第4章 数学规划模型(投影版)

3360.000
利润3360元
X1 X2
20.000000 30.000000
0.000000 “效益”的增量 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 原料增1单位, 利润增长48 原料无剩余 3) ) 0.000000 2.000000 时间增1单位, 利润增长2 时间无剩余 4) 40.000000 0.000000 加工能力增长不影响利润 加工能力剩余40 NO. ITERATIONS= 0
数学建模
问题分析
第四章 数学规划模型
目标是使每天的获利最大 每天用多少桶牛奶生产A1，用多少桶牛奶生产A2 决策是生产计划 每天生产多少公斤A1，多少公斤A2 3个条件的限制 原料(牛奶)供应 劳动时间 设备甲的加 能力 3个条件的限制：原料(牛奶)供应、劳动时间、设备甲的加工能力 基本模型 决策变量 目标函数 设每天用x1桶牛奶生产A1，用 用x2桶牛奶生产A2。 x1桶牛奶可生产3 x1公斤A1，获利24×3 x1 x2桶牛奶可生产4 x2公斤A2，获利 获利16×4 x2 原料供应 劳动时间 设备能力 非负约束 z = 72 x1 + 64 x2
若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资?若投资，每天最多 若用 元可以买到 桶牛奶，应否作这项投资 若投资，每天最多 购买多少桶牛奶? 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多 是每小时几元? 由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产 计划? 奶制品的生产与销售
奶制品的生产与销售
数学建模
问题 1桶牛奶 设备甲 12小时 小时
第四章 数学规划模型
奶制品的生产销售计划
每公斤A1获利24元 3公斤A1 2小时、3元加工费/公斤 0 8公斤高级奶制品B1 0.8公斤高级奶制品 每公斤B1能获利44元 设备乙 8小时 每公斤A2获利16元 4公斤A2 2小时、3元加工费/公斤 小时 元加工费/公斤 每公斤B2能获利32元 0.75公斤高级奶制品B2
xi对目标函数的“贡献”，与 对目标函数的“贡献” 与xi的 比例性 取值成正比； xi对约束条件右端 项的“贡献”，与xi的取值成正 比。 xi对目标函数的“贡献”，与xj的 可加性 取值无关； x 对每个约束条件右 i 端项的“贡献” 端项的 贡献 ，与 与xj的取值无关。 的取值无关 连续性 xi的取值是连续的。 奶制品的生产与销售
第四章 数学规划模型
x1 A L1 L4 B L2 C L5 z=0 D L3
O
x2 z=3360 3360 z=2400
Max z = 72 x1 + 64 x2
z=c (常数) ~等值线
B点时z =3360，达到最大值，所以最优解：x1 =20，x2=30。 最优解一定在凸多边 形的某个顶点取得
目标函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线 奶制品的生产与销售
数学建模
软件实现 LINDO 6.1 max 72x1+64x2 72 1+64 2 st x1+x2<50 12x1+8x2<480 3x1<100 end
20桶生产A1 30桶生产A2 三 种 资 源 LP OPTIMUM FOUND AT STEP
50桶 每天工人总劳动 设备甲至多加 制订一个生产计划， 制 牛奶 时间为480小时 工100公斤A1 使每天获利最大 若投资30元可以增加供应1桶牛奶，投资3元可以增加1小时劳动时 间，应否作这些投资?若每天投资150元，可赚回多少? 间 应否作这些投资?若每天投资150元 可赚回多少? 每公斤高级奶制品B1，B2的获利经常有10％的波动，对制订的生产 销售计划有无影响?若每公斤B1的获利下降10％，计划应该变化吗? 奶制品的生产与销售
奶制品的生产与销售
数学建模
第四章 数学规划模型
A1获利增加到30元/公斤， RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: 应否改变生产计划? 最优解不变时目标函数系数允许变化范围 (约束条件不变) x1系数由24×3=72增加为 系数由24×3 72增加为 OBJ COEFFICIENT RANGES 30×3=90，在允许范围内,不变 VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE x1系数范围(64,96) X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 64 000000 8.000000 8 000000 16.000000 16 000000 x2系数范围(48,72) 系数范围(48 72) 35元可买到1桶牛 影子价格有意义时约束右端的允许变化范围(目标函数不变) 奶，每天最多买多 RIGHTHAND SIDE RANGES 少?最多买10桶 少 最多买 桶 ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 原料最多增加10 2 50.000000 50 000000 10 000000 10.000000 6 666667 6.666667 时间最多增加53 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000
数学建模
第四章 数学规划模型
数
学
建
模
主讲教师：柳毓松 ysliu1758@163.com
数学建模
第四章 数学规划模型
第四章 数学规划模型
目的：基本掌握建立数学规划模型的方法，熟练使用Lindo、Lingo 软件求解该类问题 内容：奶制品的生产与销售;自来水输送;货机装运 ;汽车厂生产计划 ; 原油采购与加工 ;接力队的选拔;选课策略 ;销售代理的开发与中断 ;饮 料厂的生产与检修计划;饮料的生产批量问题 ;钢管下料 ;易拉罐下料 重点：规划模型中优化三要素的确定;各类优化模型的建模思路;利用 Lindo、Lingo软件求解规划模型及结果解释 难点：决策变量的确定(0-1 (0 1变量的合理使用);约束条件合理选择及特 殊情况处理；Lindo、Lingo软件的结果解释
数学建模
模型求解 图解法 约 12 x + 8 x ≤ 480 1 2 束 3 x1 ≤ 100 条 件 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 目标函数 最优解 x1 + x2 ≤ 50 OABCD(阴影 部分)：可行域 L1 x1 + x2 = 50` 12 x1 + 8 x2 = 480 3 x1 = 100 x1 = 0 x2 = 0 L2 L3 L4 L5
车间级
时间层次 若在短时间内认为外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单 若在短时间内认为外部需求和内部资源等不随时间变化 可制订单 阶段生产计划，否则就要制订多阶段生产计划。 奶制品的生产与销售
数学建模
第四章 数学规划模型
加工奶制品的生产计划
问题 1桶牛奶 50桶 牛奶 附 加 问 题 3公斤A1 4公斤A2 每天工人总劳动 时间为480小时 设备甲 12小时 小时 设备乙 8小时 设备甲 多加 设备甲至多加 工100公斤A1 每公斤A1获利24元 每公斤A2获利16元 制订 个 产计划， 制订一个生产计划， 使每天获利最大
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 净利润3460 8元 净利润3460.8元 1) 3460 800 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 每天销售168公斤 每天销售 公斤A2 X2 168 168.000000 000000 0 000000 0.000000 X3投资150元增加5桶牛奶， 19.200001 0.000000 每天销售19.2公斤B1 X4可赚回189.6元。（大于 0.000000 0.000000 得到24公斤 得到 公斤A1加 加工成 成B1 X5增加时间的利润增长） 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) 0.000000 3.160000 增加1桶牛奶利润增 3) 0.000000 3.260000 长3.16×12=37.92 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 增加1小时利 增加 小时利 6) 0.000000 32.000000 润增长3.26 NO. ITERATIONS= 3
约束条件
原料总量不得超过每天的供应，即x1 + x2 ≤ 50桶 总加工时间不超过总劳动时间 即12 x1 + 8 x2 ≤ 480 h 总加工时间不超过总劳动时间，即 A1产量不超过设备甲每天加工能力，即3 x1≤100 x1，x2不能为负值，即x1≥0，x2≥0
奶制品的生产与销售
数学建模
综上可得
公平的席位分配
数学建模
第四章 数学规划模型
生产计划问题
企业生产计划 空 间 层 次 工厂级 根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最 大利润为目标制订产品的生产计划。 根据产品生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数 等，以最小成本为目标制订生产批量计划。 等，以最小成本为目标制订 产批 计划
第四章 数学规划模型
0
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
聘用临时工人付出的工 35元可买到1桶 影子价格：最优解下 资最多每小时几元 ? 2元 牛奶，要买吗? VARIABLE VALUE REDUCED COST 资源 增加1单位时 “资源”增加 35 <48, 应该买！ 应该买
1)
x1 x5 x 2 x 6 50 3 4 4 (x1 + x5 ) + 2 (x2 + x6 ) + 2 x5 + 2 x6 ≤ 480
x3 = 0.8 0 8 x5 x4 =0. 75 x6 x1 + x5 ≤ 100 x1，x2，x3，x4，x5，x6 ≥ 0
这仍然是 个线性规划模型 这仍然是一个线性规划模型
约束条件
设备能力 A1产量x1+x5不超过设备甲每天加工能力100公斤； 非负约束 x1，x2，…，x6均为非负。
附加约束 1公斤A1加工0.8公斤B1，x3 =0.8 x5，类似地x4 =0.75 x6 奶制品的生产与销售
数学建模
综上可得
第四章 数学规划模型
Max z = 24 x1 +16 x2 + 44 x3 + 32 x4 – 3 x5– 3x6 s.t.
数学建模
基本模型 决策变量 目标函数 标 数
第四章 数学规划模型
设ຫໍສະໝຸດ Baidu天销售x1公斤A1，x2公斤A2，x3公斤B1，x4公斤B2， 用x5公斤A1加工B1，x6公斤A2加工B2。 设每天净利润为z，容易写出z=24x1+16x2+44x3+32x4–3x5–3x6 每天A1 、A2生产x1+x5、 x2+x6公斤，用牛奶(x1+x5)/3、 (x2+x6)/4桶，二者之和不超过供应量50桶； 每天生产A1、A2时间为4 (x1+x5 )、2(x2+x6)，加工B1， 劳动时间 B2时间为2x5和2x6，二者之和不超过总时间480小时； 原料供应
第四章 数学规划模型
Max z = 72 x1 + 64 x2 s.t. x1 + x2 ≤ 50 12 x1 + 8 x2 ≤ 480 3 x1 ≤ 100 x1 ≥ 0 ， x2 ≥ 0 由于目标函数和约束条件对于决策变量而言都是线性的，所以称为 线性规划(Linear Programming，简记作LP)。 A1，A2的获利是与各自产量无关 的常数; A1，A2的数量和时间是 与各自产量无关的常数。 A1，A2的获利是与相互产量无关 的常数；A1，A2的数量和时间是 与相互产量无关的常数； 加工A1，A2的牛奶的桶数是实数
x1 x5 x 2 x 6 50 3 4
4 (x1 + x5 ) + 2 (x2 + x6 ) + 2 x5 + 2 x6 ≤ 480 奶制品的生产与销售
4 x1 ＋ 3x2 ＋ 4x5 ＋ 3x6 ≤ 600 4 x1 ＋ 2x2 ＋ 6x5 ＋ 4x6 ≤ 480
数学建模
第四章 数学规划模型