理论力学牛顿动力学方程

理论力学
何国兴
东华大学应用物理系
第一章 牛顿动力学方程
§1.1 经典力学基础——《原理》 牛顿三大定律
§1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式 牛顿第二定律矢量表达式
F = dP/dt = d(mv)/dt 若m 为常数， F = mdv /dt = ma 1、直角坐标系
Fx = mdvx /dt = max Fy = mdvy /dt = may Fz = mdvz /dt = maz
)
qi qi qi qi
拉 密 系 数:
Hi
r qi
x qi
2
y qi
2
z qi
2
r qi
与 qi
坐 标 线 在P
点 的 切 线 单 位 向 量ei
同向
r qi Hiei
或
1 r ei Hi qi
r
q
i
Hiei
或
1 r
ei
Hi
qi
速 度: v dr r dq1 r dq 2 r dq 3
v
r
r
d dt
ax ay
cos sin
sin cos
2rrrr2
(3) ( ax , ay ) → ( ar , aφ)
ar r r2 a 2r r
Baidu Nhomakorabea
作业
已知球坐标系与直角坐标系关系: x = r sin cos y = r sin sin z = r cos
推导球坐标系（r，，φ）中的 （1）速度分量（ v r ，v，vφ ）； （2）加速度分量（ a r ，a，aφ ） 。
3、一般曲线坐标系中的速度、速率、加速度公式
y q2 e2
q3 e3
e1
q1
o
x
z
x = x(q1, q2 , q3 ), y = y(q1, q2 , q3 ), z = z(q1, q2 , q3 )
r r
r(q1 , q x
2, i
q
3
) y
xi y
j
z
j k
z
k (
i
1，2 ，3
例题：假设“和平”号宇宙空间站在接近地面摧
毁时，有一质量为 m 的碎片以水平方向的初速 vo 抛出，已知空气阻力与速度成正比，即 f = - kv
（ k 为常数），试求碎片的运动方程和轨迹方程。
解：牛顿第二定律：mg + f = mg - kv = mdv/dt
建立坐标系：x 轴 —— vo 方向; y 轴 —— 垂直向下方向。
v v
x y
cos sin
sin cos
vr v
vx vy
cos sin
sin cos
rr
§1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式
2、平面极坐标系 (r,φ)
(2) ( vx , vy ) → ( vr , vφ)
vx rcos - rsin
vr
r
dr dt
vy rsin rcos
初始条件： t = 0， xo = 0 ， yo = 0 ， zo = 0； vxo = vo ， vyo = 0 ， vzo = 0;
运动微分方程： - kvx = mdvx /dt
mg - kvy = mdvy /dt
0 = mdvz /dt
运动微分方程： - kvx = mdvx /dt
mg - kvy = mdvy /dt
r qi
d dt
qi
1 2
v2
qi
1 2
v2
令 T v2 , 则 加 速 度: 2
ai
1 Hi
d
dt
T qi
T qi
例：求柱坐标中质点的速度、加速度分量表达式。
解 : 坐标变换 x r cosφ , y r sinφ , z z
z=0
§1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式
2、平面极坐标系 (r,φ) 与直角坐标系关系:
y
φo
ro
v
(1) (x , y) → (r ,φ)
x = r cosφ y = r sinφ
r φ
x
vx= vr cosφ-vφsin φ vy= vr sinφ+ vφ cosφ
vx rcos - rsin vy rsin rcos
Hdt1q1e1q1
dt q H2q2e2
2
H
dt 3q3e3
q3
dt
正
交
曲
线 坐 标 系:
正
交
性
ei
ej
0 1
, ,
ij ij
速 率: v v v H12q12 H22q22 H23q23
弧元:
ds vdt
H12 (dq1
)2
H
2 2
(dq 2
)2
H
2 3
(dq
3
)2
加 速 度 在 基 矢 方 向 上 的分 量:
dv 1 r
ai a ei dt Hi qi
aiHi
dv r
dt qi
d dt
v
r qi
v
d dt
r qi
v qi
qi
dr dt
qi
r q1
q1
r q2
q2
r q3
q3
r
qi
r v
qi
v v
qi
1 2
v qi
v
v
v qi
1
qi 2
v2
ai Hi
d dt
v
r qi
v
d dt
r qi
,
v r 1 v2
qi qi 2
v qi
qi
r q1
q1
r q2
q2
r q3
q3
q1
r qi
q1
q2
r qi
q2
q3
r qi
q3
d dt
r qi
v
d dt
r qi
v
v qi
qi
1 2
v2
ai Hi
d dt
v
r qi
v
d dt
0 = mdvz /dt x方向： dvx / vx = - (k/ m) dt
→
vx = vo e - kt/m
y方向： - kdvy/(mg-kvy) = -(k/ m)dt
→
vy = (mg/k)(1- e - kt/m )
z方向： dvz = 0 → vz = vzo = 0
vx = vo e - kt/m
= mg t /k - m2g /k2 (1- e - kt/m )
→ z - zo = ∫ot 0 dt = 0 运动方程: x = (mvo /g)( 1- e - kt/m )
y = mg t /k - m2g /k2 (1- e - kt/m )
z=0
→ kt/m = - ln( 1-kx/mvo ) 轨迹方程: y = - g ln( 1-kx/mvo ) - mg x / kvo
vy = (mg /k)( 1- e - kt/m )
vz = 0
vx = vo e - kt/m ，vy = (mg /k)( 1- e - kt/m ) ，vz = 0 → x - xo = ∫ot vo e - kt/m dt = (mvo /g)( 1- e - kt/m ) → y - yo = ∫ot (mg /k)( 1- e - kt/m ) dt