非惯性坐标系中的静止液体.
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33
化简后可得：
H H0 2h
（1）
z0 根据自由表面方程：
2r 2
2g
h
R ω
H0
H
R 2 2 在r R处，有 H H 0 2g
由（1）、（2）两式得
（2）
2 g (h H 0 ) R
34
例题1: d=300mm, H=500mm 敞口圆柱形容器中，注水高度 为h1=300mm，容器绕轴作等 角速度旋转。
例.盛满液体的容器顶盖边缘处开 口，当其旋 转时，液体借离心惯性力而向外甩，但当液体 刚要甩出容器时，在容器内部即产生真空，紧 紧吸住液体，以致液体跑不出去。试分析液体 内的压强分布及o点处的真空度。
z
A 0
pa
B D
C
R
29
流体内各点的压强分布符合下式，即
ห้องสมุดไป่ตู้
pC
2
r gz
2 2
x
1 2 2 p p0 g ( r z ) g ( z0 z ) gh 2g
17
③高速回转圆筒内的流体压力分布 如离心机转鼓，转速少则几百转， 多则数万转。那么这种情况下，液体内 部的压力分布及自由面是什么样呢？
18
高转速使液体所受的旋转惯性力远大于重 力。此时，压力全微分公式-gdz项可以忽 略，即 dp= (2 xdx+ 2 ydy-gdz)
3
则非惯性坐标系中静止液体压力的全微分可以表 示为：
dp [(g x ax )dx ( g y ay )dy ( g z az )dz]
由于加速度恒定，积分可得流体的压力分布：
p [(g x ax ) x ( g y ay ) y ( g z az ) z] c
利用r=R，z=0时 p=pa，以确定常数C, 即
C pa
2
R
2
2
30
p pa
2
(r R ) gz
2 2 2
z=0, r=0 处真空度为
pv p a p
z
2
R
2
pa B D
2
A 0 C R
31
由上式可知， 越大则 0 点处的真空越大，离心式 水泵和离心式风机就是根 据此原理设计的，当叶轮 A 旋转时，在叶轮中心处形 成真空，流体被吸入，又 借离心力将流体甩向外缘 ， 增大压力后输送出去。
其中：c为积分常数，由具体问题确定。
4
例题：如图为运送液体的槽车简化模型。槽
车以等加速度a做水平运动，车内液高H，试
求槽车在等加速运动过程中自由液面的形状。 假定自由液面的压力为p0。
z x a
→
→
o
h
5
解：将固定在槽车上的运动坐标系的原点置于 静止时自由液面的中点。则槽车运动时单位质 量液体受到的重力和液体的加速度分量分别为：
30 20.88 于是 n2 199 rpm 3.14
此时容器内液体的体积 为 V dV
V R
30
z d
ω
r
2 2
0
2g
2rdr
R
2
4
4g
H
带入数据后得：V=׳0.01766m3 则水面高度为： h V 0.25 m 2 R 2
压强分布方程
1 p a x 0 p 0 y 1 p g 0 z
图2-12（a）
dp adx gdz 0
等压面方程
p pa ax gz
ax gz 0
自由液面方程
p ax gz c x y z 0, p pa
2
R
2
2
z 0
pa B R
边缘B处（r=R，z=0） 压力最大为（表压）:
p g p B pa
2
R
2
2
27
可知越大，则边缘 处压力越大，离心铸造就 是依据此原理，即通过离 心铸造机的高速旋转而增 大铸模外缘处液态金属的 压力，从而得到较密实的 铸件。
z
0
pa B R
28
于是容器中单位质量流体的质量力就由惯性力和 重力两部分组成：
f a g
z
→ -a → → f g
将上式代入基本方程得：
0
x
→
a
g a
1
p
其直角坐标系下的分量式为： 1 p 1 p 1 p g x ax , g y ay , g z az x y z
36
30 18.676 则 n1 178 rpm 3.14
2.（方法一）当抛物面顶端碰到容器底时，将 会有一部分水被抛离容器。根据自由表面方程
30
z0
2
r
2
2 2
z d h1
H0
ω
2g
有
R
2g
H
H
37
2 gH 2 9.81 500103 即 20.88 rad / s 2 2 6 R 150 10
可简化为：
dp=ρω2(xdx+ydy)
而等压液面方程则近似为：
2 r 2/ 2=C
近似为圆柱面，令自由液面的圆柱面半径 为r0。
19
r0
20
积分：
p0
d p r d r
2 r0
p
r
整理后：
p p0
2
2
(r r0 )
2
2
该式为离心机设计和操作分析中经常用到的 压力分布关系式。
p p0 gh
此式表明，在非惯性坐标系中，静止液体中压力 同样只是液体深度的函数。 8
1.平面上的等加速运动(非惯性/动坐标系)
z o
y x
a
X a, Y 0, Z g
1 p X x 0 1 p Y 0 y 1 p Z 0 z
非惯性坐标系中的静止液体
流体静力学基本方程式是对惯性坐标系建立的，
在非惯性坐标系中，流体处于相对静止状态，则其
表面力仍然具有各向同性和切应力为零的性质，因
此，基本方程同样可以成立。不同的是在非惯性坐 标系中，流体处于静止状态，其所受的力还应包括 惯性力，即基本方程中的质量力应为重力和惯性力 两部分之和。
g x 0, g y 0, g z g
14
由达郎贝尔原理，单位质量流体受到的惯性力为 -a，大小为rω2，其分量为
a x r cos x
2
2 2
ω
y
yω2
rω 2 x ω2 x
a y r sin y
2
x 0 rθ y
az 0
于是，容器中液体所受的单位质量力为：
1.确定使水的自由界面正好达到容 器边缘时的转数n1;
h1
H0
z d
ω
H
2.求抛物面顶端碰到容器底时的转
数n2,此时容器停止旋转后，水面高
度h2将为多少？
35
解：1.根据
H H 0 2h1
=100mm
h1
H0
z d
ω
可得H0=2h1-H=2×300-500 此时角速度为
H
2 g( h1 H 0 ) R 2 3 9.81 ( 300 100 ) 10 3 150 10 18.676 rad / s
g x 0, a x a,
g y 0, a y 0,
gz g az 0
z
带入压力全微分公式：
o
h
x
a
→
dp (adx gdz)
由于自由液面为等压面，dp=0，所以有
6
adx=-gdz
积分得
z =-ax/g+c
自由液面通过原点，则c=0，则自由液面方程 为：
z
B
0 pa
R
25
液体内各点的压强分布符合下式，即
pC
2
r gz
2 2
常数C，可利用r=0，z=0，p=pa确定，即 C=pa。故
p pa
2
r gz
2 2
z
B
0 pa
R
26
故作用于顶盖上（z=0）各点的压力仍按 抛物面分布，如图箭头所示，边缘B处
p B pa
解： p ax gz a=0.98m/s2，x=－1.5m，z=－1m，代入
p 1.15mH 2O g
z o
B x a 例 3图
注意坐标的正负号
11
例 2： 一加满水的柱体直径为30cm，60cm高，问逐 渐加上多少加速度会溢出1/4的水量？1/2的水量？ 全部的水量？
a zs x g
说明自由液面是斜率为-a/g的倾斜平面。 此外，槽车内液体的压力分布为：
p (ax gz) c
7
可确定
c p0 则： p p0 (ax gz)
z x a
→
o
h
改写成：
a p p0 g ( x z ) g
式中 (ax / g z )项正好等于液体自由液面以下 的垂直深度h，
1
①直线等加速运动容器中的静止液体
如图，一个盛有液体的容器相对于地面作直
其加速度 a 为： 线匀加速运动，
a ax i a y j az k
→ -a →
z 0
→
x
→
a
f
g
如果将非惯性坐标系固定在容器上，则根据 达朗贝尔原理，该非惯性坐标系中的流体将受到 惯性力的作用，且单位质量流体受到的惯性力为 -a 。 2
21
例 : 有一容器绕 o-o׳轴匀速旋转， n=60000rpm ， 已知R=50mm, r0=10mm, H=1000mm,静止时水 面高度h=900mm。试求：r=30mm处的压强。
z
r0 R h r ω ω
22
z r0 r 1 H
H
R h r
解：在高速旋转时，容器内液体将形成圆柱 环，设内环半径为r1，则 z
dp 0 a dz dx g
边界条 件
9
2.容器沿斜面的等加速运动
质量力分量 全微分方程
X a g sin , Y 0, Z g cos
dp dW [(a g sin )dx g cosdz]
z
o
y x
a
p c (a g sin ) x g cos z x 0, z 0, p pa
fx=2rcos =2 x fy= 2rsin =2 y fz=-g
15
将质量力代入全微分公式有：
dp= (2 xdx+2 ydy -gdz)
由于等压面上dp=0,则等压面方程:
z
2 xdx+2 ydy -gdz=0
积分:
O
z0 h z
x
x y gz C , 2
2 2 2
1 2 2 r gz C 2 1 2 2 r 0 , z 0 , C 0 , z0 r 2g
16
z
压强分布为:
1 2 2 p g ( r z ) C 2g r 0 , z 0 , p p0 , C p0
O
z0 h z
R h (R r ) H
2 2 2 1
r0 r 1 R h r ω
50 900 (50 r ) 1000 H
2 2 2 1
解得： r1 15.8m m r1 r0， 则液体不会溢出。 则r 30m m处的压强为 p p0
2
2
(r r )
2 2 1
¼ 水量
60cm
Φ30cm
12
②等角速度旋转容器内液体的相对平衡
如图，是一个旋转容器，容器 半径为R。静止状态时，装有深度 为H的液体。 当容器以角速度ω做等速旋转 时，液体除受到重力作用外还要受 到离心惯性力的作用。 则单位质量流体的重力分量为
z
O
h
x
y
yω2
rω 2 x ω2 x
x 0 rθ y ω
23
1000 n 2 2 2 101325 ( ) ( 0.03 0.0158 ) 2 30 12.9MPa
24
例：图示为盛满液体的容器顶盖中心处 开口，当容器以等角速度绕垂直轴z旋 转时，液体借离心力向外甩，但是受顶 盖限制，液面不能形成抛物面。试分析 液体内的压力分布。
a
c pa
压强分布方程
等压面方程
p pa (a g sin ) x g cos z
dp 0
dz a g sin dx g cos
10
例1
一洒水车以等加速a=0.98m/s2在平地行驶，静止时，B点处水
深1m，距o点水平距1.5m，求运动时B点的水静压强。
z
0
pa B
C
R
D
32
在生产实际中，可根 据旋转容器中液面高度的 变化来测定旋转角速度。 h H0 R H 因为旋转前后容器内液体 体积不会改变。旋转后中 ω 间出现一个被旋转抛物面 包围的空腔，当空腔的底面半径为R，即与容 器半径相当时，有
R h R H R (H H0 )
2 2 1 2 2
化简后可得：
H H0 2h
（1）
z0 根据自由表面方程：
2r 2
2g
h
R ω
H0
H
R 2 2 在r R处，有 H H 0 2g
由（1）、（2）两式得
（2）
2 g (h H 0 ) R
34
例题1: d=300mm, H=500mm 敞口圆柱形容器中，注水高度 为h1=300mm，容器绕轴作等 角速度旋转。
例.盛满液体的容器顶盖边缘处开 口，当其旋 转时，液体借离心惯性力而向外甩，但当液体 刚要甩出容器时，在容器内部即产生真空，紧 紧吸住液体，以致液体跑不出去。试分析液体 内的压强分布及o点处的真空度。
z
A 0
pa
B D
C
R
29
流体内各点的压强分布符合下式，即
ห้องสมุดไป่ตู้
pC
2
r gz
2 2
x
1 2 2 p p0 g ( r z ) g ( z0 z ) gh 2g
17
③高速回转圆筒内的流体压力分布 如离心机转鼓，转速少则几百转， 多则数万转。那么这种情况下，液体内 部的压力分布及自由面是什么样呢？
18
高转速使液体所受的旋转惯性力远大于重 力。此时，压力全微分公式-gdz项可以忽 略，即 dp= (2 xdx+ 2 ydy-gdz)
3
则非惯性坐标系中静止液体压力的全微分可以表 示为：
dp [(g x ax )dx ( g y ay )dy ( g z az )dz]
由于加速度恒定，积分可得流体的压力分布：
p [(g x ax ) x ( g y ay ) y ( g z az ) z] c
利用r=R，z=0时 p=pa，以确定常数C, 即
C pa
2
R
2
2
30
p pa
2
(r R ) gz
2 2 2
z=0, r=0 处真空度为
pv p a p
z
2
R
2
pa B D
2
A 0 C R
31
由上式可知， 越大则 0 点处的真空越大，离心式 水泵和离心式风机就是根 据此原理设计的，当叶轮 A 旋转时，在叶轮中心处形 成真空，流体被吸入，又 借离心力将流体甩向外缘 ， 增大压力后输送出去。
其中：c为积分常数，由具体问题确定。
4
例题：如图为运送液体的槽车简化模型。槽
车以等加速度a做水平运动，车内液高H，试
求槽车在等加速运动过程中自由液面的形状。 假定自由液面的压力为p0。
z x a
→
→
o
h
5
解：将固定在槽车上的运动坐标系的原点置于 静止时自由液面的中点。则槽车运动时单位质 量液体受到的重力和液体的加速度分量分别为：
30 20.88 于是 n2 199 rpm 3.14
此时容器内液体的体积 为 V dV
V R
30
z d
ω
r
2 2
0
2g
2rdr
R
2
4
4g
H
带入数据后得：V=׳0.01766m3 则水面高度为： h V 0.25 m 2 R 2
压强分布方程
1 p a x 0 p 0 y 1 p g 0 z
图2-12（a）
dp adx gdz 0
等压面方程
p pa ax gz
ax gz 0
自由液面方程
p ax gz c x y z 0, p pa
2
R
2
2
z 0
pa B R
边缘B处（r=R，z=0） 压力最大为（表压）:
p g p B pa
2
R
2
2
27
可知越大，则边缘 处压力越大，离心铸造就 是依据此原理，即通过离 心铸造机的高速旋转而增 大铸模外缘处液态金属的 压力，从而得到较密实的 铸件。
z
0
pa B R
28
于是容器中单位质量流体的质量力就由惯性力和 重力两部分组成：
f a g
z
→ -a → → f g
将上式代入基本方程得：
0
x
→
a
g a
1
p
其直角坐标系下的分量式为： 1 p 1 p 1 p g x ax , g y ay , g z az x y z
36
30 18.676 则 n1 178 rpm 3.14
2.（方法一）当抛物面顶端碰到容器底时，将 会有一部分水被抛离容器。根据自由表面方程
30
z0
2
r
2
2 2
z d h1
H0
ω
2g
有
R
2g
H
H
37
2 gH 2 9.81 500103 即 20.88 rad / s 2 2 6 R 150 10
可简化为：
dp=ρω2(xdx+ydy)
而等压液面方程则近似为：
2 r 2/ 2=C
近似为圆柱面，令自由液面的圆柱面半径 为r0。
19
r0
20
积分：
p0
d p r d r
2 r0
p
r
整理后：
p p0
2
2
(r r0 )
2
2
该式为离心机设计和操作分析中经常用到的 压力分布关系式。
p p0 gh
此式表明，在非惯性坐标系中，静止液体中压力 同样只是液体深度的函数。 8
1.平面上的等加速运动(非惯性/动坐标系)
z o
y x
a
X a, Y 0, Z g
1 p X x 0 1 p Y 0 y 1 p Z 0 z
非惯性坐标系中的静止液体
流体静力学基本方程式是对惯性坐标系建立的，
在非惯性坐标系中，流体处于相对静止状态，则其
表面力仍然具有各向同性和切应力为零的性质，因
此，基本方程同样可以成立。不同的是在非惯性坐 标系中，流体处于静止状态，其所受的力还应包括 惯性力，即基本方程中的质量力应为重力和惯性力 两部分之和。
g x 0, g y 0, g z g
14
由达郎贝尔原理，单位质量流体受到的惯性力为 -a，大小为rω2，其分量为
a x r cos x
2
2 2
ω
y
yω2
rω 2 x ω2 x
a y r sin y
2
x 0 rθ y
az 0
于是，容器中液体所受的单位质量力为：
1.确定使水的自由界面正好达到容 器边缘时的转数n1;
h1
H0
z d
ω
H
2.求抛物面顶端碰到容器底时的转
数n2,此时容器停止旋转后，水面高
度h2将为多少？
35
解：1.根据
H H 0 2h1
=100mm
h1
H0
z d
ω
可得H0=2h1-H=2×300-500 此时角速度为
H
2 g( h1 H 0 ) R 2 3 9.81 ( 300 100 ) 10 3 150 10 18.676 rad / s
g x 0, a x a,
g y 0, a y 0,
gz g az 0
z
带入压力全微分公式：
o
h
x
a
→
dp (adx gdz)
由于自由液面为等压面，dp=0，所以有
6
adx=-gdz
积分得
z =-ax/g+c
自由液面通过原点，则c=0，则自由液面方程 为：
z
B
0 pa
R
25
液体内各点的压强分布符合下式，即
pC
2
r gz
2 2
常数C，可利用r=0，z=0，p=pa确定，即 C=pa。故
p pa
2
r gz
2 2
z
B
0 pa
R
26
故作用于顶盖上（z=0）各点的压力仍按 抛物面分布，如图箭头所示，边缘B处
p B pa
解： p ax gz a=0.98m/s2，x=－1.5m，z=－1m，代入
p 1.15mH 2O g
z o
B x a 例 3图
注意坐标的正负号
11
例 2： 一加满水的柱体直径为30cm，60cm高，问逐 渐加上多少加速度会溢出1/4的水量？1/2的水量？ 全部的水量？
a zs x g
说明自由液面是斜率为-a/g的倾斜平面。 此外，槽车内液体的压力分布为：
p (ax gz) c
7
可确定
c p0 则： p p0 (ax gz)
z x a
→
o
h
改写成：
a p p0 g ( x z ) g
式中 (ax / g z )项正好等于液体自由液面以下 的垂直深度h，
1
①直线等加速运动容器中的静止液体
如图，一个盛有液体的容器相对于地面作直
其加速度 a 为： 线匀加速运动，
a ax i a y j az k
→ -a →
z 0
→
x
→
a
f
g
如果将非惯性坐标系固定在容器上，则根据 达朗贝尔原理，该非惯性坐标系中的流体将受到 惯性力的作用，且单位质量流体受到的惯性力为 -a 。 2
21
例 : 有一容器绕 o-o׳轴匀速旋转， n=60000rpm ， 已知R=50mm, r0=10mm, H=1000mm,静止时水 面高度h=900mm。试求：r=30mm处的压强。
z
r0 R h r ω ω
22
z r0 r 1 H
H
R h r
解：在高速旋转时，容器内液体将形成圆柱 环，设内环半径为r1，则 z
dp 0 a dz dx g
边界条 件
9
2.容器沿斜面的等加速运动
质量力分量 全微分方程
X a g sin , Y 0, Z g cos
dp dW [(a g sin )dx g cosdz]
z
o
y x
a
p c (a g sin ) x g cos z x 0, z 0, p pa
fx=2rcos =2 x fy= 2rsin =2 y fz=-g
15
将质量力代入全微分公式有：
dp= (2 xdx+2 ydy -gdz)
由于等压面上dp=0,则等压面方程:
z
2 xdx+2 ydy -gdz=0
积分:
O
z0 h z
x
x y gz C , 2
2 2 2
1 2 2 r gz C 2 1 2 2 r 0 , z 0 , C 0 , z0 r 2g
16
z
压强分布为:
1 2 2 p g ( r z ) C 2g r 0 , z 0 , p p0 , C p0
O
z0 h z
R h (R r ) H
2 2 2 1
r0 r 1 R h r ω
50 900 (50 r ) 1000 H
2 2 2 1
解得： r1 15.8m m r1 r0， 则液体不会溢出。 则r 30m m处的压强为 p p0
2
2
(r r )
2 2 1
¼ 水量
60cm
Φ30cm
12
②等角速度旋转容器内液体的相对平衡
如图，是一个旋转容器，容器 半径为R。静止状态时，装有深度 为H的液体。 当容器以角速度ω做等速旋转 时，液体除受到重力作用外还要受 到离心惯性力的作用。 则单位质量流体的重力分量为
z
O
h
x
y
yω2
rω 2 x ω2 x
x 0 rθ y ω
23
1000 n 2 2 2 101325 ( ) ( 0.03 0.0158 ) 2 30 12.9MPa
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例：图示为盛满液体的容器顶盖中心处 开口，当容器以等角速度绕垂直轴z旋 转时，液体借离心力向外甩，但是受顶 盖限制，液面不能形成抛物面。试分析 液体内的压力分布。
a
c pa
压强分布方程
等压面方程
p pa (a g sin ) x g cos z
dp 0
dz a g sin dx g cos
10
例1
一洒水车以等加速a=0.98m/s2在平地行驶，静止时，B点处水
深1m，距o点水平距1.5m，求运动时B点的水静压强。
z
0
pa B
C
R
D
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在生产实际中，可根 据旋转容器中液面高度的 变化来测定旋转角速度。 h H0 R H 因为旋转前后容器内液体 体积不会改变。旋转后中 ω 间出现一个被旋转抛物面 包围的空腔，当空腔的底面半径为R，即与容 器半径相当时，有
R h R H R (H H0 )
2 2 1 2 2