材料力学,第十章 动荷载1

(Dynamic Loading)
例题3 起重机钢丝绳长60m,名义直径28cm,有效横截面面积A=2. 例题3 起重机钢丝绳长60m,名义直径28cm,有效横截面面积A=2. 9cm2 ,单位长重量q=25. 5N/m , [σ] =300MPa, 以a=2m/s2的加速度 单位长重量q =300MPa, 提起重50kN 的物体,试校核钢丝绳的强度. 提起重50kN 的物体,试校核钢丝绳的强度. 解：（1）受力分析如图 ：（1
σst为静荷载下绳索中的静应力 为静荷载下绳索中的 绳索中的静
强度条件为 σd = Kdσst ≤ [σ ]
P
P+
P a g
(Dynamic Loading)
△d表示动变形 表示动变形 △st表示静变形 表示静变形
当材料中的应力不超过比 例极限时荷载与变形成正比
m
FNst
m
FNd
ρAg
x
ρAg + ρAa
顶 部 x dξ m m ξ x l R1 m m FNx dF
l 3 FNmax = ρ ω A0[ + R0 l] 3 4
2
2
在叶根截面上的拉应力为
叶 根
σ=
FNmax A0
R0 )(1+ 5 R0 ) = (1− 3g 4 R1 R1
ρv
2
R0
式中 v = R ω 为叶顶的线速度 1
l = R1 − R0
转 轴
(Dynamic Loading)
在距叶根为 x 处取dx一段 处取d 其伸长应为
顶 部 x dξ m m ξ x l m R1 m FNx dP
FNxdx d(∆l ) = EA( x)
叶片的总伸长为
叶 根
R0
FNx dx ∆l = ∫ 0 EA x) (
l
13 2 [( − ln2)R0l + ( − ln2)l 2 ] = E 4 2 18 3
Chapter 10 Dynamic Load
(Dynamic Loading)
第十章 动载荷(Dynamic loading) 动载荷(Dynamic
§10-1 概述 (Instruction) 10§10-2 动静法的应用 10(The application for method of dynamic equilibrium) 10§10-3 构件受冲击时的应力和变形 （Stress and deformation by impact loading)
(Dynamic Loading)
§10-2 动静法的应用 10（The application for method of dynamic equilibrium） equilibrium）
达朗伯原理（D’Alembert’s Principle）: 达朗伯原理认为处 Principle）
于不平衡状态的物体,存在惯性力, 于不平衡状态的物体,存在惯性力,惯性力的方向与加速度方向相 反,惯性力的数值等于加速度与质量的乘积.只要在物体上加上惯 惯性力的数值等于加速度与质量的乘积. 性力,就可以把动力学问题在形式上作为静力学问题来处理, 性力,就可以把动力学问题在形式上作为静力学问题来处理,这就 static） 是动静法 （Method of kineto static）.
P
P
P 物体的惯性力为 a g
绳索每单位长度的惯性力ρAα
(Dynamic Loading)
FNst = P + ρAgx
a FNd = (1 + )( P + ρAgx) g
FNst
m m m
FNd
m
FNd = KdFNst
绳索中的动应力为
ρAg
x
ρ Ag + ρ Aa
x
FNd FNst σd = = Kd = Kdσst A A
ω
2
D 2 Aρω D qd = (1⋅ A⋅ ρ)( ω ) = 2 2
r
O
(Dynamic Loading)
D 2 Aρω D qd = (1⋅ A⋅ ρ)( ω ) = 2 2
2
y
qd ⋅ ( D dϕ ) 2
D F = ∫ qd ( ⋅ dϕ) ⋅ sinϕ d 0 2 Aρω2D2 π = ∫0 sinϕdϕ 4 Aρω2D2 = 2
(Dynamic Loading) 二、转动构件的动应力
（Dynamic stress of the rotating member） member） 例题4 一平均直径为D的薄圆环, 例题4 一平均直径为D的薄圆环,绕通过其圆心且垂于环平面的 轴作等速转动. 环的横截面面积为A 轴作等速转动.已知环的角速度为 ω,环的横截面面积为A,材料的 求圆环横截面上的正应力. 单位体积质量为ρ.求圆环横截面上的正应力.
例题1 例题1 一起重机绳索以加速度 a 提升 的物体, 一重为 P 的物体,设绳索的横截面面积为 A,绳索单位体积的质量ρ,求距绳索下端为 x 处的 m-m 截面上的应力. 截面上的应力. a
m
m
x
P
(Dynamic Loading)
m
m
ρAγ
x a a
ρAα
a
P a g
P 绳索的重力集度为 ρAγ
(Dynamic Loading)
解:设距叶根为 x 的横截面 m-m 的面积为A(x) 的面积为A
顶 部 dξ m 叶 根 m ξ x l
1 x A( x) = A0(1 − ⋅ ) 2 l
在距叶根为 ξ 处取长为dξ 处取长为d 的微元, 的微元,其质量应
R1 R0
dm = ρ A(ξ )dξ
(Dynamic Loading) 二、动响应 （Dynamic response） response）
构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位 构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、 移等）,称为动响应（dynamic response）. response） 移等） 实验表明 在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超过 在静载荷下服从胡克定律的材料, 比例极限,在动载荷下胡克定律仍成立且E 比例极限,在动载荷下胡克定律仍成立且E静=E动.
ω
O r
(Dynamic Loading)
解：
ω
O r
因圆环很薄, 因圆环很薄,可认为圆环上各 点的向心加速度相同, 点的向心加速度相同,等于圆环中 线上各点的向心加速度. 线上各点的向心加速度.
D 2 an = ω 2
qd
因为环是等截面的, 因为环是等截面的,所以相同长度 的任一段质量相等. 的任一段质量相等. 其上的惯性力集度为
惯性力（Inertia force）: 大小等于质点的质量m与加速度a force） 大小等于质点的质量m与加速度a
的乘积, 的乘积,方向与 a 的方向相反,即 F= -ma 的方向相反,
(Dynamic Loading) 一、直线运动构件的动应力（Dynamic stress of the 直线运动构件的动应力（ body in the straight-line motion） straightmotion）
位体积的质量ρ, 以加速度α上升,试校核钢丝绳的强度. 上升,试校核钢丝绳的强度. 解:（1）受力分析如图 惯性力 qG = ρAa x
a FNd qst qG
a l
（2）动应力
a FNd = (qst + qG )x = ρAgx(1 + ) g
m n
x
FNd a σd = = ρx(1 + ) A g a 动荷因数 Kd = 1 + g 强度条件 σdmax = Kdσstmax ≤ [σ ]
2011-10-14
(Dynamic Loading)
§10-1 概述（Instruction） 10- 概述（Instruction）
一、基本概念 （Basic concepts） concepts）
1、静荷载（Static load） 静荷载（ load） 荷载由零缓慢增长至最终值,然后保持不变. 荷载由零缓慢增长至最终值,然后保持不变.构件内各质点加 速度很小,可略去不计. 速度很小,可略去不计. load） 2、动荷载 （Dynamic load） 荷载作用过程中随时间快速变化,或其本身不稳定（ 荷载作用过程中随时间快速变化,或其本身不稳定（包括大 小、方向）,构件内各质点加速度较大. 方向） 构件内各质点加速度较大.
∆d = Kd ∆st
P
P+
P a g
结论:只要将静载下的应力,变形,乘以动荷系数K 结论:只要将静载下的应力,变形,乘以动荷系数Kd即得动载 下的应力与变形. 下的应力与变形.
(Dynamic Loading)
例题2 例题2 起重机丝绳的有效横截面面积为A 起重机丝绳的有效横截面面积为A, [σ] =300MPa, 物体单 =300MPa,
转 轴
(Dynamic Loading)
在距叶根为ξ 处的向心加速度为
2 an = ω (R0 + ξ )
顶 部
dξ m m ξ x l
dm 的惯性力应为
叶 根
dF = ω2(R0 + ξ ) ⋅ dm
= ρω2(R0 + ξ )A(ξ )dξ
R1 R0
转 轴
(Dynamic Loading)
m-m以上部分的惯性力为 以上部分的惯性力为
2
o
FNd FNd
σd =
ρv2
g
≤ [σ ]
环内应力与横截面面积无关.要保证强度,应限制圆环的转速. 环内应力与横截面面积无关.要保证强度,应限制圆环的转速.
(Dynamic Loading)
例题5 例题5 重为G的球装在长L的转臂端部, 重为G的球装在长L的转臂端部,以等角速度在光滑水平 面上绕O点旋转,已知许用应力[ ],求转臂的截面面积 面上绕O点旋转,已知许用应力[σ],求转臂的截面面积（不计转 求转臂的截面面积（ 臂自重） 解: 臂自重）
三、动荷因数 （Dynamic factor） factor）
动响应 动荷因数K 动荷因数Kd = 静响应
四、动荷载的分类 （Classification of dynamic load） load）
1.惯性力 1.惯性力（Inertia force） 3.振动问题（Vibration problem） 惯性力（ force） 3.振动问题 振动问题（ problem） 2.冲击荷载 2.冲击荷载（Impact load） 4.交变应力（Alternate stress） 冲击荷载（ load） 4.交变应力 交变应力（ stress）
顶 部 x dξ m m ξ x l m R1 m FNx dF
F = ∫ dF
= ∫ ρω (R0 + ξ )A(ξ )dξ
2 x l
叶 根
m-m截面上的轴力FNx等于 F 截面上的轴力F
R0源自文库
FNx = ∫ ρ ω2(R0 + ξ )A(ξ )dξ x
转 轴
l
(Dynamic Loading)
最大的惯性力发生在叶根截面上
ρω2l 3 1
FNd
a FNd = (G + ql)(1+ ) g
（2）动应力
lq(1+a/g) lq(1+a
FNd 1 a σd = = (G + ql)(1+ ) A A g
1 2 3 (50×10 + 25.5× 60)(1 + ) = −4 9.8 2.9×10
G(1+a/g) (1+a/g)
= 214MPa < [σ ] = 300MPa
FG
（1）受力分析如图 惯性力为
ω
O l
FG = man = ω2 Rm = ω2lG/g
（2）强度条件
σ = FG / A ≤ [σ ]
F ω2Gl A≥ G = [σ ] (g[σ ])
(Dynamic Loading)
例题6 轮机叶片在工作时通常要发生拉伸, 例题6 轮机叶片在工作时通常要发生拉伸,扭转和弯曲的组合变 形.本题只计算在匀速转动时叶片的拉伸应力和轴向变形. 设叶片 本题只计算在匀速转动时叶片的拉伸应力和轴向变形. 可近似地简化为变截面直杆, 可近似地简化为变截面直杆,且横截面面积沿轴线按线性规律变 化.叶根的横截面面积A0为叶顶的横截面面积A1的两倍, 即A0= 2 叶根的横截面面积A 为叶顶的横截面面积A 的两倍, 令叶根和叶顶的半径分别为R A1.令叶根和叶顶的半径分别为R0 和R1 .转速为ω , 材料单位体积 的质量为ρ.试求叶片根部的应力和总伸长. 试求叶片根部的应力和总伸长.
π
qd Fd dϕ
ϕ
O
FNd FNd
Fd Aρω2D2 FNd = = 2 4
FNd ρω2D2 σd = = A 4
(Dynamic Loading)
F ρω2D2 σd = d = A 4 Dω 圆环轴线上点的 =v 2
线速度
y
D qd ( dϕ ) 2
qd Fd dϕ
ϕ
σd = ρv
强度条件