第二章 测度与测度的构造

I An = ∅. 于 是 µ ( I An ) = 0.
n =1 n =1 ∞ n→∞ n =1
∞
∞
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另 一 方 面 ,
由 于
µ ( An ) = +∞(n ≥ 1), 故
lim µ ( An ) = +∞. 因此 µ ( I An ) ≠ lim µ ( An ) .
n →∞
定义 3 设 µ 是环 R 上的测度.
i =1 n
这表明 µ 具有有限可加性. 但在一般情况下, 有限可加性不能推出可数可加性. 思考题 证明: 若 µ 是环 R 上的广义实值函数, 性, 则 µ 是 R 上的测度. 例 1 设 R = { X , ∅}. 令 µ (∅) = 0,
µ 不恒为 + ∞ , 并且满足可数可加
µ ( X ) = 1 . 则 µ 是 R 上的测度.
第二章 测度与测度的构造
我们知道 Riemann 积分的几何意义是曲边梯形的面积. 为在欧氏空间空间 R 上推 广 Riemann 积分的理论, 我们必须把象长度, 面积和体积等概念推广到 R 中的更一般的 集上去. 本章将要定义的 R 上的 Lebesgue 测度就是长度, 面积和体积等概念推广. 由于 现代数学的许多分支需要, 我们将在一般的空间上建立测度与积分的理论. 本章 2.1 和 2.2 将要讨论一般空间上的测度的基本性质和测度的构造方法. R 上的 Lebesgue 测 度虽然是一般测度的一个特例, 但它在测度论中具有特别重要的地位. 在 2.3 中将讨论
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由上式得到 µ (
I A ) = lim µ ( A ). 定理证毕.
n n =1 n→∞ n
∞
注 2 在测度的性质(5)中, 若去掉条件 µ ( A1 ) < +∞ , 则不能保证(5)中的结论成立. 例如 , 设 µ 是自然数集 N 上的计数测度 . 令 An = {n, n + 1, L}, n ≥ 1. 则 An ↓ 并且
n =1 n =1
(参见第一章习题第 18 题). 利用测度的可数可加性和单调性得到
µ ( U An ) = µ ( U Bn ) = ∑ µ ( Bn ) ≤ ∑ µ ( An ).
n =1 n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
∞
( 4 ) .
令 B1 = A1 , Bn = An − An −1 , n ≥ 2.
UA .
n n =1
∞
例如, 本节例 1 和例 2 中的测度是有限的.例 4 中的测度是 σ − 有限的. 定义 4 (1) 设 X 为一非空集, 空间.
F 为 X 上的 σ − 代数. 称二元组合 ( X , F ) 为可测
F 中的集称为 F − 可测集(或简称为可测集).
(2) 设 µ 为可测空间 ( X , F ) 上的测度. 称三元组合 ( X , F , µ ) 为测度空间. 若测度
由 于 An ↑ ,
容 易 知 道 有
Bi ∩ B j = ∅(i ≠ j ), 并且 An = U Bi ,
i =1 ∞
U Ai = U Bi . .
i =1 i =1 n
∞
∞
由测度的可数可加性, 我们
µ ( U An ) = ∑ µ ( Bn ) = lim ∑ µ ( Bi )
n =1 n =1 n →∞ i =1
µ ( B).
µ ( A) + µ ( B − A). 由此式并注意到 0 ≤ µ ( A) < +∞ , 即得
n −1 i =1
µ ( B − A) = µ ( B ) − µ ( A).
(3). 令
B1 = A1 , Bn = An − U Ai , n ≥ 2.
∞ ∞
则 {B n } ⊂
R , 并 且 Bn ⊂ An (n ≥ 1), Bi ∩ B j = ∅(i ≠ j ). 易 知 成 立 U An = U Bn
n =1
∞
µ ( I An ) = lim µ ( An ).
n =1 n→∞
∞
证明 (1). 由于 A ⊂ B, 故B = A ∪ ( B − A). 由于 A ∩ ( B − A) = ∅, 由测度的有限
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可加性得到
µ ( B) = µ ( A) + µ ( B − A).
注意到 µ ( B − A) ≥ 0, 因此 µ ( A) ≤ (2).在(1)中已证 µ ( B ) =
E 上的 σ − 代数(见第一章习题第 22 题). 若 µ 是 F 上的测度. 则 µ (限制在 FE 上)也是
FE 上的测度.
在 2.3 将给出测度最重要的例子, 即 R 上的 Lebesgue 测度. 定理 2 设 µ 是环 R 上的测度. 则 µ 具有如下性质: (1) 单调性. 若 A, B ∈ R 且 A ⊂ B, 则 µ ( A) ≤
n n 1 n =1 ∞ n =1
∞
由测度的可减性和下连续性, 得到
∞
µ ( A1 ) − µ ( I An ) = µ ( U Bn ) = lim µ ( Bn )
n =1 n →∞
= lim( µ ( A1 ) − µ ( An ))
n→∞
= µ ( A1 ) − lim µ ( An ).
n→∞
广义实数集 在讨论测度之前,先介绍一下广义实数集.测度论中讨论的函数和测度 将允许取正 负无穷为值.为此引进
+ ∞ ”和
− ∞ ”两个符号(分别读作正无穷和负无
穷),称之为广义实数.规定它们与实数 a 之间的大小关系和四则运算如下: (1) 序关系: − ∞ < a < +∞ . (2) (3) 加法: 乘法:
a + (±∞) = (±∞) + a = (±∞) + (±∞) = ±∞ . ± ∞ a ⋅ (±∞) = (±∞) ⋅ a = 0 m ∞ a = 0. ±∞ ± ∞ = +∞ . ±∞ 等未定义的运算是无意义的, 在运算中要注意避免这种情况出现. ±∞ a>0 a=0 a < 0.
1 ∗ ∗ ∗
的序列和函数分别称为广义实数列和广义实值函数. 类似于实数集的情形, 可以定义广 义实数集的子集的上确界, 下确界和广义实数列的极限. 不同的是这里的上下确界和极 限可以取 ± ∞ 为值. 另外我们也允许无穷级数的和为 ± ∞ (详见附录 II).
测度的定义与性质 设 X 是一固定的非空集. 本节所讨论的集都是 X 的子集. 我们 称定义在集类上的函数为集函数. 定义 1 设 R 为一个环, 条件: (i)
n
µ ( B).
(2) 可减性. 若 A, B ∈ R , A ⊂ B 并且 µ ( A) < +∞, 则
µ ( B − A) = µ ( B ) − µ ( A).
(3) 次可数可加性. 若 { An } ⊂
R 并且 U An ∈ R , 则
n =1 ∞
∞
µ ( U An ) ≤
n =1
∑ µ ( A ).
∞
∞
= lim µ ( U Bi ) = lim µ ( An ).
n →∞ i =1 n →∞
n
(5) 令 Bn = A1 − An , n ≥ 1. 则Bn ↑ , 并且
U Bn = U ( A1 − An ) = A1 − I An .
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
注意到 µ (
U A ) ≤ µ ( A ) ≤ µ ( A ) < +∞,
∞
则 µ 称为 R 上的一个测度. 注 1 环上的测度也具有有限可加性.事实上, 设 A1 , L , An ∈ R , 则
n
µ ( U Ai ) = µ ( A1 ∪ L ∪ An ∪ ∅ ∪ L)
i =1
= µ ( A1 ) + L + µ ( An ) + µ (∅) + L = ∑ µ ( Ai ).
µ : R → [0, + ∞] 是一个非负值集函数. 如果 µ 满足如下
µ (∅) = 0.
对
(ii) 可 数 可 加 性 :
A 中 的 任 意 一 列 互 不 相 交 的 集 { An }, 当
UA
n =1
∞
n
∈ R 时, 成立
µ ( U An ) = ∑ µ ( An ).
n =1 n =1
∞
(4) (5)
除法: 绝对值:
象 ( ±∞) − ( ±∞) 和
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例如若 a, b, c 是广义实数 , 则只有当 b ≠ ±∞ 时候 , 才能从 a + b = c 推出 a = c − b . 否 则会出现 ( ±∞) − ( ±∞) 的情况, 这是没有意义的. 记 R = R ∪ {+∞,−∞}. 称 R 为广义实数集, 它的元素称为广义实数. 取值于 R
若a ∈ A, 若a ∉ A .
例 2 设 X 是一非空集, a 是 X 中的一个固定元. 对任意 A ∈ P ( X ), 令
1 µ ( A) = 0
则容易验证 µ 是 P ( X ) 上的测度.
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例 3 设
F 是 非 空 集 X 上 的 σ − 代 数 . 对 任 意 A∈F ,
若 A ≠ ∅, 则 令
µ 为有限的或 σ − 有限的, 则分别称测度空间 ( X , F , µ ) 为有限的和 σ − 有限的.
小 结 为了适应现代数学的许多分支需要, 本节在一般空间上介绍测度.本节讨论的 测度的性质, 以后会经常用到, 应熟练掌握. 测度最重要的例子,将在 习 题 习题二, 第 1 题 第 8 题. 2.3 中介绍.
n n n n
R n 上的 Lebesgue 测度构造方法及其性质.
2.1 测度与测度的性质
教学目的 给出一般空间上测度的定义,并由测度的定义推出测度的基 本性质.Lebesgue 测度和 Lebesgue-Stieljes 测度是本节定义的测度最重要的 特例, 将在 2.3 中介绍.
本节要点 本节讨论的测度是一般空间上的抽象测度.应通过一些例子, 是学生理解测度的意义.
ai ∈ A
容易验证 µ 是 P ( X ) 上的测度. 特别地, 当 p n = 1( n ≥ 1) 时,
A中元素的个数 µ ( A) = . + ∞
当 A 是有限集, 当 A 是无限集 .
此时称 µ 为 X 上的计数测度. 特别地, 若取 X = N 为自然数集, 则得到自然数集上的计 数测度. 例 5 设 F 是非空集 X 上的 σ − 代数, E ∈ F . 令 F E = {E ∩ A : A ∈ F }. 则 F E 是
n =1 n ∞ n =1
∞
(4) 下连续性. 若 { An } ⊂
R , An ↑ 并且 U An ∈ R , 则 µ ( U An ) = lim µ ( An ).
n =1 n→∞ ∞
(5) 上连续性. 若 { An } ⊂
R , An ↓ 并且 I An ∈ R , µ ( A1 ) < +∞, 则
(i). 若对每个 A ∈ R 都有 µ ( A) < +∞, 则称 µ 是有限的. (ii). 若 对 每 个 A ∈ R , 存 在 R 中 一 列 集 { An }, 使 得 µ ( An ) < +∞ (n ≥ 1) 并 且 A = U An , 则称 µ 是 σ − 有限的.
n =1 ∞
容易知道, 若环 R 上的测度 µ 是 σ − 有限的, 则上述定义中的 { An } 可以选取为互 不相交的. 特别地, 若 µ 是 σ − 代数 F 上的测度, 则 µ 是 σ − 有限的当且仅当存在 F 中一列互不相交的集 { An }, 使得 µ ( An ) < +∞ ( n ≥ 1) 并且 X =
µ ( A) = +∞ . 另外令 µ (∅) = 0, 则 µ 是 F 上的测度.
例 4 设 X = {a1 , a 2 , L} 是可数集,
P ( X ) 是 X 的全体子集所成的 σ − 代数 . 又设
{ p n , p ≥ 1} 是一列非负实数. 在 P ( X ) 上定义 µ (∅) = 0, µ ( A) = ∑ pi , A ∈ P ( X ) .
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