最新高数函数与极限教案

授课时间： 20 年9月 日 使用班级： 授课时间： 20 年9月 日 使用班级：授课章节名称：第1章 函数、极限与连续 第1节 函数（二）、第2节 极限 教学目的：1.理解复合函数的定义及复合过程，分段函数的定义及表示方法，极限的概念，函数左极限与右极限的概念；2.熟练掌握∞→x 和x x →时f(x)的极限存在的充要条件；3.理解无穷大、无穷小的概念；4.掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质，会用无穷小量的性质求教学重点：1.函数极限与数列极限的概念，求极限的方法；2.无穷大量与无穷小量的概念及性质.教学难点：1.函数极限的定义；2.无穷大量与无穷小量的概念和性质及其应用。

教学方法：讲授，启发式、讲练结合 教学手段：传统讲授。

作业：层次1：书16页1、2（1）（2）、4、6 层次2：书16页5、7 教案实施效果追记： （手书）第1章 函数、极限与连续 第1节 函数（二）、第2节 极限复习及课题引入（时间：5分钟）： 1、作业题处理；2、复习函数的相关性质以及基本初等函数的相关知识点。

讲授新内容 ※※※※一、函数的概念（二）（时间：15分钟）1、复合函数： 【引例】（公司员工问题）某公司员工的工资占公司利润的若干比例，而公司的利润又取决于所销售的商品的数量，因此，该公司员工的工资由所销售商品的数量决定。

定义7设()u f y =,其中()x u ϕ=,且函数()x u ϕ=的值域包含在函数()u f y =的定义域内,则称()[]x f y ϕ=为由()u f y =与()x u ϕ=复合而成的复合函数,其中u 称为中间变量.例如，x u u y sin ,2==可复合成x y 2sin=.注意：①、并不是任意两个函数都能构成复合函数.如，21u y -=和22+=x u 就不能构成复合函数。

因为对函数21u y -=而言，必须要求变量[]11，-∈u ，而222≥+=x u ，所以对任何x 的值，y 都得不到确定的对应值。

②、利用复合函数不仅能将若干个简单的函数复合成一个函数，还可以把一个较复杂的函数分解成几个简单的函数，这对于今后掌握微积分的运算时很重要的。

例4、将下列复合函数进行分解.(1)x y cos ln =; (2)3sin x y =.解 (1)x y cos ln =是由u y ln =,x u cos =复合而成的.(2)3sin x y =是由3u y =,x u sin =复合而成的.2、初等函数：定义8：由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成并用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如：x y cos ln =，1)1(2-++=x x x x y ，2cos 2+=x y 等都是初等函数。

3、分段函数： 定义9：在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子表示的函数，称为分段函数.注:(1)分段函数仍旧是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.(2)分段函数一般不是初等函数.除⎩⎨⎧-==,,x x x y ,0,0<≥x x例如：⎪⎩⎪⎨⎧-=,1,0,1sgn x ,0,0,0<=>x x x 就是一个分段函数，其定义域为),(+∞-∞。

例5、设⎪⎩⎪⎨⎧-=,1,1,2x y x ，31,10,01-<<≤<≤<x x x 求()()2,21,0f f f ⎪⎭⎫⎝⎛及函数的定义域。

解：()()12,2121121,200==-=⎪⎭⎫⎝⎛=f f f ，函数的定义域为)3,1(-。

※※※※二、极限概念：（时间：10分钟）【引例】：中国古代哲学家庄周在《庄子•天下篇》中引述惠施的话：“一尺之锤，日取一半，万世不竭。

”析：这句话的意思是指一尺的木棒，第一天取它的一半，即21尺，；第二天再取剩下的一半，即41尺；第三天再取第二天剩下的一半，即81尺；这样一天天地去下去，而木棒是永远也取不完的。

尽管木棒永远也取不完，可到了一定的时候，还能看得见吗？看不见意味着什么？不就是快没了吗？终极的时候，就近乎没有了。

它的终极状态就趋于零。

【极限概念引出】事实上，假设木棒为一个单位长，用n x 表示第n 天截取之后所剩下的长度，可得,...,21,...,81,41,21321n n x x x x ====，这样,...,...,,,321n x x x x 构成一列有次序的数。

设想n 无限增大（记为∞→n ），在这个过程中，n x 无限接近于一个确定的数值（零），这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列），,...,...,,,321n x x x x 当∞→n 时的极限。

复习(高中知识)：数列的概念、通项概念数列就是按照一定顺序排列成的一列数，一般记为,...,...,,,321n x x x x ，简记为}{n x ，其中n x 称为数列的通项。

例如，数列1,2,3,4,5，…的通项是n x n =，可以记为}{n ；数列,...51,41,31,21,1的通项是n x n 1=，可以记为}1{n；数列,...2,2,2,2,25432,的通项是n n x 2=，可以记为}2{n 。

数列}{n x 也可看成自变量为正整数n 的函数：[]n f x n =，其定义域是全体正整数，当自变量n 依次取1,2,3,，…一切正整数时，对应的函数值就排列成数列}{n x 。

2、（极限概念）定义10：（教学方法：板书）对于数列}{n x ,若当n 无限增大时,通项n x 无限接近于某个确定的常数A ,则常数A 称为数列}{nx 的极限,此时也称数列}{nx收敛于A ,记为Ax n n =∞→lim 或()∞→→n A x n若数列}{n x 的极限不存在,则称数列}{n x 发散.注意：数列极限是个动态概念，是变量无线运动渐进变化的过程，是一个变量（项数为n ）无线运动的同时另一个变量（对应的通项}{n x ）无限接近于某一个确定常数的过程，这个常数（极限）是这个无线运动变化的最终趋势。

（根据函数关系的定义，引出数列是特殊的函数这个概念）例1、（画数轴数形结合思想）（1）{},...1,...,56,45,34,23,2:1n n n n x n +⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=； （2）{},...31,...,811,271,91,31:31n n n x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=；（3）{}(){}(),...1,...,1,1,1,1:1nnn x ----=；解：当时∞→n ，数列（1）的通项nn x n 1+=越来越接近于常数1；而数列（2）的通项nn x 31=越来越接近于常数0，数列（3）的通项(){}nn x 1-=在-1与1之间交替出现而不趋于任何确定的常数，所以，（1）11lim=+∞→nn n ； （2）031lim =∞→n n ；（3）()nn 1lim -∞→不存在。

（析：从数轴上标出一些点，来说明数列无限运动变化的最终趋势）※※※※三、函数的极限（时间：20分钟）数列是一种特殊形式的函数，把数列的极限推广可得到函数的极限。

根据自变量的变化过程，分两种情况讨论。

1、∞→x 时函数()x f 的极限（教学方法：讲解）（7分钟）【引例】（设备折旧问题）某高校为进行以工作过程为导向的课程教学，购置一批数控机床为教学设备，投资额是100万元，每年的折旧费为这批数控机床账面价格（即以前各年折旧费用提取后余下的价格）101，那么这批数控机床的账面价格（单位：万元）第一年为100，第二年为100*109，第三年为100*2109）（，第四年为100*3109）（，…,第n 年为100*n）（109，那么，当n 无限增大时，该批数控机床的账面价格如何变化？显然，从它的变化趋势可以看出，随着年数的无限增大时，账面价格无限接近于0.引例反映了一个特点：当自变量逐渐增大时，相应的函数值逐渐接近于一个确定的常数。

为此给出下面定义。

定义11：函数()y f x = 在(,)-∞+∞ 内有定义，若x无限增大时，相应的函数值()f x 无限接近于一个确定的常数A ，则称函数()f x 以A 为极限。

记为∞→x lim ()f x =A 或()f x →A （x →∞）.若当x →+∞ （或x →-∞ ）时，函数无限接近于一个确定的常数A ，记为lim x →+∞()f x =A 或lim x →-∞()f x =A.例如，111lim0,lim 0,lim 0,x x x x x x →+∞→-∞→∞=== （画出图形解释）不难证明，函数()f x 在x →∞时的极限与在x →+∞，x →-∞时的极限有以下关系。

定理1：lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→+∞→-∞=⇔==例2、（书16页3）讨论lim x x e →∞是否存在。

（根据函数图像观察）2、0x x →时函数()x f 的极限（13分钟） （1）邻域概念：设R ∈δ,0x 且0>δ,则开区间()δδ+-00,x x 称为点0x 的δ邻域,记为()δ,0x U ，即(){}()δδδδδδ+-=<-=+<<-=000000,}{,x x x x x x x x x x U .点0x 称为这邻域的中心，δ称为这邻域的半径.有时用到的领域需要把领域的中心去掉。

点0x 的δ领域去掉中心0x 后，称为点0x 的去心δ邻域，记为()δο,0x U ，即()()()δδδδο+⋃-=<-<=000000,,}0|{,x x x x x x x x U为了方便，有时把开区间()00,x x δ-称为0x 的左δ领域，把开区间()δ+00,x x 称为0x 的右δ邻域。

（2）举例说明：1x → 时，函数无限接近于多少？（书13页图像）观察：当：1x →时，()1f x x =+ ，无限接近2当：1x →时，21()1x g x x -=- ，无限接近2 f(x)在x=1有定义，g(x)在x=1处无定义定义12：如果当x x →时,函数()f x 无限趋近于一个确定的常数A, 则称A为函数()f x 当0x x →时的极限,记作0lim ()x x f x A →= 或 ()f x A → (当0x x →时).此时也称lim ()x x f x →存在。

如果当x x →时, 函数()f x 不趋近于任何一个确定的常数,则称lim ()x x f x →不存在。

注意：1.函数)(x f 当 x → x 0时的极限是否存在，与)(x f 在点0x 处是否有定义无关.（如上例）2.若函数极限存在，则极限值必唯一。

（唯一性）1、 单侧极限：（10分钟）在讨论当x x → 时函数()f x 的极限问题中，对0x x →的过程，若限制x x <或x x >，便出现了单侧极限的概念。