群的表示与特征标系
第三章 连续转动群 2010 2

4
α O
α
点操作的特点: 设不动的点为坐标原点,则点操作 不改变任意两矢量 , 间的相对 位置(数学上称保长、保角变换)。
任何点操作在三维空间中对应着一个算符A: 内积: 满足此关系的变换一定满足保长、保角变换。
5
由 要求 即变换算符A 是幺正的。 三维实空间中,要求A变换不会将实矢量变成复矢量, ∴ A必须是实变换,结合幺正性,表明A是正交算符, 对应的矩阵为正交矩阵: 。 由正交变换组成的群称为O群(全正交群)。 三维实空间: O(3)群 SO(3)群是Special orthogonal group.
12
第二节 定轴转动群SO(2)
二维量子力学问题:
轴对称势场,能量也就具有轴对称性。 Cz(φ):φ是表征群元的一个连续参数。 与 , 类似,有 =?
ρ(φ) 为φ~ φ+∆φ范围内的群元密度。
13
若
(无限小的
值)
是一个算符,称为无穷小算符。 是群元算符, 其一阶导数仍然对应一个算符(该算符不一定是无穷 小量,起生成元作用)。 为有限值时, 可写为 n为正整数 当 时,
SO(3)群中转角相同的旋转属于同一个类。
(证明略)
也是一种旋转
α
β
由图
25
在三维实空间对应一个算符:
,
θ α
26
当
时,对应于无穷小转动,由上式有
SO(2)群中无穷小算符,
推广: SO(3)群有三个无穷小算符
27
作用在三维实空间的基矢上可得到矩阵表示:
满足
满足循环对易关系,且为反厄米的。
28
43
确定SO(3)群的不可约表示:
每个群元都可由
表示出来,
群论 群的线性表示 基础

1 0 0 0 1 e1 , e2 , en 0 0 0 1
线性变换:
矢量:
x1 x2 x x n
封闭性 分配律
●
a(XY)=(aX)Y=X(aY) 数与矢量可对易
这样的线性空间V称为线性代数或代数。 (可)结合代数:满足 (XY)Z=X(YZ) 的代数
2) 群代数:
● (线性)代数是在线性空间上定义矢量乘法, 现 在群空间上定义矢量乘法 ● 规则 数与数: 普通数的乘法
群元素与群元素: 群元素的乘积规则 即
PG
给出了D(S)与S间一一对应关系
按惯例算符乘积定义为两个算符的相继作用 矩阵之间按照矩阵乘积规则相乘, 则 算符乘积和矩阵乘积仍按照上式一一对应 这种算符与其矩阵形式一一对应或多一对应关系在乘积中保 持不变的性质,在群论中会经常遇到,只给出这一次证明 证明:算符与其矩阵形式一一对应关系对它们乘积保持不变
2) 由乘法表写出群的正则表示 方法:♣ 群元素S的正则表示中,矩阵形式由 乘法表中S所在行的乘积元素决定
♣ 表示矩阵中第R列不为零的矩阵元素所在行 就是乘法表S行中R列的乘积元素标记的行
S R
E C4 C42 C43 mx my σu σv
按列写
σv
σv my σu mx C43 C4 C42 E
RG SG
矢量
矢量分量
基
自然基:以群元素作为基
3. 群代数
1) 线性代数: 若在线性空间引入矢量乘法, 则要求线性空间关于乘法是封闭的,且满足分配律,即 若V是数域K上的线性空间,在V中可以定义乘法
对 X,Y,Z∈V, a∈K 满足
第1部分第3章 特征标理论(2)

hi ( χi / χE ) ------------------------ (7) ---------------------- (1) --------------------- (8) --------------------- (4) [ 提问: I I = ? ] [ 提问: I I = I ] *
(5) 以 D3 群为例, 利用类和定理求不可约表示特征标 13 1, 求一维不可约表示特征标 χE = χ1 = 1 取 i = j = 3 ( 可取不同的 i, j 值 ) 因为 C3 C3 = 2 C1 + C3 ( 可利用群表验证 ) 所以 C331 = 2, C332 = 0, C333 = 1 由(2)式 hi ( χi / χE ) hj ( χj / χE ) = ∑k Cijk hk ( χk / χE ) ---- (2) 得 2 • χ3 • 2 • χ3 = 2 • 1 • χ1 + 0 • 3 • χ2 + 1 • 2 • χ3 ( hi = hj = h3 = 2, h1 = 1, h2 = 3, χE = χ1 = 1 ) 4 χ3 2 = 2 + 2 χ3 2 χ3 2 - χ3 - 1 = 0 χ3 = - 1/2 或 + 1 [ 提问: 哪个该舍去? 为什么? ] [ 答案: - 1/2 该舍去, 因为模小于1 ] *
(3) 类和定理的证明 1, 证明(1)式 第一步: 证明类和矢量 Ci 与一切群元矢量 R 对易 Ci R = R Ci, 习题: 证明 Ci X = X Ci, 即
9
R-1 Ci R = Ci ------------- (3)
X 为群元空间中一切矢量
[ 若此题证明了, 则 (3) 式也就证明了 ] 第二步: 证明, 若群元空间中矢量 A 和一切群元矢量 R 对易 R-1 A R = A R为任一群元, 若(4)式左边A中含有某类的任一元 则(4)式右边A中必含有该类所有的元 又∵ ∴ (4)式左右两边A相同 A含完正的类 * ------------------------ (4) 则A 必由若干类和矢量 ( 完整的类 ) 构成 证: ∵ ∴
群论课件

可约性的判定
2 2 2 2
16
第四节 群表示的特征标
1.定义:设群G={E,A,B,C,…},它的一个表示 D={D(E),D(A),D(B),D(C),…},则群元R的特征标 为D(R)的对角元之和(迹) X(R)=TrD(R)= Daa ( R)
a 1 n
式中,R表示G的任一元 Daa是对角元,n是表示空间的维数。 特征标系:群G中所有的g个群元在D中的特征标 注:对可约表示和不可约表示同样适用, 第a个不可约表示Da(R)的特征标写成Xa(R)
8
第二节 舒尔(Schur)引理
1.舒尔引理一 D是群G的一个表示,若存在一个矩阵A,与D中所 有矩阵都对易,即 D(R)A=AD(R) R∈G 则有: (1)若D是不可约的,A必为常数矩阵 A=λ E 式中,λ为标量,E为单位矩阵 (2)若A不是常数矩阵,则D必为可约表示。若A为厄 米矩阵,则约化矩阵就是使A对角化的矩阵。 注:厄米矩阵—矩阵与其共轭矩阵相等 R+=R
21
3.不等价不可约表示的符号
(1)Mulliken符号
符号 A、A1、A2 B(B1,B2,…)
E,T
表示含义 适用情况 +1(对称)、恒等表示、 一维 其他表示 -1(反对称)、其他表 示
二维、三维
脚标加 g,u
有中心反演
(2)Bethe符号
1,2,3, ...
22
4.可约表示的约化(特征标的应用)
19
证明:
(i ( X (i )* ( R) X ( j ) ( R) Duu)* ( R) Daaj ) ( R) R R u a (i ( Duu)* ( R)Daaj ) ( R) ua R
群论(1)第二章

cos µ ¡ sin µ 0 D(R) = @ sin µ cos µ 0 A 0 0 1
0
1
可以验证,D(R)构成平面转 动群的真实表示。(练习)
例2:
系统哈密顿量H,本征值E的能级m重简并
Hù = Eù; ¹ = 1; 2; ¢ ¢ ¢ ; m
G = fRi g
系统的对称变换构成群
,有
m X j=1
Ãj [D(R)D(S)]jk
(1)G与D(G)建立了对应关系 (2)对应关系的性质由变换 群的性质与基矢量的选取决 定
RS -> D(R)D(S)=D(RS) D(G)构成群G在线性空间V上 的表示,V也称为D(G)的表 示空间
例1:平面转动群的二维表示
平面转动R,逆时针转theta角
8 <1 DP R(S) = : 0 if P = T = SR if P 6= SR
这样的矩阵构成群,与G同构,构成群G的g维表示,称 为正则表示,表示空间为群空间。
正则表示的特征标
对角元
DRR (S) =
8 <1 : 0
if R = SR if R 6= SR
if S = E if S 6= E
D1也是可约表示 根本原因 V3 (x; y; z) = V2 (x; y) © V1 (z)
逆向思维
有群G不变的两个线性空间w(n维)和w’(m维),则有两 表示空间上的群表示C(G)和B(G) 将两线性空间直和,得到更高维(n+m)的线性空间
群G即有n+m维的可约表示
该表示的表示空间为V=w+w’
X X=
理论物理中的群表示及其应用研究

理论物理中的群表示及其应用研究群表示在理论物理中是一种重要的数学工具,广泛应用于粒子物理、固体物理、化学等领域。
群表示的研究不仅有助于理解物质的基本性质,还有助于揭示自然界的基本规律。
群表示最早由埃米尔·艾尔特(Vant Hove)在1928年引入,并在之后由埃尔温·沃格尔(Erwin Winger)和埃米尔·阿尔廷格儿(Emil Artin)等人进行了深入研究。
群表示的基本思想是研究某个群在向量空间上的表示,即将群的元素通过线性变换作用于向量空间上的向量。
在理论物理中,群表示的应用非常广泛。
其中最为重要的应用之一是在量子力学中描述粒子的内禀性质。
根据量子力学的原理,粒子的内禀性质可以用量子态表示,而粒子的内禀性质在一个群的作用下应保持不变。
因此,群表示提供了一种将量子态分解为不可约群表示态的方法,这些不可约群表示态在群作用下是保持不变的,从而描述了粒子的内禀对称性。
例如,在粒子物理中,电磁相互作用的基本粒子被认为是一个SU(2)群的不可约表示,而强相互作用则是一个SU(3)群的不可约表示。
通过研究这些群的表示以及它们在物理过程中的作用,我们可以更好地理解基本粒子的互动和性质。
除了在粒子物理中的应用外,群表示还被广泛应用于固体物理的研究。
在固体物理中,晶格的对称性是非常重要的,它决定了固体的各种性质。
群表示提供了一种描述晶格对称性的有力工具。
通过研究晶格的群表示,我们可以确定晶格的点群和空间群,并进一步分析晶格的振动模式、电子能带结构、磁性等性质。
例如,研究固体中的声子振动可以通过将晶格的平移操作进行群表示,得到声子的不可约表示以及它们的能量和动量依赖关系。
此外,群表示还在化学中有重要应用。
化学中的分子和反应物具有特定的对称性,群表示可以描述这些对称性,从而揭示分子的性质和化学反应的机理。
例如,研究分子的拉曼光谱可以用到群表示的方法,通过将分子的对称操作表示成群的元素,可以得到不同振动模式对应的拉曼活性,从而解释实验观察到的拉曼光谱特征。
12阶群的特征标表

12阶群的特征标表12阶群是指具有12个元素的群。
接下来,我将介绍12阶群的特征标表。
首先,我们需要确定12阶群的不可约表示。
根据群论的定理,任何有限群的特征标表的行数等于其共轭类的个数,因此我们需要找到12阶群的所有共轭类。
12阶群共有五个共轭类,它们分别是:1.单位元素类:{e}2.阶为2的元素类:{a,a^-1},其中a是12阶群中阶为2的元素。
3.阶为3的元素类:{b,b^4,b^7},其中b是12阶群中阶为3的元素。
4.阶为4的元素类:{c,c^3,c^9},其中c是12阶群中阶为4的元素。
5.阶为6的元素类:{d,d^5},其中d是12阶群中阶为6的元素。
接下来,我们需要计算这些共轭类的特征标。
特征标是将群的元素映射为一个复数的函数,满足以下性质:1.对于单位元素,特征标为12.对于非单位元素,则特征标的绝对值等于其共轭类大小的平方根。
下面是12阶群的特征标表:12阶群,{e},{a,a^-1},{b,b^4,b^7},{c,c^3,c^9},{d,d^5}--------,-----,-----------,--------------,---------------,---------χ1,1,1,1,1,1χ2,1,1,1,1,-1χ3,1,1,1,-1,1χ4,1,1,1,-1,-1χ5,1,1,-1,1,1χ6,1,1,-1,1,-1χ7,1,1,-1,-1,1χ8,1,1,-1,-1,-1χ9,2,-1,0,2,0χ10,2,-1,0,-2,0χ11,2,-1,0,0,2χ12,2,-1,0,0,-2在特征标表中,χ1至χ8都是行对称的,而χ9至χ12则是列对称的。
这就是12阶群的特征标表。
特征标是研究群表示论中非常重要的工具,它们不仅可以帮助我们确定一个群的结构,还可以在许多数学和物理学领域中找到应用。
群论基础-第3章 特征标理论(2)

可知
Di Dj = k Cijk Dk --------------------- (8)
由(4)式
Di = i I
--------------------- (4)
得
i j I I = k Cijk k I
[ 提问: I I = ? ]
i j = k Cijk k
[ 提问: I I = I ]
由第二步的证明结果可知, Ci Cj 必然只包含完整的类
即
Ci Cj = k Cijk Ck
因此, (1)式得证
2, 证明 (2) 式: 令 Di p 为 Ci 中诸群元第 p 个不可约表示 Dp ( np 维)
矩阵的矩阵和 ( 不是直和 ), Di p 亦为 np 维.
Di p = R Dp ( R )
( hi = hj = h3 = 2, h1 = 1, h2 = 3, E = 1 = 1 ) 4 3 2 = 2 + 2 3 2 3 2 - 3 - 1 = 0 3 = - 1/2 或 + 1
[ 提问: 哪个该舍去? 为什么? ]
[ 答案: - 1/2 该舍去, 因为模小于1 ]
*
为求2 , 再取
从而可得不可约表示特征标表的第一行和第一列 *
D3 E 3C2 2C3
3
D1 1 1
1
D2 1 a
b
D3 2 c
d
(3) 由不可约表示特征标正交性和完全性定理求其它各未知数
正交性定理: C ( hC / h ) i * ( C ) j ( C ) = ij ( 行间正交 ) 完全性定理: j ( h m / h ) i* ( Cm ) i ( Cn ) = mn ( 列间正交 ) 1, 利用正交性定理确定一维表示D2 的 a 和 b, 有
化学数学群论的课件chapter3a

这些等式可写成:
B1 C1 A1 B2 C2 A2
B3 C3 A3 B4 C4 A4 由此可见,E’1,A’1,B’1,…
E’2,A’2,B’2,…
本身也是一个表示。
第二节 群的表示
此时,我们称矩阵E、A、B、…为一个可约表示。 定义:可约表示:即可以通过某一矩阵的相似变换将每 个矩阵变换为一个新的矩阵,所有新的矩阵按照同样方
第三节 “广义正交定理”及其推论
而:m=m’=1,n=1,n’=2时,有:
3 1 3 1 3 1 3 1 1 0 0 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2
3 2 1 2 0
0 0 1
1 2 3 ˆv D 2 0
3 2 1 2 0
0 0 1
1 2 3 ˆv D 2 0
3 2 1 2 0
第二节 群的表示
很容易证明,这六个矩阵形成的乘法表与用对
称操形成的乘法表结构是完全相同的。此外,我
们可以证明:这六个矩阵在矩阵乘法下形成一个
矩阵群:
(1) 封闭性:任意两个矩阵的乘积是六个矩阵之一;
(2) 结合律:矩阵乘法满足结合律;
(3) 单位元素:单位矩阵即为单位元素; (4) 可逆元素:
ˆ DE
其他表示都与Γ1正交,必须有两个1和两个-1。
第三节 “广义正交定理”及其推论
最终可得到C2v点群的四个不可约表示的特征标为: C2v E C2 σv σ’v
Γ1
Γ2 Γ3 Γ4
[理学]北师大的群论__第四章 点群
![[理学]北师大的群论__第四章 点群](https://img.taocdn.com/s3/m/de4b1d7d3c1ec5da50e27069.png)
第四章 点群及其应用复习:§4.1 点 群点群描写系统的宏观对称性; 平移对称操作与微观对称性、空间群。
能带。
正当转动点群及其非任意性(除球之外) 极点、极点星(ν,m )除单位元外,群的极点数满足有即 2)111(121<+++-≤λλm m m得到 λ= 2 或3组:两个极点星(n ,1)、(n ,1);Cn 群 三个极点星(2,n )、(2,n )、(n ,2);Dn 群 (2,6)、(3,4)、(3,4); T 群 (2,12)、(3,8)、(4,6);O 群(2,30)、(3,20)、(5,12);P 群 第一类点群(正当转动点群), 11个,第二类点群(含有非正当转动点群),21个 晶体点群共有32个。
准晶体,包含5度对称轴的点群; 新增加了5个晶系、28个准晶点群。
§4.2 晶体点群的对称操作及对称元素 晶体点群的对称操作:4种8个 (1)c n, (5个)(2)镜面反射(镜面反映)σ (3)中心反演 I(4)旋转反射(旋转反映)s n(只有s 4独立)对称操作之间的关系: (1)同轴的两个转动(2)两个镜面的连续操作~转动(转角)(3)(镜面)(转动 )~镜面(夹角 )(4)C 2vC 2u ~ C w (转角,转轴)(5)可对易的对称操作对称元素在对称操作下,不动的点、线(转轴)、面。
(1)对称元素之间的关系:两镜面(夹角 )之间的交线,必为一转轴; (镜面)+(n 度转轴)→共n 个镜面;两个2度轴( )→垂直的n 度轴;2度轴+与之垂直的n 度轴→共n 个2度轴。
(2)某些特殊的对称元素 主轴等价轴、等价面双向轴(定义,两个判定)(3)图示对称元素的方法(群的图示) 极射投影图(无主轴)作业:1. 习题4. 12. 图示上述6对可对易的对称操作。
3. 习题4. 3§4.3 晶体点群§4.3.1 32个晶体点群附:可能的正多面体,只有5种:面心立方晶体的布里渊区(形状为截角八面体)体心立方晶体的布里渊区体心立方晶体布里渊区的形状名称?正十二面体?不是!形状称为菱形十二面体、或菱十二面体。
群论22-33

4
• 证明:可约表示必可约化为准对角阵,
显然对于一个群元g,AD(g)=D(g)A成立,得证后半部分。 前半部分可用反证法得证。 (作业14!)
D {D(g),g 找G}一个阵A和D对易, 当 A≠C I0 ,D可约
当A=CI0 ,D 不一定是不可约的(因为A也与可约表示对易) 判断表示矩阵是否可约的一种方法:
R
(M ) D j (E) g
R
R
13
tr (M ) C( )l j g ,
M
()
C(
)I0.
g lj
I0.(2)
M D j (R)Di (R1)
R
M
Di (g 1)] .
Dj (R)Di (R1)
R
R
Dj (R)Di (R)
g li
矩阵表示。
即如果A不是单位矩阵的常数倍,D (g) 必是可约表示。
约化过程:(PS )1 D( g )( PS ) D ( g ) 块状矩阵 即(2)点证得。 (1)点的证明利用反证法,自然得证。 (作业13!)
舒尔引理的逆定理:如果AD(g)=D(g)A,且A只能是 的常数倍,则该表示必是不可约表示。反之,如果该 表示是可约的,必有一个非零矩阵是且不是的 常数 倍,矩阵A和该表示对易。
1 2
3 2
3
2
,
1
2
D(D)
1 2
3 2
3 2
,
D(F
)
1 2
1 2
3 2
3
2
,
1 2
6是否 2 2 (1)(1) (1)(1)
25
• 例2. C3群在三维实空间中的表示(以前的例题 中),1,2行列的块状阵,也是不可约表示。
群的表示与特征标系

为 了 说 明 操 作 改 变 符 号 , 可 将 C2v 置 于 直 角 坐 标 系 , 函 数 改 变 符 号 是 指 f(x,y,z)→-f(x,y,z),不改变符号是指f(x,y,z)→f(x,y,z)。
似变换。如果经过属于群的旋转对称操作能将一个对称平面 移动到另一个对称平面上(即互换了位置),则这些能相互达到 的对称平面的反映操作属于同一类,如C3v群中的三个的对称 操作属于同一类(NH3分子)。如果经过属于群中的旋转操作或对 称面反映,能将一个二重轴移动到另一个二重轴上,则此两个 二重轴对称操作属于同一类,如D3h群中垂直于C3轴的三个C2 轴的对称操作属于同一类(BCl3分子)。如果群中有对称操作能 使Cn轴的方向倒置,则Cnn-1和Cn1;…;Cnn-i和Cni属于同一 类。
我们将确定某一操作下变换的数称为变换的标或特征标, 特征标是作为点群表示一部分的任何矩阵的迹,矩阵的迹 是它的对角元素的和,对称操作符号上面加一尖帽表示把 它当作算符作用在基上,变换的结果用变换的标与基来表 示,这样 ÊPx=1Px ĉ2Px=-1Px xzPx=1Px yzPx=-1Px 。 在固定对称操作的排列次序后,Px轨道在C2v群中的特征 标为一个有序数组(1 -1 1 -1),这个有序数组称为特征 标系,而且通常总把它列成表格:
矩阵是一些数字或数字符号的矩形排列,垂直的集合称为列, 水平的称为行,符号aij表示位于第i行第j列的一个元素(又称 矩阵元),m给出行的数目,n给出列的数目,m和n确定矩 阵的阶。
群论基础-第3章 特征标理论(1)

D ( R ) = i D i ( R ) ai ( i = 1 ------ r ) ------ (3) *
(3) 例: D3 群表示的特征标和约化 ( D5 和 D6 前面给出过) 5
类 群元
D4
4
D5
5
D6
6
┌1 0 0┐
┌1 0 0┐
┌1 0 ┐
C1 E ∣ 0 1 0∣ 3 ∣0 1 0∣ 3 ∣
R Dr i * ( R ) D j ( R ) = ij r h / nj (1) 取对角元, 即 = , = [ 思考题: 为什么? ]
则有
R D i * ( R ) D j ( R ) = ij h / nj
(2) 对 求和
[ 思考题: 是何目的? ]
1
D3 1 1 1 -1 -1
D4 1 1 -1
1 -1
D5 2 -2 0
0
0
________________________________________________________
D6 6 2 2
2
0
*
(五) 不可约表示特征标完全性定理
14
一, 关系式 [ 对照(4)’式 C hC i * (C) j (C) = ij h --- (4)’ ] i ( h m / h ) i * ( Cm ) i ( Cn ) = mn ------------------- (8)
C hC i * ( C ) j ( C ) = 1•1•2 + 3•(-1)•0 + 2•1•(-1) = 2 – 2 = 0 若令 i = j = 3, 则有
C hC i * ( C ) j ( C ) = 1•2•2 + 3•0•0 + 2•(-1)•(-1) = 4 + 2 = 6 *
第三章 群的表示

σxz: 0
-1
0
y
-
y
0 0 1 z z
- 1 0 0x - x
σyz:
0
1
0 y
y
0 0 1 z z
第二节 群的表示
c. 反演: 一个普通点(x,y,z),关于原点反演后,其坐标变 为(-x,-y,-z)
所以它可用矩 阵表示为:
- 1 0 0 x - x
i:
0
-1
0
y
求:AB,BA
0 1 2
B 1 0
3
2 3 0
60 4 1 2 2 AB 90 6 1 3 2
3 0 2 1 1 2
0 0 0 0 0 0
0 0 0
6 1 40 2 3 9 1 60 3 3
3 1 2 0 1 3
6 2 4 3 20
D Cˆ3
cos sin
2π
3 2π
3
sin 2π 3
cos 2π 3
0
0
1 2
3
2
3 2
1 2
0
0
0
0
1
0
0 1
第二节 群的表示
1 2
3 2
0
D
Cˆ
2 3
群论-3 群的表示理论

群表示的编程实现
Python实现
利用Python编程语言实现群表示 的算法,可以使用NumPy等库进 行矩阵运算和线性代数计算。
Java实现
利用Java编程语言实现群表示的 算法,可以使用Java的矩阵库和 线性代数库进行计算。
C实现
利用C编程语言实现群表示的算法, 可以使用STL等库进行矩阵运算和 线性代数计算。
在粒子物理学中,对称性是理解基本 粒子行为的关键。群论用于描述这些 对称性,例如SU(3)群用于描述强相 互作用中的同位旋对称性。
03
相对论
在广义相对论中,群表示用于描述时 空的对称性,如洛伦兹群用于描述狭 义相对论中的时空变换。
化学系统中的群表示
01
分子的对称性
在化学中,分子具有特定的对称性,这些对称性可以用群论来描述。例
数据压缩
在数据压缩中,信息可以用群来表示和编码。例如,文本文件可以用字符集的群来表示和 压缩。
图像处理
图像可以看作是二维像素阵列,这些像素阵列具有平移、旋转和缩放等对称性。群论用于 描述这些对称性,并用于图像处理和识别。
密码学
在密码学中,信息可以用群来表示和加密。例如,RSA算法使用模数n的乘法群来加密和 解密信息。
无限群表示的应用
无限群表示在数学、物理和工程等领域有广泛的应用,如 调和分析、量子场论和偏微分方程等。
群表示的性质
群表示的同态与同构
同态和同构是群表示的重要性质,它们描述了不同群表示之间的 关系和等价性。
群表示的分解
通过分解群表示,可以将复杂的问题简化为简单的问题,有助于 深入了解群的结构和性质。
Part
05
群表示的算法与实现
拉曼光谱

A1 1 1 1
A2 1 1 -1
E 2 -1 0
Ⅰ
Ⅱ
Z Rz
(x,y)(Rx,Ry)
Ⅲ
x2-y2,z2
(x2-y2,xy) (xz,yz)
Ⅳ
这里的C3v点群为列,说明点群特征标表中有关 符号的意义。
区域I最上面的C3V是点群圣弗利斯符号,下面是 不可约表示的符号 ,首先由穆利肯引入,因此叫 做穆利肯符号,意义如下:
振动模的对称性分类
现在讨论如何把一个实际分子的振动与上述分子点群的 特征标表联系起来,要点如下
1) 一个分子的振动可以分解为若干个简单的振动, 即以简正坐标所代表的简正振动。每一个简正振 动代表分子以相同频率,相同位相的集体振动。
2) 尽管一个分子对称点群的表示可以有无穷多 个,但不可约表示是唯一的。可以选取任何一组完 整的函数或失量作为基失写出群的一个表示,然后 通过相似变换约化到不可约表示。当讨论分子振动 问题时,简正坐标可以作为该分子所属对称群不可 约表示的基矢。这样,通过简正坐标就把分子的简 正振动模和点群的不可约表示联系起来。
称元素的分类,对称元素前面的数字表示该类对
称元素所包含的对称操作的个数。下面每一行的
数字代表属于每一种不可约表示的特征标。可以
看出,一个的点群不可约表示的数目等于该群分
类的数目,例如C3V点群有三类对称元素,三种 不可约表示,每个不可约表示代表着一个简正振
动频率。
区域Ⅲ中x,y,z表示坐标,Rx,Ry,Rz则表示 绕x,y,z轴的转动。它们所处的位置表明它们 所属的不可约表示。坐标的一次函数所属不可约 表示是红外活性的,坐标的二次函数所属不可约 表示是拉曼活性的 。
十二 群表示特征标
对于任何一个分子,都具有特定的对称性和 对称操作,对称操作的完整集合,满足数学群的 四条准则,构成一个群。
群论第四章2

3、可约表示就类似假分数,可进一步约化,不可约是最简分数
4.5 群表示的重要定理
1、广义正交定理
i R mn R j R m'n '
R
h li lj
i j mm ' mn '
1
1、 i R mn 第i个不可约表示中,与操作R对应的矩阵第m行
和第n列的元素表为 i R mn 2、每逢包括虚数或复数时,等式左边的一个因子必须取复 共轭(用*表示),包括复数时必须用1式
0 1
则其定义为:一个分子的全部对称操作形成一个群,若 将这些对称操作用变换矩阵表示,这些变换矩阵也形成
一个群,通常把这样的矩阵群叫作相应点群的表示
4.2 表示的基
点群的对称操作得有其作用的对象,代表变换的矩阵 得有其变换的对象。通常我们将选作群对称操作的作用
对象的基矢,称为形成该群的这一表示的基(basis),
1 3 0 2 2 3 1 0 2 2 001
v
100 010 00 1 100 010 00 1
v'
1 3 0 2 2 3 1 0 2 2 3 3 0 2 2 1 2
3、若方便起见,略去复共轭的部分,则可将1式写成:
R R R 0
i mn j mn R
i≠j 3
2
R R R 0
i mn i m 'n ' R
若m≠m’或n ≠n’;或同时m≠m’或n ≠n’
i R mn Ri R mn h
2
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,数只是矩阵的一种特殊形式。群的表示是数或矩阵 的一个集合,这个集合确定了基在群的操作下的变换 。分子的不同性质(即基)原则上将有不同的表示,即 有不同的对称性。不同分子中的同一种性质,原则上 也将有不同的表示,也就是不同的对称性。
为 了 说 明 操 作 改 变 符 号 , 可 将 C2v 置 于 直 角 坐 标 系 , 函 数 改 变 符 号 是 指 f(x,y,z)→-f(x,y,z),不改变符号是指f(x,y,z)→f(x,y,z)。
任何子群都必须含有恒等元,所以说共轭类与子群不同。如对 于NH3分子的对称操作群可分为三个类,即E;1、2、3; C3、C32。 Px轨道在C2v群中的特征标系是(1 -1 1 -1),属于B1不可约表 示。采用同样的方法可以证明,Pz轨道的特征标系为(1 1 1 1) ,称为A1不可约表示;Py轨道的特征标系为(1 -1 -1 1),称 为B2不可约表示。这种包含四个数且被写成一行的方式,数学 上称为四维行矩阵,或四维行矢量。C2v群还有没有别的不可 约表示?特征标系矢量的维数有什么意义?
我们将确定某一操作下变换的数称为变换的标或特征标, 特征标是作为点群表示一部分的任何矩阵的迹,矩阵的迹 是它的对角元素的和,对称操作符号上面加一尖帽表示把 它当作算符作用在基上,变换的结果用变换的标与基来表 示,这样 ÊPx=1Px ĉ2Px=-1Px xzPx=1Px yzPx=-1Px 。 在固定对称操作的排列次序后,Px轨道在C2v群中的特征 标为一个有序数组(1 -1 1 -1),这个有序数组称为特征 标系,而且通常总把它列成表格:
pz→ pz pz pz py→ py -py -py
pz py
特征标表
A1 1 1 1 1 B2 1 -1 -1 1
pz py
用“特征标表” 表示群。下表示出C2V群的“特征标 表”
在特征标表的左上角为该表的点群符号,用以区分其他的表。 在表的顶端水平列出包括“恒等操作”在内的该点群的各类对称操 作,对C2v点群来说,他们是E、C2、σxz、σyz, 在对称操作下面的四 行数字称为特征标,他们不是普通的数字,而是代表一种操作。数 字中的每一水平行都代表了该点群的“简化的表达形式”,每个简 化的表达形式用一符号表示,如C2v表中的A1、A2、B1和B2。这种 符号表示原子轨道和分子轨道(广义地为函数)的对称性、振动方式 等。中间各行数字,1表示操作不改变符号,也即是对称的,-1表示操 作
将引起符号的变动,意味着是反对称的。最右边一列pz、dxy、 px、py等,表明这些轨道分别具有A1、A2、B1、B2等那样的变 换方式。
2-1 对称操作分类 如果A、B和X是一个群G的任意三个元素,它们间存在着B= X-1AX,则称B是A借助X的相似变换所得的结果,亦称A和B 是共轭的。群G的元素之间的这种共轭关系符合数学上等价关 系的三个条件:反身性、对称性和传递性。所谓反身性是指每 一个元素A与它自身共轭,即A=E-1AE;所谓对称性是指,若 元素B与A共轭,则元素A与B共轭,B=X-1AX,A=X-1BX; 所谓传递性是指,若B与A共轭,C与B共轭,则C与A共轭。利 用共轭元素的性质,就可将整个群的元素分成一些类,使每一 类由相互共轭的元素组成,两个不同类没有公共元素,这样群 的类就是相互共轭元素的一个完整的集合。群G的任何一个共 轭类中所含有元素的个数必为G的阶的整数因子,恒等元E永远 自成一类。除了恒等元类外,所有共轭类都不含有恒等元,而
自然界的每一种对称性都对应着相应的守恒量。群
论是系统地研究群的性质和应用的一门学科。分子点
群中各对称操作的变换矩阵的集合称为群的“表示 ”(),群的表示就是要确定分子的各种性质的具体对 称性,分子结构决定了分子的全部性质,包括对称性 。分子的各种波函数,各种性质(如角动量、偶极矩、 极化率等)和所进行的各种运动,无不具有确定的对称 性。群论中把对称性有待确定的所有各种性质统称为
E C2 σxz σyz x→ x -x x -x y→ y -y -y y
z→ z z z z
特征标表
C2v E C2 σxz σyz
B1 1 -1 1 -1 x B2 1 -1 -1 1 y A1 1 1 1 1 z
类似地,将py 、pz 进行操作可以得到
E C2 σxz σyz
C2v E C2 σxz σyz
C2v E C2
xz
xz
基
B1 1 -Leabharlann 1-1X这里的B1代表特征标的一种符号,读作B1不可约表示 。表中右边一列所写的x代表基,由于x和Px具有相同 的对称性,即它们在对称操作下有相同的变换,x是 坐标函数,它代表函数形式相同的全部基,这些基全 有相应不可约表示的对称性。
在通常的情况下,变换的普遍表示形式应该是矩阵
基或基函数。而所谓具体对称性,是由基在群的全部 对称存在下的变换确定的,MO理论认为,AO组成 MO后,对称性保持不变,i.e.,MO由和它的对称性 相同的AO组合而成,这里所说的AO和MO就是上面 所说的基。点群表示中变换矩阵的行或列数称为表 示的维数。以H2O分子为例,它属于C2v群,其中氧原 子上的Px轨道在C2v群全部对称存在下的变换为:
恒等操作是群中唯一的单位元,是任何点群都不可缺少的,它 是唯一没有相应对称要素的操作,也是唯一可由任何其它操作 重复多次而生成的操作,因而,其性质十分独特。数学的语言 表达这种独特的性质为: E=X-1EX 这里的X是群中任意其 它操作,X-1是X的逆操作。恒等操作永远单列为一类。
若A和X是群的两个元素,则X-1AX就等于群的某一元素B,B =X-1AX,B是A借助于X所得的相似变换,称为A和B是共轭的 。因此,恒等操作是自共轭的。相互共轭的元素的一个完整集 合称为群的类,E总是自成一类,因为群中一定有E,所以任何 元素总是与自身共轭。所有类的阶必定是群的阶的整数因子。