第七章FIR数字滤波器设计讲义教材

N为偶数→H(π)=0 线性相位滤波器是FIR滤波器中最重要的一种，应用最 广。实际使用时应根据需用选择其合适类型，并在设计时 遵循其约束条件。
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四种线性相位FIR DF的特性：
第一种情况 ，偶、奇，四种滤波器都可设计。 第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计
高通和带阻。 第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器
N 1
h (n )(c o sn js inn ) H g ()(s in jc o s )
n 0 N1
其中： Hg ()sin h(n)cosn n0 N1 Hg ()cos h(n)sinn n0
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N1
Hg()sin h(n)cosn n0
N1
Hg()cos h(n)sinn n0
n0
2
hnejnhNn1ejNn1
n0
N3
2 [hnejnhnejNn1] n0
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N 3
H e j 2 [ h n e j n h n e j N n 1 ]
n0
e
j
N 1 2
N
/
2
1
[
h
(
n
)
e
j ( n N 1 ) 2
j ( n N 1 )
关于求和区间的中心奇对称
• 因 为 c o s ( n ) 关 于 n = 偶 对 称 ， 令 ( N 1 ) / 2
• 则要求 h ( n ) 关于 (N 1)/2 奇对称
() ,1(N1)
2
2
h(n)h(N1n) 0nN1
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0
2 0
2
2
(N1)
(N0.5)
h(n) 偶对称
（1）构造希望逼近的频率响应函数 H d (e j )。以低 通线性相位FIRDF设计为例，一般选择H d (e j )为线
性相位理想低通滤波器，即
Hd(ej)e0 , j,
≤c c ≤
（7.2.1）
（2）求出h d ( n ) 。对 H d (e j )进行IFT得到
h d ( n ) 2 1 H d ( e j ) e j n d 2 1 c c e j e j n d s i n [ ( n c ( n )) ]
H g( )
0
2
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推导：
N1
HejH gej h(n)ejn n0 h N 2 1 e j N 2 1 n M 0 [h (n )e j n h (N n 1 )e j (N n 1 )]
e j N 2 1 h N 2 1 n M 0 [h (n )e j (n N 2 1 ) h (n )e j (n N 2 1 )]
所以线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对，即 成四出现，这种共轭对共有四种
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FIR滤波器，h(n)奇对称，N为奇数，因 H (o )0 ,H 0
所以z=1，z=-1都是H(z)的单根； 对于第四种滤波器，h(n)奇对称，N为偶数，H(O)=0，
所以z=1是H(z)的单根。 所以，h(n)奇对称→H(0)=0
对这些频率也呈偶对称。
–由于 cosncos[(nN/21/2)]
sin[(nN/2)]0
Hg()0
因此，这种情况不能用于设计高通、带阻滤波器。
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(3) h(n)奇对称，N为奇数，h(n)=-h(N-1-n)
• 相位特性: ()/2
N 1
HejH g ej() hnejn
N3
都不能设计。 第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设
计低通和带阻。 一般微分器与90°相移器用3、4； 选频性滤波器用1、2。
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小结:
• 四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性， 而与h(n)的值无关。
• 幅度特性取决于h(n)。 • 设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要
n0
n0
N 1
h(m)z(N1m)
m0
z(N1)H(z1)
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H (z)z N 1Hz 1
zz • 如果
i是H(z)的零点，其倒数
z
i
1
也是其零
点；
Hale Waihona Puke Baidu
•
因为h(n)是实序列
，H(z)的零点必共轭成对，z
* i
和 ( zi1 )* 也是其零点；
j Im( z )
1
z3
z
* 1
1
z4
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（3）加窗得到FIRDF的单位脉冲响应h(n) h(n)hd(n)w(n)
式中，w(n)称为窗函数，其长度为N。 如果要求设计第一类线性相位FIRDF，则要求h(n) 关于 (N-1)/2点偶对称。 而hd(n)关于n=τ点偶对称，所以要求τ=(N-1)/2。 同时要求w(n)关于(N-1)/2点偶对称。
N odd, negative symmetry
N为奇数，奇对称
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类型 4:
0
Centre of symmetry
N=8 n 7
N even, negative symmetry
N为偶数，奇对称
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2 线性相位的条件
时域约束：
第一类线性相位：()
H (e j ) N 1 h (n )e j n H g ()e j( ) H g ()e j
完成幅度特性的逼近即可。
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7.2 窗函数设计FIRDF
设计思想 ➢ 保证线性相位 ➢ 逼近理想滤波器 H d (e j ) • 窗口设计法（时域逼近） • 频率采样法（频域逼近） • 最优化设计（等波纹逼近）
➢ h d ( n ) 一般情况下是无穷序列，需对其进行
截断，即时域加窗 ➢ 加窗的影响 ➢ 窗函数的设计
ej h M[2h(n)cos(n)]
n0
(N 3)/2
H g()h2h(n)cos n n0
()
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（2）h(n)=h(N-n-1)，N为偶数
–幅度特性：
Hg()
N1
h(n)cos[(n
N
1)]
n0
2
N 1
2
2h(n)cos[(n N 1)]
n0
2
–相位特性： ()
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n0
• 满足上式的一组解 h(n)sin(n)关于求和区间
的中心奇对称
• 因 为 s i n ( n ) 关 于 n = 奇 对 称 ， 令 ( N 1 ) / 2
• 则要求 h ( n ) 关于 (N 1)/2 偶对称
h(n)h(N1n) 0nN1
(12) (N1) ()
1(N1)
2
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由于 0,,2 时，sinn0,H g0,相当于H（z）
在 z 1处有两个零点，不能用于 H (0 ) 0 和 H 0的滤
波器设计，故不能用作低通、高通和带阻滤波器的设计。
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(4) h(n)奇对称，N为偶数 • 相位特性: ()/2
• 频率特性: N/21/2
N3 2
Hg()2hnsinn n0
• Hg()在=0，2 处为零，即H(z)在 z=1处有零点； • Hg() 在=0，2 奇对称，在=处偶对称。 • 不能用于低通和带阻
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（3）线性相位FIRDF的零点分布特点
N1
将 h(n)h(N1n)代入式 H(z) h(n)zn得到
N 1
n0
N 1
H(z) h(n)zn h(N 1 n)zn
h(n)e 2 ]
n0
N 3
je
j
N 1 2
2
2h
n0
n
sin
n
N 1 2
N 3
e
j
2
2
2h
n
sin
n
n0
N3
2
Hg()2hnsinn n0
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N3 2
Hg()2hnsinn n0
由于 sinn 对 0,,2点呈奇对称，所以H g 对这些点
也奇对称。
Hg()sin h(n)sinn n0
N 1
h(n) cosn
cos
sin
n0 N 1
h(n) sin n
n0
N 1
N 1
sin h (n )co snco s h (n )sinn
n 0
n 0
• 三角函数的恒等关系
N1
h(n)sin(n)0
n0
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N1
h(n)sin(n)0
e j 2h(n) cos (n ) n0
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H e j H ge j e j N /2 1 2 h (n )c o s(n ) n 0 (N3)/2 –幅度特性为：Hg()2h(n)cosn n0
–相位特性：()
–由于c o s (n )关 于 0 ,2 偶对称，因此 H g
第七章 FIR数字滤波器设计
FIR数字滤波器的特点：
➢ 很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号产生相 位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号理、数 据传输等系统中非常重要；
➢ 极点全部在原点（永远稳定），无稳定 性问题； ➢ 任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时，
转变为因果序列， 所以因果性总是满足； ➢ 无反馈运算，运算误差小。
N 1
h(n) cosn
sin
cos
n0 N 1
h(n) sin n
n0
c o s N 1 h (n )c o s n sin N 1 h (n )sin n 0
n 0
n 0
• 三角函数的恒等关系
N1
h(n)cos(n)0
n0
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N1
h(n)cos(n)0
n0
• 满足上式的一组解 h(n)cos(n)
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本节主要讲述：
➢7.2.1 用窗函数法设计FIRDF的基本方法 ➢7.2.2 窗函数法的设计性能分析 ➢7.2.3 典型窗函数介绍 ➢7.2.4 用 窗 函 数 法 设 计 FIRDF 的 步 骤 及 MATLAB
设计函数
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7.2.1 用窗函数法设计FIRDF的基本方法
具体设计步骤：
N 1
n 0
h ( n ) ( c o sn js inn ) H g () ( c o s js in)
n 0
N 1
其中： Hg ()cos h(n)cosn
n0
N 1
Hg ()sin h(n)sinn n0
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N1
Hg()cos h(n)cosn n0
N1
证明：
N 1
H e j H g e j h(n)e jn n0
N 1 2
[h(n)e jn h( N n 1)e ] j (N n1) n0
j N 1 N / 21
j (n N 1)
j (n N 1)
e 2 [h(n)e
2 h(n)e 2 ]
n0
N / 21
h(n) 奇对称
图1 线性相位特性
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频率约束：
（1）h(n)=h(N-n-1)，N为奇数 (N 3)/2 –幅度特性为：H g()h2h(n)cos n n0 –相位特性：()
–由于c o s(n )关 于 0 , ,2偶对称，因此，H g 对
这些频率也呈偶对称。 –可实现低通、高通、带通、带阻滤波器
缺点：
1. 因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的阶数 为代价；
2. 无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计 公式， 要借助计算机辅助设计程序完成。
7.1 线性相位FIRDF及其特点
N1
➢ 传输函数 H (ej) h(n)ejnH g( )ej() n0
➢ 幅度特性（可为负值）Hg()
n
0
6
12
N odd, positive symmetry
N为奇数，偶对称
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类型 2:
对称中心
Centre of symmetry
N=12
n
0
6
11
N even, positive symmetr
N为偶数，偶对称
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类型 3:
Centre of symmetry
N= 7 n
0
6
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Centre of symmetry
N=12
n
0
6
11
N even, positive symmetry
Centre of symmetry
n
0
6
12
N odd, positive symmetry
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第二类线性相位：()/2
N 1
H (ej) h(n)ejnH g()ej(/2 ) n 0
z1 z2
z2
1
z
* 1
Re( z )
零点分别是复数、 纯虚数、实数和 单位圆上的实数
z
* 3
1
z1
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由 该 式 可 看 出 ， 若 z=zi 是 H(z) 的 零 点 ， 则 z=z-1i 也 一 定 是 H(z)的零点。由于h(n)是实数，H(z)的零点还必须共轭成对 ，所以z=z*i 及 z=1/z*也必是零点。
➢ 相位特性 ()
➢ 第一类线性相位FIRDR
严格线性函数：()
➢ 第二类线性相位
满足 ()0
➢
为常数， 0 为起始相位
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系统的群时延：
() d() d
群时延均为常数称为恒定群延时滤波器：
d() d
const
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对称：
类型 1:
对称中心
Centre of symmetry