数列基础知识点和方法归纳

数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质

定义：（为常数），，

推论公式：a n =a m +(n −m )d(n,m ∈N ∗，n >m)

等差中项：成等差数列,a n =a n−1+a n+1

2

,2a n =a n−1+a n+1(n ≥2)

等差数列前项和： 性质：是等差数列

（1）若，则（下标和定理） 注意：要求等式左右两边项数相等 （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，仍为等差数列，公差为d n 2； （3）若三个成等差数列，可设为； （4）若是等差数列，且前项和分别为，则

； （5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）

的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，

即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.

当，由可得达到最小值时的值.

(6)项数为偶数n 2的等差数列，有

),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶，

1+=

n n

a a S S 偶

奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列，

有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-,

n a S S =-偶奇， .

1

-=

n n S S 偶

奇 1n n a a d +-=d ()11n a a n d =+-x A y ，，2A x y ⇔=+n ()()

11122

n n a a n n n S na

d +-==+

{}n a m n p q +=+m n p q a a a a +=+；232n n n n n S S S S S --，，……a d a a d -+，，n n a b ，n n n S T ，21

21

m m m m a S b T --={}n a 2

n S an bn ⇔=+a b ，n n S 2

n S an bn =+{}n a 100a d ><，10

0n n a a +≥⎧⎨≤⎩n S n 100a d <>，1

0n n a a +≤⎧⎨≥⎩n S n {}

n a {}n a

2. 等比数列的定义与性质

定义：

（为常数，），.推论公式：a n =a m q n−m (n,m ∈N ∗且n >m) 等比中项：成等比数列，或.等比数列中奇数项同号，偶数项同号

a n 2=a n−1a n+1(n ≥2)

等比数列前n 项和公式： S n ={na 1(q =1)

a 1(

1−q n )1−q =a 1−a n q 1−q

(q ≠1)

性质：是等比数列

（1）若，则(下标和定理) 注意：要求等式左右两边项数相等。 （2）仍为等比数列,公比为n q 。 . （3）是正项等比数列，则{log c a

n }是等比数列。 注意：由求时应注意什么？

时，； 时，.

1

n n

a q a +=q 0q ≠11n n a a q -=x G y 、、2

G xy ⇒

=G ={}n a m n p q +=+m

n p q a a a a =··232n n n n n S S S S S --，，……{}n a n S n a 1n =11a S =2n ≥1n n n a S S -=-

3.求数列通项公式的常用方法

（1)定义法求通项公式(已知数列为等差数列或等比数列） （2）

已知的关系

与n 或

的关系时

与n n a s ，

求。 ⎩⎨⎧≥-==-)2()

1(1

1n s s n s a n n n

例： 数列的前项和．求数列的通项公式;

解：当时

，

当时

数列的通项公式为．

练习：设数列的前项和为，且．求数列

的通项公式。

（3）求差（商）法

例：数列，，求

解： 时，，∴

①

时， ② ① —②得：，∴，∴

n S n

a {}n a 122111

25222n n a a a n +++=+……n a 1n =11

2152

a =⨯+114a =122111

25222n n a a a n +++=+……2n ≥12121

111

215222n n a a a n --+++=-+……122n n a =1

2n n a +=114(1)2(2)

n n n a n +=⎧=⎨≥⎩

练习：在数列{a n }中，a 1=1，a 1+a 22+a 33+⋯+a

n n =a n (n ∈N ∗), 求数列{a n }的通项公式。

(4)累乘法

形如

a n+1a n

=f (n )的递推式

由

1()n n a f n a +=，则31212

(1)(2)()n n

a a

a

f f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1

11

1()n

n k a a f k a +==⋅∏

例：数列中，，求

解

，∴又，∴. 练习：已知a 1=3,a n+1=

3n−13n+2

a n (n ≥1), 求数列{a n }的通项公式。

（5）累加法

形如 a n+1−a n =f (n )的递推式。 由，求，用迭加法

时，两边相加得

∴ 例：已知数列满足a 1=1,a n =a n−1+3n −2(n ≥2),(1)求a 2与a 3的值。

（2）求数列

的通项公式

练习：已知数列

中， ，（）．求数列的通项公式；

（6）构造法

形如（为常数，）的递推式。

{}n a 1131

n n a n

a a n +==+，n a 3212112123n n a a a n a a a n --= (11)

n a a n

=13a =3n a n =110()n n a a f n a a --==，n a 2n ≥21321(2)

(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫

⎪-=⎪

⎬⎪⎪-=⎭…………1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……0(2)(3)()n a a f f f n =++++……1n n a ca d -=+c d 、010c c d ≠≠≠，，