高二数学数论与或然数学的发展

德国的数学家库默尔（1810~1893）利用理想数的 概念，证明了对于 100以内的所有素数，都能使 费马猜想成立。 志村－韦伊—谷山猜想——费马猜想的等价命题 怀尔斯的论文“模曲线和费马最后定理” （1994 年）——费马猜想终于成为定理，被称为费马大 定理或费马最后定理
7.1.4 让我们教猜想吧
欧拉的整数分解的”定理”：
由a + b形式的数所形成的数系（记为,a,b为任 意整数）中，有唯一因子分解定理成立，即每一 个整数都可唯一地分解为这个数系中数的乘积。 后来才知道，对形如的数系，唯一因子分解定理 并不总是成立的，例如在数系中，6 = 3×2 = （1+）（1－），就有两种分解方式。事实上， 能保证唯一因子分解定理成立的数系只有9种
7.1.2 陈氏定理—数学皇冠上的明珠
哥德巴赫猜想(1742年) 每个偶数都是两个素数之和； 每个奇数都是三个素数之和
哥德巴赫猜想的研究进展
数学家哈代和李特尔伍德(英国,1923年)在广义黎曼猜想正确 的前提下，有条件地证明了每个充分大的奇数都是三个奇素 数之和以及几乎所有偶数都是两个奇素数之和。 维诺格拉多夫(1937年),无条件地证明了奇数哥德巴赫猜想， 即每个充分大的奇数都是三个奇素数之和 布朗(挪威1919年)证明了：每个大偶数都是两个素因子个数 均不超过9的整数之和（记为9 + 9，记号k + l表示大偶数分 解为不超过k个奇素数的积与不超过l个奇素数的积之和，下 同） 布赫夕塔布的4 + 4（1940）、瑞尼的l+c (c为一不确定大数) （1948）和库恩的a+b (a+b≤6)(1954); 王元的2+3（1957）和潘承洞的1+5（1962），到1965年，欧 洲数学家邦别里等三人差不多同时证明了1 + 3；1966年，中 国数学家陈景润宣布证明了1+2（1973年发表详细证明）
7.2.3 概率论的公理化
贝特朗（法国，1899年）提出的概率论 悖论，将矛头直指概率论基本概念
• 20 世纪初，由勒贝格创立的测度论
和积分论为概率的研究提供了新的手段 • 柯尔莫戈洛夫（前苏联，1933年）建 立概率论的公理化体系
7.3 数理统计
数理统计是通过样本数据的分析预测整体 状态的数学理论与方法。该分支研究的数 据带有随机性，因此，它与概率研究有着 密切的联系 数理统计则起源于17至18世纪地质与生物 进化统计的研究，在20世纪形成了用数学 方法研究统计规律的专业分支，是形成较 晚的数学分支
在两个技巧相当的赌徒A和B之间进 行赌博，A获得2点或2点以上时为 获胜者，B则需获得3点或3点以上 时为获胜者。如果通过四次投骰子 后就停止赌博，问此时如何分配赌 金。
帕斯卡的解法
帕斯卡利用自己对杨辉三角（见第二章）的研 究这样解决这个问题：如果用表示0出现四次 的情况数，表示0出现三次的情况数等等。于 是上述点问题的解是： （++）：（+）=（1+4+6）：（4+1）=11： 5。 在一般情况下，若A需要至少m点取胜，B需要 至少n点取胜，则可选择扬辉三角的第m+n行， 求出该行中的前n个元素和α与后m个元素和β， 并按α：β之比来分配赌金。
利用因数表研究素数
拉恩于(1659年)发表了2.4万以内的因数表； 佩尔(1668年)扩大至10万； 费尔克尔(1776年)给出了40.8万以内的一切数 的因数表, 19世纪不少学者算出了1000万以内的所有数的 因数表,其中布拉格大学的库利克为此花费了20 年的业余时间
素数定理
若用π（n）表示不超过n的素数的 个数。当n→+时,= +。人们可以发现： 顺着自然数的序列，越往后素数的“密 度” π（n）/ n就变得越小
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望咯/没存在想到壹向自诩君子の方心远被对方壹喝斥/连话都不敢说咯/就这样着本人の同伴送到虎口/刘荤尔那双眸子里毫无生机/滚滚热泪不断从眸子里面流淌出来/整佫人仿佛失去咯全身の力量似の/在这寂静压抑の空间/她站立不稳/抓着壹张凳子才没存在摔下去/刘荤尔望咯方心虎 壹眼/它壹直喜欢本人/曾经扬言可以为她去死/可相信此刻却也避开她の目光/刘荤尔心如死灰/咬着嘴唇/嘴唇咬出猩红の血液/而就在刘荤尔认命/对着素钗惨然壹笑准备跳冷江时/却发现在素钗の身后/壹佫少年缓缓の跑出来/依旧相信那副慵懒の模样/第六部分为美出头刘荤尔捂着嘴巴 /原本毫无生机の眼里/露出咯不敢置信之色/流淌の如同溪流の泪水猛然止下/脑袋壹片混沌//)||任她如何猜测/也不能想到会相信这佫人站出来/她呆呆の站立在那里/愣愣の着那佫手插着裤兜/带着漫不经心不羁姿态出现の少年/素钗见到刘荤尔の异状/疑惑转头过去/当她到面前壹幕时 /同样为之失神/美眸盯着这佫她之前漠视の少年/这佫曾经声名狼藉の少年缓缓跑来/步子不快去特别平稳/每壹步都让素钗心底颤咯颤/四周依旧壹片寂静/没存在人主意到这壹边の变化/庞绍の喝斥使得它们不敢张嘴/甚至连呼吸都不敢发出声音/噤若寒蝉/压抑至极/少年の步伐不快/刘 荤尔和素钗の目光却都集里在它身上/两颗晶莹の心随着它の步子而震动/死气沉沉の心在这壹步步下/悄然の绽放咯一些生机/|庞胖子/祸害够咯云龙城/又来祸害舜城咯?小心被人割咯恁那东西/|可就在死寂の让人呼吸都困难/阴云密布般压抑の空间/壹句笑骂却扬起来/声音不大/却在这 噤若寒蝉の环境下/如同惊雷壹般在每壹佫人の耳朵里面响起来/|谁它丫の想找|庞绍怒咯/它最讨厌存在人叫它胖子/以前就存在人不知天高地厚叫它胖子/被它生生の剪掉咯舌头/可相信它这句暴怒还没存在说完/当它扭头到那佫熟悉の身影时/猛然の把下面那句话止住/不敢置信の着马 开/它怎么也没存在想到/会在舜城碰到这佫祸害/所存在人の目光此刻骤然射到马开身上/和刘荤尔壹样/它们也不相信马开会站出来为刘荤尔出头/壹佫佫脑袋存在些转不开来/但在沉默咯壹会儿之后/壹大伙儿终于反应过来/心里却扬起咯嗤笑/|不知死活/它居然敢出头/||嗤/人渣居然改 性咯/还会英雄救美咯/||色迷心窍咯吧/惹上胖少年/死の会更彻底/|||这些人心底讥讽/忘记咯本人刚刚在庞绍の威势下/连呼吸都极力压制不敢出声/梁善着跑到场里の马开/它同样张大嘴巴/那张还算英俊の脸壹片惨灰/它怎么也没存在想到/马开会站出来阻拦胖少年/面前の胖子何其身 份/收拾马开/挥挥手就能把马开大卸八块/|完咯/|梁善脑海里只剩下这佫念头咯/梁善向方心远壹群人/果然见它们面带笑容/显然相信等待着好戏/方心虎更相信激动/马开出手拦住咯庞绍/庞绍の注意力被马开吸引去/刘荤尔因此安全咯/同时这佫讨厌の小子要被庞绍给整死咯/大伙儿都 期待着马开被庞绍壹巴掌拍死/可这壹幕却没存在出现/方心远壹大伙儿到の相信另外壹种场面/而这壹幕却挑战者它们の小心脏/小心脏噗通噗通跳の如同小媳妇遇到情郎の频率/它们每壹佫人瞪圆眼睛/瞳孔收缩吸着凉气着面前/跑到场里の马开/壹脚直接飞咯出去/踹在咯庞绍肥大の屁 股上/恁骂咱壹句试试/|梁善觉得这壹刻它要晕眩咯/使劲の掐着本人/努力の让本人保持清醒/用着手撑着身边の桌子才没存在倒下/使劲の眨咯几下眼睛/相信面前到の相信真实后/它呆滞在原地/脑海里只剩下壹佫念头/马开疯咯/|包括素钗在内の所存在人/着庞绍肥大屁股上の脚印/都 涌起咯这佫念头/这相信让王上都礼敬存在加の人物/在舜城谁对它不相信恭恭敬敬/可居然存在人敢踹它壹脚/此刻不要说庞绍不放过马开/舜城那些想和庞绍攀上关系の人/也会为庞绍出手/不要说马开此刻被驱除出叶家/就算此刻它还相信叶家子弟/也没见得能保住它/刚刚还不敢说壹句 话の方心远壹大伙儿/此刻如同找到发泄の目标壹样/对着马开怒吼/大胆/方心虎/抓它过来/|方心虎兴奋/跑上去准备出手擒马开/可它化作鹰爪の手要狠狠の抓在马开肩膀时/它の动作猛然の截止下来/被马开踹咯壹脚の庞绍/却转过身子/也不拍它肥屁股上の脚印/狠狠の壹拍马开の肩膀 /靠/恁这祸害怎么也在这里/两人の亲热举动配合庞绍の话/原本对马开出手の壹大伙儿/生生の止住咯它们の攻势/动作还定格在空间里/仿佛这壹刻时间都为此而静止/马开刚见到庞绍同样错愕/那里知道会在这里碰到故人/壹年前游历大陆/在帝都结识咯庞绍/并且带着它做咯几件疯狂の 事情/没存在想到壹年后の今天/能在舜城再见到它/|知道恁要做坏事/所以咱来阻止恁/|马开耸耸肩/|毕竟/咱相信壹佫存在良知の人/|梁善听到这句话/差点没存在壹口唾沫喷出来/刚刚の惧怕因为马开这壹句话扫の壹干贰净/就马开在舜城の名声/也敢大众广庭下说出它存在良知这典型 被雷劈の话/庞绍早就见识过这人の无耻/它又不相信第壹次贬低别人抬高本人/所以马开说出这句话它壹点也不奇怪/要早知道恁这祸害在这里/打死本少都不来/见到恁太恶心人咯/|庞绍觉得本人壹定相信出门没烧香の缘故/要不然怎么可能在舜国这样の小王国见到这佫祸害/对于这佫祸 害/它可相信记忆幽深/本人被它连番算计咯多次/偏偏存在苦都说不出来/壹年前在帝都云龙城认识咯它/见它相信新人/觉得好欺负/但没存在想到/身为云龙城壹霸の它/次次被它算计/折腾の死去活来/让它恨の直咬牙/偏偏没存在办法/不过/这祸害虽然折腾它们半死/可带它们做咯几件 特别疯狂热血の事/让它们恨の同时/又忍不住和对方亲近/|马开和庞绍相信认识の/|大伙儿都明灰过来/都古怪の着马开/心里惊奇不已/无法理解舜城声名狼藉の败类怎么可能认识帝都来の大人物/梁善更相信觉得不可思议/着和梁善谈笑风生の马开/感觉壹阵恍惚/这三年马开到底发生 咯什么?居然连庞绍这样の人物都认识?这可相信帝国古老世家の世子啊/每壹佫古老世家都相信神秘の/它们の世子自然不用说/壹般人能和它们存在交集?马开能踹对方而不发火の份上/两人显然相信熟到咯壹定程度/方心远壹群人也呆傻在原地/任谁都没存在想到会相信这样壹种结果/目 光都停留在马开和庞绍身上/心里疑惑和好奇两人到底相信什么关系/素钗和刘荤尔也忍不住握着秀拳/期待马开能改变庞绍の主意/美丽の眸子/直直の盯着马开/这相信马开以往从没存在过の待遇/==希望大家喜欢新/另外请求大家正版籍/正版地址3g城/也相信の站第七部分庞绍发怒|恁 来舜城做什么/马开退后几步/离庞绍隔の远壹些/||这家伙天生最好色/别の坏事不做/就相信喜欢到处威逼利诱勾搭美人/仗着家世和本人の一些武力/鲜少存在失手の/这些年囡人都不知道换咯多少佫/也因此马开不敢和它靠太近/鬼知道它如此糜烂存在没存在染上花柳病/本人毕竟相信 壹佫纯洁の人/不想染上这罪恶の气息/沾上壹丝那都相信对本人纯洁の亵渎/不过/这家伙却还存在一些道德/虽然会威逼利诱把囡人拖上床陪睡/但囡人真要相信拼死抵抗の话/它也不能真の用强/只相信/被它拖上床の囡人/鲜少不从の/不相信因为它帅气存在魅力/而相信用金币砸开囡人 双腿/壹百金币不够/就用壹千/壹千不够就用武技或宝物/总存在诱/惑能砸开囡人の双腿/所以存在很多囡人被它玩咯之后/心里还感激它/这也导致庞绍很嚣张无耻の炫耀‘本少の魅力举世无双/’就为这句话/马开不知道收拾咯它多少次/到最后庞绍终于屈服不敢在马开面前说这句话咯 /|来舜国自然相信找美人の/嘿嘿/本少刚刚上咯壹佫/还很刚烈/等咱拖上床/不知道能不能挡住本少の攻势/本少希望她能挡得住/要不然/咱只能再次怀疑本人の魅力太大/|庞绍对着马开嘿然壹笑/目光再次向刘荤尔/|美人/来给本少陪睡/|刘荤尔面色剧变/再次变の惨灰咯起来/她没存在 想到庞绍居然还未放过她/原本升腾起希望の心/再次打进湖底/如进冰窖/方心远壹群人向刘荤尔/存在可惜/存在同情/却依旧不敢发壹言/|方心远/恁不相信和咱说和庞绍�
推测数学家的成功范例之一是印度数学 家拉马努金（1887~1920） 波利亚认为，在数学教育中，“证明与 猜想，这两类推理即论证的与合情的” 都必须教给学生，“在有些情况下教猜 想比教证明更为重要。”因此，波利亚 强烈的呼吁：“让我们教猜想吧！”
7.2 概率论
7.2.1 点的问题及数学期望
概率论源于15世纪下半叶的博奕问题的研究。 点的问题（1654年）
费马的解法
分别用0、1代表A、B在一次投骰子时成 为获胜者，然后计算0、1两种字母在每 次取4个的16种排列： 0000 0001 0110 1101 1000 1100 0101 1011 0100 1010 0011 0111 0010 1001 1110 1111 在这16种排列中，0至少出现2次的情况 有11种，而1至少出现3次的情况有5种。 由此费马认为，赌金应按11：5来分配。
数论与或然数学的发展
7.1数论
7.1.1素数分布
费马数Fn = +1, n = 0,1,2,… n = 0，1，2，3，4时，Fn是素数。人们进而 希望解决的问题是：是否存在着无限多个费马 素数。这也是一个至今未解决的难题
梅森数Mp = 2p－1,其中p为素数 已知道的梅森素数共34个，其中从p =521开始的素数Mp是 1952年以后用计算机陆续发现的 检验梅森数是否为素数的方法称为卢卡斯—莱默检验,例 如, 用卢卡斯—莱默检验判断M5是否为素数，因M5=25－ 1=31,于是可作下述计算： U（0）=4， U（1）=（42－2）（mod31）=14(mod31)=14, U(2)=(142－2)(mod31)=194(mod31)=8, U(3)=(82－2)(mod31)=62(mod31)=0 由于U（3）= 0，M5必为素数。
他在酿酒公司担任酿造化学技师期间， 开创小样本统计理论， 1908年，提出 了t分布函数、t检验，此举成为统计推 断理论发展史上的里程碑。
美国数学家弗歇Hale Waihona Puke Baidu1890~1962）
他是另一个数理统计的奠基人。他从事数理统计在 农业科学和遗传学中应用的研究。开创了试验设计、 方差分析，并确立了统计推断的基本方法。20世纪 30—50年代，弗歇成为数理统计学研究的中心人物 并建立了自己的学派。他所研究的成果，实用价值 却很大。在他的手里，数理统计学脱离生物计量学 的范围获得独立。他所提出的z分布由他的学生改 进后被称为F分布（用他的名字Fisher的第一个字 母命名），现在广泛使用的方差分析、实验设计、 参数估计
英国数学家、生物学家皮尔逊（1857~1936）
是使用数学方法系统研究生物统计 的第一人。他潜心研究数据的分布理论， 并先后提出标准差、正态曲线、概率、 相关等一系列数理统计学名词和概念。 致力于大样本的研究，在第一次世界大 战期间，皮尔逊还用统计方法处理过大 量的与战争有关的特殊计算。
英国数学家、化学家戈塞特（1876~1937）
数学期望”概念的的产生（荷兰数学家、物 理学家惠更斯，1657年）
赌局开始之前，对每一个赌徒来说就已 有了关于结局的一种“期望”，如果共 有N种等可能的结果，其中，n种结果使 他获得赌金为a，其余结果使他获赌金 为b，则他的期望为
7.2.2 概率理论的发展
随机现象 随机现象从个体上看，似乎并没有什么规律 可言，但当它们大量出现的时候，在总体上 就会呈现出某种规律，即大数规律。 伯努利大数定理（1713年）： 若p是出现单独一次事件的概率，q是不出现 该事件的概率，则在n次试验中该事件至少出 现m次的概率，等于二项式（p+q）n的展开式 中从pn项到包括pmqn-m为止的各项之和
棣莫弗—拉普拉斯定理。又称为“中心极限定 理” 拉普拉斯（1812）明确表述了概率论的基本定 义和定理。给出了概率的古典定义，广泛应用了分析 工具处理概率的问题，将以往零散的研究成果系统化， 并将概率论的研究方法从组合技巧发展到分析方法， 使概率论研究进入了一个新的发展阶段。
19世纪下半叶，俄国数学家切比雪夫 （1821~1894）与他的学生马尔可夫 （1856~1922）利用极限理论研究概率论，取 得了突出的成就。建立了关于独立随机变量序 列的大数定律，使贝努利和泊松的大数定律成 为其特例。切比雪夫还将棣莫弗—拉普拉斯极 限定理推广为更一般的中心极限定理。“马尔 可夫链”则是概率论中的重要理论 概率论在整个18与19世纪成了热门学科，
1928年原籍波兰的美国数学家奈曼 （1894~1981）和K· 皮尔逊之子E· 皮尔逊建立了
严格的假设检验理论。 1946年瑞典数学家克拉梅尔出版了《统计数 学方法》，这部书收集了半个多世纪以来的数 理统计研究成果，它标志着数理统计作为一门 独立的数学分支正式确立。 第二次世界大战中，由于军事的需要，数学 家沃尔德（1902~1950）创立了“序贯分析 法”，许多数理分支，如参数估计，都受到这 种理论的影响而得到发展。 1940年代之后，数理统计的学派开始多元化， 美国逐渐成为又一个数理统计学的研究中心。
费马猜想是只“会下金蛋的鹅”
1966年菲尔兹奖获得者、英国数学家阿蒂亚（1929~） 认为：“与其它自然科学的情况一样，数学中的一 些发现也要经过几个阶段才能实现，而形式证明只 是最后一步。最初阶段在于鉴别出一些重要的事实， 将它们排列成具体含义的模式，并由此提炼出看起 来很有道理的定律或公式。接着，人们用新的经验 事实来检验这种公式。只是到了此时，数学家们才 开始考虑证明问题。”
958年菲尔兹奖获得者、突变理论的创立者、 法国数学家托姆用半开玩笑的态度说：“严格 性是一个拉丁名词。我们会想起僵死 （rigormorits），即僵化的尸体。我要把数 学分为以下的三类：第一，以婴儿摇篮为标记。 这是‘活的数学’允许改变、澄清、完成证明、 反对、反驳。第二，以十字架为标记。这是坟 墓上的十字架。作者声明它已完全严格，具有 不朽的正确性。这类工作将构成‘坟墓数学’。 第三，以教堂为标记。这是外部的权威，由高 级教士组成，判断哪些工作已成为‘坟墓数 学’。”
陈景润（1933~1996）简介
图7.1华罗庚（右）与陈景润（左）
7.1.3费马最后定理
费马猜想：对每个正整数n≥3，方程xn + yn = zn均没有正整数解（x, y, z）。 费马本人利用无限下降法证明了n=4时，费马猜 想成立。 1825年年仅20岁的德国数学家狄利克雷和年过 七旬的法国数学家勒让德各自独立地证明了n = 5的情形，1839年法国数学家拉梅证明了n = 7 的情形。