归纳2.2数学归纳法.ppt
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1
一、提出问题
问题 1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到 学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出： 这所学校里的学生都是男同学。
问题 2：三角形的内角和为180º，四边形的内角和为2•180º,五
边形的内 角和为3•180º，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) •180º。
那么 n＝k＋1 时，
(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)
＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)×…×(k＋k)(2k＋1)
＝2k＋1×1×3×5×…×(2k－1)[2(k＋1)－1]
即 n＝k＋1 时等式成立．
由(1)、(2)可知，对任何 n∈N*等式均成立．
①用数学归纳法证明与正整数有关的等式，关键在于“先看项”，弄清等
他在数学许多领域中都有极大的贡献， 因为他的本行是专业的律师， 为了表彰他的数学造诣，
世人冠以“业余王子”之美称，
费马观察到： 220 1 3 221 1 5 222 1 17 223 1 257 224 1 65537 ......
猜想：
Fn 22n 1(n N)
都是质数
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3
二、概念
1、归纳法定义： 对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可
能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。
2、归纳法分类：
完全归纳法
归纳法 不完全归纳法
想一想：
由两种归纳法得出的结论一定正确吗？
说 （1）不完全归纳法有利于发现问题，但结论
明：
不一定正确。 （2）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。
提
出 问
如何寻找一种严格推理的归纳法？
题
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4
二、挖掘内涵、形成概念：
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来
证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,
【归纳奠基】
(2)证假明设当当nn==kk+(1k时N命* 题，也k成n0立)时【命题归成纳立递,推】
完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
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9
例1.用数学归纳法证明
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1)
6
证明：1、当n=1时,左=12=1，右= 1(1 1)(2 第1)二步1的证明要用
∴n=1时，等式成立
6
上归纳假设!
2、假设n=k时，等式成立，即
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1)
（3）为什么这些步骤缺一不可？
（4）数学归纳法是完全归纳法还是不完全归纳法？
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7
（二）、数学归纳法的步骤
（1）证明当 n 取第一个值 n0 (n0 1 或 2) 时结论正确
（2）假设当 n k (k N , 且k n0 ) 时结论正
确，并证明当 n k 1时结论也正确。
根据(1)(2)知对任意的 n N 且n n0 时命题成立。 注：（1）两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结
【例 2】用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)(n∈N*)．
证明：(1)当 n＝1 时，等式左边＝2，右边＝2×1＝2，
∴等式成立． (2)假设 n＝k(k∈N*)时等式成立．
第二步的证明要用
即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×5×…×(2k－1)成立．上归纳假设!
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11
请你来批作业
1
用数学归纳法证明：1 2
1 2
3
1 n(n 1)
n (n n 1
N
)
证明：
（1）当n 1时，左边 1 ，右边 1 ，左边 右边，等式成立；
2
2
（2）假设当n k时等式成立，即
第二步的证明没有
1 1 1 1 k
1 2 23 3 4
k(k 1) k 1
用上归纳假设!
验证n=n0时命 题成立
若当n=k(kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立
命 有题 正对 整从数nn0都开成最始新立.的课件。所
5
问题情境三
多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示
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6
3、数学归纳法
思考题：
（1）数学归纳法能证明什么样类型的命题？
（2）数学归纳法有几个步骤？每个步骤说明什么问 题？
问题 3：教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格”
请问：以上三个结论正确吗？为什么? ❖得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点
1、错
2、对
3、对
❖ 共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2是用的不完全
归纳法，问题3是用的完全归纳法。
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2
问题情境二法：国数的数学学家家费费马（马Pie运rre用de 不Fer完mat全） 归纳法得出十七费(世16纪马01最年猜卓～越1想6的6数5的年学)事家。之例一，
论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失
去了递推的依据。
（2）只有把第一、二步的结论结合在一起才能得
出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要
做一个总的结论。
（3）数学归纳法用来证明与正整数有关的命题。
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8
数学归纳法的应用
题型一 用数学归纳法证明等式问题 题型二 用数学归纳法证明不等式问题 题型三 用数学归纳法证明整除问题 题型四 用数学归纳法证明几何问题 题型五 用数学归纳法解决探究性问题
那么，当n=k+1时
6
左=12+22+…+k2+(k+1)2= k(k 1)(2k 1) (k 1)2
6
k(k 1)(2k 1) 6(k 1)2 (k 1)(k 2)(2k 3)
=右
6
6
∴n=k+1时，原等式成立
由1、2知当nN*时，原等式都成立
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10
题型一 用数学归纳法证明等式问题
式两边的构成规律，等式两边有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关，由 n＝k 到 n＝k＋ 1 时等式两边会增加多少项，增加怎样的项．
②在步骤(2)的证明过程中，突出两个“凑”字：一凑假设，二凑结论，关键是明确 n＝ k＋1 时证明的目标，充分考虑由 n＝k 到 n＝k＋1 时，命题形式之间的区别和联系．
当n k 1时，
左边 (1 1) (1 1) ( 1 1 )
2 23
k 1 k 2
1 1 k 1 k 1 右边 k 2 k 2 (k 1) 1
即n k 1时等式成立。
左边 k
1
k 1 (k 1)(k 2)
1
一、提出问题
问题 1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到 学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出： 这所学校里的学生都是男同学。
问题 2：三角形的内角和为180º，四边形的内角和为2•180º,五
边形的内 角和为3•180º，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) •180º。
那么 n＝k＋1 时，
(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)
＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)×…×(k＋k)(2k＋1)
＝2k＋1×1×3×5×…×(2k－1)[2(k＋1)－1]
即 n＝k＋1 时等式成立．
由(1)、(2)可知，对任何 n∈N*等式均成立．
①用数学归纳法证明与正整数有关的等式，关键在于“先看项”，弄清等
他在数学许多领域中都有极大的贡献， 因为他的本行是专业的律师， 为了表彰他的数学造诣，
世人冠以“业余王子”之美称，
费马观察到： 220 1 3 221 1 5 222 1 17 223 1 257 224 1 65537 ......
猜想：
Fn 22n 1(n N)
都是质数
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二、概念
1、归纳法定义： 对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可
能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。
2、归纳法分类：
完全归纳法
归纳法 不完全归纳法
想一想：
由两种归纳法得出的结论一定正确吗？
说 （1）不完全归纳法有利于发现问题，但结论
明：
不一定正确。 （2）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。
提
出 问
如何寻找一种严格推理的归纳法？
题
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二、挖掘内涵、形成概念：
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来
证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,
【归纳奠基】
(2)证假明设当当nn==kk+(1k时N命* 题，也k成n0立)时【命题归成纳立递,推】
完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
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例1.用数学归纳法证明
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1)
6
证明：1、当n=1时,左=12=1，右= 1(1 1)(2 第1)二步1的证明要用
∴n=1时，等式成立
6
上归纳假设!
2、假设n=k时，等式成立，即
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1)
（3）为什么这些步骤缺一不可？
（4）数学归纳法是完全归纳法还是不完全归纳法？
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（二）、数学归纳法的步骤
（1）证明当 n 取第一个值 n0 (n0 1 或 2) 时结论正确
（2）假设当 n k (k N , 且k n0 ) 时结论正
确，并证明当 n k 1时结论也正确。
根据(1)(2)知对任意的 n N 且n n0 时命题成立。 注：（1）两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结
【例 2】用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)(n∈N*)．
证明：(1)当 n＝1 时，等式左边＝2，右边＝2×1＝2，
∴等式成立． (2)假设 n＝k(k∈N*)时等式成立．
第二步的证明要用
即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×5×…×(2k－1)成立．上归纳假设!
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用数学归纳法证明：1 2
1 2
3
1 n(n 1)
n (n n 1
N
)
证明：
（1）当n 1时，左边 1 ，右边 1 ，左边 右边，等式成立；
2
2
（2）假设当n k时等式成立，即
第二步的证明没有
1 1 1 1 k
1 2 23 3 4
k(k 1) k 1
用上归纳假设!
验证n=n0时命 题成立
若当n=k(kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立
命 有题 正对 整从数nn0都开成最始新立.的课件。所
5
问题情境三
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3、数学归纳法
思考题：
（1）数学归纳法能证明什么样类型的命题？
（2）数学归纳法有几个步骤？每个步骤说明什么问 题？
问题 3：教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格”
请问：以上三个结论正确吗？为什么? ❖得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点
1、错
2、对
3、对
❖ 共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2是用的不完全
归纳法，问题3是用的完全归纳法。
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问题情境二法：国数的数学学家家费费马（马Pie运rre用de 不Fer完mat全） 归纳法得出十七费(世16纪马01最年猜卓～越1想6的6数5的年学)事家。之例一，
论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失
去了递推的依据。
（2）只有把第一、二步的结论结合在一起才能得
出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要
做一个总的结论。
（3）数学归纳法用来证明与正整数有关的命题。
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数学归纳法的应用
题型一 用数学归纳法证明等式问题 题型二 用数学归纳法证明不等式问题 题型三 用数学归纳法证明整除问题 题型四 用数学归纳法证明几何问题 题型五 用数学归纳法解决探究性问题
那么，当n=k+1时
6
左=12+22+…+k2+(k+1)2= k(k 1)(2k 1) (k 1)2
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k(k 1)(2k 1) 6(k 1)2 (k 1)(k 2)(2k 3)
=右
6
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∴n=k+1时，原等式成立
由1、2知当nN*时，原等式都成立
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题型一 用数学归纳法证明等式问题
式两边的构成规律，等式两边有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关，由 n＝k 到 n＝k＋ 1 时等式两边会增加多少项，增加怎样的项．
②在步骤(2)的证明过程中，突出两个“凑”字：一凑假设，二凑结论，关键是明确 n＝ k＋1 时证明的目标，充分考虑由 n＝k 到 n＝k＋1 时，命题形式之间的区别和联系．
当n k 1时，
左边 (1 1) (1 1) ( 1 1 )
2 23
k 1 k 2
1 1 k 1 k 1 右边 k 2 k 2 (k 1) 1
即n k 1时等式成立。
左边 k
1
k 1 (k 1)(k 2)