(完整版)数列基础知识归纳,推荐文档

6．等差数列的定义：
年级：高一 科目：数学必修 4 第 课时 班级
制作人：刘源光
组长
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制作日期：2012、9、5
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么
这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示． 即：{an}为等比数列 an + 1 an = d 2an + 1 = an + an + 2 an = kn + b Sn = An2 +
动数列．
4．递推公式的定义：如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项)，且任一项 an 与它的前一项 an 1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递 推公式．
n
5．数列{an}的前 n 项和的定义：Sn = a1 + a2 + a3 + … +an = ak 称为数列{an}的前 n 项 k 1 和．要理解 Sn 与 an 之间的关系．
c2 + … + cn 1(n 2)．
3．公式法：
an
SS1n
说明：(1) {an}表示数列，an 表示数列中的第 n 项，an = f(n)表示数列的通项公式；
(2)
同一个数列的通项公式的形式不一定唯一．例如，an
=
(
1)n
=
1, 1, n
n
2k 2k
1 (k
Z)
；
(3) 不是每个数列都有通项公式．例如，1，1.4，1.41，1.414，…．
(4) 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集 N*(或它的有限子集)的函数 f(n)，
②
若已知
an，则
Sn
取最值时
n
的值(n
N*)可如下确定：Sn
最大值
an an1
0
0
(或
Sn
最小
值
an an
1
0
0
)．
三、常见数列通项的求法：
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1．定义法(利用 AP，GP 的定义)．
2．累加法(an + 1 an = cn 型)：an = a1 + (a2 a1) + (a3 a2) + … + (an an 1) = a1 + c1 +
数列应用
一、数列的有关概念：
1．数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列．
(1) 数列中的每个数都叫这个数列的项．记作 an，在数列第一个位置的项叫第 1 项(或 首项)，在第二个位置的叫第 2 项，…，序号为 n 的项叫第 n 项(也叫通项)，记作
an． (2) 数列的一般形式：a1，a2，a3，…，an，…，简记作{an}． 2．通项公式的定义：如果数列{an}的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么 这个公式就叫这个数列的通项公式．
0，0 < q < 1 时为递减数列；
(3) 当 q < 0 时为摆动数列；
(4) 当 q = 1 时为常数列．
8．等差数列前 n 项和最值的求法：
(1) a1 > 0，d < 0 时，Sn 有最大值；a1 < 0，d > 0 时，Sn 有最小值．
(2) Sn 最值的求法：
① 若已知 Sn，可用二次函数最值的求法(n N*)；
当自变量 n 从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值 f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，
…．通常用 an 来代替 f(n)，其图象是一群孤立的点． 3．数列的分类：
(1) 按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；
(2) 按数列项与项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆
(为什么？)
4．{an}为等差数列，则can (c > 0)是等比数列．
5．{bn} (bn > 0)是等比数列，则{logcbn} (c > 0 且 c 1) 是等差数列． 6．公差为 d 的等差数列{an}中，若 d > 0，则{an}是递增数列；若 d = 0，则{an}是常数列；
若 d < 0，则{an}是递减数列． 7．等比数列{an}中，若公比为 q，则 (1) 当 a1 > 0，q > 1 或 a1 < 0，0 < q < 1 时为递增数列； (2) 当 a1 < 0，q > 1 或 a1 >
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必修 5 数列础知识归纳
源自文库
数列的概念
数列
等差数列与等比数列 数列的求和
数列的定义 数列的分类 数列的性质
等差数列与等比数列的概念 等差数列与等比数列的性质 等差数列与等比数列的基本运算 倒序相加 错位相减 裂项相消 其他方法
Bn．
7．等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么
这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．公比通常用字母 q 表示(q
0)，即：{an}为等比数列
an
+
1
：an
=
q
(q
0)
a 2 n 1
an an2
．
注意条件“从第 2 项起”、“常数”q．由定义可知：等比数列的公比和项都不为零．
④ak，ak + m，ak + 2m，…成 GP，q = qm
注：1．等差(等比)数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差(等比)数列． 2．三个数成等差的设法：a d，a，a + d；四个数成等差的设法：a 3d，a d，a + d，
a + 3d； 3．三个数成等比的设法：a/q，a，aq；四个数成等比的错误设法：a/q3，a/q，aq，aq3
二、等差、等比数列的性质：
通项公式 前 n 项和
等差数列(AP) an = a1 + (n 1)d
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
等比数列(GP) an = a1qn 1 (a1 0，q 0)
Sn naa1(111,qqqn1), , q 1.
性质
①an = am + (n m)d
②m + n = s + t，则 am + an = as + at
③Sm，S2m Sm，S3m S2m，… 成 AP
①an = amqn m
②m + n = s + t，则 am an = as at
③Sm，S2m Sm，S3m S2m，…成 GP (q 1 或 m 不为偶数)
④ak，ak + m，ak + 2m，…成 AP，d = md