纯弯曲时梁横截面上的正应力

§ 5 -2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
在推导纯弯曲梁横截面上正应力的计算公式时 ， 要综合考虑 几何 ，物理 和 静力学 三方面 。
几何方面 取图 5-1 b 所示纯弯曲梁来研究。梁的任一横截面上只 有弯矩，其值等于外力偶 m。梁在加力前先在其侧面上
画两条相邻的横向线 mm 和 nn ,并在两横向线间靠近顶
o1
y
dx
o2
B1
B
B1B为 A B1 的伸长量
AB1
(c)
y (d θ ) AB1 B1 B ε dx O1 O2 AB1
为 A 点的纵向线应变。
C
d
O1 O2 dx 为中性层上纵向线段的
长度 A
o1
y
dx
o2
B1
B
中性层的曲率为
1 dθ ρ dx
(c)
y (d θ ) AB1 B1 B ε dx O1 O2 AB1
O
m Z
dA y
因此，只可能组成三个内力分量
N Aσ dA
0
(d) (e) (f)
σ dA
Z
M y A zσ dA 0
M z A yσ dA M
y (d)
通过截面法，根据梁上只有外力偶 m 这一条件可知，上式中 的 N 和 My均等于零， 而Mz就是横截面上的弯矩M。
y 将正应力 σ Eε E 代入以上三个条件，并根据有关的 ρ
面和底面处分别划将条纵向线 aa 和 bb （图5-1 a ） m
a b m n
m a b
n
m
(a)
(b)
根据观察，梁变形后： 1. 侧面上的两纵向线 aa ， bb 弯成弧线； 2. 横向线 mm , nn 仍为直线，但相对转了一个角度且 与弯曲后的 aa ，bb垂直； 3. 靠近底面的纵线 bb 伸长，而靠近顶面的纵线 aa 缩短；
最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处
y max 表示最大应力点到中性轴 当中性轴为对称轴时，
的距离，横截面上的最大正应力为
σ max
IZ WZ ymax
M y max Iz
(j)
（5—3）
C
ymax
Z
WZ
称为抗弯截面模量
y
ymax
梁横截面上最大正应力的计算公式为
该式自动满足
E 2 E Iz M 可得 由式 M z A yσ dA A y dA ρ ρ
1 M ρ E Iz
（5-1）
EIz称为抗弯刚度
y 将上式代入 σ Eε E ρ
得
σ
Iz My
（5-2）
该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式 式中 ： M 横截面上的弯矩 横截面对中性轴的惯性矩 求应力的点到中性轴的距离
z 无关 。因而， 与这些纵向线变 段沿 z 轴的位置无关 。 (c)
物理方面
假设：
横截面上各点处的纵向线段均处于单轴应力状态 材料在弹性范围内工作，且拉，压弹性模量相等 由单轴应力状态下的 胡克定律 可得物理关系
=E
将
y ε ρ
代入
σ Eε
即得
σ Eε E
y
ρ
（ c）
上式为横截面上正应力变化规律的表达式
1 dθ ρ dx
C
d
因为是个非负的量于是
ε

ρ
o1
(a) A y
dx
o2
B1
B
y
该式说明 ， 和 y 成正比 ,，而与z
无关 。因而， 与这些纵向线段沿变 z 轴的位置无关 。 (c)



y
(a)
C
d
Z
O x
o1
y

dx
y
o2
B1
B
y
A
该式说明 ， 和 y 成正比 ,，而与
上式说明，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距 离 y 成正比 ；在距中性轴为 y的同一横线上各点处的正应力 均相等 。这一变化规律可用图 5-1 表示。
1 ρ 以及中性轴的位置？
y σ Eε E ρ
静力学方面
需再考察 静力学方面 中性轴 (e)
在横截面上法向内力元素 dA
构成了空间平行力系。
(c)
横截面的转动将使梁的凹边的纵 向线段缩短，凸边的纵向线段伸 长。由于变形的连续性，中间必 有一层纵向线段 C
d
oo
1
2
无长度改
变。此层称为 中性层 。 中性层与横截面的交线称为 中性轴 。 中性轴与横截面的对称轴成正 交。
o1
dx
o2
(c)
横截面的 对称轴 横截面
C
d
o1
中性层
中性轴
dx
m a b m n n a b b m
m
a
m
n
m
a b n
(a)
(b)
平面假设 ：梁在受力弯曲后，原 来的横截面仍为平面，它绕其上的 某一轴 旋转了一个角度，且仍垂 C
d
直于梁弯曲后的轴线。
用两个横截面从梁中假想地截取 长为 dx 的一段（图5-1 c）,由平面 假设可知，在梁弯曲时，这两个
横截面将相对地旋转一个角度d
o2
（ f）
(c)
将梁的轴线取为 x 轴，横截
面的对称轴取为 y 轴，中性 轴取为 z 轴。
C
d
o1
Z O x
dx
o2
(d)
y
(c)
在横截面上取距中性轴为 y 处
的纵向线 AB。
C
d
作 o2B1 与 o1 A 平行（图5-1 c）
为中性层上的纵向线段o1o2
变弯后的曲率半径
A
A B1 为变形前 AB 的长度
Iz
y
应用公式（5-1） （5-2）的限制条件 （ (b)
几何方面 : 物理方面
平面假设
1 M = ρ E Iz σ My Iz
各纵向线段间互不计压的假设 ； 材料在线弹性范围内工作 ； 材料在拉伸和压缩时的弹性模量相等。
讨论
σ
Iz My
应用公式时，一般将 M，y 以绝对值代入。根据梁变 形的情况直接判断 的正，负号。 以中性轴为界，梁 变形后凸出边的应力为拉应力（ 为正号）。凹入边 的应力为压应力，（ 为负号）。
Sz 0
中性轴必通过横截面的形心
这就确定了中性轴的位置。即过形心与 y 轴垂直。
C C
Z
Z
y
中性轴
y
压
C
M
M
拉
C
Z
Z
压
拉 y 中性轴 y
中性轴将横截面分为受拉和受压两部分。
E I yz E o M y A zσ dA A zydA ρ ρ
因为 y 是对称轴，所以
I yz 0
截面几何参数的定义，可得
E E Sz N Aσ dA A ydA o ρ ρ
(g)
E I yz E o M y A zσ dA A zydA ρ ρ E E Iz 2 M M z A yσ dA A y dA ρ ρ
(h)
(Fra Baidu bibliotek)
E E Sz N Aσ dA A ydA o ρ ρ