保险精算李秀芳1-5章习题答案

第一章生命表

1．给出生存函数()

2 2500 x

s x e-

=，求：

(1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。 (2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。

(3)人能活到70岁的概率。(4)50岁的人能活到70岁的概率。

()

()

()

1050

2050

(5060)50(60)

50(60)

(50)

(70)(70)

70

(50)

P X s s

s s

q

s

P X s

s

p

s

<<=-

-

=

>=

=

2.已知生存函数S(x)=1000-x3/2 ,0≤x≤100，求（1）F（x）(2)f(x)(3)F T(t)(4)f T(f)(5)E(x)

3. 已知Pr［5＜T(60)≤6］=，Pr［T(60)＞5］=，求q65。

()()

()

5|60560

65

65(66)65

0.1895,0.92094

(60)(60)

65(66)

0.2058

(65)

s s s

q p

s s

s s

q

s

-

====

-

∴==

4.已知Pr［T(30)＞40］=，Pr［T(30)≤30］=，求10p60

Pr［T(30)＞40］=40P30=S(70)/S（30）= S（70）=×S(30)

Pr［T(30)≤30］=S(30)-S(60)/S(30)= S(60)=×S(30)

∴10p 60= S(70)/S （60）==

5.给出45岁人的取整余命分布如下表：

k

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

45k

q .0050 .0060 .0075 .0095 .0120 .0130 .0165 .0205 .0250 .0300

求：1）45岁的人在5年内死亡的概率；2）48岁的人在3年内死亡的概率；3）50岁的人在52岁至55岁之间死亡的概率。 (1)5q 45=（++++）=

6.这题so easy 就自己算吧

7.设一个人数为1000的现年36岁的群体，根据本章中的生命表计算（取整）

（1）3年后群体中的预期生存人数（2）在40岁以前死亡的人数（3）在45-50之间挂的人 (1)l 39=l 36×3P 36=l 36(1-3q 36)=1500×（）≈1492 （2）4d 36=l 36×4q 36=1500×（+）≈11

（3）l 36×9|5q 36=l 36×9P 35×5q 45=1500××=1500×≈33 8. 已知800.07q =，803129d =，求81l 。

808081

808080

0.07d l l q l l -=

==

808081

808080

0.07d l l q l l -=

== 9. 015.060=q ，017.061=q ，020.062=q ， 计算概率612P ，60|2q ．

612

P =（1-q 61）(1-q 62)= 60|2q =612P ．q 62=

10. 设某群体的初始人数为3 000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。

120121122

000

(20)0.92,(21)0.915,(22)0.909d d d d d d s s s l l l ++++++=

=====L L L

13.设01000l =，1990l =，2980l =，…，9910l =，1000l =，求：1）人在70岁至80岁之间死亡的概率；2）30岁的人在70岁至80岁之间死亡的概率；3）30岁的人的取整平均余命。

18.

19.

20.

24.答：当年龄很小时，性别差异导致的死亡率差异基本不存在，因此此时不能用年龄倒退法。

.设选择期为10岁，请用生存人数表示概率5|3q[30]+3

29.

第二章 趸缴纯保费

1. 设生存函数为()1100

x

s x =-

(0≤x ≤100)，年利率i =，计算(保险金额为1元)：(1)趸缴纯保费1

30:10Ā的值。(2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z 的方差Var(Z)。

10

10130:10

10

10

2

112

22

230:10

30:10

()1()1100()10011

0.0921.170

11

()()0.0920.0920.0551.2170

t x x t t

t

t x x t t

t t

x x t x s x t s x p s x x

A v p dt dt Var Z A

A

v

p dt dt μμμ+++'+=-

⇒=-=-⎛⎫=== ⎪

⎝⎭⎛⎫=-=-=-= ⎪

⎝⎭⎰⎰⎰⎰

g g g

2.设利力0.2

10.05t t

δ=

+，75x l x =-，075x ≤≤，求x A 。

5. 设0.25x =A , 200.40x +=A , :200.55x =A , 试计算：（1） 1:20x A （2） 1

:20x A 1 120:20:201 1:20

:20:201 1

:20:201 1

:20:201:20 1

:200.250.40.550.050.5

x x x x x x x x x x x x x A A A A A A A A A A A A A +⎧=+⎪⎨=+⎪⎩⎧=+⎪⇒⎨=+⎪⎩⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩g g 6.试证在UDD 假设条件下： (1) 1

1::x n x n i

δ

=

A A (2) 1

1:::x x n n x n

i

δ

=+

ĀA A