积分运算法则

积分运算法则

集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]

不定积分的运算法则，包含如下两个性质（注意性质适用条件）：

1、设函数f(x)的原函数存在（即f(x)可积，下同），k是常数，则：

（1）

（k≠0）

（2）

（k=0）

2、设f(x)，g(x)两个函数存在原函数，则：

3、常见积分几种运算法

换元积分法：

①设f(u)具有原函数F(u) ，如果u是中间变量：u=

(x),且

(x)可微，那么，根据复合函数微分法，有

dF=[

(x)]=f[

(x)]

'(x)dx，从而根据不定积分的定义就得：

若要求

，若

可化为

的形式，那么：

这种方法称为第一类换元法。

②利用第二类换元法化简不定积分的关键仍然是选择适当的变换公式 x =

φ(t)。此方法主要是求无理函数(带有根号的函数)的不定积分。由于含有根式的积分比较困难，因此我们设法作代换消去根式，使之变成容易计算的积分。下面简单介绍第二类换元法中常用的方法：

（1）根式代换：被积函数中带有根式

，可直接令 t =

（2）三角代换：利用三角函数代换，变根式积分为有理函数积分，有三种类型：被积函数含根式

，令

被积函数含根式

，令

；被积函数含根式

，令

。

注：记住三角形示意图可为变量还原提供方便。

（3）倒代换（即令

）：设m,n 分别为被积函数的分子、分母关于x 的最高次数，当 n-m>1时，用倒代换可望成功

（4）指数代换：适用于被积函数由指数

所构成的代数式；

（5）万能代换（半角代换）：被积函数是三角函数有理式，可令

，则：

分部积分法：

设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数，则其乘积的导数为：

，移项得：

对两边求不定积分，得：

也可写为：

如果求

有困难，而求

比较容易时，分部积分公式就可以发挥作用了。