1.4 行列式按行(列)展开
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a1 1 Dn 1 1 1 a2 an 1 1 , ai 0
解：
例 计算
a b D b b
b a b b
b b a b
b b b a
解
D
c2 c3 c4 c1
a 3b a 3b a 3b a 3b
b a b b
b b a b
b b b a
2c2 c1 2c2 c3
3 5 0 1
3 0
7 7 2
27 0,
8 D1 9 5 0
1 3 2 4
5 0 1 7
1 6 2 6 81,
2 D2 1
8 9
5 0
1 6 2 6 108,
0 5 1 1 0 7
2 D3 0 1
成立，往证 n 阶范德蒙德行列式也成立． 从第 行开始，后行减前行的 x 倍，得 n
1
1 0 Dn 0
1 x2 x1 x2 ( x2 x1 )
1 x3 x1 x3 ( x3 x1 )
1 xn x1 xn ( xn x1 )
n2 n2 n2 0 x2 ( x2 x1 ) x3 ( x3 x1 ) xn ( xn x1 )
1 2 4
8 9 5 0
1 6 2 6 27, D4
2 0 1
1 2 4
5 0
8 9 27,
1 3
1 3
1 5 7 0
于是得
D1 81 D2 108 x1 3, x 2 4, D 27 D 27 D3 27 D4 27 x3 1, x4 1. D 27 D 27
a21 a23 M 12 a31 a33 a41 a43
1 2
a24 a34 a44
A12 1 M12 M 12
a11 a12 M 44 a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
A44 1
4 4
M 44 M 44
注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式。
1 c1 /( a 3b ) 1 (a 3b) 1 1
b a b b
b b a b
b b b a
1 b b b r1 ri 0 a b 0 0 (a 3b) (a 3b)( a b) 3 i 2,3,4 0 0 a b 0 0 0 0 a b
练习：用降阶法（按行 按列展开） 计算行列式的值。
按第1列展开，并提出每一列的公因子 ( x x ) ， i 1
有
1 x2
2 Dn ( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 ) x2
1 x3
2 x3
1 xn
2 xn
x
n2 2
x
n2 3
x
n2 n
上式右端的行列式是一个 n 1 阶范德蒙德行列
如果线性方程组(2)的系数行列式 D 0 则(2)一定有解,且解是唯一的 .
如果线性方程组(2)无解或有两个不同的解，则 定理 2'： 它的系数行列式必为零.
解方程组 例2
x1 2 x 2 x 3 3 x4 2, 2 x1 x 2 3 x 3 2 x4 7, 3 x 2 x 3 x4 6, x1 x 2 x 3 4 x4 4,
当系数行列式 D a11
a12
a21 a22
a11a22 a12a21 0 时,有惟一解
b1 b2 a11 a21
a11 a21 a11 a21
，
b1a22 a12b2 x1 a11a22 a12 a21
a12 a22 D1 , a12 D a22
b1 b2 D2 . a12 D a22
系数行列式 1 2 D 0 1
2 1 1 3 3 2 1 4 39 0,
解
3 1 1 1
2 D1 7
2 1
1 3
3 2 1 4 39,
1 D2 2
2 7
1 3
3 2 1 4 117,
6 3 1 4 1 1
0 6 1 1 4 1
1 D3
的解能否用行列式表示 呢？
(1)
回答是肯定的，即有
设含有n 个未知数， n个方程的线性方程组
为
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn .
a11 a12 a13
K a12 a13
a21 a22 a23 10 J Q a31 a32 a33 A a32 a33
注：元素 aij 的余子式（代数余子 式）只与它的位置有关，与它本身 的值，还有第i行，第j列上的其他任 何元素无关
定理1
行列式等于它的任意一行（列）的各 元素与其对应的代数余子式之和
式，由归纳法假设，它等于所有 ( xi x j ) 因子的乘 积，其中 2 ≤ j i ≤ n ，即
Dn ( x2 x1 )( x3 x1 )( xn x1 )
2≤ j i≤n
( xi x j )
1≤ j i≤n
( xi x j )
例2
计算 如下“两边加一对角”型行列式：
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
或
(i 1, 2,, n)
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
．
( j 1, 2,, n)
推论
行列式一行（列）的各元素与另一行 （列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零， 即
a11b2 b1a21 x2 a11a22 a12 a21
我们知道，二元一次方程组的解可以用行列 式表示，那么含有 n 个未知量x1 , x2 , … , xn 的 n 个线性方程 的方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 , an1 x1 an 2 x2 ann xn bn ,
解 系数行列式
0 7 5 13 1 3 0 6 2r2 r1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 r2 r4 0 2 1 2 1 4 7 6 0 7 7 12
2
1
5
1
7 5 13 2 1 2 7 7 12
3 7 3 2
1 1 2 1
1 1 4 2
1 4 6 4
2 1 1 2
=57
总结： 1、定义法：“0”巨多（很少用） 2、化三角形法： (a) 行（列）和相等，如P15：例3，P16例4， P23：例3, (1)，P24：例4, P38:10 (2), P39:14 （5）; (b)三条线型行列式：爪型（P41,4（3）），两 对一边（P38，14（4）），三对角线型（如P25， 例6）. 3、降阶法： (a)直接根据行列式的性质将某一行元素化成尽 可能多的“0”，然后展开（ P23：例3, (2) ）; (b)归纳法：如P26：例7(范德蒙德行列式); (c)递推法，如P25：例6.
例1
解四元线性方程组 2 x1 x2 5 x3 x4 8, x 3x 6 x 9, 1 2 4 2 x2 x3 2 x4 5, x1 4 x2 7 x3 6 x4 0.
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
1.4 行列式按行（列）展开
定义1： 在 n 阶行列式中，把元素
aij 所在的第 i 行和
第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫做元素
aij 的 余子式。 记为 M ij
称
Aij 1 M ij
i j
为元素 aij 的代数余子式。
a11
a12
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
2 x2
Βιβλιοθήκη 1 xn2 xn
1≤ j i≤n
( xi x j )
(n ≥ 2)
n 1 n 1 x2 xn
，
证
对行列式阶数用数学归纳法．当 n 2 时，
D2
1 x1
1 x2
x2 x1
1≤ j i≤2
( xi x j )
结论成立．假设对 n 1 阶范德蒙德行列式结论
注： 1、对于行（列）和相等的行列式，我们通常
把第二行到第n行都加到第一行(列)上去，使 得第一行（列）的元素都相等，然后提公因 子。 2、我们在计算行列式时首先要观察它的结构 再计算（ P37: 8（2），（5））
&1.5 克拉默法则
a11 x1 a12 x2 b1 对于二元一次方程组 , a21 x1 a22 x2 b2
在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定 简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列 式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一 列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理 在理论上是重要的。
例1 证明范德蒙德（Vander-monde）行列 式
1 x1 Dn x12 x1n 1 1 x2
D
其中 D j 是将系数行列式 D 中第 j 列的元素用方 程组右端的常数项 b1 , b2 ,, bn 代替后所得到的 n 阶行列式，即 a11 a1 j 1 b 1 a1 j 1 a1n n a21 a2 j 1 b 2 a2 j 1 a2 n Dj bi Aij i 1 an1 anj 1 bn anj 1 ann
a21 a22 例如： D a31 a32 a41 a42
A23 1
2 3
a11
a12
a14 a34 a44
M 23 a31 a32 a41 a42
M 23 M 23 .
a11
a12
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a21 a22 D a31 a32 a41 a42
a11 D a21 an1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
(2)
n 阶行列式
称为方程组(2)的系数行列式．
定理1（克拉默法则）
若线性方程组(2)的系 数行列式 D 0 ，则方程组有惟一解 Dj (3) xj ( j 1, 2, , n)
ai1 Aj1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0 (i j )
或
a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0 (i j )
．
综上，得公式
D, （当k i） ak 1 Ai 1 ak 2 Ai 2 akn Ain 0，（当k i） D, （当l j） a1l A1 j a2 l A2 j anl Anj 0，（当l j）
2
2 7
3 2 1 4 78, D4
1
2
1 3
2 7 39,
2 1
2 1
0 3 6 1 1 4
于是得
0 3 1 6 1 1 1 4 D1 39 D2 117 x1 1, x2 3, D 39 D 39 D3 78 D4 39 x3 2, x4 1, D 39 D 39
注:
1、利用克拉默法则求解时，这个方程组必须满足两
个条件: (a) 方程组中方程的个数必须与未知量的
个数相等，（b）系数行列式不为零。
2、理论意义：克拉默法给出了解与系数的明显关系。 但用此法则求解线性方程组计算量大。
3. 撇开求解公式
Dj xj , D
Cramer法则可叙述为下面定理：
定理2：
解：
例 计算
a b D b b
b a b b
b b a b
b b b a
解
D
c2 c3 c4 c1
a 3b a 3b a 3b a 3b
b a b b
b b a b
b b b a
2c2 c1 2c2 c3
3 5 0 1
3 0
7 7 2
27 0,
8 D1 9 5 0
1 3 2 4
5 0 1 7
1 6 2 6 81,
2 D2 1
8 9
5 0
1 6 2 6 108,
0 5 1 1 0 7
2 D3 0 1
成立，往证 n 阶范德蒙德行列式也成立． 从第 行开始，后行减前行的 x 倍，得 n
1
1 0 Dn 0
1 x2 x1 x2 ( x2 x1 )
1 x3 x1 x3 ( x3 x1 )
1 xn x1 xn ( xn x1 )
n2 n2 n2 0 x2 ( x2 x1 ) x3 ( x3 x1 ) xn ( xn x1 )
1 2 4
8 9 5 0
1 6 2 6 27, D4
2 0 1
1 2 4
5 0
8 9 27,
1 3
1 3
1 5 7 0
于是得
D1 81 D2 108 x1 3, x 2 4, D 27 D 27 D3 27 D4 27 x3 1, x4 1. D 27 D 27
a21 a23 M 12 a31 a33 a41 a43
1 2
a24 a34 a44
A12 1 M12 M 12
a11 a12 M 44 a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
A44 1
4 4
M 44 M 44
注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式。
1 c1 /( a 3b ) 1 (a 3b) 1 1
b a b b
b b a b
b b b a
1 b b b r1 ri 0 a b 0 0 (a 3b) (a 3b)( a b) 3 i 2,3,4 0 0 a b 0 0 0 0 a b
练习：用降阶法（按行 按列展开） 计算行列式的值。
按第1列展开，并提出每一列的公因子 ( x x ) ， i 1
有
1 x2
2 Dn ( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 ) x2
1 x3
2 x3
1 xn
2 xn
x
n2 2
x
n2 3
x
n2 n
上式右端的行列式是一个 n 1 阶范德蒙德行列
如果线性方程组(2)的系数行列式 D 0 则(2)一定有解,且解是唯一的 .
如果线性方程组(2)无解或有两个不同的解，则 定理 2'： 它的系数行列式必为零.
解方程组 例2
x1 2 x 2 x 3 3 x4 2, 2 x1 x 2 3 x 3 2 x4 7, 3 x 2 x 3 x4 6, x1 x 2 x 3 4 x4 4,
当系数行列式 D a11
a12
a21 a22
a11a22 a12a21 0 时,有惟一解
b1 b2 a11 a21
a11 a21 a11 a21
，
b1a22 a12b2 x1 a11a22 a12 a21
a12 a22 D1 , a12 D a22
b1 b2 D2 . a12 D a22
系数行列式 1 2 D 0 1
2 1 1 3 3 2 1 4 39 0,
解
3 1 1 1
2 D1 7
2 1
1 3
3 2 1 4 39,
1 D2 2
2 7
1 3
3 2 1 4 117,
6 3 1 4 1 1
0 6 1 1 4 1
1 D3
的解能否用行列式表示 呢？
(1)
回答是肯定的，即有
设含有n 个未知数， n个方程的线性方程组
为
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn .
a11 a12 a13
K a12 a13
a21 a22 a23 10 J Q a31 a32 a33 A a32 a33
注：元素 aij 的余子式（代数余子 式）只与它的位置有关，与它本身 的值，还有第i行，第j列上的其他任 何元素无关
定理1
行列式等于它的任意一行（列）的各 元素与其对应的代数余子式之和
式，由归纳法假设，它等于所有 ( xi x j ) 因子的乘 积，其中 2 ≤ j i ≤ n ，即
Dn ( x2 x1 )( x3 x1 )( xn x1 )
2≤ j i≤n
( xi x j )
1≤ j i≤n
( xi x j )
例2
计算 如下“两边加一对角”型行列式：
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
或
(i 1, 2,, n)
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
．
( j 1, 2,, n)
推论
行列式一行（列）的各元素与另一行 （列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零， 即
a11b2 b1a21 x2 a11a22 a12 a21
我们知道，二元一次方程组的解可以用行列 式表示，那么含有 n 个未知量x1 , x2 , … , xn 的 n 个线性方程 的方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 , an1 x1 an 2 x2 ann xn bn ,
解 系数行列式
0 7 5 13 1 3 0 6 2r2 r1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 r2 r4 0 2 1 2 1 4 7 6 0 7 7 12
2
1
5
1
7 5 13 2 1 2 7 7 12
3 7 3 2
1 1 2 1
1 1 4 2
1 4 6 4
2 1 1 2
=57
总结： 1、定义法：“0”巨多（很少用） 2、化三角形法： (a) 行（列）和相等，如P15：例3，P16例4， P23：例3, (1)，P24：例4, P38:10 (2), P39:14 （5）; (b)三条线型行列式：爪型（P41,4（3）），两 对一边（P38，14（4）），三对角线型（如P25， 例6）. 3、降阶法： (a)直接根据行列式的性质将某一行元素化成尽 可能多的“0”，然后展开（ P23：例3, (2) ）; (b)归纳法：如P26：例7(范德蒙德行列式); (c)递推法，如P25：例6.
例1
解四元线性方程组 2 x1 x2 5 x3 x4 8, x 3x 6 x 9, 1 2 4 2 x2 x3 2 x4 5, x1 4 x2 7 x3 6 x4 0.
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
1.4 行列式按行（列）展开
定义1： 在 n 阶行列式中，把元素
aij 所在的第 i 行和
第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫做元素
aij 的 余子式。 记为 M ij
称
Aij 1 M ij
i j
为元素 aij 的代数余子式。
a11
a12
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
2 x2
Βιβλιοθήκη 1 xn2 xn
1≤ j i≤n
( xi x j )
(n ≥ 2)
n 1 n 1 x2 xn
，
证
对行列式阶数用数学归纳法．当 n 2 时，
D2
1 x1
1 x2
x2 x1
1≤ j i≤2
( xi x j )
结论成立．假设对 n 1 阶范德蒙德行列式结论
注： 1、对于行（列）和相等的行列式，我们通常
把第二行到第n行都加到第一行(列)上去，使 得第一行（列）的元素都相等，然后提公因 子。 2、我们在计算行列式时首先要观察它的结构 再计算（ P37: 8（2），（5））
&1.5 克拉默法则
a11 x1 a12 x2 b1 对于二元一次方程组 , a21 x1 a22 x2 b2
在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定 简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列 式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一 列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理 在理论上是重要的。
例1 证明范德蒙德（Vander-monde）行列 式
1 x1 Dn x12 x1n 1 1 x2
D
其中 D j 是将系数行列式 D 中第 j 列的元素用方 程组右端的常数项 b1 , b2 ,, bn 代替后所得到的 n 阶行列式，即 a11 a1 j 1 b 1 a1 j 1 a1n n a21 a2 j 1 b 2 a2 j 1 a2 n Dj bi Aij i 1 an1 anj 1 bn anj 1 ann
a21 a22 例如： D a31 a32 a41 a42
A23 1
2 3
a11
a12
a14 a34 a44
M 23 a31 a32 a41 a42
M 23 M 23 .
a11
a12
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a21 a22 D a31 a32 a41 a42
a11 D a21 an1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
(2)
n 阶行列式
称为方程组(2)的系数行列式．
定理1（克拉默法则）
若线性方程组(2)的系 数行列式 D 0 ，则方程组有惟一解 Dj (3) xj ( j 1, 2, , n)
ai1 Aj1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0 (i j )
或
a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0 (i j )
．
综上，得公式
D, （当k i） ak 1 Ai 1 ak 2 Ai 2 akn Ain 0，（当k i） D, （当l j） a1l A1 j a2 l A2 j anl Anj 0，（当l j）
2
2 7
3 2 1 4 78, D4
1
2
1 3
2 7 39,
2 1
2 1
0 3 6 1 1 4
于是得
0 3 1 6 1 1 1 4 D1 39 D2 117 x1 1, x2 3, D 39 D 39 D3 78 D4 39 x3 2, x4 1, D 39 D 39
注:
1、利用克拉默法则求解时，这个方程组必须满足两
个条件: (a) 方程组中方程的个数必须与未知量的
个数相等，（b）系数行列式不为零。
2、理论意义：克拉默法给出了解与系数的明显关系。 但用此法则求解线性方程组计算量大。
3. 撇开求解公式
Dj xj , D
Cramer法则可叙述为下面定理：
定理2：