数列基础知识归纳

必修5 数列础知识归纳一、数列的有关概念：1．数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列．(1) 数列中的每个数都叫这个数列的项．记作a n ，在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，…，序号为n 的项叫第n 项(也叫通项)，记作a n ．(2) 数列的一般形式：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记作{a n }．2．通项公式的定义：如果数列{a n }的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．说明：(1) {a n }表示数列，a n 表示数列中的第n 项，a n = f (n )表示数列的通项公式；(2) 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一．例如，a n = (- 1)n =1,21()1,2n k k n k -=-⎧∈⎨=⎩Z ； (3) 不是每个数列都有通项公式．例如，1，1.4，1.41，1.414，…．(4) 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N *(或它的有限子集)的函数f (n )，当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值f (1)，f (2)，f (3)，…，f (n )，…．通常用a n 来代替f (n )，其图象是一群孤立的点．3．数列的分类：(1) 按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；(2) 按数列项与项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列．4．递推公式的定义：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n - 1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．5．数列{a n }的前n 项和的定义：S n = a 1 + a 2 + a 3 + … +a n =1nk k a =∑称为数列{a n }的前n 项和．要理解S n 与a n 之间的关系．6．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第．2．项起．．，每一项与它的前一项的差等于同一个常数．．，那么数 列数列的概念 数列的定义数列的分类数列的性质等差数列与等比数列 等差数列与等比数列的概念等差数列与等比数列的性质等差数列与等比数列的基本运算数列的求和倒序相加错位相减裂项相消其他方法数列应用这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示． 即：{a n }为等比数列⇔ a n + 1 - a n = d ⇔ 2a n + 1 = a n + a n + 2 ⇔ a n = kn + b ⇔ S n = An 2 + Bn ．7．等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第．2．项起．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．公比通常用字母q 表示(q ≠ 0)，即：{a n }为等比数列⇔ a n + 1 ：a n = q (q ≠ 0) ⇔212n n n a a a ++=．注意条件“从第2项起”、“常数”q ．由定义可知：等比数列的公比和项都不为零． 二、等差、等比数列的性质：等差数列(AP ) 等比数列(GP )通项公式 a n = a 1 + (n - 1)da n = a 1q n - 1 (a 1 ≠ 0，q ≠ 0) 前n 项和 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 11,1,(1), 1.1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩性质 ①a n = a m + (n - m )d ①a n = a m q n - m②m + n = s + t ，则a m + a n = a s + a t②m + n = s + t ，则a m ⋅ a n = a s ⋅ a t ③S m ，S 2m - S m ，S 3m - S 2m ，…成AP ③S m ，S 2m - S m ，S 3m - S 2m ，…成GP(q ≠ -1或m 不为偶数)④a k ，a k + m ，a k + 2m ，…成AP ，d ' = md④a k ，a k + m ，a k + 2m ，…成GP ，q ' = q m 注：1．等差(等比)数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差(等比)数列．2．三个数成等差的设法：a - d ，a ，a + d ；四个数成等差的设法：a - 3d ，a - d ，a + d ，a + 3d ；3．三个数成等比的设法：a /q ，a ，aq ；四个数成等比的错误设法：a /q 3，a /q ，aq ，aq 3 (为什么？)4．{a n }为等差数列，则{}na c (c > 0)是等比数列．5．{b n } (b n > 0)是等比数列，则{log c b n } (c > 0且c ≠1) 是等差数列．6．公差为d 的等差数列{a n }中，若d > 0，则{a n }是递增数列；若d = 0，则{a n }是常数列；若d < 0，则{a n }是递减数列．7．等比数列{a n }中，若公比为q ，则(1) 当a 1 > 0，q > 1或a 1 < 0，0 < q < 1时为递增数列； (2) 当a 1 < 0，q > 1或a 1 > 0，0 < q < 1时为递减数列；(3) 当q < 0时为摆动数列； (4) 当q = 1时为常数列．8．等差数列前n 项和最值的求法：(1) a 1 > 0，d < 0时，S n 有最大值；a 1 < 0，d > 0时，S n 有最小值．(2) S n 最值的求法：① 若已知S n ，可用二次函数最值的求法(n ∈ N *)； ② 若已知a n ，则S n 取最值时n 的值(n ∈ N *)可如下确定：S n 最大值100n n a a +≥⎧⎨≤⎩(或S n 最小值100n n a a +≤⎧⎨≥⎩)． 三、常见数列通项的求法：1．定义法(利用AP ，GP 的定义)．2．累加法(a n + 1 - a n = c n 型)：a n = a 1 + (a 2 - a 1) + (a 3 - a 2) + … + (a n - a n - 1) = a 1 + c 1 + c 2+ … + c n - 1(n ≥ 2)．3．公式法：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩． 4．累乘法(1n n na c a +=型)：a n = a 1 ⋅32121n n a aa a a a -⋅⋅⋅= a 1 ⋅ c 1 ⋅ c 2 ⋅ …⋅ c n - 1(n ≥ 2)． 5．待定系数法：a n + 1 = qa n +b (q ≠ 0，q ≠ 1，b ≠ 0)型，转化为a n + 1 + x = q (a n + x )．可以将其改写变形成如下形式：a n + 1 +1b q -= q (a n +1b q -)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式． 6．间接法(例如：a n + 1 - a n = 4a n + 1a n ⇒1114n na a +-=-)． 四、数列的求和方法：除化归为等差数列或等比数列求和外，还有以下一些常用方法：1．拆项求和法(a n = b n ± c n )：将一个数列拆成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数数列等等)，然后分别求和．如a n = 2n + 3n ．2．并项求和法：将数列的相邻两项(或若干项)并成一项(或一组)先求和，然后再求S n ． 如“22222222123456(21)(2)n S n n =-+-+-++--”的求和．3．裂项相消法：将数列的每一项拆(裂开)成两项之差，即a n = f (n + 1) - f (n )，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项．用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：1111()()()n a An B An C C B An B An C ==-++-++、1(1)n n +=1n -11n +、11()a b a ba b =--+等． 4．错位相减法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法．对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常用错位相减法．即错位相减法一般只要求解决下述数列的求和：若a n = b n c n ，其中{b n }是等差数列，{c n }是等比数列，则数列{a n }的求和运用错位相减法．记S n = b 1c 1 + b 2c 2 + b 3c 3 + … + b n c n ，则qS n = b 1c 2 + b 2c 3 + … + b n - 1c n + b n c n + 1，… 如a n = (2n - 1) ⋅ 2n ．5．倒序相加法：将一个数列的倒数第k 项(k = 1，2，3，…，n )变为顺数第k 项，然后将得到的新数列与原数列相加，这是仿照推导等差数列前n 项和公式的方法．注意：(1) “数列求和”是数列中的重要内容，在中学高考范围内，学习数列求和不需要学习任何理论，上面所述求和方法只是将一些常用的数式变换技巧运用于数列求和之中．(2) “错位”与“倒序”求和的方法是比较特殊的方法．(3) 数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适的方法．(4) 重要公式：① 1 + 2 + … + n =12n (n + 1)； ② 12 + 22 + … + n 2 =16n (n + 1)(2n + 1)；③ 13 + 23 + … + n 3 = (1 + 2 + … + n )2 =14n 2(n + 1)2； *④ 等差数列中，S m + n = S m + S n + mnd ；*⑤ 等比数列中，S m + n = S n + q n S m = S m + q m S n ．五、分期付款(按揭贷款)：每次还款(1)(1)1n n ab b x b +=+-元(贷款a 元，n 次还清，每期利率为b )．。