碎纸片拼接问题(2013B)

如何确定碎纸片的位置？
方法一：一次性确定所有碎纸片的位置。 方法二：分组确定碎纸片的位置。 方法三：逐一确定碎纸片的位置。
方法一：一次性确定所有碎纸片的位置。 目标函数：所有碎片的左右和上下差异度指标值 之和。
min z
M N 1 MN
i 1 j 1 k 1 l 1 ,l k
规划方法：将每一行的碎片依次编号为 1, 2, , N . 定义两碎片之间的有向距离为 cij 。
令 xi ,k 1, 第 i 块碎片在第 k 个位置上 否则 0,
min z
N 1 N
c
k 1 i 1 j 1 , j i
N
ij
x i ,k x j ,k 1
x i , j ,k
1, 第k张纸片放在第 i 行第 j列 否则 0,
i 1, 2, , M ; j 1, 2, , N ; k 1, 2, , MN
效果：如何衡量一个拼接方案的效果？
分析：如果所有纸片都正确拼接了，那么应该使得和 其有关的某些指标达到最优。
问题：构造什么样的指标？ 可能的方案：
第二步：行内排序
距离定义：欧式距离、夹角余弦、相关系数、像素阵列 分布的距离
行内排序算法： 贪婪算法1：从左到右，依次选择距离最小的一片拼接。 步骤： 1）先确定左边第一张。 2）选择和当前已拼好的碎纸片中最右边的一张距离最小 的纸片，将其拼接上。 3）重复步骤2），直到这一行的所有碎片都拼好。
贪婪算法2：从右到左，依次选择距离最小的一片拼接。 贪婪算法3：每次选择所有邻接距离最小的两片拼接。 图论方法：以每个碎片为顶点，按照碎片两两之间的距离 定义一个有向权图。将拼接次序问题转化为求TSP问题。 再利用TSP问题的算法求解。
碎纸片的拼接复原
1、问题介绍 2、建模分析 3、总结
一、问题介绍： 碎纸片的拼接复原（ 2013B题） 破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以 及军事情报获取等领域都有着重要的应用。传统上，拼 接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。 特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成 任务。随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的 自动拼接技术，以提高拼接复原效率。请讨论以下问题： 1. 对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸 片（仅纵切），建立碎纸片拼接复原模型和算法，并针 对附件1、附件2给出的中、英文各一页文件的碎片数据 进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干 预方式及干预的时间节点。复原结果以图片形式及表格 形式表达 。
附 件 1
附 件 2
2. 对于碎纸机既纵切又横切的情形，请设计碎纸片拼接 复原模型和算法，并针对附件3、附件4给出的中、英文 各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需 要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原 结果表达要求同上。 3. 上述所给碎片数据均为单面打印文件，从现实情形出 发，还可能有双面打印文件的碎纸片拼接复原问题需要 解决。附件5给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的 碎片数据。请尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型与算 法，并就附件5的碎片数据给出拼接复原结果，结果表达 要求同上。
x
k 1
MN
i , j ,k
1, i 1,2, , M ; j 1,2, , N
缺点： • 整数规划问题不易求解；规模增大， 计算量指数增加。 • 整体效果依赖于差异度指标，容易出错。
方法二：分组确定碎纸片的位置。
基本思路： 三步走，分行，行内排序，行间排序。
第一步：分行 方法1：直接利用行距信息分组。 普遍做法，精度略差（尤其是英文）， 成功率80%左右，技术含量不足。
N x i ,k 1 , k 1, 2, , N s.t . i 1 xi ,k 0 或 1
计算结果：
第三步：行间排序
利用行距等信息，或利用内容排序。
3、总结
• 思路：是否有全局最优的思想。 • 特征信息：分行时如何利用像素点信息？是否用 到文字结构信息？是否考虑多种信息，并通过比 较选取合适信息？ • 算法：算法与模型是否一致？算法描述是否清楚、 准确？ • 人工干预：干预方式和干预时间节点是否明确表 述？
cov( ri , rj ) 1
riT r j
i j
分行结果统计：附件3，每页纸切成11×19张碎片
方法3：规划算法
• 假设每一行的最左边一块可以人工识别出来，依次记为
pi ( i 1, 2, ,11) ,其它碎片记为 q j ，每一个 q j 与 pi
的相似度记为 c ij ，则可以求解如下规划问题来分组。
（1）确定决策变量 令
xi , j 1, 第 j 张纸片放在第 i 行 否则 0,
（2）确定目标函数： 以碎片分组后的总相似度最大为目标。
max z c ij x ij
i j
（3）确定约束条件
M x ij 1 , j 1, 2, , M ( N 1) 1 i MN M s.t . x ij N 1 , i 1, 2, , M j 1 x ij 0 或 1 •每张碎片必在某一行 •每行有N-1张碎片
M
N
i , j ,k
1, k 1,2, , MN
（2）每个位置上也只能放置一张碎片。
x
k 1
MN
i , j ,k
1, i 1,2, , M ; j 1,2, , N
数学模型：
min z
M N 1 MN
i 1 j 1 k 1 l 1 ,l k
（2）主要任务
•如何拼接复原一组碎纸片？ •怎样自动完成拼接？
（1）如何拼接完成一组碎纸片？ 初步分析：将所有的纸片都放在正确的位置上。
位置： （1）如何描述一张纸片的位置？ （2）如何判断一张纸片应该在哪个位置？ 效果：如何衡量一个拼接方案的效果？
ຫໍສະໝຸດ Baidu片位置的表示： 已知一张纸被切割成了M行、N 列，则每张纸片可 用其所在的行、列编号来表示其位置。 • 将纸片依次编号为 1,2，……，MN，则可令
方法2：聚类算法：主要方法，效果好。
• 计算 Ai 的行和，得到一个特征向量 ri 。定义适当的 向量相似度指标，对 ri 进行相似度计算，然后对所有 碎片进行聚类，得到分行结果。
几种相似度度量指标：
1 欧式距离倒数： d ij || ri r j ||
夹角余弦： cos ij || r || || r || i j 相关系数： ij
c
MN
k ,l
x i , j , k x i , j 1 ,l

s.t.
M 1 N MN
i 1 j 1 k 1 l 1 , l k
d
MN
k ,l
x i , j ,k x i 1 , j ,l
x
i 1 j 1
M
N
i , j ,k
1, k 1,2, , MN
怎么利用这些信息？
1）只利用纸片的边缘信息。 2）利用整张纸片的信息。 分析：显然，能从图片中找到的信息越多，计算可能 就越准确。但是从中能找到哪些信息呢？ 例：行距、中心位置、文字所在行… …
差异度指标：
令 ci , j 表示碎片 i 和 j 左右拼接（ i 左 j 右）的差异度 指标值，令 d i , j 表示碎片 i 和 j 上下拼接（ i 上 j 下） 的差异度指标值。
c
MN
k ,l
x i , j , k x i , j 1 ,l

M 1 N MN
i 1 j 1 k 1 l 1 , l k
d
MN
k ,l
x i , j ,k x i 1 , j ,l
约束条件： （1）每个碎片只能放在一个位置上。
x
i 1 j 1
存在问题：
附件3
附件4
二、建模分析
（1）审题：找出关键语句
目标：开发碎纸片的自动拼接技术，以提高拼接复原效率。 任务：1. 对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破 碎纸片（仅纵切），建立碎纸片拼接复原模型和算法。如 果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间 节点。 2. 对于碎纸机既纵切又横切的情形，请设计碎纸片拼接 复原模型和算法。 3. 双面打印文件的碎纸片拼接复原问题。尝试设计相应 的碎纸片拼接复原模型与算法。
（1）整体的文字拼接正确度；
不易衡量。
（2）纸片两两之间的拼接正确度。
•如何计算纸片两两之间的拼接正确度？ 分析：假设纸片 i 和 j 拼接在一起，i 左 j 右，则 应该可以计算出一个相关的正确度指标。 怎么计算？
• 利用什么信息计算？ 利用Matlab 软件读取碎片，生成相对应的灰度值 数字矩阵 Ai 。