第18讲 系统的频率特性总结

输出与输入的正弦相位差为
ϕ＝∠G （jω ）
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输出与输入的正弦幅值之比为
B ＝G （jω） A
输出与输入的正弦相位差为
ϕ＝∠G （jω ）
（jω）是在系统传递函数 G （s ）中令 s = jω 式中：G （jω） 和 ∠G （jω） （jω ）称为系统的频率特性， G 得来，G 分别表示频率特性的幅值和相位角。当 ω 从0变化到 （jω） （jω）和 ∠G ∞时，G 的变化情况分别称为系统的幅 频特性和相频特性，总称为频率特性。
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用对数坐标表示频率特性的优点： � 可以将幅值相乘转化为幅值相加，便于绘制多个环 节串联组成的系统的对数频率特性图； � 可采用渐近线近似的方法绘制对数幅频图，简单方 便，尤其是在控制系统设计、校正及系统辨识方 面，优点更突出； � 对数分度扩展了频率范围，尤其是低频段的扩展， 对分析机械系统的频率特性是有利的。
=
Байду номын сангаас
即 求解得：
ω2 2 ω 2 （ 1－ 2 ） ＋（ 2ξ ）＝ 2 ωn ωn
ωb＝ωn 1－2ξ ＋ 2－4ξ ＋4ξ
2 2
4
例：已知单位反馈系统的开环传递函数为
50 G （s）＝ （0.05s＋1）（2.5s＋1）
求该系统的ξ，ωn，ωr 和ωb
解：系统的闭环传递函数为：
50 G (s) 50 51 F (s) = ＝ = 1+G ( s ) 0.125s 2 +2.55s+51 0.125 s 2 + 2.55 s+1 51 51 1 K 对比 G (s ) = 2 2 及 ωn = 可知： T T s + 2ξTs + 1
ωr < ωd = ωn 1 − ξ 2 < ωn
当ζ
≥ 0.707
时，系统不存在谐
振频率，即不产生谐振。 二阶系统Mr与阻尼比的关系如 图所示。当 0 < ξ < 0.4 时Mr迅 速增大，此时瞬态响应超调量
Mp也增大，当 0.4 < ξ < 0.707时， Mr和Mp存在着相似关系。对于
机械系统，通常要求
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使用MATLAB的nyquist()函数绘制奈奎斯特图
20 G (s ) = (s + 2)(s + 3)
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5.4 最小相位系统的概念
1. 最小相位系统 （s）的所有零点 最小相位系统：系统开环传递函数 G 和极点都在s平面的左半平面。 特点：频率从零变化到无穷大，相位角变化范围最 小，且当 ω = ∞ 时，其相位角为 -(n-m ) × 90� 对于最小相位系统，只要根据对数幅频曲线就能写 出系统的传递函数。
例 判断下面传递函数是否为最小相位系统。
T1 s＋1 －T1 s＋1 T1 s－1 G （ ，G （ ，G （ 1 s）＝ 2 s）＝ 3 s）＝ T2 s＋1 T2 s＋1 T2 s＋1
解：分别写出三个系统零点和极点并画出分布图
1 1 G （ ）：零点Z＝－ ，极点P＝－ 1 s T1 T2 1 1 G（ ）：零点Z＝ ，极点P＝－ 2 s T1 T2 1 1 G（ ）：零点Z＝ ，极点P＝－ 3 s T1 T2
一阶系统频宽的求解：
G ( jω ) =
1 1 + jωT
1 1 + jωT
ω =ωb
1 1 = 2 1 + jωT
ω =0
得： 故
1 = 2 1+ωb 2 T 2
1
1 ωb = =ωT T
一阶系统的截止频率 ω b 等于系统的转角频率ω T ，即等 于系统时间常数的倒数——频宽越大，系统时间常数T 越小，响应速度越快。
其中，P(ω)和Q(ω)分别为系统频率特性的实部与 虚部；A(ω)和 ϕ (ω ) 分别为频率特性的模、幅角。
A(ω ) = P 2 (ω ) + Q 2 (ω )
ϕ (ω ) = arctan(Q(ω ) P(ω ))
优点：可以将系统在整个频域中的频率特性表现在一 张图上，在进行稳定性分析和系统校正时，应用极坐 标图比较方便。 缺点：绘图时必须计算出每个频率下的幅值和相位 角，对多个环节串联的系统，需要将某一频率下各环 节的幅值相乘、相位相加，不如伯德图方便。
K=10，T=0.087，画出系统的伯德图。
解（1）由系统的传递函数G(s)求出频率特性G(j ω)，并化为典型环节频率特性相乘的形式 K G ( jω ) = jω (Tj ω + 1) 系统由三个典型环节——比例环节、积分环节和惯性 环节组成。
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K G (s ) = ，其中K=10，T=0.087 s(Ts + 1)
（2）求出各典型环节的转角频率 ωT，ωn，阻尼比ξ 等参数； （3）分别画出各典型环节的幅频曲线的渐近线和相 频曲线； （4）将各环节的对数幅频曲线的渐近线进行叠加， 得到系统幅频曲线的渐近线，并对其进行修正； （5）将各环节相频曲线叠加，得到系统的相频曲线。
K 例 已知系统的传递函数 G (s ) = s(Ts + 1) ，其中
1 < M r < 1.4
(2) 截止频率 ω b 和频宽 截止频率是指系统闭环频率特性的对数幅值下降到其 零频率幅值以下3dB时的频率，即： M(0)
20lgM(ω b )=20lgM(0) − 3=20lg 2
故ω b 也可以说是系统闭环频率特性幅值为其零频率幅 值的 1 时的频率。 系统的频宽：指从0到 ω b 的 2 频率范围。 频宽（或称带宽）表征系统 响应的快速性，也反映了系 统对噪声的滤波性能。大的 频宽可以改善系统的响应速 度，使其跟踪或复现输入信 号的精度提高，但同时对高 频噪声的过滤特性降低，系 统抗干扰性能减弱。
20 lg M r = 20 lg M max (ωr ) − 20 lg M (0)
M max (ω r ) Mr = ，又称相 M (0)
可得： M = r
1 2ξ 1-ξ 2
ωr =ωn 1- 2ξ 2
在
1 0<ξ < = 0.707 范围内， 2
系统会产生谐振峰值Mr ，而且 ξ 越小，Mr越大；谐振频率 ωr 与 系统的阻尼自然频率 ωd ，无阻 尼自然频率 ωn 有如下关系：
利用MATLAB的bode()函数 直接画伯德图。
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4.3 频率特性的极坐标图（奈奎斯特图）
1. 极坐标图
G （jω） 的极坐标图是当 ω 从零变化到无穷大时， （jω） 的幅值与相角的关系图。极 表示在极坐标上的 G
坐标图是在复平面内用不同频率的矢量端点轨迹来表 示系统的频率特性。
G ( jω ) = P(ω ) + jQ (ω ) = A(ω )e jϕ (ω )
K ，其中K=10，T=0.087 s(Ts + 1)
（3）分别画出各典型环节 的幅频曲线的渐近线和相 频曲线； （4）将各环节的对数幅频 曲线的渐近线进行叠加， 得到系统幅频曲线的渐近 线，并对其进行修正； （5）将各环节相频曲线叠 加，得到系统的相频曲线。
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G (s ) =
K ，其中K=10，T=0.087 s(Ts + 1)
第4章 系统的频率特性
4.1 频率特性 4.2 频率特性的对数坐标图（伯德图） 4.3 频率特性的极坐标图（奈奎斯特图） 4.4 最小相位系统的概念 4.5 闭环频率特性与频域性能指标
1
4.1 频率特性
1. 频率特性的概念
频率响应是指系统对正弦输入的稳态响应。 输出与输入的正弦幅值之比为
B ＝G （jω） A
注意：
M max （ωr） 此处计算的M r 为相对谐振峰值，即 ，实际最大幅值 M （0） 50 M max （ωr）＝M r M （0）＝1.15 × ＝1.13 51
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练习——判断以下各图分别为何种环节的伯德图。
比例环节
积分环节及两个 积分环节
微分环节及两个 微分环节
一阶惯性环节
二阶微分（在上） 延时环节 一阶微分环节 及振荡环节（在下） 7
3. 绘制伯德图的一般步骤
（jω） （s） 求出频率特性 G （1）由传递函数 G ， 并将 G 化为若干典型环节频率特性相乘的 （jω） 形式；
3
4.频率特性的表示方法
（1）对数坐标图或称伯德(Bode)图 （2）极坐标图或称奈奎斯特(Nyquist)图 （3）对数幅－相图或称尼柯尔斯(Nichols)图
4
4.2 频率特性的对数坐标图（伯德图）
1. 对数坐标图
伯德图：以对数坐标表示的频率特性图，由对数幅频图和对数相 频图组成。横坐标是按频率 ω 的以10为底的对数分度。 对数幅频图的纵坐标值为 L(ω ) = 20 lg G ( jω ) ，单位称作分 贝，记作dB。
0.125 T = 51
2
2.55 2ξT = 51
50 K= 51
可得
ωn =
1 51 = = 20.2rad/s T 0.125 2.55 ξ= × 20.2 = 0.505 51× 2
所以
Mr=
1 2ξ 1-ξ 2
=1.15
ωr =ωn 1-2ξ 2 =14.14rad/s
ωb =ωn 1-2ξ 2 + 2-4ξ 2 +4ξ 4 = 25.6rad/s
（ G （ 可以看出它们中只有 G 1 s） 为最小相位系统， 2 s） （ 和 G 3 s） 为非最小相位系统。
4.5
闭环频率特性与频域性能指标
1. 闭环频率特性 如图所示系统其闭环传递函 数为
F ( s) =
则
G ( s) 1+G ( s ) H ( s )
G ( jω ) F ( jω ) = 1 + G ( jω ) H ( jω )
（2）各环节参数 比例环节K 积分环节
1 jω
L(ω ) = 20 lg K = 20 lg 10 = 20
ϕ (ω ) = 0°
L(ω)为过点(1,0)、斜率为-20dB/dec的直线
ϕ (ω ) = −90°
惯性环节
1 Tjω + 1
ωT =
1 1 = = 11.5 T 0.087
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转折频率
G (s ) =
二阶系统频宽的求解：
ωn 2 G ( jω ) = ( jω ) 2 + 2ξωn ( jω ) + ωn 2
M （ω）＝
1
ω2 2 ω 2 （ 1－ 2 ） ＋（ 2ξ ） ωn ωn
1 2 1 1 2
1
ω2 2 ω 2 （ 1- 2 ） + （ 2ξ ） ωn ωn ω =ω
=
b
ω2 2 ω 2 （ 1- 2 ） + （ 2ξ ） ωn ωn ω = 0
被称作闭环频率特性。
2. 频域性能指标 (1)谐振峰值 M r 和谐振频率 ωr 将闭环频率特性的幅值用 M (ω ) 表示。 当 ω = 0 的幅值为 M (0) = 1 时，M (ω ) 的最大值 M r 称作 谐振峰值。在谐振峰值处的频率 ωr 称为谐振频率。 若M (0) ≠ 1 ，则谐振峰值为 对谐振峰值，若取分贝值，则：