高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列(第1课时)等比数列的概念及通项公式巩固提升(含解析)新人教

第1课时 等比数列的概念及通项公式
[学生用书P105(单独成册)]
[A 基础达标]
1．在数列{a n }中，若a n ＋1＝3a n ，a 1＝2，则a 4为( ) A ．108 B.54 C ．36
D ．18
解析：选B.因为a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }是公比为3的等比数列，则a 4＝33
a 1＝54. 2．在等比数列{a n }中，a 1＝1
8，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为( )
A ．±4 B.4 C ．±14
D ．14
解析：选A.由题意得(±a 6)2
＝a 4a 8，因为a 1＝18，q ＝2，所以a 4与a 8的等比中项为±a 6
＝±4.
3．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B.b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9
D ．b ＝－3，ac ＝－9
解析：选B.因为b 是－1，－9的等比中项，所以b 2
＝9，b ＝±3. 又等比数列奇数项符号相同，得b <0，故b ＝－3， 而b 又是a ，c 的等比中项， 故b 2
＝ac ，即ac ＝9.
4．(2019·丰台高二检测)数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( )
A. 2
B.4 C ．2
D ．12
解析：选C.因为a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中的连续三项，所以a 2
3＝a 1a 7，设{a n }的公差
为d ，则d ≠0，所以(a 1＋2d )2
＝a 1(a 1＋6d )，所以a 1＝2d ，所以公比q ＝a 3a 1＝4d 2d
＝2.
5．若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2
n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2
n ＝0，则{a n }的通项公式a n ＝( ) A ．22n －1
B.2n
C ．2
2n ＋1
D ．2
2n －3
解析：选A.由a 2
n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2
n ＝0，得(a n ＋1－4a n )·(a n ＋1＋a n )＝0.又{a n }是正项数列，
所以a n ＋1－4a n ＝0，
a n ＋1
a n
＝4.由等比数列的定义知数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式，得a n ＝2×4
n －1
＝2
2n －1
.故选A.
6．下面四个数列：
①1，1，2，4，8，16，32，64；
②在数列{a n }中，已知a 2a 1＝2，a 3a 2
＝2； ③常数列a ，a ，…，a ，…； ④在数列{a n }中，
a n ＋1a n
＝q (q ≠0)，其中n ∈N *
. 其中一定是等比数列的有________．
解析：①不符合“每一项与它的前一项的比等于同一常数”，故不是等比数列． ②不一定是等比数列．当{a n }只有3项时，{a n }是等比数列；当{a n }的项数超过3时，不一定符合．
③不一定．若常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列；当常数列各项不为0时，是等比数列．
④等比数列的定义用式子的形式表示：在数列{a n }中，对任意n ∈N *
，有a n ＋1
a n
＝q (q ≠0)，那么{a n }是等比数列．
答案：④
7．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2
＝________． 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .因为a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4
＝8，
所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3d ＝8，－1·q 3
＝8，所以⎩
⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝－2. 所以a 2＝2，b 2＝2.所以a 2b 2＝2
2
＝1.
答案：1
8．等比数列{a n }中，若a 2a 5＝2a 3，a 4与a 6的等差中项为5
4，则a 1＝________．
解析：设等比数列{a n }的公比为q ， 因为a 2a 5＝2a 3，
所以a 21q 5
＝2a 1q 2
，化简得a 1q 3
＝2＝a 4. 因为a 4与a 6的等差中项为5
4
，
所以a 4＋a 6＝2×5
4，
所以a 4(1＋q 2
)＝52.
所以q 2
＝14，解得q ＝±12
.
则a 1×⎝ ⎛⎭
⎪⎫±18＝2，解得a 1＝±16. 答案：±16
9．在等比数列{a n }中，a 3＝32，a 5＝8. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)若a n ＝1
2
，求n .
解：(1)因为a 5＝a 1q 4
＝a 3q 2
，
所以q 2
＝a 5a 3＝14
.
所以q ＝±1
2
.
当q ＝12时，a n ＝a 1q n －1＝a 1q 2·q n －3＝a 3q n －3
＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＝28－n ；
当q ＝－12时，a n ＝a 1q n －1＝a 1q 2·q n －3＝a 3q n －3
＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －3.
所以a n ＝2
8－n
或a n ＝32×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－12n －3
.
(2)当a n ＝12时，即28－n
＝12或32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －3＝12，
解得n ＝9.
10．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 2
5＝a 10，2(a n ＋a n －2)＝5a n －1，求数列{a n }的通项公式．
解：设数列{a n }的公比为q . 因为a 2
5＝a 10，2(a n ＋a n －2)＝5a n －1，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧a 2
1·q 8
＝a 1·q 9
①
2（q 2
＋1）＝5q ②， 由①，得a 1＝q ， 由②，得q ＝2或q ＝12，
又数列{a n }为递增数列，
所以a 1＝q ＝2，所以a n ＝2n
.
[B 能力提升]
11．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则a n ＝( ) A ．2n
－1 B.2
n －1
－1
C ．2n －1
D ．2(n －1)
解析：选A.等式两边同时加1，得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，所以数列{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2×2
n －1
＝2n ，所以a n ＝2n
－1.
12．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，k
a 1a 2·…·a k ＝a 11，则k ＝( ) A ．12 B.15 C ．18
D ．21
解析：选D.k
a 1a 2·…·a k ＝a 1q 1＋2＋3＋…＋（k －1）k
＝a 1q k －1
2＝a 1q 10
，因为a 1>0，q ≠1，所以
k －1
2
＝10，所以k ＝21，故选D.
13．已知数列{a n }是等差数列，且a 2＝3，a 4＋3a 5＝56，若log 2b n ＝a n . (1)求证：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．
解：(1)证明：由log 2b n ＝a n ，得b n ＝2a n .因为数列{a n }是等差数列，不妨设公差为d ，则
b n b n －1＝2a n 2a n －1
＝2a n －a n －1＝2d ，2d 是与n 无关的常数， 所以数列{b n }是等比数列．
(2)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，
a 1＋3d ＋3（a 1＋4d ）＝56，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，
d ＝4，
于是b 1＝2－1＝12，公比q ＝2d ＝24
＝16，
所以数列{b n }的通项公式b n ＝12
·16n －1＝24n －5
.
14．(选做题)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＝3S n ＋1(n ∈N *
)． (1)求a 1，a 2；
(2)求数列{a n }的通项公式．
解：(1)由题意，知a 1＝3S 1＋1，即a 1＝3a 1＋1， 所以a 1＝－1
2
.
又a 2＝3S 2＋1，即a 2＝3(a 1＋a 2)＋1，解得a 2＝1
4.
(2)由a n ＝3S n ＋1，① 得a n －1＝3S n －1＋1(n ≥2)，② 由①－②，得
a n －a n －1＝3(S n －S n －1)＝3a n ，得a n a n －1＝－1
2
，
所以数列{a n }是首项为－12，公比为－1
2
的等比数列，
所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－12n －1
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12n
.。