高中数学复合函数练习试题整理

第一篇、复合函数问题

一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.

二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析： (1)、已知

f x ()的定义域，求[]f

g x ()的定义域 思路：设函数

f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f

的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范

围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f

g x ()的定义域。

例1. 设函数

f u ()的定义域为（0，1）

，则函数f x (ln )的定义域为_____________。 解析：函数

f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f

的作用范围为（0，1）

又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<

解得x

e ∈()1，，故函数

f x (ln )的定义域为（1，e ）

例2. 若函数f x x ()=

+1

1

，则函数[]f f x ()的定义域为______________。 解析：由

f x x ()=

+1

1

，知x ≠-1即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩

1

1(){}x R x x ∈≠-≠-|12且

（2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域

思路：设

[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对

x 作用，作用范围不变，所以x

E E ∈，为f x ()的定义域。

例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。

解析：f x ()32-的定义域为[]-12，，即[]x ∈-12，，由此得[]3215-∈-x ，

即函数

f x ()的定义域为[]-15，

例4. 已知f x x

x ()lg 22

2

48

-=-，则函数

f x ()的定义域为______________。

解析：先求f 的作用范围，由

f x x x ()l

g 2

2248-=-，知x x 2

2

8

0->f x ()的定义域为

()4，+∞

（3）、已知

[]f g x ()的定义域，求[]f h x ()的定义域

思路：设

[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，f

的作用范围为E ，又f 对h x ()

作用，作用范围不变，所以h x E ()

∈，解得x F ∈，F 为[]f h x ()的定义域。

例5. 若函数

f x ()2的定义域为[]-11

，，则f x (log

)2

的定义域为____________。

解析：

f x ()2的定义域为[]-11

，，即[]x ∈-11，，由此得2

122x

∈⎡⎣⎢⎤

⎦

⎥， f

的作用范围为

122，⎡⎣⎢⎤⎦

⎥又f 对log 2x 作用，所以log 2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥，，解得[

]

x ∈24

，

即

f x (lo

g )2的定义域为

[

]

24

，

（二）同步练习：

1、 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数

)x (f 2

的定义域。答案：]1,1[- 2、 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域。答案：]9,3[-

3、 已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-，求|)1x 2(|f -的定义域。答案：)

23,1()0,2

1(⋃- 三、复合函数单调性问题

（1）引理证明

已知函数

))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数

)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.

证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21

因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =, )

(22x g u =即),(,21,21

d c u u u u ∈>且

因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <，

故函数

))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数.

（2）．复合函数单调性的判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：