数字通信第10章_差错控制编码
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码元的数目， n 是编码码组的码元总位数，又称为码组长度，
简称码长。 n-k=r 为每个码组中的监督码元数目。简单地说，
分组码是对每段k位长的信息组以一定的规则增加r个监督元， 组成长为 n 的码字。在二进制情况下，共有2k 个不同的信息 组，相应地可得到2k 个不同的码字，称为许用码组。其余 2n-2k个码字未被选用，称为禁用码组。
成都理工大学“数字通信原理”
10.1.3 纠错码的分类
(1) 根据纠错码各码组信息元和监督元的函数关系，可分
为线性码和非线性码。如果函数关系是线性的，即满足一组 线性方程式，则称为线性码，否则为非线性码。 (2) 根据上述关系涉及的范围，可分为分组码和卷积码。 分组码的各码元仅与本组的信息元有关；卷积码中的码元不
可以发现传输中的一位错误。如果是(3,1)重复码，两个许用 码组是 000 与111, d0=3; 当收端出现两个或三个 1 时，判为 1，否则判为 0。此时，可以纠正单个错误，或者该码可以检 出两个错误。
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码的最小距离 d0 直接关系着码的检错和纠错能力；任一 (n,k)分组码，若要在码字内: (1) 检测e个随机错误，则要求码的最小距离d0≥e+1; (2) 纠正t个随机错误， 则要求码的最小距离d0≥2t+1; (3) 纠正t个同时检测e(≥t)个随机错误，则要求码的最 小距离d0≥t+e+1。
HA 0
T
T
或 HA 0
T
(10-6)
其中，AT是A的转置，0T是0=［0 0 0］的转置，HT是H的转置。
1 1 1 0 1 0 0 H 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1
(10-7)
H称为监督矩阵，一旦H给定，信息位和监督位之间的关系也就确 定了。 H 为 r×n 阶矩阵， H 矩阵每行之间是彼此线性无关的。式
成都理工大学“数字通信原理”
3. 编码效率
用差错控制编码提高通信系统的可靠性， 是以降低
有效性为代价换来的。我们定义编码效率R来衡量有效性:
R=k/n
其中, k是信息元的个数，n为码长。 对纠错码的基本要求是: 检错和纠错能力尽量强； 编码效率尽量高；编码规律尽量简单。 际中要根据具体指 标要求， 保证有一定纠、 检错能力和编码效率，并且易于
成都理工大学“数字通信原理”
另外，按照噪声或干扰的变化规律，可把信道分为三 类：随机信道、突发信道和混合信道。恒参高斯白噪声信 道是典型的随机信道，其中差错的出现是随机的，而且错 误之间是统计独立的。具有脉冲干扰的信道是典型的突发
信道， 错误是成串成群出现的，即在短时间内出现大量错
误。短波信道和对流层散射信道是混合信道的典型例子， 随机错误和成串错误都占有相当比例。对于不同类型的信 道，应采用不同的差错控制方式。
第 10 章 差错控制编码
10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 *10 .6 概述 常用的几种简单分组码 线性分组码 循环码 卷积码 网格编码调制
成都理工大学“数字通信原理”
10.1
10.1.1 信道编码
概
述
在数字通信中，根据不同的目的，编码可分为信源编码和
信道编码。信源编码是为了提高数字信号的有效性以及为了使
模拟信号数字化而采取的编码。信道编码是为了降低误码率， 提高数字通信的可靠性而采取的编码。 数字信号在传输过程中，加性噪声、码间串扰等都会产生 误码。为了提高系统的抗干扰性能，可以加大发射功率，降低
接收设备本身的噪声，以及合理选择调制、解调方法等。此外，
还可以采用信道编码技术。
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这组线性方程可用矩阵形式表示为 (10-4)
1 1 1 0 1 0 0 0 T 1 1 0 1 0 1 0 a6 a5 a4 a3a2 a1a0 0 1 0 1 1 0 0 1 0
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(10-5)
并简记为
HAT=0T，说明H矩阵与码字的转置乘积必为零，可以用 来作为判断接收码字A是否出错的依据。
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若把监督方程补充为下列方程
(10-9)
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可改写为矩阵形式
(10-10)
即
(10-11)
变换为
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其中
1 0 G 0 0
此恒比码又称等重码，定 1 码。这种码在检测时，只要计算 接收码元中 1 的数目是否正确，就知道有无错误。
目前我国电传通信中普遍采用 3∶2 码，又称“5 中取 3”
的恒比码，即每个码组的长度为 5，其中 3 个“1”。这时可 能编成的不同码组数目等于从 5 中取 3 的组合数 10，这 10 个许用码组恰好可表示 10 个阿拉伯数字，如表 7 - 1 所示。 而每个汉字又是以四位十进制数来代表的。实践证明，采用这 种码后，我国汉字电报的差错率大为降低。
表 10-2 (7,4)码的码字表
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10.3.2
监督矩阵H和生成矩阵G
个监督方程式可以改写为
式(10-3)所述(7,4)码的 3
1 a6 1 a5 1 a4 0 a3 1 a2 0 a1 0 a0 0 1 a6 1 a5 0 a4 1 a3 0 a2 1 a1 0 a0 0 1 a 0 a 1 a 1 a 0 a 0 a 1 a 0 5 4 3 2 1 0 6
设码字A=［an-1,an-2,…,a1,a0］，对偶监督码有
an1 an2 a1 a0 0
(10-1)
奇监督码情况相似， 只是码组中“1”的数目为奇数， 即满足条件
an1 an2 a0 1
而检错能力与偶监督码相同。 奇偶监督码的编码效率R为
(10-2)
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在分组码中，非零码元的数目称为码字的汉明重量， 简 称码重。例如，码字 10110，码重w=3。 两个等长码组之间相应位取值不同的数目称为这两个码 组的汉明(Hamming)距离， 简称码距。例如 11000 与 10011 之间的距离d=3。码组集中任意两个码字之间距离的最小值称 为码的最小距离，用d０表示。最小码距是码的一个重要参数，
R (n 1) / n
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10.2.2 行列监督码
奇偶监督码不能发现偶数个错误。为了改善这种情况，引 入行列监督码。这种码不仅对水平(行)方向的码元，而且对垂 直(列)方向的码元实施奇偶监督。这种码既可以逐行传输，也
可以逐列传输。一般地，L×M个信息元附加L+M+1个监督元，组
字为A=［a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0］，其中前 4 位是信息元，后 3 位是监督元， 可用下列线性方程组来描述该分组码，产 生监督元。
a2 a6 a5 a4 a3 a1 a6 a5 a4 a3 a0 a6
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(10-3)
成(LM+L+M+1,LM)行列监督码的一个码字(L+1行， M+1列)。图 10-2 是(66,50)行列监督码的一个码字。 这种码具有较强的检测能力，适于检测突发错误，还可用 于纠错。
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1 0 0 1 1 1
1 1 1 0 0 1
0 0 1 0 1 0
0 0 1 1 0 0
(10-13)
其中
1 1 Q 1 0
1 1 1 0 PT 0 1 1 1
(10-14)
Q为k×r阶矩阵,Ik为k阶单位阵。可以写成式(10-13)形式的G矩
仅与本组的信息元有关， 而且还与前面若干组的信息元有关。
(3) 根据码的用途，可分为检错码和纠错码。检错码以检 错为目的，不一定能纠错；而纠错码以纠错为目的，一定能 检错。
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10.1.4 纠错编码的基本原理
1. 分组码
分组码一般可用(n,k)表示。其中，k是每组二进制信息
这一判决结果反馈给发端，然后，发端把收端认为错误的信
息再次重发，从而达到正确传输的目的。其特点是需要反馈 信道，译码设备简单，对突发错误和信道干扰较严重时有效， 但实时性差，主要在计算机数据通信中得到应用。
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2. 前向纠错方式 前向纠错方式记作FEC(Forword ErrorCorrection)。 发端发送能够纠正错误的码，收端收到信码后自动地纠正 传输中的错误。其特点是单向传输，实时性好，但译码设 备较复杂。
0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
(10-12)
称为生成矩阵，由G和信息组就可以产生全部码字。G为k×n阶 矩阵，各行也是线性无关的。 生成矩阵也可以分为两部分， 即
G [ I k Q]
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(10-7)所示的H矩阵可分成两部分
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1 1 1 0 1 0 0 H 1 1 0 1 0 1 0 [ P I r ] 1 0 1 1 0 0 1
(10-8)
其中,P为r×k阶矩阵，Ir为r×r阶单位矩阵。可以写成H=
［P Ir］形式的矩阵称为典型监督矩阵。
实现。
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10.2 常用的几种简单分组码
10.2.1 奇偶监督码
奇偶监督码是在原信息码后面附加一个监督元， 使得码
组中“1”的个数是奇数或偶数。或者说，它是含一个监督元，
码重为奇数或偶数的(n,n-1)系统分组码。奇偶监督码又分为 奇监督码和偶监督码。
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1 0 1 1 1 0
0 0 0 1 0 1
1 1 0 0 1 1
0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 1 1
ห้องสมุดไป่ตู้
0 1 1 0 0 0
0 0 1 0 1 0
图 10-2 (66,50)行列监督码
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10.2.3 恒比码
码字中 1 的数目与 0 的数目保持恒定比例的码称为恒比
码。 由于恒比码中，每个码组均含有相同数目的 1 和 0，因
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表 10-1
3∶2 恒比码
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10.3 线 性 分 组 码
在(n,k)分组码中，若每一个监督元都是码组中某些信息 元按模二和而得到的，即监督元是按线性关系相加而得到的， 则称线性分组码。或者说，可用线性方程组表述码规律性的分
组码称为线性分组码。 现以(7,4)分组码为例来说明线性分组码的特点。设其码
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3. 混合纠错方式 混合纠错方式记作HEC(Hybrid ErrorCorrection)是FEC 和ARQ方式的结合。发端发送具有自动纠错同时又具有检错能 力的码。收端收到码后，检查差错情况，如果错误在码的纠
错能力范围以内，则自动纠错，如果超过了码的纠错能力，
但能检测出来，则经过反馈信道请求发端重发。这种方式具 有自动纠错和检错重发的优点，可达到较低的误码率，因此， 近年来得到广泛应用。
它是衡量码检错、纠错能力的依据。
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2. 检错和纠错能力 若分组码码字中的监督元在信息元之后，而且是信息元的 简单重复， 则称该分组码为重复码。它是一种简单实用的检 错码， 并有一定的纠错能力。例如(2,1)重复码，两个许用码
组是 00 与 11，d0=2，收端译码，出现 01、10 禁用码组时，
10.1.2
前向纠错 FEC 发端
差错控制方式
纠错码 收端
检错重发 ARQ
检错码 发端 判决信号 检错和纠错码 发端 判决信号 收端 收端
混合纠错 HEC
图 10-1 差错控制方式
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1. 检错重发方式 检错重发又称自动请求重传方式，记作ARQ(Automatic Repeat Request)。 由发端送出能够发现错误的码，由收端 判决传输中无错误产生，如果发现错误，则通过反向信道把
简称码长。 n-k=r 为每个码组中的监督码元数目。简单地说，
分组码是对每段k位长的信息组以一定的规则增加r个监督元， 组成长为 n 的码字。在二进制情况下，共有2k 个不同的信息 组，相应地可得到2k 个不同的码字，称为许用码组。其余 2n-2k个码字未被选用，称为禁用码组。
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10.1.3 纠错码的分类
(1) 根据纠错码各码组信息元和监督元的函数关系，可分
为线性码和非线性码。如果函数关系是线性的，即满足一组 线性方程式，则称为线性码，否则为非线性码。 (2) 根据上述关系涉及的范围，可分为分组码和卷积码。 分组码的各码元仅与本组的信息元有关；卷积码中的码元不
可以发现传输中的一位错误。如果是(3,1)重复码，两个许用 码组是 000 与111, d0=3; 当收端出现两个或三个 1 时，判为 1，否则判为 0。此时，可以纠正单个错误，或者该码可以检 出两个错误。
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码的最小距离 d0 直接关系着码的检错和纠错能力；任一 (n,k)分组码，若要在码字内: (1) 检测e个随机错误，则要求码的最小距离d0≥e+1; (2) 纠正t个随机错误， 则要求码的最小距离d0≥2t+1; (3) 纠正t个同时检测e(≥t)个随机错误，则要求码的最 小距离d0≥t+e+1。
HA 0
T
T
或 HA 0
T
(10-6)
其中，AT是A的转置，0T是0=［0 0 0］的转置，HT是H的转置。
1 1 1 0 1 0 0 H 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1
(10-7)
H称为监督矩阵，一旦H给定，信息位和监督位之间的关系也就确 定了。 H 为 r×n 阶矩阵， H 矩阵每行之间是彼此线性无关的。式
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3. 编码效率
用差错控制编码提高通信系统的可靠性， 是以降低
有效性为代价换来的。我们定义编码效率R来衡量有效性:
R=k/n
其中, k是信息元的个数，n为码长。 对纠错码的基本要求是: 检错和纠错能力尽量强； 编码效率尽量高；编码规律尽量简单。 际中要根据具体指 标要求， 保证有一定纠、 检错能力和编码效率，并且易于
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另外，按照噪声或干扰的变化规律，可把信道分为三 类：随机信道、突发信道和混合信道。恒参高斯白噪声信 道是典型的随机信道，其中差错的出现是随机的，而且错 误之间是统计独立的。具有脉冲干扰的信道是典型的突发
信道， 错误是成串成群出现的，即在短时间内出现大量错
误。短波信道和对流层散射信道是混合信道的典型例子， 随机错误和成串错误都占有相当比例。对于不同类型的信 道，应采用不同的差错控制方式。
第 10 章 差错控制编码
10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 *10 .6 概述 常用的几种简单分组码 线性分组码 循环码 卷积码 网格编码调制
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10.1
10.1.1 信道编码
概
述
在数字通信中，根据不同的目的，编码可分为信源编码和
信道编码。信源编码是为了提高数字信号的有效性以及为了使
模拟信号数字化而采取的编码。信道编码是为了降低误码率， 提高数字通信的可靠性而采取的编码。 数字信号在传输过程中，加性噪声、码间串扰等都会产生 误码。为了提高系统的抗干扰性能，可以加大发射功率，降低
接收设备本身的噪声，以及合理选择调制、解调方法等。此外，
还可以采用信道编码技术。
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这组线性方程可用矩阵形式表示为 (10-4)
1 1 1 0 1 0 0 0 T 1 1 0 1 0 1 0 a6 a5 a4 a3a2 a1a0 0 1 0 1 1 0 0 1 0
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(10-5)
并简记为
HAT=0T，说明H矩阵与码字的转置乘积必为零，可以用 来作为判断接收码字A是否出错的依据。
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若把监督方程补充为下列方程
(10-9)
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可改写为矩阵形式
(10-10)
即
(10-11)
变换为
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其中
1 0 G 0 0
此恒比码又称等重码，定 1 码。这种码在检测时，只要计算 接收码元中 1 的数目是否正确，就知道有无错误。
目前我国电传通信中普遍采用 3∶2 码，又称“5 中取 3”
的恒比码，即每个码组的长度为 5，其中 3 个“1”。这时可 能编成的不同码组数目等于从 5 中取 3 的组合数 10，这 10 个许用码组恰好可表示 10 个阿拉伯数字，如表 7 - 1 所示。 而每个汉字又是以四位十进制数来代表的。实践证明，采用这 种码后，我国汉字电报的差错率大为降低。
表 10-2 (7,4)码的码字表
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10.3.2
监督矩阵H和生成矩阵G
个监督方程式可以改写为
式(10-3)所述(7,4)码的 3
1 a6 1 a5 1 a4 0 a3 1 a2 0 a1 0 a0 0 1 a6 1 a5 0 a4 1 a3 0 a2 1 a1 0 a0 0 1 a 0 a 1 a 1 a 0 a 0 a 1 a 0 5 4 3 2 1 0 6
设码字A=［an-1,an-2,…,a1,a0］，对偶监督码有
an1 an2 a1 a0 0
(10-1)
奇监督码情况相似， 只是码组中“1”的数目为奇数， 即满足条件
an1 an2 a0 1
而检错能力与偶监督码相同。 奇偶监督码的编码效率R为
(10-2)
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在分组码中，非零码元的数目称为码字的汉明重量， 简 称码重。例如，码字 10110，码重w=3。 两个等长码组之间相应位取值不同的数目称为这两个码 组的汉明(Hamming)距离， 简称码距。例如 11000 与 10011 之间的距离d=3。码组集中任意两个码字之间距离的最小值称 为码的最小距离，用d０表示。最小码距是码的一个重要参数，
R (n 1) / n
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10.2.2 行列监督码
奇偶监督码不能发现偶数个错误。为了改善这种情况，引 入行列监督码。这种码不仅对水平(行)方向的码元，而且对垂 直(列)方向的码元实施奇偶监督。这种码既可以逐行传输，也
可以逐列传输。一般地，L×M个信息元附加L+M+1个监督元，组
字为A=［a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0］，其中前 4 位是信息元，后 3 位是监督元， 可用下列线性方程组来描述该分组码，产 生监督元。
a2 a6 a5 a4 a3 a1 a6 a5 a4 a3 a0 a6
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(10-3)
成(LM+L+M+1,LM)行列监督码的一个码字(L+1行， M+1列)。图 10-2 是(66,50)行列监督码的一个码字。 这种码具有较强的检测能力，适于检测突发错误，还可用 于纠错。
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1 0 0 1 1 1
1 1 1 0 0 1
0 0 1 0 1 0
0 0 1 1 0 0
(10-13)
其中
1 1 Q 1 0
1 1 1 0 PT 0 1 1 1
(10-14)
Q为k×r阶矩阵,Ik为k阶单位阵。可以写成式(10-13)形式的G矩
仅与本组的信息元有关， 而且还与前面若干组的信息元有关。
(3) 根据码的用途，可分为检错码和纠错码。检错码以检 错为目的，不一定能纠错；而纠错码以纠错为目的，一定能 检错。
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10.1.4 纠错编码的基本原理
1. 分组码
分组码一般可用(n,k)表示。其中，k是每组二进制信息
这一判决结果反馈给发端，然后，发端把收端认为错误的信
息再次重发，从而达到正确传输的目的。其特点是需要反馈 信道，译码设备简单，对突发错误和信道干扰较严重时有效， 但实时性差，主要在计算机数据通信中得到应用。
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2. 前向纠错方式 前向纠错方式记作FEC(Forword ErrorCorrection)。 发端发送能够纠正错误的码，收端收到信码后自动地纠正 传输中的错误。其特点是单向传输，实时性好，但译码设 备较复杂。
0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
(10-12)
称为生成矩阵，由G和信息组就可以产生全部码字。G为k×n阶 矩阵，各行也是线性无关的。 生成矩阵也可以分为两部分， 即
G [ I k Q]
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(10-7)所示的H矩阵可分成两部分
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1 1 1 0 1 0 0 H 1 1 0 1 0 1 0 [ P I r ] 1 0 1 1 0 0 1
(10-8)
其中,P为r×k阶矩阵，Ir为r×r阶单位矩阵。可以写成H=
［P Ir］形式的矩阵称为典型监督矩阵。
实现。
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10.2 常用的几种简单分组码
10.2.1 奇偶监督码
奇偶监督码是在原信息码后面附加一个监督元， 使得码
组中“1”的个数是奇数或偶数。或者说，它是含一个监督元，
码重为奇数或偶数的(n,n-1)系统分组码。奇偶监督码又分为 奇监督码和偶监督码。
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1 0 1 1 1 0
0 0 0 1 0 1
1 1 0 0 1 1
0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 1 1
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0 1 1 0 0 0
0 0 1 0 1 0
图 10-2 (66,50)行列监督码
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10.2.3 恒比码
码字中 1 的数目与 0 的数目保持恒定比例的码称为恒比
码。 由于恒比码中，每个码组均含有相同数目的 1 和 0，因
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表 10-1
3∶2 恒比码
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10.3 线 性 分 组 码
在(n,k)分组码中，若每一个监督元都是码组中某些信息 元按模二和而得到的，即监督元是按线性关系相加而得到的， 则称线性分组码。或者说，可用线性方程组表述码规律性的分
组码称为线性分组码。 现以(7,4)分组码为例来说明线性分组码的特点。设其码
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3. 混合纠错方式 混合纠错方式记作HEC(Hybrid ErrorCorrection)是FEC 和ARQ方式的结合。发端发送具有自动纠错同时又具有检错能 力的码。收端收到码后，检查差错情况，如果错误在码的纠
错能力范围以内，则自动纠错，如果超过了码的纠错能力，
但能检测出来，则经过反馈信道请求发端重发。这种方式具 有自动纠错和检错重发的优点，可达到较低的误码率，因此， 近年来得到广泛应用。
它是衡量码检错、纠错能力的依据。
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2. 检错和纠错能力 若分组码码字中的监督元在信息元之后，而且是信息元的 简单重复， 则称该分组码为重复码。它是一种简单实用的检 错码， 并有一定的纠错能力。例如(2,1)重复码，两个许用码
组是 00 与 11，d0=2，收端译码，出现 01、10 禁用码组时，
10.1.2
前向纠错 FEC 发端
差错控制方式
纠错码 收端
检错重发 ARQ
检错码 发端 判决信号 检错和纠错码 发端 判决信号 收端 收端
混合纠错 HEC
图 10-1 差错控制方式
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1. 检错重发方式 检错重发又称自动请求重传方式，记作ARQ(Automatic Repeat Request)。 由发端送出能够发现错误的码，由收端 判决传输中无错误产生，如果发现错误，则通过反向信道把