高中数学人教A版必修三教学案：第二章 第3节 变量间的相关关系含答案.doc

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P84～P91，回答下列问题．

(1)两个变量之间除了函数关系还有其他关系吗？

提示：相关关系．

(2)当两个变量呈负相关关系时，散点图有什么特点？

提示：当两个变量之间呈负相关关系时，散点图中的点散布的位置是从左上角到右下角的区域．

(3)求回归直线方程的主要方法是什么？

提示：求回归直线方程的主要方法是最小二乘法．

2．归纳总结，核心必记

(1)变量之间的相关关系

变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性的函数关系，变量之间的关系可以用解析式表示；另一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用解析式来表达．

(2)两个变量的线性相关

①散点图

将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图．

②正相关

在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．

③负相关

在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关．

④线性相关关系、回归直线

如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，这条直线的方程叫做回归直线方程，简称回归方程．

(3)回归直线方程 ①回归直线方程

假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n

，y n )，则所求回归方程是y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^是回归方程的斜率，a ^

是截距．

其中⎩⎪⎨⎪⎧

b ^＝

∑i ＝1n

－x －

y

∑i ＝1

n

－

x ＝

∑i ＝1n

xiyi －n x y

∑i ＝1

n

x2

i －n x 2，

a ^＝y －

b ^x －.

②最小二乘法

通过求Q ＝(y 1－bx 1－a )2＋(y 2－bx 2－a )2＋…＋(y n －bx n －a )2

的最小值而得出回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

[问题思考]

(1)任意两个统计数据是否均可以作出散点图？

提示：可以，不管这两个统计量是否具备相关性，以一个变量值作为横坐标，另一个作为纵坐标，均可画出它的散点图．

(2)任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归直线方程吗？

提示：用最小二乘法求回归直线方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的回归直线方程无意义．

(3)根据

a

^＝

y

－

b

^x

及回归直线方程

y

^＝

b

^x ＋a ^

，判断点(x ，y )与回归直线的关系是什么？

提示：由a ^＝y －b ^x 得y ＝b ^x ＋a ^

，因此点(x ，y )在回归直线上．

[课前反思]

通过以上预习，必须掌握的几个知识点：

(1)相关关系： ； (2)散点图： ； (3)回归直线方程及求回归直线方程的方法步骤：

.

瑞雪兆丰年，这不禁使我们想到这样一句谚语：“冬天麦盖三层被，来年枕着馒头睡”，意思是冬天“棉被”盖得越厚，春天小麦就长得越好．

[思考1] 下雪与小麦丰收有关系吗？

提示：有关系，但这种关系具有不确定性．

[思考2]若把下雪量和小麦产量看作两个变量，则这两个变量之间的关系是确定的吗？若不是确定的，那会是什么关系？

名师指津：这两个变量之间的关系是不确定的，这两个变量之间的关系是相关关系．[思考3]怎样理解两个变量之间的关系？

名师指津：两个变量间的关系分为三类：

(1)确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；

(2)相关关系，变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，例如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系；

(3)不相关，即两个变量间没有任何关系．

讲一讲

1．下列关系中，属于相关关系的是________．

①人的身高与视力的关系；

②做自由落体运动的物体的质量与落地时间的关系；

③降雪量与交通事故的发生率之间的关系．

[尝试解答]

续表

相关关系与函数关系区别

函数关系是一种确定的关系，而相关关系是两个变量间一种不完全确定的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．

练一练

1．在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？

①正方形边长与面积之间的关系；

②作文水平与课外阅读量之间的关系；

③人的身高与年龄之间的关系；

解：两变量之间的关系有三种：函数关系、相关关系和不相关．

①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．

②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．

③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系．

下表为某地搜集到的新房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋的面积x(单位：m2)的数据：

[1]能否以x为横坐标，以y为纵坐标在平面直角坐标系中作出表示以上数据的点？此图称为什么图形？

名师指津：能，如图所示，此图称为散点图．

[思考2]从散点图看应怎样描述房屋的销售价格与房屋面积之间的变化关系？

名师指津：从大体上看，面积越大，销售价格越高，但不是正比例函数关系．

[思考3]怎样认识散点图？

名师指津：(1)散点图与相关性的关系：

散点图形象地反映了各对数据的密切程度．根据散点图中点的分布趋势分析两个变量之间的关系，可直观地判断并得出结论．

(2)散点图与正、负相关性的关系：

如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，称这两个变量正相关，即两个变量具有相同的变化趋势；如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，称这两个变量负相关，即两个变量具有相反的变化趋势．

讲一讲

2．下表是某地的年降雨量与年平均气温，判断两者是相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？