大学物理 量子力学基础习题

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习题版权属物理学院物理系

《大学物理AII 》作业No.08量子力学基础

班级________学号________姓名_________成绩_______

一、选择题：

1．如图所示，一束动量为p 的电子，通过缝宽为a 的狭缝。在距离狭缝为R 处放置一荧光屏，d 等于[](A)2a 2/R (B)2ha /p

(C)2ha /(Rp )(D)2Rh /(ap )

解：该电子波衍射等同于单缝衍射，则根据单缝衍射中央明纹线宽度公式f a

d

λ2=有屏上衍射图样中央最大的宽度ap Rh p

h

R a

R a d 222=××

=××=λ故选D

2．若α粒子（电荷为2e ）在磁感应强度大小为B 的均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道

运动，则α粒子的德布罗意波长是

[](A)eRB

h

2(B)

eRB

h (C)

eRB

21(D)

eRBh

1解：由洛仑兹力B v q F ���×=和向心力R

v m F n 2=有圆形轨道运动半径eB mv

qB mv R 2=

=所以α粒子的德布罗意波长eBR

h

mv h 2=

=λ故选A 3．关于不确定关系⎟

⎠⎞⎜⎝

⎛=≥∆⋅∆π2h p x x ℏℏ

有以下几种理解：(1)粒子的动量不可能确定(2)粒子的坐标不可能确定

(3)粒子的动量和坐标不可能同时确定

(4)不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子其中正确的是：[](A)(1)、(2)(B)(2)、(4)

(C)(3)、(4)(D)(4)、(1)解：由不确定关系式意义知(3)、(4)正确。

故选C

4．波长λ=5000Å的光沿x 轴正向传播，若光的波长的不确定量∆λ=10-3Å，则利用不确

定关系式h x p x ≥∆∆可得光子的x 坐标的不确定量至少为[](A)25cm (B)50cm

(C)250cm (D)500cm

w w

w .

z h

i n

a n

c h

e .c o m

解：根据德布罗意公式有p =h /λ

则

2

/λλ∆∆=h p x

代入不确定关系式

h p x x ≥∆⋅∆有λ

λ∆∆≥/2x 故光子的x 坐标的不确定量至少为min x ∆λλ∆=/2)

1010/()105000(103210−−−××==2.5m=250cm 故选C 5．已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：

()()

a x a a

x

a

x ≤≤−⋅=

23cos

1

πψ那么粒子在3/2a x =处出现的概率密度为[

]

(A)

a 21(B)

a 1(C)

a

21(D)

a

1解：由波函数物理意义有任意位置概率密度()a

x a x 23cos 12

2πψ=将3/2a x =代入，得3/2a x =处出现的概率密度

()a

a a a x 13223cos 122

=⋅=

πψ故选B

二、填空题：

1．在B =1.25×10-2T 的匀强磁场中沿半径为R =1.66cm 的圆轨道运动的α 粒子

的德布罗意波长是__________________。

(普朗克常量h =6.63×10-34J ·s ，基本电荷e =1.60×10-19C)

解：由B v q F ���×=和R

v m F n 2

=，有α粒子运动动量eBR

mv p 2==所以α粒子的德布罗意波长eBR

h

mv h 2=

=λnm 00.1A 100.0)m (10998.01066.11025.11060.121063.611

2

21934==×=×××××××=−−−−−�

2．热中子平均动能为

kT 2

3

。则当温度为K 003时，一个热中子的动能为J ，

相应的德布罗意波长为

。

(波尔兹曼常数123K J 10381−−⋅×=.k

，普朗克常量s J 1063.634⋅×=−h ，中子质量

kg 1067.127−×=m )

w w

w .

z h

i n

a n

c h

e .

c o m

解：一个热中子的动能为(J)1021.63001038.123

kT 232123−−×=×××==

k E 相应的德布罗意波长k

mE h

p h 2=

=λnm

6.14)m (1046.11021.6106

7.121063.61021

2734

=×=×××××=

−−−−3．静质量为e m 的电子，经电势差为12U 的静电场加速后，若不考虑相对论效应，电子的德布罗意波长λ＝

。

解：若不考虑相对论效应，电子的动能2122

1

v m eU E e k =

=故电子的动量122eU m v m p e e =

=其德布罗意波长为�

A

25.12nm 5.122212

1212U U eU m h p h e =≈==λ4．如果电子被限制在边界x 与x x ∆+之间，5.0=∆x Å则电子动量的x 分量的不确定量

近似地为

-1s m kg ⋅⋅。

(不确定关系式h p x x ≥∆⋅∆，普朗克常量s J 1063.634⋅×=−h )

解：由不确定关系式h p x x ≥∆⋅∆得电子动量的x 分量的不确定量近似地为

()12310

34

s m kg 1033.110

5.01063.6−−−−⋅⋅×=××=∆≥∆x h p x 5．设描述微观粒子运动的波函数为()t r ,�

ψ，则

*ψψ表示

；()t r ,�

ψ须满足的条件是

；其归一化条件是

。解：*ψψ表示微观粒子在t 时刻在空间(x ,y,z )处单位位体积内出现的概率；

()t r ,�

ψ须满足的条件是单值、有限、连续；其归一化条件是

1

d d d 2

=⋅∫∫∫∞

z y x ψ。