通信原理-第11章-差错控制编码要点
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第11章 差错控制编码要点
0 A 1 2
e
d0
2018/10/4
3 B 汉明距离
位错码，则其位置不会
超出以O点为圆心，以2
为半径的圆。
因此，只要最小码距不小于3，码组A发生两位 以下错码时，不可能变成另一个许用码组B，因而能 检测错码的位数等于2。 同理，若一种编码的
0 A 1 2
e
d0
3 B 汉明距离
最小码距为d0，则将能检测 (d0 - 1)个错码。
2018/10/4
信息位 晴 云 阴 00 01 10
监督位 0 1 1
雨
11
0
（1）分组码的一般结构 分组码的符号：(n, k) n ——码组的总位数，又称为码组的长度（码长） k —— 码组中信息码元的数目 n－k =r ——码组中的监督码元数目，或称监督位数目
2018/10/4
（2）分组码的码重W 分组码中“1”的个数目称为码组的重量，简称码重。 （3）分组码的码距d 把两个码组中对应位上数字不同的位数称为码组的距 离，简称码距。码距又称汉明距离。 例如： 000——晴 011——云 101——阴 110——雨
（4）编码效率（简称码率） ：
信息码元数量（k）和总码元数量（n）之比：k/n 理论上，差错控制以降低信息传输速率为代价换取提高 传输可靠性，即有效性换取可靠性。
2018/10/4
11.2 纠错编码的基本原理
引例——理解检错与纠错 设有一种由3位二进制数字构成的码组，它共有8 种不同的可能组合。若将其全部用来表示天气，则可 以表示8种不同天气： 000——晴，001——云 010——阴，011——雨 100——雪，101——霜 110——雾，111——雹 其中任一码组在传输中若发生一个或多个错码，则将 变成另一个信息码组。这时，接收端将无法发现错误。
e
d0
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3 B 汉明距离
位错码，则其位置不会
超出以O点为圆心，以2
为半径的圆。
因此，只要最小码距不小于3，码组A发生两位 以下错码时，不可能变成另一个许用码组B，因而能 检测错码的位数等于2。 同理，若一种编码的
0 A 1 2
e
d0
3 B 汉明距离
最小码距为d0，则将能检测 (d0 - 1)个错码。
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信息位 晴 云 阴 00 01 10
监督位 0 1 1
雨
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（1）分组码的一般结构 分组码的符号：(n, k) n ——码组的总位数，又称为码组的长度（码长） k —— 码组中信息码元的数目 n－k =r ——码组中的监督码元数目，或称监督位数目
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（2）分组码的码重W 分组码中“1”的个数目称为码组的重量，简称码重。 （3）分组码的码距d 把两个码组中对应位上数字不同的位数称为码组的距 离，简称码距。码距又称汉明距离。 例如： 000——晴 011——云 101——阴 110——雨
（4）编码效率（简称码率） ：
信息码元数量（k）和总码元数量（n）之比：k/n 理论上，差错控制以降低信息传输速率为代价换取提高 传输可靠性，即有效性换取可靠性。
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11.2 纠错编码的基本原理
引例——理解检错与纠错 设有一种由3位二进制数字构成的码组，它共有8 种不同的可能组合。若将其全部用来表示天气，则可 以表示8种不同天气： 000——晴，001——云 010——阴，011——雨 100——雪，101——霜 110——雾，111——雹 其中任一码组在传输中若发生一个或多个错码，则将 变成另一个信息码组。这时，接收端将无法发现错误。
《通信原理》信道编码
混合系统模型
11.2.2 信道编码的分类
· 按照不同功能分为检错码、纠错码和纠删码。检错码只具备检查码组错误的功能 纠错码还能对部分错误进行纠正。纠删码对超出纠错范围的误码能将其删除。
· 按照纠正错误的类型不同，分为纠正随机错误的码和纠正突发错误的码。随机错 误的误码从统计上是彼此独立的，同一个码组内发生若干个码元错误的概率远远 低于只有一两个码元错误的概率。这意味着信道编码哪怕只纠正每个码组内一两 个码元错误，也可使得整个系统的误码率大幅度下降。但有时信道中出现强度大 持续时间长的脉冲噪声，使连串的码元受到干扰，称为突发错误。例如连续若干 位的0变成1。这时必须用专门针对突发错误信道编码方式。
第11章 信道编码
11.1 信道编码基础知识
11.1.1 信道编码的概述
在信息码元中插入一些冗余码元（监督码元），使得整体码元具有一定规律。 当出现传输错误时，可以通过规律，对错误进行检测乃至纠正。
信道编码译码示意图
11.1.2 信道编码检错纠错的原理
11.1.3 几个相关概念
· 码率：R＝k/n=k/(k+r)。 · 编码增益：采用信道编码，对系统信噪比的要求要低一些，这个倍数称为编码增益 · 许用码组和禁用码组：即合法码组和非法码组。一旦接收方出现非法码组，说明传
· 最大似然译码：对于接收到的编码序列y，计算发送方发送哪一种码组x i 时，接 收到y的概率最大。即根据似然函数P ( y / x i )确定。
11.2 信道编码的分类
1.
差错控制方法
· 差错控制方法，分为检错重发（ARQ），前向纠错（FEC）和混合方式三种。
· 检错重发系统（ARQ），又分为停发等候重发，返回重发和选择重发三种。
· 按照信息码元和监督码元之间的制约规则不同，分为分组码和卷积码。分组码是 指在每一组码元（k位信息码元和r 位附加监督码元）中，所有的监督码元取值， 仅仅与这一组的k位信息码元有关，而与其他组的信息码元无关。分组码编码器属 于无记忆的系统。而卷积码则是指r 位附加监督码元不仅与本码组内的k位信息码 元有关，还与之前其他码组的若干位码值有关。卷积码的编码器具有记忆功能
11.2.2 信道编码的分类
· 按照不同功能分为检错码、纠错码和纠删码。检错码只具备检查码组错误的功能 纠错码还能对部分错误进行纠正。纠删码对超出纠错范围的误码能将其删除。
· 按照纠正错误的类型不同，分为纠正随机错误的码和纠正突发错误的码。随机错 误的误码从统计上是彼此独立的，同一个码组内发生若干个码元错误的概率远远 低于只有一两个码元错误的概率。这意味着信道编码哪怕只纠正每个码组内一两 个码元错误，也可使得整个系统的误码率大幅度下降。但有时信道中出现强度大 持续时间长的脉冲噪声，使连串的码元受到干扰，称为突发错误。例如连续若干 位的0变成1。这时必须用专门针对突发错误信道编码方式。
第11章 信道编码
11.1 信道编码基础知识
11.1.1 信道编码的概述
在信息码元中插入一些冗余码元（监督码元），使得整体码元具有一定规律。 当出现传输错误时，可以通过规律，对错误进行检测乃至纠正。
信道编码译码示意图
11.1.2 信道编码检错纠错的原理
11.1.3 几个相关概念
· 码率：R＝k/n=k/(k+r)。 · 编码增益：采用信道编码，对系统信噪比的要求要低一些，这个倍数称为编码增益 · 许用码组和禁用码组：即合法码组和非法码组。一旦接收方出现非法码组，说明传
· 最大似然译码：对于接收到的编码序列y，计算发送方发送哪一种码组x i 时，接 收到y的概率最大。即根据似然函数P ( y / x i )确定。
11.2 信道编码的分类
1.
差错控制方法
· 差错控制方法，分为检错重发（ARQ），前向纠错（FEC）和混合方式三种。
· 检错重发系统（ARQ），又分为停发等候重发，返回重发和选择重发三种。
· 按照信息码元和监督码元之间的制约规则不同，分为分组码和卷积码。分组码是 指在每一组码元（k位信息码元和r 位附加监督码元）中，所有的监督码元取值， 仅仅与这一组的k位信息码元有关，而与其他组的信息码元无关。分组码编码器属 于无记忆的系统。而卷积码则是指r 位附加监督码元不仅与本码组内的k位信息码 元有关，还与之前其他码组的若干位码值有关。卷积码的编码器具有记忆功能
通信原理差错控制编码课件
汉明码特点:
式
中的等号成立，即:
最小码距： 编码效率：
d0 = 3 （纠1或检2）
r 是不小于3
的任意正整数
当 n很大和 r 很小时，码率 Rc 接近 1。
答：最小码距: d0 =3
故能 纠1 或检2
线性分组码的一般原理 H ---监督矩
阵
将前面(7, 4)汉明码的监督方程：
改写为：
表示成如下矩阵形式：
A(x) = h(x)g(x)
而生成多项式 g(x) 本身也是一个码组，即有
A (x) = g(x)
∵码组 A(x)是一个 (n – k)次多项式，故 xkA(x) 是一个n次多项式。
由式
可知， xk A(x)在模 (xn + 1) 运算下也是一个码组，故可写成
38
上式左端分子和分母都是n次多项式，故商式Q(x) = 1。上式可化成
§11.5
（n, k）线性分组码
基本概念
线性码：按照一组线性方程构成的代数码。
即每个码字的监督码元是信息码元的线性组合。 代数码：建立在代数学基础上的编码。
汉明码的构造原理
只有一位监督元
---监督关系式
若 S=0，认为无错（偶监督时）；若 S=1，认为有错 。---检错
若要构造具有纠错能力的（n，k）码，则需增加督元的数目。
在上表中的(23, 12)码称为戈莱(Golay)码。其最小码距为7，能纠3个 随机错码；其生成多项式系数 (5343)8 = (101 011 100 011)2，对应 g(x) = x11 + x9 + x7 + x6 + x5 + x + 1，且解码容易，实际应用较多。
差错控制编码要点
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2
第3页/共67页
10.1 差错控制编码的基本原理
常用的差错控制方式
1. ARQ(Automatic Repeat Request)方式 (自动请求重发或检错重发)
发端发送出可以发现错误的码字。经过传输到接 收端译码后，如果没有发现错误，则输出。如果发现 错误，则自动请求发端重发，直到正确接收到码字为 止。
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第12页/共67页
10.1 差错控制编码的基本原理
码间距离d 及检错纠错能力 码字：由信息位和监督位组成的一组码元。
用C = ( cn-1 cn-2 … c0 )表示。
（许用码、禁用码） 码元： 组成码字的元素，用Ci表示。 码长：码字中码元的个数，用n表示。
码组：由多个许用码组成的一组码字。
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第8页/共67页
10.1 差错控制编码的基本原理
香农有扰信道编码定理：
在有扰信道中只要信息的传输速率R小于信道容 量C，总可以找一种编码方法，使信息以任意小的差 错概率通过信道传送到接收端，即误码率Pe可以任意 小，而且传输速率R可以接近信道容量C。但若R > C， 在传输过程中必定带来不可纠正错误，不存在使差错 概率任意小的编码。
9
第10页/共67页
10.1 差错控制编码的基本原理
减小误码率Pe的两种途径：
（1）n 及 R一定时，增加信道容量C。由图可见，E(R) 随C的增加而增大。由信道容量公式知， 增加C， 可通过增加S和B来实现；
（2）在C及 R一定的情况下，增加n可以使Pe指数减小。
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我国电传机传输汉字采用的是“5中取3” 恒比码，其码长 为5，码字中“1”的个数为3。这种码我国称为保护电码。码长 为5的二进制数共有32种组合，选择其中含有3个“1”的组合作 为许用码，为10个。
通信原理 第十一讲 差错控制编码
(0,0,0) (0,0,1) (1,0,1)
(1,0,0)
码距与检错
检出e个错码，最小码距d0≥e+1
(0,1,0) (0,1,1) (1,1,1)
(1,1,0)
e A B d0
(0,0,1)
(0,0,0)
(1,0,0)
(1,0,1)
7
码距与纠错
纠正t个错码，最小码距d0≥2t+1
t A
t B d0
考察偶数监督码，an-1@an-2@…@a0=0 接收端计算：S= an-1@an-2@…@a0 a0是监督位， an-1 an-2 … a1 是信息位 若S=0，无错；S＝1，有错 S的代数关系式称作监督关系式，S称作校正子 S为1位，只能指示有错或没错，不能指出错误位置 （纠错） 所以一位监督位只能表示“有错”或“没错”两种信息
10001 ⊕ 11001 01000
信息码 监督码
11001 ⊕ 01001 10000
信息码 监督码
信息码组有奇数个 “1”，校验码组取合成 码组，全为“0”，无误 码
信息码组有偶数个 “1”，校验码组取合成 码组反码10111，4个 “1”，误码在信息码“0” 位置
信息码组有奇数个 “1”，校验码组取合成 码组10000，4个“0”， 误码在监督码“1”位置
前向纠错FEC( Forward Error Correct)：
发送端发送能纠正错误的编码，在接收端根据接收到 的码和编码规则，能自动纠正传输中的错误。 特点是不需要反馈信道，实时性好，但是随着纠错能 力的提高，编译码设备复杂。
3.
混合方式：
结合前向纠错和ARQ的系统，在纠错能力范围内，自 动纠正错误，超出纠错范围则要求发送端重新发送。 它是一种折中的方案。
(1,0,0)
码距与检错
检出e个错码，最小码距d0≥e+1
(0,1,0) (0,1,1) (1,1,1)
(1,1,0)
e A B d0
(0,0,1)
(0,0,0)
(1,0,0)
(1,0,1)
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码距与纠错
纠正t个错码，最小码距d0≥2t+1
t A
t B d0
考察偶数监督码，an-1@an-2@…@a0=0 接收端计算：S= an-1@an-2@…@a0 a0是监督位， an-1 an-2 … a1 是信息位 若S=0，无错；S＝1，有错 S的代数关系式称作监督关系式，S称作校正子 S为1位，只能指示有错或没错，不能指出错误位置 （纠错） 所以一位监督位只能表示“有错”或“没错”两种信息
10001 ⊕ 11001 01000
信息码 监督码
11001 ⊕ 01001 10000
信息码 监督码
信息码组有奇数个 “1”，校验码组取合成 码组，全为“0”，无误 码
信息码组有偶数个 “1”，校验码组取合成 码组反码10111，4个 “1”，误码在信息码“0” 位置
信息码组有奇数个 “1”，校验码组取合成 码组10000，4个“0”， 误码在监督码“1”位置
前向纠错FEC( Forward Error Correct)：
发送端发送能纠正错误的编码，在接收端根据接收到 的码和编码规则，能自动纠正传输中的错误。 特点是不需要反馈信道，实时性好，但是随着纠错能 力的提高，编译码设备复杂。
3.
混合方式：
结合前向纠错和ARQ的系统，在纠错能力范围内，自 动纠正错误，超出纠错范围则要求发送端重新发送。 它是一种折中的方案。
通信原理 第11章 差错控制编码
7
5
6
7
8
9 10 11 9 10 11 12
NAK9
ACK1 接收数据
NAK5
ACK5
1
2
3
4
5
6
7
5
6
7
8
9 10 11 9 10 11 12
有错码组
有错码组
需要对发送的数据组和答复进行编号，以便识别。 需要双工信道
7
选择重发ARQ系统
重发码组
重发码组
发送数据
1
2
3
4
5
6
7
5
8
9 10 11
ACK5
9 12 13 14
ACK9
ACK1
接收数据
NAK5
NAK9
1
2
3
4
5
6
758ຫໍສະໝຸດ 9 10 11有错码组
9 12 13
14
有错码组
只重发出错的数据组，进一步提高了传输效率。
8
ARQ的主要优点：和前向纠错方法相比
监督码元较少即能使误码率降到很低，即码率较高； 检错的计算复杂度较低； 检错用的编码方法和加性干扰的统计特性基本无关， 能适应不同特性的信道。
错码位置 a0 a1 a2 a3
S1 S2 S3 101 110 111 000
错码位置 a4 a5 a6 无错码
仅当一位错码的位置在a2 、a4、a5或a6时，校正子S1为1； 否则S1为零。a2 、a4、a5和a6四个码元构成偶数监督关系：
同理
S1 a6 a5 a4 a2
S 2 a6 a5 a 3 a1 S3 a6 a4 a3 a0
通信原理第11章差错控制编码
发现错误
图11.1-4 选择重发
11.1 概述
三者比较
➢ 选择重发传输效率最高，但成本最贵：控 制机制复杂，发端和收端都要有数据缓冲器；
➢ 返回重发、选择重发需要全双工数据链路， 而停发等候重发只要求半双工的数据链路。
11.1 概述
（2）前向纠错法（FEC）
Forward Error Correction
❖ 最小码距：在一个码字集合中，任意两个码字间 距离的最小值，即码字集合中任意两元素间的最小 距离，记为dmin或d0 ❖ 码重：码字中非零码元的数目定义为该码字的重 量，简称码重。如“10011”码字的码重为3。
纠错码的抗干扰能力完全取决于许用码字之间的距 离，码的最小距离越大，说明码字间的最小差别越 大，抗干扰能力就越强。
dmin≥2t+1
(b)纠正t个错码 图11.2-2(b) 码距与检错纠错能力的关系
11.2 差错控制编码的基本原理
A
B
te
t
dmin
(c)纠正t个错码，检测e个错码
A、B都为许用码； A发生e个错； B发生t个错；
dmin≥e+t+1
图11.2-2(c) 码距与检错纠错能力的关系
11.2 差错控制编码的基本原理
❖ 差错控制措施。
11.1 概述
➢ 差错控制编码属信道编码，要求在满足有效性 前提下，尽可能提高数字通信的可靠性。 ➢ 差错控制编码是在信息序列上附加上一些监督 码元，利用这些冗余的码元，使原来不规律的或 规律性不强的原始数字信号变为有规律的数字信 号。例如奇偶校验。 ➢ 差错控制译码则利用这些规律性来鉴别传输过 程是否发生错误，或进而纠正错误。
❖ 信源编码：将模拟信息源的输出转化为数字信号， 即A/D转换。
北京理工大学《通信原理》第11章-差错控制编码
但是这种码不能发现一个码组中的两个错码，因为发生两
个错码后产
检错和纠错
上面这种编码只能检测错码,不能纠正错码。例如，当接收码 组为禁用码组“100”时，接收端将无法判断是哪一位码发生了 错误，因为晴、阴、雨三者错了一位都可以变成“100”。
要能够纠正错误，还要增加多余度。例如，若规定许用码组只 有两个：“000”（晴），“111”（雨），其他都是禁用码组， 则能够检测两个以下错码，或能够纠正一个错码。
例如：“000”（晴），“001”（云），
“010”（阴），“011”（雨），
“100”（雪），“101”（霜），
“110”（雾），“111”（雹）。
其中任一码组在传输中若发生一个或多个错码，则将变 成另一个信息码组。这时，接收端将无法发现错误。
12
第11章差错控制编码
若在上述8种码组中只准许使用4种来传送天气，例如：
若码组A中发生两位错码，则其位置不会超出以O点为圆 心，以2为半径的圆。因此，只要最小码距不小于3，码 组A发生两位以下错码时，
不可能变成另一个准用 码组，因而能检测错码 的位数等于2。
0123
A
B 汉明距离
e
d0
19
第11章差错控制编码
同理，若一种编码的最小码距为d0，则将能检测(d0 - 1)个错码。 反之，若要求检测e个错码，则最小码距d0至少应不小于( e + 1)。
N － 码组的总位数，又称为码组的长度（码长）， k － 码组中信息码元的数目， n – k ＝ r － 码组中的监督码元数目，或称监督位数目。
16
第11章差错控制编码
分组码的码重和码距
码重：把码组中“1”的个数称为码组的重量，简称码重。 码距：把两个码组中对应位上数字不同的位数称为码组
通信原理第11章-差错控制编码全章课件
许用码组 禁用码组
冗余 规则：使码组中 “1”的个数为偶数
⤎ 另外4个码组
（奇数个错码）
也不能 纠正 错误 。
许用码组
例
禁用码组
这时，能够发现 2个以下错码，或者纠正 1位 错码 。
例
综上所述： k --- 信息码元位数
Rc n --- 编码后码字位数
不同的编码方法，检错 或 纠错 能力也不同 。
信噪比 (dB)
Pe
10-1
C点
10-2 10-3
D点
10-4
10-5
可见：能节省功率 2 dB
——称为编码增益
10-6
2PSK调制
编 码 前 A• •
B•
编 码
C
•后 •
D
信噪比 (dB)
—— 付出的代价是带宽增大。 因此，纠错码主要应用于功率受限而带宽不太受限的信道中。
传输速率RB 和 信噪比Eb/n0的关系
可以 其他 假设
2r 1 n
由表可见:
仅当一位错码的位置在a2 、a4、a5 或a6 时， 校正子S1为1；否则S1为 0。
S1 a6 a5 a4 a2 同理： S2 a6 a5 a3 a1
S3 a6 a4 a3 a0
a6 a5 a4 a2 0 a6 a5 a3 a1 0 a6 a4 a3 a0 0
➢ 对于3位的编码组，可用3维空间来说明
➢ 各顶点之间沿立方体各边行走的几何距离 —— 码距=2
（4个许用码组之间）
最小码距d0和检纠错能力的关系
对于（n，k）分组码，有以下结论：
检ｅ个错码，要求：
d0 e1
纠ｔ个错码，要求：
d0 2t 1
纠 t 个错码,同时检 e 个错码，要求：
冗余 规则：使码组中 “1”的个数为偶数
⤎ 另外4个码组
（奇数个错码）
也不能 纠正 错误 。
许用码组
例
禁用码组
这时，能够发现 2个以下错码，或者纠正 1位 错码 。
例
综上所述： k --- 信息码元位数
Rc n --- 编码后码字位数
不同的编码方法，检错 或 纠错 能力也不同 。
信噪比 (dB)
Pe
10-1
C点
10-2 10-3
D点
10-4
10-5
可见：能节省功率 2 dB
——称为编码增益
10-6
2PSK调制
编 码 前 A• •
B•
编 码
C
•后 •
D
信噪比 (dB)
—— 付出的代价是带宽增大。 因此，纠错码主要应用于功率受限而带宽不太受限的信道中。
传输速率RB 和 信噪比Eb/n0的关系
可以 其他 假设
2r 1 n
由表可见:
仅当一位错码的位置在a2 、a4、a5 或a6 时， 校正子S1为1；否则S1为 0。
S1 a6 a5 a4 a2 同理： S2 a6 a5 a3 a1
S3 a6 a4 a3 a0
a6 a5 a4 a2 0 a6 a5 a3 a1 0 a6 a4 a3 a0 0
➢ 对于3位的编码组，可用3维空间来说明
➢ 各顶点之间沿立方体各边行走的几何距离 —— 码距=2
（4个许用码组之间）
最小码距d0和检纠错能力的关系
对于（n，k）分组码，有以下结论：
检ｅ个错码，要求：
d0 e1
纠ｔ个错码，要求：
d0 2t 1
纠 t 个错码,同时检 e 个错码，要求：
通信原理-CH11-差错控制编码和线性分组码
13
20 世 纪 40 年 代 ， R.Hamming 和 M.Golay y 提出了第一个实用的差错控制 编码方案，使编码理论这个应用数学分 支的发展得到了极大的推动 支的发展得到了极大的推动。 当时他作为一个数学家受雇于贝尔实验 室，主要从事弹性理论的研究 他发现 室，主要从事弹性理论的研究。他发现 计算机经常在计算过程中出现错误，而 一旦有错误发生 旦有错误发生，程序就会停止运行。 程序就会停止运行 这个问题促使他编制了使计算机具有检 测错误能力的程序 通过对输入数据编 测错误能力的程序，通过对输入数据编 码，使计算机能够纠正这些错误并继续 运行。 运行 Hamming 提出的编码方案后来被命名 为汉明码。
f2
1
V1
带 通 滤波器 带 通 滤波器
1
相乘器
cos 1t
低 通 滤波器
抽样脉冲
2
V2
2
抽 样 判决器
输出
相乘器
cos 2t
（b）相干解调
低 通 滤波器
4
PSK
电平 二进信息转换
（单极NRZ） 双极 NRZ
已调信号
A cos 2f c t
载 波 发生器
输入 BPSK信号
带通
相乘器
Gallag er
20
虽然软判决译码、级联码和编码调制技术都对信道码的 设计和发展产生了重大影响，但是其增益与 Shannon 理论极限始终都存在2～3dB的差距。 的差距 在1993年于瑞士日内瓦召开的国际通信会议(1CC'93) 上，两位任教于法国不列颠通信大学的教授 C.Berrou 、 A.Glavieux 和他们的缅甸籍博士生 P.Thitimajshima 首次提出了一种新型信道编码方案——Turbo码，由于 它很好地应用了 Shannon 信道编码定理中的随机性编、 译码条件，从而获得了几乎接近 Shannon 理论极限的 译码性能 仿真结果表明 在采用长度为 65536 的随 译码性能。仿真结果表明，在采用长度为 机 交 织 器 并 译 码 迭 代 18 次 情 况 下 ， 在 信 噪 比 Eb/N0>=0.7dB 并采用二元相移键控 (BPSK) 调制时， 码率为1/2的Turbo码在加性高斯白噪声信道上的误比 特率 (BER)<=10-5 ，达到了与 Shannon 极限仅相差 0 7dB的优异性能。 0.7dB 的优异性能 (1/2码率的Shannon极限是0dB)。
20 世 纪 40 年 代 ， R.Hamming 和 M.Golay y 提出了第一个实用的差错控制 编码方案，使编码理论这个应用数学分 支的发展得到了极大的推动 支的发展得到了极大的推动。 当时他作为一个数学家受雇于贝尔实验 室，主要从事弹性理论的研究 他发现 室，主要从事弹性理论的研究。他发现 计算机经常在计算过程中出现错误，而 一旦有错误发生 旦有错误发生，程序就会停止运行。 程序就会停止运行 这个问题促使他编制了使计算机具有检 测错误能力的程序 通过对输入数据编 测错误能力的程序，通过对输入数据编 码，使计算机能够纠正这些错误并继续 运行。 运行 Hamming 提出的编码方案后来被命名 为汉明码。
f2
1
V1
带 通 滤波器 带 通 滤波器
1
相乘器
cos 1t
低 通 滤波器
抽样脉冲
2
V2
2
抽 样 判决器
输出
相乘器
cos 2t
（b）相干解调
低 通 滤波器
4
PSK
电平 二进信息转换
（单极NRZ） 双极 NRZ
已调信号
A cos 2f c t
载 波 发生器
输入 BPSK信号
带通
相乘器
Gallag er
20
虽然软判决译码、级联码和编码调制技术都对信道码的 设计和发展产生了重大影响，但是其增益与 Shannon 理论极限始终都存在2～3dB的差距。 的差距 在1993年于瑞士日内瓦召开的国际通信会议(1CC'93) 上，两位任教于法国不列颠通信大学的教授 C.Berrou 、 A.Glavieux 和他们的缅甸籍博士生 P.Thitimajshima 首次提出了一种新型信道编码方案——Turbo码，由于 它很好地应用了 Shannon 信道编码定理中的随机性编、 译码条件，从而获得了几乎接近 Shannon 理论极限的 译码性能 仿真结果表明 在采用长度为 65536 的随 译码性能。仿真结果表明，在采用长度为 机 交 织 器 并 译 码 迭 代 18 次 情 况 下 ， 在 信 噪 比 Eb/N0>=0.7dB 并采用二元相移键控 (BPSK) 调制时， 码率为1/2的Turbo码在加性高斯白噪声信道上的误比 特率 (BER)<=10-5 ，达到了与 Shannon 极限仅相差 0 7dB的优异性能。 0.7dB 的优异性能 (1/2码率的Shannon极限是0dB)。
樊昌信《通信原理》(第7版)课后习题(差错控制编码)【圣才出品】
图 11-2 （7，3）循环码编码器
11-12 何谓截短循环码？它适用在什么场合？ 答：（1）设给定一个（n，k）循环码，它共有 2k 种码组，现使其前 i（0＜i＜k）个信 息位全为“0”，于是它变成仅有 2k－1 种码组。然后从中删去这 i 位全“0”的信息位，最 终得到一个（n－i，k－i）的线性码。将这种码称为截短循环码。 （2）在设计纠错方案时，常常信息位数 k、码长 n 和纠错能力都是预先给定的。但是， 并不一定有恰好满足这些条件的循环码存在。这时，可以采用将什么是循环码？循环码的生成多项式如何确定？ 答：（1）一个码组循环一位（即将最右端的一个码元移至左端，或反之）以后，仍为 该码中的一个码组的码称为循环码。 （2）循环码的生成多项式的确定：由
可知，生成多项式 g（x）为（xn＋1） 的一个因子。
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11-3 常用的差错控制方法有哪些？试比较其优缺点。 答：（1）常用的差错控制方法有： ①检错重发； ②前向纠错； ③反馈校验； ④检错删除。 （2）优缺点
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①检错重发
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a．优点：检测错误并自动重新发送；
b．缺点：检测到有错但不知道具体是哪个出错。
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要求的编码。
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11-13 什么是 BCH 码？什么是本原 BCH 码？什么是非本原 BCH 码？ 答：（1）BCH 码是指一种获得广泛应用的能够纠正多个错码的循环码。 （2）本原 BCH 码是指生成多项式 g（x）中含有最高次数为 m 的本原多项式，且码长 为 n＝2m－1（m＞13，为正整数）的 BCH 码。 （3）非本原 BCH 码是指生成多项式中不含这种本原多项式，且码长 n 是（2m－1） 的一个因子，即码长 n 一定除得尽 2m－1 的 BCH 码。
11-12 何谓截短循环码？它适用在什么场合？ 答：（1）设给定一个（n，k）循环码，它共有 2k 种码组，现使其前 i（0＜i＜k）个信 息位全为“0”，于是它变成仅有 2k－1 种码组。然后从中删去这 i 位全“0”的信息位，最 终得到一个（n－i，k－i）的线性码。将这种码称为截短循环码。 （2）在设计纠错方案时，常常信息位数 k、码长 n 和纠错能力都是预先给定的。但是， 并不一定有恰好满足这些条件的循环码存在。这时，可以采用将什么是循环码？循环码的生成多项式如何确定？ 答：（1）一个码组循环一位（即将最右端的一个码元移至左端，或反之）以后，仍为 该码中的一个码组的码称为循环码。 （2）循环码的生成多项式的确定：由
可知，生成多项式 g（x）为（xn＋1） 的一个因子。
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11-3 常用的差错控制方法有哪些？试比较其优缺点。 答：（1）常用的差错控制方法有： ①检错重发； ②前向纠错； ③反馈校验； ④检错删除。 （2）优缺点
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①检错重发
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a．优点：检测错误并自动重新发送；
b．缺点：检测到有错但不知道具体是哪个出错。
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要求的编码。
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11-13 什么是 BCH 码？什么是本原 BCH 码？什么是非本原 BCH 码？ 答：（1）BCH 码是指一种获得广泛应用的能够纠正多个错码的循环码。 （2）本原 BCH 码是指生成多项式 g（x）中含有最高次数为 m 的本原多项式，且码长 为 n＝2m－1（m＞13，为正整数）的 BCH 码。 （3）非本原 BCH 码是指生成多项式中不含这种本原多项式，且码长 n 是（2m－1） 的一个因子，即码长 n 一定除得尽 2m－1 的 BCH 码。
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5
5
有错码组
6 ACK t
t
① 数据按分组发送。每发一组数据后, 发端等待收端的确认(ACK)答 复，然后再发下一组数据。
② 图中第3组接收数据有误，收端发回一个否认(NAK)答复。这时， 发送端将重发第3组数据。
③ 系统工作在半双工状态，时间没有得到充分利用，传输效率较低。
9
11.1 概述
2、拉后ARQ系统
的海明码
数据位 m 第4 第 第2 第1
解：（1)写出编码格式
位3位 位
1000001→100s8000s41s2s1
位
（2）写出数据位的位置编码，如右表所示 （3)计算各检验位
P3＝1
30
01
1
s1= p3p5p7p9p11 ＝ 0
p5 ＝0 5 0 1 0 1
s2= p3p6p7p10p11＝0
直到正确接收为止。
发端无需加入差错控制码元， 1. 检错重发 收端将收到的码元转发回发 2. 前向纠错 端，发端将它和原发送码元 3. 反馈校验 逐一比较。若不同，则出错， 4. 检错删除
发端重发。
能纠正错码。
与检错重发区别在 于收端发现错码后， 立即将其删除，不
要求重发。 7
11.1 概述
三、差错控制编码：常称为纠错编码
➢将计算得到的 r1 、r2、r3、r4按 高到低的位序排列成： r4 r3 r2 r1
S1= p3p5p7p9p11 S2= p3p6p7p10p11 S4= p5p6p7 S8= p9p10p11
r4 r3 r2 r1 0101
出错码位置 5
结论：p5位出错
6
11.1 概述
一、信道分类：从差错控制角度
4、冗余度：监督码元数(n-k) 和信息码元数 k 之比。
理论上，差错控制以降低信息传输速率为代价换取提高传
输可靠性。
8
11.1 概述
四、自动要求重发(ARQ)系统－
（一）3种ARQ系统 1、停止等待ARQ系统
发送码组
1
2
3
3
4
5
5
接收码组ACK
1
2
ACK
NAK
3
3
有错码组
ACK
4
ACK
NAK
10010000100 10010010100
编码格式：p11 p10 p9 S8 p7 p6 p5 S4 p3 S2 S1
➢ 则收端分别按下式计算r1 、r2、r3、r4： r1=s1p3p5p7p9p11=1 r2=s2 p3p6p7p10p11=0 r3=s4 p5p6p7=1 r4=s8 p9p10p11=0
令校验位为sr，数据位为pm：
将pm的位置编号即下标m 写成二进制形式
数据
r 第4 第3 第2 第1
位m
位 位位
位
p3 3 0 0 1 1
s1与位置编号的第1位为1的数据位有关 p5 5 0 1 0 1
s2与位置编号的第2位为1的数据位有关
s4与位置编号的第3位为1的数据位有关 p6 6 0 1 1 0
接收数据 1
ACK1
NAK5
2345675
有错码组
ACK5 NAK9
ACK9
8 9 10 11 9 12 13 14
有错码组
它只重发出错的数据组，因此进一步提高了传输效率。
11
11.1 概述
（二）ARQ的优缺点
ARQ的主要优点：和前向纠错方法相比
重发码组
重发码组
发送数据 1 2 3 4 5 6 7 5 6 7 8 9 10 11 9 10 11 12
接收数据 1
ACK1
NAK5
2345675
有错码组
ACK5
NAK9
6 7 8 9 10 11 9 10 11 12
有错码组
Байду номын сангаас
① 发端连续发数据组，收端对于每个接收到的数据组都发回确 认(ACK)或否认(NAK)答复。
第11章差错控制编码
1
第11章差错控制编码
11.1 概述 11.2 纠错编码的基本原理 11.3 纠错编码的性能 11.4 简单的实用编码 11.5 线性分组码
2
例：海明码（Hamming Code）
原理
码位从最低位开始编号，从“1”开始，然后分别是2、3…等 第2n位（即1、2、4、8、...）是校验位，其余是信息位，
1. 随机信道：错码的出现是随机的
在发送码元2.序突列中发加信入道差：错错控码是成串集中出现的
制码元，收3.端混利用合这信些道码：元既检存在随机错码又收存端在利突用发发错端码在发送码元
测到有错误时，利用反向信道
通知发二送、端，差要错求控发端制重技发术，的种类
序列中加入的差错控制码 元，不但能发现错码，且
② 图中第5组接收数据有误，则在发端收到第5组的否认答复后， 从第5组开始重发数据组。
③ 该系统需要对发送的数据组和答复进行编号，以便识别。显 然，这种系统需要双工信道
10
11.1 概述
3、选择重发ARQ系统
重发码组
重发码组
发送数据 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 10 11 9 12 13 14
例：若有7位数据，则海明码编码格式为：；
p11 p10 p9 s8 p7 p6 p5 s4 p3 s2 s1
其中：s8、s4、s2、s1是插入的校验位
每个校验位使得包括自己在内的一些位的奇偶值为偶 数（或奇数）
3
.海明码
生成校验位的方法：
p11 p10 p9 s8 p7 p6 p5 s4 p3 s2 s1
s8与位置编号的第4位为1的数据位有关 p7 7
0 11
1
s1= p3p5p7p9p11 s2= p3p6p7p10p11
s4= p5p6p7 s8= p9p10p11
p9 9 1 0 0 1 p10 10 1 0 1 0 p11 11 1 0 1 1
4
.海明码
例：计算字符“A”（ASCII码为1000001）
p6 ＝0 6 0 1 1 0
s4= p5p6p7 ＝ 0 s8= p9p10p11＝1
p7 ＝0 7 0 1 1 1 p9 ＝0 9 1 0 0 1
（4）海明码：10010000100
p10 ＝0 10 1 0 1 0
p11 ＝1 11 1 0 1 1
5
.海明码
海明码的纠错原理：
若发出的海明码为： 若第5位出错，收端收到的位串为
1、监督码元： 为了在收端识别有无错码，发端需在信 息码元序列中增加一些差错控制码元，称之为监督码元。 不同的编码方法，有不同的检错或纠错能力
2、多余度：指增加的监督码元多少。例如，若编码序列 中平均每两个信息码元就添加一个监督码元，则这种编 码的多余度为1/3。
3、编码效率(简称码率) ：设编码序列中信息码元数量为k， 总码元数量为n，则比值k/n 就是码率。