截交线

2．利用辅助平面求相贯线
辅助平面法是求相贯线的一般方法。如图所示，柱面与锥面的 相贯线为MN，选一辅助平面R，它与柱面交于SK，与锥面交于TK， SK与TK的交点为K（K点为三面共点），即是两曲面相贯线MN上的一 点。作若干个辅助平面，求得一系列这样的点，然后依次光滑连接， 即为所求相贯线。
辅助平面法求相贯线 用辅助平面法求相贯线投影的基本原理是：作一辅助平 面P，使它与回转体都相交，求出P平面与两回转体的截交线， 作出两回转体表面截交线的交点，即为两回转体表面的共有 点，亦即相贯线上的点。
③ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。
（1）平面与圆柱相交 平面与圆柱相交时，根据平面对圆柱轴线相对位置的不同， 其截交线有Hale Waihona Puke Baidu种情况。
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个 投影。
作图：
4’ 3’ 2’ 1’ 8 1 2 4 7 6
5’
6”
5” 4” 3”
8”
（1）求特殊点的投影。本例中，Ⅰ、 Ⅲ、Ⅴ，Ⅶ点是特殊点。 （2）求一般点的投影。在特殊点之间 适当位置，取一般点Ⅱ，Ⅳ，Ⅵ，Ⅷ，其 正面投影是2＇、4＇、6＇、8＇，水平投 影为2、4、6、8，利用点的投影规律分别 求得2＂、4＂、6＂、8＂。 （3）依次光滑连线，并判断可见性。 按照水平投影上各点的顺序，光滑连线， 即为所求截交线的侧面投影。由于截交线 上所有点的侧面投影都可见，因此侧面投 影用实线画出。
4.平面与组合回转体相交 组合回转体是由几个回转体组合而成，求组合回转体被截 切后的截交线的投影时，必须先分析它由哪些回转体组成，截平面 截切的位置以及截交线的形状，然后再求出各段截交线。
求连杆头的截交线
五、 立体与立体相交
两立体相交称为相贯，相贯时表面形成的交线称为相贯线。 相贯线一般具有以下两个性质： （1）相贯线既是相交两立体表面的共有线，也是相交两立体 表面的分界线，所以，相贯线是由两立体表面一系列共有点组成。 （2）由于立体的表面是封闭的，所以,相贯线一般都是封闭 的。 两立体相贯，可以分为平面立体与平面立体、平面立体与曲面 立体以及曲面立体与曲面立体相贯。 1、平面立体与平面立体相交 下图所示为一直放三棱柱与斜放三棱柱互贯,求相贯线的投影。 它们的交线是分布在KM和MN两个棱柱面上的一条闭合空间折线。求 这些交线实质就是求各棱线对另一立体的表面交点的问题。
1’
(6’) 6” 5”
1”
2” 3”
Pw
Qw
4”
4’
5 6
1 4
3 2
求圆柱与半球的相贯线
例：求圆柱与半球相交的相贯线。
例：求圆柱与圆环相交的相贯线。
PW 2＇ 6＇ 3＇ 5＇（4＇） 1＇ 4＂ 1＂ RW QW 6＂ 3＂ 5＂ 2＂
4 1 5 3 6 2
此种截交线为一椭圆。 由于圆锥前后对称，故椭圆 也前后对称。椭圆的长轴为 截平面与圆锥前后对称面的 交线——正平线，椭圆的短 轴是垂直与长轴的正垂线。
Ⅱ Ⅳ Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线 平面与圆柱相交
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
（2）再作一般点。 （3）依次光滑连接各点，即得 截交线的水平投影和侧面投影。 5” 3”
例1：补全正面投影
由于相贯线是两立体表 圆柱面相交，前后两棱面与圆 面的共有线，所以相贯线的 柱轴线平行，截交线为两段直 侧面投影积聚在一段圆弧上， 线；左右两棱面与圆柱轴线垂 水平投影积聚在矩形上。 直，截交线为两段圆弧。
空间分析： 投影分析： 四棱柱的四个棱面分别与
3、曲面立体与曲面立体相交 两曲面立体相交，相贯线一般为封闭的空间曲线。由于相贯 线是两相交曲面立体表面的共有线，由一系列共有点组成。因此， 求相贯线的实质是求两曲面立体表面上的一系列共有点，然后依次 光滑连线，并判别可见性即可。
R
D
R
（2）交线的产生:交线可以由下列三种情形相交产生：两实心圆 柱相交，如图（a）所示；一圆柱孔与一实心圆柱相交，如图3（b） 所示；两空心圆柱相交，如图（c）所示。 将图中三种情形进行比较，可以看出：虽然有内、外表面的 不同，但由于相交的基本性质（表面形状、直径大小、轴线相对位 置）不变，因此在每个图上，交线的形状是完全相同的。
作图方法 表面取点法 利用投影的积聚性直接找点。 用辅助平面法。 一般是根据立体或给出的投影，分析两回转面的 形状、大小极其轴线的相对位置，判断相贯线的形 状特点和各投影的特点，从而选择适当的方法作图。
作图步骤： （1）求特殊点：
1’ 2’4’ 3’ 4” 1”3” 2”
直接定出相贯线的最 左点Ⅰ 和最右点Ⅲ的三 面投影。
2、平面立体与曲面立体相交
平面立体与曲面立体相贯，所得的交线是由若干段平面曲线所组 成的封闭曲线。求这些交线的实质就是求平面体各平面与曲面体相 交的截交线。
作图方法
分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确 定交线的形状。 求出各棱面与回转体表面的截交线。 连接各段交线，并判断可见性。
研究平面与立体相交的目的 就是求出立体表面截交线的投影。
截交线的一般性质如下：
（1）共有性：
截交线既在截平面上，又在立体表面上，因此，截交线是 截平面与立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面 的共有点。
（2）封闭性：
由于立体表面是封闭的，因此，截交线一般为封闭的平面 图形。
（3）截交线的形状：
D
当两圆柱的轴线由垂直相交逐渐分开时，交线从两条空间曲 线逐渐变成一 条空间曲线。
（3）交线的变化：从图（a）、（b）可以看出，当两圆柱正交 时，若小圆柱逐渐变大，则交线越弯曲，但这时交线的性质没有改 变，还是两条空间曲线，它们的正面投影仍是曲线。但是当两圆柱 的直径相等时，却是由量变引起质变，这时交线从两条空间曲线变 为两条平面曲线（椭圆），它们的正面投影成为两条直线，如图 （c）所示。
1
s 2
3
(3) 连接各点的同面投 影即等截交线的三个投 影。 (4) 补全棱线的投影。
平面与三棱锥相交
2、平面与曲面立体相交
求截交线的步骤：
分析：
分析曲面立体的形状以及截平面与曲面立体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。
画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
① 先找特殊点。所谓特殊点，一般是指轮廓线上点、 截交线本身的特性点（如椭圆的长短轴端点）和截交线极 限位置上的点（如最左、最右、最前、最后、最高、最低 的点等） ② 再找一般点。
立体的投影
一、基本立体
平面基本体 曲面基本体
立体表面是由若干面所组成。表面均为平 面的立体称为平面立体；表面为曲面或平面与 曲面的立体称为曲面立体。
二、平面立体的投影
1、五棱柱的投影及表面上的点
从图中可以看出： （1）正面投影反映了物体的高度和长度； （2）水平投影反映了物体的长度和宽度； （3）侧面投影反映了物体的高度和宽度。 由此可得出物体三面投影的投影规律为：
辅助平面P
为使作图简化，选择 辅助平面的原则是：要使 辅助平面与两曲面的交线 的投影都为简单易画的图 形，如由直线或圆组成。 例：求圆柱与圆锥的 相贯线。
圆柱与半球的相贯线
作图步骤： 1）求特殊点：
2）求一般点：
3）判断可见性，依次光滑连接各点： 4）补画水平转向轮廓线。
Pv
Qv
3’
2’ (5’)
6
4
1
5 2
3
求正交两圆柱的相贯线
例2
求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。 5' 1' 8' 7' 4' 6' 2' 4"
5“(6 1“(2“) “) 8“(7“)
3“
y
3'
4 5 1 8 3 7 6 2
y
（1）两圆柱正交:两圆柱 轴线垂直相交，是机器零件上 最常遇到的情况。在实际画图 中，当两圆柱的直径差别较大、 并且对交线形状的准确性要求 不高时，允许采用近似画法， 用大圆柱的半径作圆弧来代替 交线。
(7)’
7” 1” 2”
5
Ⅵ Ⅶ Ⅲ Ⅷ Ⅰ Ⅱ
Ⅴ
Ⅳ
3 平面与圆柱相交
例2、图为开槽的圆柱，求其投影。
例3、图为空心圆柱开槽，求其投影。
例四、空心圆柱两边切去两块，求其投影。
2．平面与圆锥相交 平面与圆锥相交时，根据截平面与圆锥轴线相对位置的不同， 其截交线有五种情况。
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的 另外两个投影。
7”
5’6’ 3’4’ 1’
7’8’
2’
4”
6”
8”
2”
（4）补全侧面转向轮廓线。
1”
4
Ⅱ
6
8
Ⅳ
2
1
7
Ⅲ
正垂线
3 5 平面与圆锥相交
Ⅰ
正平线
例2 、图为一圆锥被水平面截切，求截交线的投影。 分析：由于截平面平行于圆锥轴线，所以截交线为双曲线。 它的正面投影与侧面投影均积聚成一直线，水平投影反映实形。
3．平面与圆球相交 平面与圆球相交的截交线都是圆。根据截平面对投影面的相 对位置不同，截交线的投影可以是圆、直线段或椭圆。 图为圆球被一铅垂面截切，求截交线的投影。
例1：求半球体截切后的水平投影和侧面投影。
两个侧平面截圆球的 水平面截圆球的截交线 截交线的投影，在侧面 的投影，在俯视图上为 为部分圆弧，在水平面 部分圆弧，在侧视图上 上积聚为直线。 积聚为直线。
正面投影、水平投影——长对正；
正面投影、侧面投影——高平齐； 水平投影、侧面投影——宽相等。
2、三棱锥的投影及表面上的点
三、曲面立体
常见的曲面立体有下列几种：圆柱、圆锥、圆球。 1、圆柱的投影及其表面上的点
2、圆锥的投影及其表面上的点
3、圆球的投影及其表面上的点
四、平面与立体相交
平面与立体相交， 可以认为是立体被平面 截切。这个平面通常称 为截平面，截平面与立 体表面的交线称为截交 线。截交线围成的平面 图形称为截断面。
再求出出相贯线的最 前点Ⅱ和最后点Ⅳ的三面 投影。
4 1 2 3
Ⅳ Ⅲ Ⅰ Ⅱ
求正交两圆柱的相贯线
1’ 5’6’
2’4’
2’
4”
6”1”3”5”
2”
（2）求一般点：在已知 相贯线的侧面投影图上任 取一重影点5″、6″，找 出水平投影5、6，然后作 出正面投影5′、6′。 (3) 光滑连相贯线：相贯 线的正面投影左右、前后 对称，后面的相贯线与前 面的相贯线重影，只需按 顺序光滑连接前面可见部 分的各点的投影，即完成 作图。
决定于立体表面的形状和截平面与立体的相对位置。
1、平面与平面立体相交
平面与平面立体相交，截交线是平面多边形。
求截交线的步骤：
分析：
截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置
画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交 线，并连接成多边形。
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平 投影和侧面投影。 s” s’ 具体步骤如下： Pv 3’ (1) 求Pv与s’a’、s’b’、 3” 2’ 2” s’c’的交点1’、2’、3’为 截平面与各棱线的交点 1’ Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。 1” a’ b’ c’ c” a” (2) 根据线上取点的方 b” 法，求出1、2、3和1”、 2”、3”。