第10章-简单线性回归分析思考与练习参考答案复习课程
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第10章 简单线性回归分析
思考与练习参考答案
一、最佳选择题
1.如果两样本的相关系数21r r =,样本量21n n =,那么( D )。
A. 回归系数21b b = B .回归系数12b b < C. 回归系数21b b > D .t 统计量11r b t t = E. 以上均错
2.如果相关系数r =1,则一定有( C )。
A .总SS =残差SS
B .残差SS =回归
SS
C .总SS =回归SS
D .总SS >回归SS E.
回归MS =残差MS
3.记ρ为总体相关系数,r 为样本相关系数,b 为样本回归系数,下列( D )正确。
A .ρ=0时,r =0
B .|r |>0时,b >0
C .r >0时,b <0
D .r <0时,b <0 E. |r |=1时,b =1
4.如果相关系数r =0,则一定有( D )。
A .简单线性回归的截距等于0
B .简单线性回归的截距等于Y 或X
C .简单线性回归的残差SS 等于0
D .简单线性回归的残差SS 等于SS 总
E .简单线性回归的总SS 等于0
5.用最小二乘法确定直线回归方程的含义是( B )。
A .各观测点距直线的纵向距离相等
B .各观测点距直线的纵向距离平方和最小
C .各观测点距直线的垂直距离相等
D .各观测点距直线的垂直距离平方和最小
E .各观测点距直线的纵向距离等于零
二、思考题
1.简述简单线性回归分析的基本步骤。
答:① 绘制散点图,考察是否有线性趋势及可疑的异常点;② 估计回归系数;③ 对总体回归系数或回归方程进行假设检验;④ 列出回归方程,绘制回归直线;⑤ 统计应用。 2.简述线性回归分析与线性相关的区别与联系。
答:区别:
(1)资料要求上,进行直线回归分析的两变量,若X 为可精确测量和严格控制的变量,则对应于每个X 的Y 值要求服从正态分布;若X 、Y 都是随机变量,则要求X 、Y 服从双变量正态分布。直线相关分析只适用于双变量正态分布资料。
(2)应用上,说明两变量线性依存的数量关系用回归(定量分析),说明两变量的相关关系用相关(定性分析)。
(3)两个系数的意义不同。r 说明具有直线关系的两变量间相互关系的方向与密切程度,b 表示X 每变化一个单位所导致Y 的平均变化量。
(4)两个系数的取值范围不同:-1≤r ≤1,∞<<∞-b 。 (5)两个系数的单位不同:r 没有单位,b 有单位。 联系:
(1)对同一双变量资料,回归系数b 与相关系数r 的正负号一致。b >0时,r >0,均表示两变量X 、Y 同向变化;b <0时,r <0,均表示两变量X 、Y 反向变化。
(2)回归系数b 与相关系数r 的假设检验等价,即对同一双变量资料,r b t t =。由于相关系数r 的假设检验较回归系数b 的假设检验简单,故在实际应用中常以r 的假设检验代替b 的假设检验。
(3)用回归解释相关:由于决定系数2
R =SS 回 /SS 总 ,当总平方和固定时,回归平方和的大小决定了相关的密切程度。回归平方和越接近总平方和,则2
R 越接近1,说明引入相关的效果越好。例如当r =0.20,n =100时,可按检验水准0.05拒绝H 0,接受H 1,认为两变量有相关关系。但2
R =(0.20)2=0.04,表示回归平方和在总平方和中仅占4%,说明两变量间的相关关系实际意义不大。
3. 决定系数与相关系数的意义相同吗?如果不一样,两者关系如何?
答:现将相关系数、决定系数与Y 的总变异的关系阐释如下:假如在一回归分析中,回归系数的变异数回归SS =9,而Y 的总变异数总SS =13,则
决定系数2
R =回归SS / 总SS =9/14=0.642 9/1,相关系数R =0.801 8
即将决定系数表示为一比值关系,当总SS = l 时,则回归SS = 0.642 9,我们可以采用直角三角形的“勾股定理”图示决定系数与相关系数的关系,如练习图10-1所示。
练习图10-1 相关系数、决定系数与总变异的关系
三、计算题
1. 以例10-1中空气一氧化氮(NO)为因变量,风速(X4)为自变量,采用统计软件完成如下分析:
(1)试用简单线性回归方程来描述空气中NO浓度与风速之间的关系。
(2)对回归方程和回归系数分别进行假设检验。
(3)绘制回归直线图。
(4)根据以上的计算结果,进一步求其总体回归系数的95%置信区间。
(5)风速为1.50 m/s时,分别计算个体Y值的95%容许区间和Y的总体均数的95%置信区间,并说明两者的意义。
解:运用SPSS进行处理,主要分析结果如下:
(1)简单线性回归方程、假设检验结果及总体回归系数的95%置信区间如下:
Total 0.081 23
(3)回归直线如练习图10-2。
练习图10-2 回归直线图
2. 教材表10-8为本章例10-1回归分析的部分结果,依次为X 、Y 、Y 的估计值(Y ˆ)与残差(e ),请以相关分析考察四者之间的关系,以回归分析考察Y ˆ与X 、Y 与Y ˆ、Y 与Y
Y ˆ-、Y Y ˆ-与X 之间的关系,并予以解释。 教材表10-8 案例分析中回归分析的部分结果
X Y
Y ˆ Y Y ˆ- X Y Y ˆ Y
Y ˆ- X Y
Y ˆ Y
Y ˆ- 1.30 0.07 0.070 7 -0.004 7 1.20 0.10 0.054 8 0.045 2 1.12 0.04 0.041 5 -0.002 5 1.44 0.08 0.093 5 -0.017 5 1.48 0.13 0.098 6
0.030 4 1.66 0.06 0.127 1 -0.068 1
0.79 0.00 -0.010 8 0.011 8 1.82 0.14 0.153 1 -0.018 1 1.54 0.09 0.108 1 -0.021 1 1.65 0.17 0.126 5 0.043 5 1.44 0.10 0.092 2
0.006 8 0.96 0.04 0.016 8 0.022 2
1.76 0.16 0.142 9 0.013 1 0.95 0.01 0.014 9 -0.009 9 1.78 0.22 0.147 4 0.074 6 1.75 0.12 0.142 6 -0.022 6 1.44 0.01 0.092 9 -0.081 9 1.50 0.15 0.101 7 0.043 3 1.20 0.04 0.054 8 -0.014 8 1.08 0.00 0.036 5 -0.033 5 1.06 0.03 0.032 7 -0.003 7 1.50 0.12 0.102 4 0.017 6 1.84 0.14 0.156 9 -0.016 9 1.44 0.10 0.092 2 0.006 8
解:主要分析结果:
(1)四者之间的相关系数
X Y Y hat Y Y -hat