优选第七讲矩阵的乘法运算

a13 a23 a33
x1 x2 x3
a11 x1 a21 x1 a31 x1
a12 x2 a22 x2 a32 x2
a13 x3 a23 x3 a33 x3
a11x1 a12 x2 a13 x3 b1
对方程组 a21x1 a22 x2 a23 x3 b2
(1)
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3
BA 2222 AB BA.
若AB=BA则称矩阵A、B乘积可交换.
a12 a22
a13 a23
,
x1
x
x2 x3
,
bຫໍສະໝຸດ Baidu
b1 b2
则方程组(2)可表示为 Ax b.
二、矩阵乘法运算规律 定理1. 设A、B、C、O、E在下面各式中相应的乘
法和加法运算中都能进行，k为实数，则：
(1) 结合律：A（BC）=（AB）C； k（AB）=A（kB）
(2) 分配律：A（B+C）=AB+AC； （B+C）A=BA+CA
此例不仅表明矩阵的乘法不满足交换律， 而且还表明矩阵的乘法不满足消去律，即
1)若AB O, 且A O, 不能推出B O;
2)若A( X Y ) O, 且A O, 不能推出X Y.
但也有例外，比如设
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
3. 两个矩阵的乘积仍然是一个矩阵，且乘积矩阵的 行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩 阵的列数.
又如
例3
设 A
1 2
3 4
,
B
2 1
0 3
4 1
解
AB
1 0
9 12
1 4
例4
设A
1 0
0 1
,
B
0 1
1 0
解
AB
0 1
1 0
,
BA
0 1
1 0
例5 设
记
a11
A
a21 a31
a12 a22 a32
a13
a23 a33
,
x1
x
x2 x3
,
b1
b
b2 b3
则方程组(1)可表示为 Ax b.
又如：
对方程组
a11x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21x1 a22 x2 a23 x3 b2
(2)
记
A
a11 a21
优选第七讲矩阵的乘 法运算
注意： 要使C=AB有意义，则A的列数必须等于B的行 数，且矩阵C的第i行第j列元素正好是A的第i行与B的 第j列对应元素乘积之和。
例如
不存在.
注意：
1. 乘积矩阵的第i行第j列元素等于左矩阵的第i行元 素与右矩阵的第j列对应元素乘积之和.
2. 只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，矩阵的 乘积才有意义.
(3) OA=O ； AO=O
(4) EA=A ； AE=A.
注：单位矩阵E和数1的作用一样。
注意 矩阵不满足交换律，即：
AB BA
如：
设
A
1 1
1 1
,
B 1 1 1 1
则 AB 0 0, BA 2 2 ,
0 0
2 2
故 AB BA.
由于矩阵不可交换，所以矩阵乘法分为左乘和右乘.
b1
B
b2 bMn
,
求AB、BA
例6
设A
3 2
1 1
,
B
5 9
1 1
,
C
0 1
0 3
求 AC、BC
解：
AC
3 2
1 1
0 1
0 3
1 1
3 3
BC
5 9
1 1
0 1
0 3
1 1
3 3
此处
方程组的矩阵表示：
a11
a21 a31
a12 a22 a32