第七章 图与树

2、求法 (1) P=A+A1+A2…An (2) 对邻接矩阵用warshall算法 例3：
P(G)=
3、应用 （利用主对角线是否为1，判断图有无回路问题 ）
OS判断死锁问题 设4个进程，分别为{P1,P2,P3,P4},4种资源，{R1,R2,R3,R4},在t时刻，进程
对资源的占有和申请情况如图所示。
(3)、应用
鼓风机设计问题
3、节点的最大度和最小度
4、 定理
Kn边的条数: |E|=n(n-1)/2
其中n为节点数
5、任何图中，度数为奇数的节点必定是偶数个。
三、补图与子图 1、 补图定义 设图G=<V, E>，其补图 集合。 2、子图定义 设图G=<V, E>，如果有图G’=<V’, E’> ，其中V’⊆V , E’ ⊆E，则称G’是 G的子图。其中，如果V’=V , E’ ⊆E ，则称G’ 为G的生成子图。 ，为把G变成完全图后所增加的边的
2、有向图的关联矩阵
设 G=<V,E> 是 一 个 简 单 有 向 图 ， V={v0,v1,…vn} ， E={e0,e1,…et}, 则 M(G)=(mij)n×t为结点与边的关联矩阵。其中：
例5：M=
7.4 欧拉图和汉密尔顿图
一、 欧拉图（E图） 1、无向欧拉图
(1)、定义
给定无孤立节点图G，若存在一条路，经过图中每边一次且仅一次，该路称为欧 拉路；若存在一条回路，经过图中每边一次且仅一次，该回路称为欧拉回路； 具有欧拉回路的图称作欧拉图。 (2)、判断 H路：无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的，且只有两个奇数度节点。 H回路：无向图G具有一条欧拉回路，当且仅当G是连通的，并且所有节点度数
2、应用
设A(G)为图G的邻接矩阵，则 (A(G))l中第i行，j列的元素(alij)
等于G中连接vi和vj长度为l路的条数。
二、可达性矩阵reachability matrix
1、定义
设G=<V,E>是一个简单图，V={v0, v1, … vn}，则n阶方阵P(G)=(pij)n×n为 可达矩阵。其中：
二、节点度 1、节点度定义 deg(vi) 表示与节点vi相关连的边的条数，其中含环节点度加2。 2、有向图节点度 节点入度：在有向图中，射入一个节点的边数称为该节点入度，记为 deg— (vi) ； 节点出度：射出一个节点的边数为该节点的出度，记为deg+ (vi)； 节点度： deg(vi) = deg— (vi) + deg+ (vi)
接上例 { e6 ，e7 }√ { e5 ，e7 }√ { e1 , e3 , e8 } × 例5:
{e4 }为割边，
7.3 图的矩阵表示 一、邻接矩阵adjacency matrix 1、定义
设G=<V,E>是一个简单图，V={v0, v1, … vn}，则n阶方阵：
A(G)=(aij)n×n为邻接矩阵。
7.2 路、回路、图的连通性
一、路与回路
1、路定义 设图G=<V, E>，v0, v1, … vn, ∈V, e0, e1, … en, ∈E, ei为节点vi和节点vi-1之
间的边，交替序列v0 e1 v1 e2 … en vn，为连接v0和vn之间的路。其中v0为
路的起点， vn为路的终点。 (1) 回路 如果v0 ＝ vn ，这条路称回路。 (2) 迹 若一条路中所有边不同，则称为迹。 (3) 通路若一条路中所有点不同，则称为通路。 (4) 圈 所有节点都不相同的回路叫圈。
单侧分图：最大的单侧连通子图。
弱分图：最大的弱连通子图。 例2：
强分图：{v1, v2, v3, v4},{v5},{v6} 单侧分图：{v1, v2, v3, v4,v5,v6} 弱分图：{v1, v2, v3, v4,v5,v6}
(3) 强连通性质
一个有向图是强连通的,当且仅当G中有一个回路，它至少包含每个节点一次。
2 有向图 (1) 连通性
强连通:在有向图G=<V, E>中，如果任何一对节点之间相互可达，则该图 为强连通。
单侧连通: 若任意两个节点至少有一个可以到达，则称该图是单侧连通。 弱连通: 若该有向图去掉方向后仍然连通，则该图是弱连通。
注：强连通必然单侧连通，单侧连通必然弱连通。
(2) 有向图的分图 强分图：最大的强连通子图。
例1：求下图邻接矩阵（无向图）
0 1 1 1 1
1 0 1 0 0
1 1 0 1 0
1 .0 1 0 1
1 0 0 1 0
A=
ห้องสมุดไป่ตู้
例2：求下图邻接矩阵（有向图）
总结： 对于无向图，行或列中1的个数就是该点的度数； 对于有向图，行中1的个数是该节点的出度，列中1的个数 是该节点的入度； 简单无向图的邻接矩阵为对称的，有向图的邻接矩阵未必。
P1拥有资源R4，又去申请资源R1 P2拥有资源R1，又去申请资源R2
P3拥有资源R2，又去申请资源R3
P4拥有资源R3，又去申请资源R4
递归调用
设过程集合{P1,P2,P3,P4,P5} 调用关系为
P1调用P2 P2调用P4 P3调用P1 P4调用P5
P5调用P2
0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
图论起源： 哥尼斯堡七桥问题 在18 世纪,普鲁士的哥尼斯堡镇被普雷格尔河分成4 个部分。 包括河两岸、中心岛以及两条支流之间所夹的部分,河上建有 7 座桥连接着小镇的4 部分。
A
A B D C
B
C
D
第七章 图论基础 7.1 图的基本概念 一、图的定义及有关术语 1、图的定义 图是二元组G=<V, E>,其中V是节点集合，E是边集合。 2、 专业术语 无向边，有向边，平行边，自回路（环，其边的方向没有意义），邻接 点，邻接边，孤立点， 3、图的分类 有向图、无向图和混合图，简单图（不含平行边，自回路），完全图（每 对节点之间有边相连）多重图（含平行边），边权图与点权图，平凡 图（一个点）与零图（多个点，无边）
1725年约翰· 伯努利的儿子丹尼尔· 伯努利赴俄国，并向沙皇喀德林一世推荐了欧拉， 这样，在1727年5月17日欧拉来到了彼得堡。1733年，年仅26岁的欧拉担任了 彼得堡科学院数学教授。1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算慧星轨 道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己 发明的方法，三天便完成了。然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失 明了，这时他才28岁。1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科 学院物理数学所所长，直到1766年，后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回 彼得堡，不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明。不幸的事情接踵而来， 1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火 中，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰 烬了。
P=
三、关联矩阵incidence matrix
1、无向图的关联矩阵
设 G=<V,E> 是 一 个 简 单 无 向 图 ， V={v0,v1,…vn} ， E={e0,e1,…et}, 则 M(G)=(mij)n×t为结点与边的关联矩阵。其中：
例4：
M=
性质： 边关联两个节点，所以M(G)中每一列只含两个1； 每一行中元素的和对应该节点的度数； 一行中元素全为0，则为孤立节点； 两个平行边其对应的两列相同 。
在他完全失明之前，还能朦胧地看见东西，他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发现 的公式，然后口述其内容，由他的学生特别是大儿子A· 欧拉（数学家和物理学家）笔录。 欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世， 竟达17年之久。 欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容，心算并不限于简单的运 算，高等数学一样可以用心算去完成。有一个例子足以说明他的本领，欧拉的两个学生把 一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定 究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来。欧拉在失明的17年中；还解决了 使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题。 欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家，从19岁起和欧拉通信，讨论等周问 题的一般解法，这引起变分法的诞生。等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日 的解法，博得欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛称拉格朗日的成就，并谦虚 地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年青的拉格朗日的工作得以发表和流传， 并赢得巨大的声誉。他晚年的时候，欧洲所有的数学家都把他当作老师，著名数学家拉普 拉斯（Laplace）曾说过："欧拉是我们的导师。" 欧拉充沛的精力保持到最后一刻，1783 年9月18日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭，那时天王星刚 发现不久，欧拉写出了计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝完茶后，突然疾病 发作，烟斗从手中落下，口里喃喃地说："我死了"，欧拉终于"停止了生命和计算"。 欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗 精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的。［欧拉还创设了许多数学符号，例如π （1736年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），Σ （1755年），f(x)（1734年）等。
全为偶数。
(3)、应用 中国一笔画问题
2、有向图欧拉路
(1)、定义 给定无孤立节点有向图G，经过图中每边一次且仅一次的一条单向路
(回路)，称为单向欧拉路(回路)。
(2)、判断 有向图G具有一条单向欧拉回路，当且仅当G是连通的，并且每节点的
入度等于出度；具有一条单向欧拉路，当且仅当G是连通的，并且
有一个节点的入度比出度多一，还有一节点出度比入度多一，而其 余节点的入度等于出度。
例1
v1到v4的路： v1 e1 v5 e5 v4，v1 e2 v2 e6 v3 e4 v4 2、可达 设图G=<V, E>，若vi 到 vj有路， 则称vi 可达 vj。
二、图的连通性connectedness 1、无向图的连通性 (1) 节点连通性 若节点vi 到 vj有路节点有路（可达），则节点是连通的。 例2：无向图节点之间的连通关系是等价关系。 (2) 把无向图节点划分成若干非空子集V1,V2, …Vk,称子图G(V1), G(V2), … G(Vk),是 原图G的连通分支，令W(G)为原图的连通分支数。其中G只有一个连通分支， 则图G是连通图。
欧拉简介 欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年） 1707年出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁 就进巴塞尔大学读书，15毕业，16获得硕士学位，得到当时最有名的数学家约翰· 伯努 利的精心指导，欧拉是有名的数学家和自然科学家。 欧拉从19岁开始发表论文，直到76岁，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文， 其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道 学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙四十七年。
得子图不联通，删除V1任何真子集后所得子图联通。其中, |V1|=1,则该结 点称为割点。K(G)=min{|Vi|, Vi是图点割集}为G点的联通度。 例3： { v1 , v3}√ {v3 ,v4 }√ {v1 , v3 ,v4 } × K(G)=2
例4:
v3是割点，K(G)=1
2、边割集
设无向联通图G=<V,E>，若有E1≠Φ ,E1 ⊂ E，图G删除E1的所有节点后，所得 子图不联通，删除E1任何真子集后所得子图联通。其中, |E1|=1,则该边称为 割边或桥。 (G)=min{|Ei|, Ei是图边割集}为G边的联通度。
在一个有向图G=<V,E>中，它的每个节点位于且只位于一个强分图中。 证明：设节点v在不同强分图S1和S2中，则S1中所有节点与v可以相互到达，S2
中所有节点与v 可以相互到达，则S1和S2中节点通过v可以相互到达。
三、无向图割集 1、点割集
设无向联通图G=<V,E>，若有V1 ≠Φ ,V1 ⊂ V，图G删除V1的所有节点后，所