积分变换课后答案

1-1

1． 试证：若

()f t 满足Fourier 积分定理中的条件，则有

()()()d d 0

cos sin f t a t b t ωωωωωω+∞+∞=+⎰

⎰

其中()()()()d d ππ11cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞

-∞-∞

==⎰⎰

分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试

用三角形式证明.

证明：利用Fourier 积分的复数形式，有

()()j j e e d π12t t

f t f ωωτω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=

⎢

⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j j d e d π11cos sin 2t f ωτωτωττω+∞+∞-∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦

⎰⎰

()()()j j d 1cos sin 2

a b t t ωωωωω+∞

-∞⎡⎤=

-+⎣⎦⎰ 由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以

()()()d d 11cos sin 22

f t a t b t ωωωωωω+∞+∞-∞-∞=

+⎰⎰ ()()d d 0

cos sin a t b t ωωωωωω+∞+∞

=+⎰

⎰

2．求下列函数的Fourier 积分：

1）()22

21,10,1t t f t t ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩; 2) ()0,

0;e sin 2,0

t

t f t t t -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩ 3) ()0,1

1,10

1,010,1t t f t t t ⎧-∞<<-⎪

--<<⎪=⎨<<⎪

⎪<<+∞⎩

分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以解此题，请读者试用三角形式解.

解：1）函数()22

2

1,1

0,

1t t f t t ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为连续的偶函数，其Fourier 变换为 j 21()[()]()e d 2()cos d 2(1)cos d 00t F f t f t t f t t t t t t ωωωω-+∞

+∞⎧====-⎨-∞

⎩⎰⎰F

1

2233

0sin 2cos 2sin sin 4(sin cos )2t t t t t t ωωωωωωωωωωωω⎡⎤⎛⎫-=--+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣

⎦(偶函数)

f (t )的Fourier 积分为

j 3

11()()e d ()cos d 0

2ππ4(sin cos )

cos d 0πt

f t F F t t ωωωωωωωωωωωω

+∞+∞==-∞+∞-=⎰⎰⎰ 2)所给函数为连续函数，其Fourier 变换为

()[]j j ω()()e d e sin 2e d 0

t

t t F f t f t t t t ωωτ---+∞===-∞⎰⎰F

2j 2j j (12j j )(12j j )e e 1e e d [e e ]d 02j 2j 0

t t t t t t t t ωωω----+--+++∞+∞

-=⋅⋅=-⎰⎰ (12j j )(12j j )0

1e e 2j 12j j 12j j t t ωωωω+∞

-+--++⎡⎤=+⎢⎥-+-++⎣⎦ ()2

24

252j j 1121(2)j 1(2)j 256ωωωωωω⎡⎤--⎛⎫⎣⎦=+=

⎪-+-+--+⎝⎭（实部为偶函数，虚数为奇函数）

f (t )的Fourier 变换为

()j 1()e d 2πt f t F ωωω+∞

=-∞

⎰ ()()2

24252j 1cos jsin d 2π256t t ωωωωωωω

⎡⎤--+∞⎣⎦=⋅--∞-+⎰ ()()()22

2424

2

24

5cos 2sin 5sin 2cos 11d d π256π2565cos 2sin 2d π0256t t t t t t ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω-+--+∞+∞=+-∞-+-∞-+-++∞=-+⎰⎰⎰

这里用到奇偶函数的积分性质.

3）所给函数有间断点-1，0，1且f (-t )= - f (t )是奇函数，其Fourier 变换为

()[]j ()()e d 2j ()sin d 0

t F f t f t t f t t t ωωω-+∞+∞===--∞⎰

⎰F

12j(cos 1)2j 1sin d 0t t ωωω

-=-⋅=⎰（奇函数）

f (t )的Fourier 积分为

()()j j ()e d sin d π0π0

21cos sin d π0t

f t F F t t ωωωωωωωωωω

+∞+∞=+∞-=⎰⎰⎰1=

2

其中t ≠-1，0，1（在间断点0t 处，右边f (t )应以

()()

00002

f t f t ++-代替）.

3．求下列函数的Fourier 变换，并推证下列积分结果： 1）()e

(0),t

f t ββ-=>证明：22cos πd e ;02t

t βωωβωβ

-+∞=+⎰ 2）()e cos t

f t t -=，证明：24

2πcos d e cos ;042

t

t t ωωωω-+∞+=+⎰ 3）sin ,π()0,πt t f t t ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，证明：2

πsin ,π

sin πsin 2d 010,πt t t t ωωωω⎧≤+∞⎪=⎨-⎪>⎩

⎰ 证明：1）函数()e t f t β-=为连续的偶函数，其Fourier 变换为

()()j e e d 2e cos d 0t t t

F f t t t t βωβωω---+∞+∞⎡⎤===⎣⎦-∞⎰⎰F

()

22

22

e cos sin 22

t t t t t ββωωωβ

βωβω

-=+∞

=-+==

++ 再由Fourier 变换得

()()j 22

112e d cos d 2ππ0t

f t F t t ωβωωωβω+∞+∞=

=-∞+⎰⎰ 即

22

cos πd e 02t

t βωωβωβ

-+∞=+⎰ 2）函数()e cos t f t t -=为连续的偶函数，其Fourier 变换为

()j j ()e d e cos e d t t t F f t t t t ωωω---+∞+∞

==-∞-∞

⎰

⎰