 在第四象限的交点，AB⊥x 轴于点 B，且 S△ABO＝ . 2 (1)求这两个函数的解析式； (2)求直线与双曲线的交点 A 和 C 的坐标及△AOC 的面积．
图 37－3
第37讲┃ 函数问题
第37讲┃ 函数问题
类型二
函数在实际生活中的应用
用函数知识解决实际问题，就是根据实际意义抽象出一个数 学模型，考查数学建模的思想与方法，在解题中要注意问题的实 际意义，平时要注意加强对常见生活问题中简单公式、数量关系 的归纳和总结．
第37讲┃ 函数问题
4. 某经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂 家先免费提供货源， 待货物售出后再进行结算， 未售出的由厂家负 责处理)．当每吨售价为 260 元时，月销售量为 45 吨．该经销店为 提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现： 当每吨售价每下降 10 元时，月销售量就会增加 7.5 吨．综合考虑 各种因素， 每售出 1 吨建筑材料共需支付厂家及其他费用 100 元． 设 每吨材料售价为 x(元)，该经销店的月利润为 y(元)． (1)当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售量； (2)求出 y 与 x 的二次函数解析式(不要求写出 x 的取值范围)； (3)请把(2)中的二次函数配方成 y＝a(x－h)2＋k 的形式，并据 此说明，该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元； (4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为 对吗？请说明理由． 第37讲┃ 函数问题
第37讲┃ 函数问题
(4)我认为，小静说的不对. 理由：方法一：当月利润最大时，x 为 210 元，
260－x 45＋ 而对于月销售额 W＝x ×7.5 10
3 ＝－ (x－160)2＋19200 来说， 4 当 x 为 160 元时，月销售额 W 最大． ∴当 x 为 210 元时，月销售额 W 不是最大． ∴小静说的不对. 方法二：当月利润最大时，x 为 210 元，此时，月销售额为 17325 元； 而当 x 为 200 元时，月销售额为 18000 元． ∵17325＜18000， ∴当月利润最大时，月销售额 W 不是最大． ∴小静说的不对.
第37讲┃ 函数问题
类型三
函数与几何
在几何图形中，某些元素的运动变化，导致相应的线段、面
积等几何量的大小随之改变，在这个数量变化过程中，找出两个 变量作为刻画对象，并最终用有关二次函数的知识把问题加以解 决，就形成了我们研究的“几何图形中的函数问题”．
第37讲┃ 函数问题
6．如图 37－4，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BA ＝5，点 P 是 AC 上的动点(P 不与 A，C 重合)．PC＝x，点 P 到 AB 的距离为 y. (1)求 y 与 x 的函数解析式； (2)试讨论以 P 为圆心，半径为 x 的圆与 AB 所在直线的位置 关系，并指出相应的 x 的取值范围．
第37讲
函数问题
第37讲┃ 函数问题
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 类型一 函数的图象与性质的综合应用
分析函数的图象与性质时，要学会从“数”分析到 “形”， 由“数”的特征想到“形”的特征， 以及由“形”的 特征想到“数”的特征，从而实现数形结合．
第37讲┃ 函数问题
k 1. 如图 37－1，函数 y＝x与 y＝－kx＋1(k≠0)在同一坐标 系内的图象大致为( D )
260－240 解：(1)45＋ ×7.5＝60(吨). 10
260－x (2)y＝(x－100)45＋ ×7.5， 10
3 化简得 y＝－ x2＋315x－24000. 4 3 2 (3)y＝－ x ＋315x－24000 4 3 ＝－ (x－210)2＋9075. 4 该经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨 210 元.
第37讲┃ 函数问题
解： (1)设商家购买彩电 x 台， 则购买洗衣机(100－x)台， 由题意，得 2000x＋1000(100－x)＝160000， 解得 x＝60.则 100－x＝40(台)． 所以商家可以购买彩电 60 台，洗衣机 40 台．