概率论与数理统计(条件概率与全概率公式)

n.
i= 1
例9 见例6(2)
多个因发生一个果，在果已知的情况下，求各因的可能性
说明：
Bi是事件 A 的原因,称 P(Bi ) i=1,2, …,n为先验概率， 它是在没有进一步信息（不知道事件A是否发生）的 情况下，人们由以往的经验得到的诸事件发生的可 能性大小
称P(Bi|A)，i=1,2, …,n为后验概率，它是得到了信 息 — A 发生, 再对导致 A 发生的原因 Bi 发生的可 能性大小重新加以修正
P(A B) 40 40/ 100
70
70/ 100
P(AB)
P(B)
P(A B) P(AB) P(B)
上述关系虽然是在特殊情况下得到的，但它对一般的古典概率。几何 概率都成立，由此公式我们给出条件概率的定义
条件概率的定义 P16
设Ａ,Ｂ为随机试验E的两个随机事件,且Ｐ (Ｂ)＞０，则称
P(A | B) P(AB) P(B)
则 A3 表示第三次取到红球，
所求概率为 P(A1A2 A3 )
a P( A1 ) a b ,
ac
P( A2 A1 )
, abc
b P( A3 A1 A2 ) a b 2c
所求概率为
P(A1A2 A3 ) P(A1 ) P(A2 A1 ) P(A3 A1A2 )
a ac b a b a b c a b 2c
B：该建筑物使用寿命超过60年。 由题意， P(A) 0.8, P(B) 0.6
B A, P(AB) P(B) 0.6
所求概率为：P(B A) P(AB) 0.6 0.75 P(A) 0.8
2.乘法定理
设Ａ,Ｂ为随机试验E的两个事件, 若Ｐ(A)＞０，则 P( AB) P( A)P(B A)
解 设A1：取到甲家产品，A2：取到乙家产品；
A3：取到次品
则（1）
P( A1A3 )
P( A1)P( A3
|
A1 )
2 5% 3
1 30
（2）
P( A2 A3)
P( A2 )P( A3 |
A2 )
1 3% 1
3
100
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例5(P18) 一口袋中装有a 只白球，b 只红球，每次随 机取出一只，然后把原球放回，并加进与抽出的球同 色的球 c只。连续摸球三次，试求第一、第二次取到 白球，第三次取到红球的概率。 解 设 A表i 示事件“第 i 次取到白球’’ （i=1,2,3)
P(B A) P( AB) P( A)
若Ｐ(B)＞０，则 P( AB) P(B)P( A B) P( A B) P( AB) P(B)
推广 P17
1.若Ｐ(AB)＞０，则
P( ABC ) P( A)P(B A) P(C | AB)
2.设 A1 ,A2 ,…, An 为随机试验E的n个事件, 若 Ｐ(A1 A2 … An-1)＞０，则
即 PBi 已知
而且每一原因对结果的影响程度已知，
即 PA Bi 已知
则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
即求 PA
再回到例6，现有一人从此仓库买了一件这种产品， 结果是次品，此人要求赔偿，但生产厂的标签已 脱落，问该如何赔偿，例如，甲厂应承担多少经 济责任？
这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件 概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生的可 能性大小。
(2)在第一次取得正品，第二次取得次品的概率.
解：设事件A ：“第一次取得正品”（乘法定理，后解）
事件B ：“第二次取得次品”
则：(1) P(B | A) 2 1
42
(2) P(AB) P(A)P(B | A) wenku.baidu.com3 2 3
5 4 10
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例2(P17)某建筑物按设计要求使用寿命超过50年的 概率为0.8，超过60年的概率为0.6,现该建筑物已经 历了50年，问它的使用寿命超过60年的概率是多少？ 解： 设A：该建筑物使用寿命超过50年。
显然，B1 ,B2 , B3是样本空间S的一个划分。
所求概率为：
P(B2
A)
P(AB2 ) P(A)
P(B2 )P(A B2 )
3
P(Bi )P(A Bi )
i1
P(B2 )P(A B2 )
P(B1 )P(A B1 ) P(B2 )P(A B2 ) P(B3 )P(A B3 )
4 32 1 10 9 8 30
（2） P(A) 4 0.4 10 对于事件B而言， 样本空间的划分是
A和 A
P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B A)
4 3 6 4 2 0.4 10 9 10 9 5
下面我们对全概率公式的使用方法进行小结
全概率公式的使用
我们把事件A看作某一随机过程的一种可能结果， 把 B1, B2 , , Bn 看作该过程的若干个原因， 根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
区别：（1）在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，
B先A后；在P（AB）中，事件A，B同时发生。
（2）样本空间不同，在P(A|B)中，样本空间是缩减
样本空间SB；在P（AB）中，样本空间仍为S。
因而有
P( A B) P( AB)
条件概率的计算方法
（1）由定义 P(A | B) P(AB) 计算 P(A | B)
次品，从甲箱中任取3个产品放入乙箱，然后从乙箱中
任取1个产品，求这个产品是正品的概率。
解 设A：从乙箱中所取产品是正品
Bi：“从甲箱中所取3个产品中有i个正品”，
则所求概率为：
（i =0，1，2，3）
3
P(A) P Bi P A Bi i0
C33 4 C83 10
C15C23 C83
5 10
例10 某地区有61％的人抽烟，有24％的人不抽烟， 有15％的人以前曾抽过烟，已知以上三种情况死于 肺癌的概率依次为0.5、0.1、0.2，求一个死于肺 癌的病人，他是不抽烟的概率。
解：设A：表示事件“病人死于肺癌” B1： 表示事件“此人抽烟” ， B2：表示事件“此人不抽烟”， B3：表示事件“此人抽过烟”
600 1000
1%
250 1000
4%
150 1000
2%
0.019
(2)
P(B1 A)
P(AB1 ) P(A)
P(B1 )P(A B1 )
3
P(Bi )P(ABi )
i=1
0.6 0.01 0.3158 0.019
所以甲厂应承担约31.58%的经济责任.
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例7 甲箱中有5个正品3个次品，乙箱中有4个正品3个
设S为样本空间，B1 , B2 , 为Bnn个随机事件，若满足
(1) B1 , B2 , Bn 两两互不相容，即：BiBj (i j)
n
(2) Bi S
i1
则称 B1 , B2 ,为样B本n 空间S的一个划分。
S
B1 B2 …... Bn
全概率公式 P18
设S是试验E的样本空间， B1, B2 ,是SB的n 一个划分， 且 P(Bi )>0(i=1,2, n), 则对任一事件A，有
i1
概率的性质，即 1.P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1A2 B) 2.P( A B) 1 P( A B) 3.P( A C B) P( AC B) P( A B) P(AC B)
（2）注意概率 P(A|B)与 P(AB)的区别与联系
联系： 事件A，B都发生了
P(ABC) P(A)P(B A)P(C AB)
1 0.1 1 0.025
2
2
（2）他拿伞而没有下雨的概率，即：
P(AC) P(ABC ABC) P(ABC) P(ABC)
P(A)P(B A)P(C AB) P(A)P(B A)P(C AB) 1 0.9 1 1 0.11 0.275
C52C13 C83
6 10
C53 C83
7 10
329 0.5875 560
例8 10张考签中有4张难签，今有甲乙丙三个依 次参加抽签，从中任取一张，抽后不放回，试求 （1）三个人都抽到难签的概率。 （2）乙抽到难签的概率。 解 设A , B , C分别表示甲、乙、丙各自抽到难签。
(1)P(ABC) P(A)P(B A)P(C AB)
2 22
二、全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复 杂事件的概率,它们实质上是加法公式、乘法公式 和条件概率的综合运用.
综合运用
加法公式
乘法公式
条件概率
P(AB)=P(A)+P(B) P(AB)= P(A)P(B|A) P(A|B)= P(AB)/P(B)
A、B互斥
P(A)>0
P(A1A2 An ) P(A1)P(A2 A1)P(A3 A1A2) P(An A1A2 An1)
例3 见例1(2)
例4 有一批产品，由甲、乙两家生产，其中甲家占2/3,
乙家占1/3，又知甲家产品次品率为5％，乙家产品次品
率为3％，现从中抽取一件，求
（1）取到甲家产品次品的概率；
（2）取到乙家产品次品的概率；
P(B)
（2）在事件Ｂ发生的条件下将样本空间S缩减为 事件B所包含的样本点的集合SB，然后在缩减的样 本空间 SB中求事件A发生的概率,从而得P(A | B)
例1 5件产品中有2件次品，从中取产品两次，每次任取
一只，作不放回抽样，求：
（条件概率）
(1)在第一次取得正品的条件下，第二次取得次品的概率.
第四节 条件概率与全概率公式
一、条件概率与乘法定理 二、全概率公式与贝叶斯公式
一、条件概率与乘法定理
1.条件概率
引例 10个人抽一个签 第一个人抽中，第二个人抽中的概率为 0
1 第一个人抽不中，第二个人抽中的概率为 9
A,B为两个事件，在事件B发生条件下，事件A 发生的概率称为B发生条件下A的条件概率，记为 P(A|B).
为在事件Ｂ发生的条件下，事件Ａ发生的条件概率．
注： (1)条件概率也是概率, 所以满足概 率的三条公理和性质
三条公理即：
1）非负性
0 P(A B) 1
2）规范性
P(S B) 1, P( B) 0
3）可列可加性
A1，A2，…,An…两两互不相容时，
P Ai B P Ai B
i1
接下来我们介绍贝叶斯公式来解决这类问题
贝叶斯公式 P19
设S是试验E的样本空间， B1, B2 ,是SB的n 一个划 分， 且 P(Bi）>0(，i=则1,2对, 任n一) 事件A，有
P(B k
A )=
P(ABk ) P(A)
=
P(Bk )P(A Bk )
n
P(B）i P(A Bi )
k 1, 2,
引例(P15)盒子中混有新旧两种球共100个，新球中有 白球40个，红球30个，旧球中有白球20个，红球10个， 现从盒子中任取一球，已知取出的是新球，求取得的 是白球的概率。
解：设A:取得白球。B:取得新球。现列表如下：
白球 红球 小计 新球 40 30 70 旧球 20 10 30 小计 60 40 100
思考. 某城市下雨的日子占一半，天气预报的准确度 为90％，某人每天上班都为下雨烦恼，于是预报下 雨他就拿伞，即使预报没有雨，他也有一半时间拿 伞，求 （1）他没有拿伞而遇到雨的概率。 （2）他拿伞而没有下雨的概率。
解： 设A：天下雨，B:天气预报正确，C：此人拿伞。
（1）他没有拿伞而遇到雨,说明天气预报错了，所以 这是求事件 ABC 的概率
P(B)>0
考虑刚才的例4的次品概率。
P( A3 ) P( A1A3 ) P( A2 A3)
P( A1)P( A3 | A1) P( A2 )P( A3 | A2 ) 1 1 13
30 100 300
此公式即为全概率公式的一种特殊形式，要给出一 般形式，先给出划分的定义
样本空间的一个划分 （P18全概率公式中）
P(A)=P(B1 )P( A B1 )+P(B2 )P( A B2 )+ +P(Bn )P( A Bn )
n
= P(Bi )P( A Bi ) i=1 多个因求一个果的概率
例6 设某仓库中有同样规格的产品1000件，其中 甲厂生产600件，乙厂生产250件，丙厂生产150 件。已知这三个厂生产的产品质量不同，它们 的次品率依次为1%，4%，2%，现从仓库中任 取一件产品，求：
(1) 取得的产品是次品的概率 （全概率公式） (2) 已知取得的产品是次品，但生产厂的标签已脱
落，问甲厂应承担多少经济责任？
（贝叶斯公式，后解）
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解：设事件A：取到的产品是次品
Bi (i 1, 2,3)：取到的产品分别由甲、乙、丙厂生产
3
则: (1) P( A) P Bi P A Bi i 1 P(B1 )P(A B1) P(B2 )P(A B2 ) P(B3 )P(A B3 )