量子力学基础习题课send
量子力学教程课后习题问题详解
2 (0) 1 (0) ⑤
2 (a) 3 (a) ⑥
⑤ ⑥ A0 sin ka 0 ka n
B 0 (n 1, 2, 3,)
∴ 2 (x)
Asin
n a
x
Asin ka 0
10
由归一化条件
(x) 2 dx 1
得
A2
a
sin 2
n
xdx
1
0
a
由
a
sin
b
m a
x sin
这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的； 另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此 解正是所要求的，这样则有
mT
hc xk
把 x 以及三个物理常量代入到上式便知
mT 2.9 10 3 m K
这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰 值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定 温度的高低。
1．4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量； （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
已知外磁场 H=10T，玻尔磁子 M B 9 10 24 J T 1 ，试计算运能的量子化间
隔△E，并与 T=4K 及 T=100K 的热运动能量相比较。 解 玻尔——索末菲的量子化条件为
根据动能与温度的关系式 以及
E 3 kT 2
可知，当温度 T=4K 时，
1k K 103 eV 1.6 1022 J
当温度 T=100K 时，
E 1.5 41.61022 J 9.61022 J
E 1.5 100 1.6 1022 J 2.4 1020 J 显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。
大学物理 第16章量子力学基本原理-例题及练习题
由不确定关系： 由不确定关系：
∆x ⋅ ∆p x ≥ h ; ∆x ↑ , ∆p x ↓
P 练习： 练习：574 17.14 ∆ t = 10 −8 s , E − E 0 = 3.39 eV , 已知: 已知:电子处于某能级 (1)该能级能量的最小不确定量 (1) 求： 该能级能量的最小不确定量∆ E (2)由该能级跃迁到基态时所辐射光子的 (2)由该能级跃迁到基态时所辐射光子的 λ 及 ∆ λ :(1) 解:(1) Q ∆E ⋅ ∆t ≥ h h 1.055 × 10 ∴ ∆E ≥ = = 1.055 × 10 ( J ) = 6.59×10−6 (eV) 10 ∆t
1. 将此波函数归一化； 将此波函数归一化； 2. 求出粒子按坐标的概率分布函数； 求出粒子按坐标的概率分布函数； 3. 在何处找到粒子的概率最大？ 在何处找到粒子的概率最大？
解： 1.由归一化条件 得：
∞ 2 A A dx = ∫ dx＝A 2 arctg x ]∞∞ ＝A 2π = 1 ∫∞ 1 + ix − 1 + x2 − −∞
Ψ
E 4 = 16 E 1
(x , t )
n=4 n=3 n=2 n=1
ψ (x )
2
n=4 n=3 n=2 n=1
E
3
= 9E1
E
2
= 4E1
E1
o 驻波波长： 驻波波长：
a
x
o
a
x
λn = 2a n, n = 1, 2, 3,......
由
k 2 h 2 n 2π 2 h 2 E= = = n 2 E1 2 2m 2ma
∆x ⋅ ∆p x ≥ h
λ
2
∴
量子力学教程课后习题答案.pptx
hc 1.24106 eVm
e
c 2
0.51
10 eV 6
最后，对
hc 2ec 2E
作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短， 因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这 个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世 界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二 象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。 1．3 氦原子的动能是 E 3 kT （k 为玻耳兹曼常数），求 T=1K 时，氦原子的德
3.7 10
eV
9
最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度 为 T 的体系，其中粒子的平均动能的数量级为 kT，这样，其相庆的德布罗意波 长就为
hc hc 2c 2 E 2kc2T
据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波 动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性 就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须 用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。 4. 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：
注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为 3eV，远远小于电子的质量与光速平 方的乘积，即 0.51106 eV ，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式， 这样，便有
h
p
2
在这里，利用了 以及
h
2eE
hc
2ec2 E
1.24 10 6 m 2 0.51106 3
0.7110 9 m 0.71nm
（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有
量子力学习题课
习 题 课例：求下列各粒子相关的de Broglie 波的波长： （1） 能量为100ev 的自由电子； （2） 能量为0.1ev 的自由中子； （3） 能量为0.1ev,m=1g 的质点；（4） T =1K 时，具有动能E=KT3/2(K Bolzman 常数)的氮原子。
解：在V «C 的情况下，mE h p h mE P 2//,2===λ (1) E=100ev=1.6×10-10erg,因为m=9×10-28g h=6.6×10-27erg.s 所以 2.1102.1106.11092106.68102827=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=----cm λÅ（2） E=0.1ev = 1.6×10-13erg, m=1.675×10-24g9.0109.0106.11068.12106.68132427=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=----cm λÅ(3) E=0.1ev = 1.610-13erg, m=1g121327107.1106.12106.6---⨯=⨯⨯⨯=λ Å（4） E =1.5×1.38×10-16erg, m=4×1.67×10-24=6.68×10-24g6.121038.15.11068.62106.6162427=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=---λ Å星体光谱的成分与绝对黑体光谱十分相近。
估计黑体表面温度的方法之一，在于确定黑体光谱中辐射强度λU 的最大值所对应的波长。
太阳的这2个波长等于0.5μm,北极星的波长等于0.35μm,天狼星的等于0.29μm 。
试计算这些星体的温度。
解：根据黑体辐射的Plank 公式，物体在温度为T 的热平衡态下，辐射的能谱密度λU 与热辐射频率ν之间的关系为)1(1)/exp(833-=kT h C h U ννπλ将（1）式中的辐射频率ν换成辐射波长λ表示，)2(1)/exp(181,52-=-==kT hc hCU d Cd Cλλπλλνλνλ）改写成将（由d λU /d λ=0,可得λU （max ）所应的波长λ：)3(]1)/[exp()/exp(50)1)/exp(18(5-==-=kT hc kT kT hc hc kT hc hc d d d dU λλλλλπλλλ得若令x=hc/λkT, 则（3）改写成 15-=x xe xeXe x =5e x -5, e -x +(x/5)-1=0, e -x =1-(x/5) (4) (4)式是一个超越方程，做图法求解，⎪⎩⎪⎨⎧=-=)6()5(51xe y x y 曲线（5）和（6）的交点的横坐标便是所求的解，如图： 求得 x=4.97, (7) 既hc/kT (8) 或T λmax=hc/4.97k=b (9)次式为Wien 位移公式（wien formula ），其b=hc/4.97k=2.9×10-3m.℃ 由（9）式可估计星体表面温度如下： （a ） 太 阳：λmax=0.55μm=0.55×10-6m, T max =b/λmax=5.27×103℃（b ） 北极星：λmax=0.35μm=0.35×10-6m, T max =b/λmax=8.27×103℃ （c ） 天狼星：λmax =0.29μm=0.29×10-6m, T max =b/λmax=10×103℃例：如果我们观测一个大小为2.5Å的物体，可用的光子的最小能量是多少？若把光子改成电子呢？解：为了发生散射，光波的波长必须与所观测物体的大小同数量级或更小。
基本习题及答案_量子力学
量子力学习题(一) 单项选择题1.能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是 A. 1.2A 0. B. 1.5A 0. C.2.1A 0. D. 2.5A 0.2. 能量为0.1ev 的自由中子的De Broglie 波长是 A.1.3A 0. B. 0.9A 0. C. 0.5A 0. D. 1.8A 0.3. 能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的De Broglie 波长是 A.1.4A 0. B.1.9⨯1012-A 0.C.1.17⨯1012-A 0. D. 2.0A 0.4.温度T=1k 时，具有动能E k T B =32(k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的De Broglie 波长是A.8A 0. B. 5.6A 0. C. 10A 0. D. 12.6A 0.5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（ ,2,1,0=n ）A.E n n = ω.B.E n n =+()12ω.C.E n n =+()1 ω.D.E n n =2 ω.6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其De Broglie 波长是 A.5.2A 0. B. 7.1A 0. C. 8.4A 0. D. 9.4A 0.7.钾的脱出功是2ev ，当波长为3500A 0的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为A. 0.25⨯1018-J.B. 1.25⨯1018-J.C. 0.25⨯1016-J.D. 1.25⨯1016-J.8.当氢原子放出一个具有频率ω的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为A. 2μc .B.22μc. C. 222μc . D. 22μc . pton 效应证实了A.电子具有波动性.B. 光具有波动性.C.光具有粒子性.D. 电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了 A. 电子具有波动性. B. 光具有波动性. C. 光具有粒子性. D. 电子具有粒子性.11.粒子在一维无限深势阱U x x ax x a (),,,=<<∞≤≥⎧⎨⎩000 中运动，设粒子的状态由ψπ()sin x C xa= 描写，其归一化常数C 为A.1a .B.2a .C.12a .D.4a.12. 设ψδ()()x x =，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为 A.δ()x . B.δ()x dx . C.δ2()x . D.δ2()x dx .13. 设粒子的波函数为 ψ(,,)x y z ，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为A.ψ(,,)x y z dxdydz 2.B.ψ(,,)x y z dx 2. C.dx dydz z y x )),,((2⎰⎰ψ. D.dx dy dz x yz ψ(,)⎰⎰⎰2.14.设ψ1()x 和ψ2()x 分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c x c x 1122ψψ()()+的几率分布为 A.c c 112222ψψ+.B. c c 112222ψψ++2*121ψψc c .C. c c 112222ψψ++2*1212ψψc c .D. c c 112222ψψ++c c c c 12121212****ψψψψ+. 15.波函数应满足的标准条件是A.单值、正交、连续.B.归一、正交、完全性.C.连续、有限、完全性.D.单值、连续、有限. 16.有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是A.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波.B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包.C.单个微观粒子具有波动性和粒子性.D. A, B, C. 17.已知波函数ψ1=-+u x i Et u x iEt ()exp()()exp() ,ψ21122=-+u x i E t u x iE t ()exp()()exp() ,ψ312=-+-u x i Et u x iEt ()exp()()exp() ,ψ41122=-+-u x i E t u x iE t ()exp()()exp().其中定态波函数是A.ψ2.B.ψ1和ψ2.C.ψ3.D.ψ3和ψ4. 18.若波函数ψ(,)x t 归一化，则A.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都是归一化的波函数.B.ψ(,)exp()x t i θ是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ不是归一化的波函数.C.ψ(,)exp()x t i θ不是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ是归一化的波函数.D.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都不是归一化的波函数.(其中θδ,为任意实数)19.波函数ψ1、ψψ21=c (c 为任意常数)， A.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态不同.B.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1: c .C.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是2:1c . D.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态相同.20.波函数ψ(,)(,)exp()x t c p t ipx dp =⎰12π的傅里叶变换式是A. c p t x t ipx dx (,)(,)exp()=⎰12π ψ. B. c p t x t i px dx (,)(,)exp()*=⎰12π ψ. C. c p t x t ipx dx (,)(,)exp()=-⎰12π ψ. D. c p t x t i px dx (,)(,)exp()*=-⎰12πψ. 21.量子力学运动方程的建立,需满足一定的条件:(1)方程中仅含有波函数关于时间的一阶导数. (2)方程中仅含有波函数关于时间的二阶以下的导数.(3)方程中关于波函数对空间坐标的导数应为线性的. (4) 方程中关于波函数对时间坐标的导数应为线性的.(5) 方程中不能含有决定体系状态的具体参量. (6) 方程中可以含有决定体系状态的能量. 则方程应满足的条件是 A. (1)、(3)和(6). B. (2)、(3)、(4)和(5). C. (1)、(3)、(4)和(5). D.(2)、(3)、(4)、(5)和(6). 22.两个粒子的薛定谔方程是A.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i t r r t r r t iμ∂∂ ),,(),,(2121t r r t r r U ψ+B.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i t r r t r r tμ∂∂ ),,(),,(2121t r r t r r Uψ+C. ∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i it r r t r r t μ∂∂),,(),,(2121t r r t r r U ψ+D.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i it r r t r r t i μ∂∂),,(),,(2121t r r t r r Uψ+ 23.几率流密度矢量的表达式为A.J =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. B.J i =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. C.J i =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. D.J =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. 24.质量流密度矢量的表达式为A.J =∇ψ-2()**ψψ∇ψ.B. J i =∇ψ-2()**ψψ∇ψ.C.J i =-∇ψ2()**ψ∇ψψ.D.J =-∇ψ2()**ψ∇ψψ.25. 电流密度矢量的表达式为A. J q =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. B. J iq =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. C.J iq =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. D.J q =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. 26.下列哪种论述不是定态的特点A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.B.几率流密度矢量不随时间变化.C.任何力学量的平均值都不随时间变化.D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量.27.在一维无限深势阱U x x ax a(),,=<∞≥⎧⎨⎩022中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22224 n a ,B.πμ22228 n a ,C.πμ222216 n a ,D.πμ222232 n a. 28. 在一维无限深势阱U x x a x a(),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22222 n a , B.πμ22224 n a , C.πμ22228 n a , D.πμ222216 n a . 29. 在一维无限深势阱U x x b x b (),/,/=<∞≥⎧⎨⎩022中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22222 n b ,B.πμ2222 n b , C.πμ22224 n b , D.πμ22228 n b . 30. 在一维无限深势阱U x x a x a (),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子处于基态，其位置几率分布最大处是A.x =0,B.x a =,C.x a =-,D.x a =2.31. 在一维无限深势阱U x x ax a (),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子处于第一激发态，其位置几率分布最大处是A.x a =±/2,B.x a =±,C.x =0,D.4/a x ±=. 32.在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的 A.能量是量子化的，而动量是连续变化的. B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的. 33.线性谐振子的能级为 A.(/),(,,,...)n n +=12123 ω. B.(),(,,,....)n n +=1012 ω. C.(/),(,,,...)n n +=12012 ω. D.(),(,,,...)n n +=1123 ω.34.线性谐振子的第一激发态的波函数为ψαα()exp()x N x x =-122122,其位置几率分布最大处为A.x =0.B.x =±μω. C.x =μω. D.x =±μω.35.线性谐振子的A.能量是量子化的,而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的. 36.线性谐振子的能量本征方程是A.[]-+= 222222212μμωψψd dx x E . B.[]--= 22222212μμωψψd dx x E . C.[] 22222212μμωψψd dx x E -=-. D.[] 222222212μμωψψd dx x E +=-. 37.氢原子的能级为A.- 2222e n s μ.B.-μ22222e n s .C.242ne sμ -. D. -μe n s 4222 . 38.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为A.r r R nl )(2. B.22)(r r R nl .C.rdr r R nl )(2.D.dr r r R nl 22)(.39. 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为 A.),(ϕθlm Y . B. 2),(ϕθlm Y . C. Ωd Y lm ),(ϕθ. D. Ωd Y lm 2),(ϕθ.40.波函数ψ和φ是平方可积函数,则力学量算符 F为厄密算符的定义是 A.ψφτφψτ*** Fd F d =⎰⎰. B.ψφτφψτ**( )F d F d =⎰⎰. C.( ) **F d F d ψφτψφτ=⎰⎰.D. ***F d F d ψφτψφτ=⎰⎰. 41. F和 G 是厄密算符,则 A. FG必为厄密算符. B. FG GF -必为厄密算符. C.i FGGF ( )+必为厄密算符. D. i FGGF ( )-必为厄密算符. 42.已知算符 x x =和 pi xx =- ∂∂,则 A. x 和 p x 都是厄密算符. B. xp x 必是厄密算符. C. xp p x x x +必是厄密算符. D. xp p x x x -必是厄密算符.43.自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为 A.1. B. 2. C. 3. D. 4.44.二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到δ函数)A.1212/()/π .B.12/()π .C.1232/()/π .D.122/()π45.角动量Z 分量的归一化本征函数为A.12πϕ exp()im . B. )ex p(21r k i ⋅π. C.12πϕexp()im . D. )ex p(21r k i⋅π. 46.波函数)ex p()(cos )1(),(ϕθϕθim P N Y m l lm m lm -=A. 是 L2的本征函数,不是 L z的本征函数. B. 不是 L 2的本征函数,是 L z的本征函数. C. 是 L2、 L z的共同本征函数. D. 即不是 L 2的本征函数,也不是 L z的本征函数. 47.若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为 A. 3. B. 6. C. 9. D. 12. 48.氢原子能级的特点是A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.C.能级随量子数的增大而减小.D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小.49一粒子在中心力场中运动,其能级的简并度为n 2,这种性质是 A. 库仑场特有的. B.中心力场特有的. C.奏力场特有的. D.普遍具有的.50.对于氢原子体系,其径向几率分布函数为W r dr R r dr 323222()=,则其几率分布最大处对应于Bohr 原子模型中的圆轨道半径是 A.a 0. B. 40a . C. 90a . D. 160a .51.设体系处于ψ=--123231102111R Y R Y 状态,则该体系的能量取值及取值几率分别为A.E E 321434,;,. B.E E 321232,;,-.C.E E 321232,;,.D.E E 323414,;,.52.接51题,该体系的角动量的取值及相应几率分别为 A.21 , . B. ,1. C.212 ,. D.212 ,.53. 接51题,该体系的角动量Z 分量的取值及相应几率分别为A.01434,;,- .B. 01434,;, .C.01232,;, -.D. 01232,;,-- .54. 接51题,该体系的角动量Z 分量的平均值为A.14 .B. -14 .C. 34 .D. -34 .55. 接51题,该体系的能量的平均值为A.-μe s 4218 .B.-3128842μe s .C.-2925642μe s .D.-177242μe s.56.体系处于ψ=C kx cos 状态,则体系的动量取值为A. k k ,-.B. k .C. - k .D. 12k .57.接上题,体系的动量取值几率分别为A. 1,0.B. 1/2,1/2.C. 1/4,3/4/ .D. 1/3,2/3. 58.接56题, 体系的动量平均值为A.0.B. k .C. - k .D. 12k .59.一振子处于ψψψ=+c c 1133态中,则该振子能量取值分别为A.3252 ωω,.B. 1252 ωω,.C. 3272 ωω,.D. 1252ωω,.60.接上题,该振子的能量取值E E 13,的几率分别为A.2321,c c . B. 232121c c c +,232123c c c +.C.23211c c c +,23213c c c +. D. 31,c c .61.接59题,该振子的能量平均值为 A.ω 232123215321c c c c ++. B. 5 ω.C. 92 ω. D. ω 232123217321c c c c ++. 62.对易关系[ ,()]pf x x 等于(f x ()为x 的任意函数)A.i f x '().B.i f x ().C.-i f x '().D.-i f x ().63. 对易关系[ ,exp()]piy y 等于 A.)exp(iy . B. i iy exp().C.- exp()iy .D.-i iy exp().64.对易关系[, ]x px 等于 A.i . B. -i . C. . D. - .65. 对易关系[, ]L yx 等于 A.i z. B. z . C.-i z . D.- z . 66. 对易关系[, ]L zy 等于 A.-i x. B. i x . C. x . D.- x . 67. 对易关系[, ]L zz 等于 A.i x. B. i y . C. i . D. 0. 68. 对易关系[, ]x py 等于 A. . B. 0. C. i . D. - . 69. 对易关系[ , ]pp y z 等于 A.0. B. i x . C. i p x . D. p x . 70. 对易关系[ , ]LL xz等于 A.i L y . B. -i L y . C. L y . D. - L y . 71. 对易关系[ , ]LL zy等于 A.i L x . B. -i L x . C. L x . D. - L x . 72. 对易关系[ , ]LL x2等于 A. L x . B. i L x . C. i L L z y ( )+. D. 0. 73. 对易关系[ , ]LL z2等于 A. L z . B. i L z . C. i L L x y( )+. D. 0. 74. 对易关系[, ]L px y 等于 A.i L z . B. -i L z. C. i p z . D. -i p z . 75. 对易关系[ , ]p L z x等于 A.-i py. B. i p y . C.-i L y . D. i L y. 76. 对易关系[ , ]L p zy 等于 A.-i p x . B. i p x . C. -i Lx . D. i L x . 77.对易式[ , ]Lx y 等于 A.0. B. -i z . C. i z . D. 1. 78. 对易式[ , ]FF m n 等于(m,n 为任意正整数) A. Fm n +. B. F m n -. C. 0. D. F . 79.对易式[ , ]FG 等于 A. FG. B. GF . C. FG GF -. D. FG GF +. 80. .对易式[ ,]Fc 等于(c 为任意常数) A.cF. B. 0. C. c . D. F ˆ. 81.算符 F和 G 的对易关系为[ , ] F G ik =,则 F 、 G 的测不准关系是A.( )( )∆∆F G k 2224≥. B. ( )( )∆∆F G k 2224≥. C. ( )( )∆∆F G k 2224≥. D. ( )( )∆∆F G k 2224≥. 82.已知[ , ]xp i x = ,则 x 和 p x 的测不准关系是 A.( )( )∆∆x p x 222≥ . B. ( )( )∆∆x p 2224≥ .C. ( )( )∆∆x p x 222≥ . D. ( )( )∆∆x p x 2224≥ .83. 算符 L x 和 L y 的对易关系为[ , ] L L i L x y z = ,则 L x 、 L y的测不准关系是 A.( )( ) ∆∆L L L x y z 22224≥ .B.( )( ) ∆∆L L L x y22224≥ . C.( )( ) ∆∆FG L z 22224≥ . D.( )( ) ∆∆FG L 22224≥ . 84.电子在库仑场中运动的能量本征方程是A.[]-∇+= 2222μψψze rE s.B. []-∇+= 22222μψψze r E s.C.[]-∇-= 2222μψψze rE s.D.[]-∇-= 22222μψψze rE s.85.类氢原子体系的能量是量子化的,其能量表达式为A.-μz e n s 22222. B. -μ224222z e n s .C.-μze n s 2222 .D. -μz e ns 24222 .86. 在一维无限深势阱U x x ax x a (),,,=<<∞≤≥⎧⎨⎩000中运动的质量μ为的粒子,其状态为ψππ=42aa x a x sin cos ,则在此态中体系能量的可测值为A.22222229,2aa μπμπ , B. πμπμ2222222 a a , ,C.323222222πμπμ a a ,,D.524222222πμπμ a a, . 87.接上题,能量可测值E 1、E 3出现的几率分别为 A.1/4,3/4. B. 3/4,1/4. C.1/2, 1/2. D. 0,1. 88.接86题,能量的平均值为A.52222πμ a ,B.2222πμ a ,C.72222πμ a ,D.5222πμ a .89.若一算符 F的逆算符存在,则[ , ]F F -1等于 A. 1. B. 0. C. -1. D. 2.90.如果力学量算符 F和 G 满足对易关系[ , ]F G =0, 则 A. F和 G 一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量可同时具有确定值. B. F和 G 一定存在共同本征函数,且在它们的本征态中它们所代表的力学量可同时具有确定值.C. F和 G 不一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量不可能同时具有确定值.D. F和 G 不一定存在共同本征函数,但总有那样态存在使得它们所代表的力学量可同时具有确定值.91.一维自由粒子的能量本征值 A. 可取一切实数值. B.只能取不为负的一切实数. C.可取一切实数,但不能等于零. D.只能取不为正的实数.92.对易关系式[ , ()]pp f x x x 2等于 A.-i pf x x '()2. B. i p f x x '()2 . C.-i pf x x ()2. D. i p f x x ()2. 93.定义算符yxL i L L ˆˆˆ±=±, 则[ , ]L L +-等于 A.z L ˆ . B.2 L z . C.-2 L z. D.z L ˆ -. 94.接上题, 则[ , ]LL z+等于 A. L +. B. L z . C. -+ L . D. - L z . 95. 接93题, 则[ , ]LL z-等于 A. L -. B. L z . C. -- L . D. - L z . 96.氢原子的能量本征函数ψθϕθϕnlm nl lm r R r Y (,,)()(,)=A.只是体系能量算符、角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.B.只是体系能量算符、角动量Z 分量算符的本征函数,不是角动量平方算符的本征函数.C.只是体系能量算符的本征函数,不是角动量平方算符、角动量Z 分量算符的本征函数.D.是体系能量算符、角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数. 97.体系处于ψ=+c Y c Y 111210态中,则ψA.是体系角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数.B.是体系角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.C.不是体系角动量平方算符的本征函数,是角动量Z 分量算符的本征函数.D.即不是体系角动量平方算符的本征函数,也不是角动量Z 分量算符的本征函数.98.对易关系式[ , ]FGH 等于 A.[ , ] [ , ]FH G F G H +. B. [ , ] F H G C. [ , ]FG H . D. [ , ] [ , ]F H G F G H -. 99.动量为p '的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是)'ex p(21)('x p ix Pπψ=,它在动量表象中的表示是A.δ(')p p -.B.δ(')p p +.C.δ()p .D.δ(')p .100.力学量算符 x对应于本征值为x '的本征函数在坐标表象中的表示是 A.δ(')x x -. B.δ(')x x +. C.δ()x . D.δ(')x . 101.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为)(22)(22)(21x x x ψψψ-=,其中ψ1()x 、ψ2()x 是其能量本征函数,则ψ()x 在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 02/22/2.B.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 02/22/2.C.222200//⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.D.222200//-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪. 102.线性谐振子的能量本征函数ψ1()x 在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 001.B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 010. C. 1000⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. D. 0100⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 103. 线性谐振子的能量本征函数)()(10x b x a ψψψ+=在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 0//2222b a b b a a .B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++0//02222b a b b a a .C. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 0b a . D. 00a b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪.104.在( , L L z 2)的共同表象中,波函数φ=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪22101,在该态中 L z 的平均值为 A. . B. - . C. 2 . D. 0.105.算符 Q 只有分立的本征值{}Q n ,对应的本征函数是{()}u x n,则算符 (,)F x i x∂∂在 Q表象中的矩阵元的表示是 A.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰*()(,)() ∂∂.B.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰*()(,)() ∂∂.C.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰()(,)()*∂∂.D.F u x F x i xu x dx mn m n =⎰()(,)()*∂∂.106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是 A. 以本征值为对角元素的对角方阵. B. 一个上三角方阵. C.一个下三角方阵. D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.107.力学量算符xˆ在动量表象中的微分形式是 A.-i p x ∂∂. B.i p x∂∂. C.-i p x 2∂∂. D.i p x 2∂∂.108.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是A.p p 22222212μμω∂∂+ .B.p p 2222212μμω∂∂-. C.22222212pp ∂∂μωμ -. D.--p p 2222212μμω∂∂. 109.在 Q 表象中F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110,其本征值是A. ±1.B. 0.C. ±i .D. 1±i . 110.接上题, F 的归一化本征态分别为A.22112211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. B. 1111⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,.C.12111211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. D.22102201⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪,.111.幺正矩阵的定义式为A.S S +-=.B.S S +=*.C.S S =-.D.S S *=-. 112.幺正变换A.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢.113.算符 ()( )/ax ip =+μωμω212 ,则对易关系式[ , ]a a +等于 A. [ , ]a a +=0. B. [ , ]a a +=1. C. [ , ]aa +=-1. D. [ , ]a a i +=.114.非简并定态微扰理论中第n 个能级的表达式是(考虑二级近似) A.E H H E E n nn mn nmm()()()''0200++-∑. B. E H H E E n nn mn nmm()()()'''0200++-∑.C.E H H E E n nn mn mnm()()()'''0200++-∑. D.E H H E E n nn mn mnm()()()''0200++-∑.115. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的一级修正项为 A.H mn '. B.H nn '. C.-H nn '. D.H nm '.116. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的二级修正项为 A.H E E mn nm m'()()200-∑. B. ''()()H EE mnnmm200-∑. C.''()()H EE mnmnm200-∑. D.H EE mnmnm'()()200-∑.117. 非简并定态微扰理论中第n 个波函数一级修正项为A.H E E mn n mm m '()()()000-∑ψ. B. ''()()()H E E mn nm m m 000-∑ψ.C. ''()()()H E E mn mn m m 000-∑ψ.D. H E E mn mn m m '()()()000-∑ψ.118.沿x 方向加一均匀外电场ε,带电为q 且质量为μ的线性谐振子的哈密顿为A. H d dx x q x =-++ 22222212μμωε.B. H d dx x q x =-++ 2222212μμωε. C. Hd dx x q x =-+- 2222212μμωε. D. H d dx x q x =-+- 22222212μμωε. 119.非简并定态微扰理论的适用条件是A.H E E mk km'()()001-<<. B.H E E mk km'()()001+<<.C. H mk '<<1.D. E E k m ()()001-<<.120.转动惯量为I ，电偶极矩为 D 的空间转子处于均匀电场ε中,则该体系的哈密顿为A.ε ⋅+=D I L H 2ˆˆ2. B. ε ⋅+-=D IL H 2ˆˆ2. C. ε ⋅-=D I L H 2ˆˆ2. D. ε ⋅--=D IL H 2ˆˆ2. 121.非简并定态微扰理论中,波函数的一级近似公式为A.ψψψn n nm nm m m H E E =+-∑()()()()''0000.B.ψψψn n mn nm m m H E E =+-∑()()()()''0000.C.ψψψn n mn mn m m H E E =+-∑()()()()''0000.D.ψψψn n nm m n m m H E E =+-∑()()()()''0000. 122.氢原子的一级斯塔克效应中,对于n =2的能级由原来的一个能级分裂为A. 五个子能级.B. 四个子能级.C. 三个子能级.D. 两个子能级.123.一体系在微扰作用下,由初态Φk 跃迁到终态Φm 的几率为 A.22' )'ex p('1⎰tmk mkdt t i H ω .B.20 ' )'ex p('⎰t mk mkdt t i H ω.C.22')' ex p(1⎰t mk mkdt t i Hω.D.2' )'ex p(⎰tmk mkdt t i Hω.124.用变分法求量子体系的基态能量的关键是 A. 写出体系的哈密顿. B. 选取合理的尝试波函数.C. 计算体系的哈密顿的平均值.D. 体系哈密顿的平均值对变分参数求变分. 125.Stern-Gerlach 实验证实了A. 电子具有波动性.B.光具有波动性.C. 原子的能级是分立的.D. 电子具有自旋.126. S 为自旋角动量算符,则[ , ]SS yx等于 A.2i . B. i . C. 0 .D. -i S z . 127. σ为Pauli 算符,则[ , ]σσx z 等于 A.-i y σ. B. i y σ. C.2i y σ. D.-2i y σ.128.单电子的自旋角动量平方算符 S2的本征值为 A.142 . B.342 . C.322 . D.122 .129.单电子的Pauli 算符平方的本征值为 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 130.Pauli 算符的三个分量之积等于 A. 0. B. 1. C. i . D. 2i .131.电子自旋角动量的x 分量算符在 S z表象中矩阵表示为 A. S x =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. B. S i i x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. C. S x=⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. D. S x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. 132. 电子自旋角动量的y 分量算符在 Sz表象中矩阵表示为 A. S y =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. B. S i y=-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. C. S i i i y =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. D. S i i y=⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. 133. 电子自旋角动量的z 分量算符在 Sz表象中矩阵表示为 A. S z =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. B. S z=-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. C. S z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. D. S i z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. 134. , J J 12是角动量算符, J J J =+12,则[ ,] J J 212等于A. J 1.B. -J 1. C. 1 . D. 0 .135.接上题, [ ,] J J z 12等于A. i J J x y( )11+. B.i J z 1. C. J z 1. D. 0. 136.接134题, ]ˆ,ˆ[12z J J 等于A. i JJ xy( )11+. B.i J z1. C. J z1. D. 0. 137.一电子处于自旋态χχχ=+-a s b s z z 1212//()()中,则s z 的可测值分别为 A.0, . B. 0,- .C. 22,. D.22,-.138.接上题,测得s z 为22,-的几率分别是A.a b ,.B. a b 22,.C.a b 2222/,/. D. a a b b a b 222222/(),/()++. 139.接137题, s z 的平均值为A. 0.B. )(222b a - .C. )22/()(2222b a b a +- . D. .140.在s z 表象中,χ=⎛⎝ ⎫⎭⎪3212//,则在该态中s z 的可测值分别为A. ,-.B. /,2.C. /,/22-.D. ,/-2. 141.接上题,测量s z 的值为 /,/22-的几率分别为A.3212/,/.B.1/2,1/2.C.3/4,1/4.D.1/4, 3/4. 142.接140题,s z 的平均值为A. /2.B. /4.C.- /4.D.- /2. 143.下列有关全同粒子体系论述正确的是A.氢原子中的电子与金属中的电子组成的体系是全同粒子体系.B.氢原子中的电子、质子、中子组成的体系是全同粒子体系.C.光子和电子组成的体系是全同粒子体系.D.α粒子和电子组成的体系是全同粒子体系.144.全同粒子体系中,其哈密顿具有交换对称性,其体系的波函数 A.是对称的. B.是反对称的. C.具有确定的对称性. D.不具有对称性.145.分别处于p 态和d 态的两个电子,它们的总角动量的量子数的取值是A. 0,1,2,3,4.B.1,2,3,4.C. 0,1,2,3.D.1,2,3.(二) 填空题pton 效应证实了 。
第一章 量子力学基础习题1
sin β φ = sin (φ + 2π )
若上式成立, 若上式成立,则:
β =n
β 2π = n 2π
n = 0,±1,±2,
n 2 2 E = 2 ma 2
β = n2
inφ
Φ (φ ) = ce
=
1 inφ e 2π
习题
1.26正方体箱中的粒子处于状态和时,其几率密度最大处的 正方体箱中的粒子处于状态和时, 正方体箱中的粒子处于状态和时 坐标是什么?若不考虑边界,各有几个节面? 坐标是什么?若不考虑边界,各有几个节面?表示这些节面 的方程是什么?这些节面将整个正方体箱分成几个部分? 的方程是什么?这些节面将整个正方体箱分成几个部分?你 能不能不用计算而直接得出这些答案? 能不能不用计算而直接得出这些答案?
基本知识
5.态叠加原理
为某一微观体系的可能状态, 若Ψ1, Ψ2, Ψi, Ψn为某一微观体系的可能状态,由 它们线性组合也是该体系的可能状态. 它们线性组合也是该体系的可能状态.
Ψ = c1ψ 1 + c2ψ 2 + … cnψ n = ∑ ciψ i
i =1
n
式中Ci是任意常数,数值的大小反应了Ψi对Ψ的贡献 的大小.
A
x
z
θ
r
o
z
y
y
体系的能量 算符
x
P
2 1 2 1 = H [ 2 (r )+ 2 (sin θ ) 2m r r r r sin θ θ θ 1 2 + 2 2 ] + V (r ) 2 r sin θ φ
习题
因为是自由粒子, 因为是自由粒子,V(r)=0.又因为 .又因为r=a 因此体系的能量算符变为
第15章量子力学基础例题
i Et
0 e
i ( Et P x )
与前面得到的自由粒子的波函数相同 E是粒子的能量 P是粒子的动量 通过该例可以体会量子力学解题的基本思路
定态薛定谔方程 (r , t ) (r ) f (t ) 因势场只是坐标的函数，所以有 将上式代入薛定谔方程，得
i d f (t ) 1 2 2 [ U (r )] (r ) f (t ) dt (r ) 2
由于时间和坐标是独立变量，上式可分成两个方程。
d f (t ) 其解为 f (t ) C eiE t / Ef (t ) 方程1: i dt 2 2 方程2: [ U (r )] (r ) E (r ) 定态薛定谔方程 2 iEt / h 特解为 (r , t ) (r )e 概率密度分布为 (r , t ) (r , t ) (r , t ) (r ) (r )
U0
在P区和S区薛定谔方程的形式为
•特定的E值称为能量本征值
•各E值所对应的 E (r ) 叫能量本征函数
•故该方程又称为：能量本征值方程 •定态: 能量取确定值的状态
•定态波函数: E (r ,t) E (r )T (t) C E
i Et (r ) e
一维定态薛定谔方程：
2 d2 U ( x) ( x) E ( x) 2 2 m dx
Bsinka 0
B sin ka 0
A已经为零了 B不能再为零了 即 要求
B0
只能 sinka 等于零
ka nπ
(k 0)
nπ k (n 1,2,3,) a 2 2 2＝2mEn n π k 2 2 a
量子力学习题课教材
理学院
黄玉
第一章 波粒二象性
量子物理学基础
（1） 定态假设：原子处于一系列不连续稳定态。电子只 能在一定轨道上作圆周运动，且不辐射 能量。 （2） 角动量量子化假设：电子绕核作圆周运动的轨道只 能取决于
PL n
n 1,2,3
（3）跃迁假设：原子从一稳定态过度到另一稳定态吸收 或发出单色电磁辐射。即由光子假说和 能量守恒定律有 En Em h
2 *
量 子 力 学 小 结
波函数应满足单值、有限、连续的标准条件
波函数归一化条件 薛定谔方程：
2
dV 1
2 d 2 ( x ) V ( x ) ( x ) E ( x ) 2 2m dx
一维无限深方势阱
薛定谔方程的应用：
氢原子四个量子数的物理意义
理学院 黄玉
第一章 波粒二象性 填空题：
第一章 波粒二象性
量子物理学基础
1 用单色光照射某一金属，如果入射光的波长从 λ1=400nm减到λ2=360nm，遏制电压改变多少？数值加 大还是减小？ 2 已知X射线光子的能量是0.6Mev，若在康普顿散射中 散射光子的波长为入射光子的1.2倍，试求反冲电子的 动能。 3 已知电子在垂直于均匀磁场的平面内运动，设电子运 动满足玻尔量子化条件。求电子轨道的半径rn。 4 假设电子绕氢核旋转的玻尔轨道的圆周长刚好为电子 物质波长的整数倍。试从此点出发解出玻尔的动量矩 量子化条件。 5 已知第一玻尔轨道半径a，试计算当氢原子中电子沿 第n玻尔轨道运动时其相应的德布罗意 波长是多少？
2 2 2 5
l /3
l /3
理学院
黄玉
第一章 波粒二象性 光的量子性解题
量子物理学基础
第一章 量子力学基础习题课
0.867 10 10 m 0.0867nm
3、e 和 cos m 是否为算符 i 的本征函数？若是，求出 d 其本征值。
im
d
解：
d im i e i( imeim ) meim d
ห้องสมุดไป่ตู้
该函数是算符的本征函数，其本征值为－m
d i cos m i( m sin m ) mi sin m d
12、在量子力学中，计算力学量的主要途径是求这力学量的平均值， 当体系处于它的本证态时这个平均值就是 值。 13、电子在一维势阱中运动n=3，节点数为 。 14、普朗克常数是自然界的一个基本常数，它的数值： 。 15、一个在一维势箱中运动的粒子，其能量随着量子数n的增 大： ；其能级差 En+1-En随着势箱长度的增大： 。（填增 大或减小） 12h 2 16、立方势箱中的粒子，具有E= 2 的状态的量子数。 nx ny nz 8ma 是 ；
第一章 量子力学基础
主要概念 一、微观粒子的特性 1、波粒二象性 2、几率波 二、量子力学基本假定 1、态函数 2、力学量与算符 3、薛定谔方程 4、态叠加原理 三、一维无限深势阱 1、能量量子化 2、零点能 3、态函数存在节点且正交归一
主要公式
一（1）
E h
P=h/
2
一（2） dW
解：
(1)、
2 1 1 2 0.51l x 1 2 0.51l (2)、 P1 [ x sin x ]0.49 l [ sin x ]0.49 l 2 l 4 l l 2 l 2 2 2 0.51l 2 ( sin x ) dx ( sin x ) dx 0.49 l 0.49 l l l l l 1 0.02 [sin1.02 sin 0.98 ] 0.0399 2
第一章 量子力学基础习题20111019
E
0 a 0
a
Hdx
(4 E1 9 E 2 ) 1 (4 E1 9 E 2 ) 2 49 13 dx
1 h2 4h 2 (4 9 ) 2 2 13 8m a 8m a 5h 2 13m a2
习题
1.49-51 处于状态的一维箱中的粒子的动量和动量平方有无 确定值，若有，求确定值；若没有，求平均值。
基本知识
5.态叠加原理
若Ψ1、 Ψ2、••• Ψi、••• Ψn为某一微观体系的可能状态，由 它们线性组合也是该体系的可能状态。
c1 1 c2 2 cn n ci i
i 1
n
式中Ci是任意常数，数值的大小反应了Ψi对Ψ的贡献 的大小。
ˆ A i ai i a
基本知识
4.Schrodinger方程
在量子力学中，决定微观体系运动状态的是定态Schrodinger 方程:
ˆ H (r) E (r )
2 2 [ V (r )] (r ) E (r ) 2m
实质是能量算符的本征方程。 解法：一维箱 精确求解 三维箱 分离变量法 平面刚性转子
Ci ai
2
C
2 i
ci ai
i 1
n
2
基本知识
三.简单应用
1.一维箱中粒子
n 2 x sin x x a a
h2 2 E nx 8m a2
2.三维箱中粒子 三个方向一维箱的叠加。
n y nx 8 n ( xyz) sin x sin y sin z z abc a b c
n 解： ＝ 83 sin n x x sin yx y sin nz z a a a a
量子力学第一、二章习题课
第一部分 状态与波函数
1、量子力学中用波函数描写微观体系的状态 、 2、 态叠加原理：设 ψ 1 ,ψ 2 ,ψ 3 ,⋯ψ n ⋯是体系的可能状态，那么， 、 态叠加原理： 是体系的可能状态，那么， 这些态的线性叠加 状态。 状态。
ψ = ∑ cnψ n
n
也是体系的一个可能
3、波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出： 、波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出：
j= iℏ (ψ∇ψ ∗ −ψ ∗∇ψ ) 2µ
ρ = ψ ∗ψ 与几率密度
∂ρ +∇⋅ j = 0 满足连续性方程 ∂t
第二部分 一维运动
1、一维无限深势阱 、 本征值 本征函数
0 V ( x) = ∞ 0<x<a x ≤ 0或者x ≥ a
n 2π 2 ℏ 2 En = , n = 1,2,3, ⋯ 2 2 µa
dm p = dp mc 2
dm p υg = c = =υ dp m
2
的物体， 三、如果我们需要观测一个大小为 2.5 Α 的物体，可用的光子的 最小能量是多少？若把光子改为电子呢？（ ？（要 最小能量是多少？若把光子改为电子呢？（要） 解：为了发生散射，光波的波长必须与所观测物体的大小同 为了发生散射， 数量级或者更小。 数量级或者更小。故在本问题中能够采用的光的最大波长 ，这样相应的光子的最小能量为： 这样相应的光子的最小能量为：
ℏ2 2 ∂Ψ ih =− ∇ Ψ + V (r , t )Ψ ∂t 2µ
当势场
V (r ) 不显含时间
t
时，其解是定态解
Ψ (r , t ) = ψ (r )e −iEt / ℏ
ψ (r ) 满足定态薛定谔方程
结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案
量子力学基础习题一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。
1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。
1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。
1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。
1105、一组正交、归一的波函数ψ1， ψ2， ψ3，…。
正交性的数学表达式为 ，归一性的表达式为 。
1106、│ψ (x 1， y 1， z 1， x 2， y 2， z 2)│2代表______________________。
1107、物理量xp y - yp x 的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。
1108、质量为 m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动，(1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ；(2)体系的本征值谱为____________________， 最低能量为____________ ；(3)体系处于基态时， 粒子出现在0 ─ l /2间的概率为_______________ ；(4)势箱越长， 其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ；(5)若该粒子在长l 、宽为2l 的长方形势箱中运动， 则其本征函数集为____________，本征值谱为 _______________________________。
1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。
波函数ψ211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态ψ211时，概率密度最大处坐标是_______________________；若体系的能量为2247ma h ，其简并度是_______________。
第一章 量子力学基础课后习题
第一章量子力学基础第八组：070601337刘婷婷 070601339黄丽英 070601340李丽芳070601341林丽云 070601350陈辉辉 070601351唐枋北【1．1】经典物理学在研究黑体辐射、光电效应与氢光谱时遇到了哪些困难？什么叫旧量子论？如何评价旧量子论？[解]：困难：（1）黑体辐射问题。
黑体就是理论上不反射任何电磁波的物体，黑体辐射是指这类物体的电磁波辐射，由于这类物体不反射,所以由它释放出来的电磁波都来自辐射，实验中在不同的能量区间对黑体辐射规律给出了不同的函数，然而这两个函数无法兼容，是完全不同的，而事实上黑体辐射本该遵循某个唯一的规律。
况且经典理论还无法说明这两个函数中的任意一个.这个问题研究的是辐射与周围物体处于平衡状态时的能量按波长（或频率）的分布。
实验得出的结论是：热平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状及组成的物质无关。
这一结果用经典理论无法解释。
（2）光电效应。
光照射到金属上时，有电子从金属中逸出。
实验得出的光电效应的有关规律同样用经典理论无法解释。
（3）按照经典电动力学，由于核外电子作加速运动，原子必然坍缩。
经典物理学不能解释原子的稳定性问题。
原子光谱是线状结构的，而按照经典电动力学，作加速运动的电子所辐射的电磁波的频率是连续分布的，这与原子光谱的线状分布不符。
定义：从1900年普朗克提出振子能量量子化开始，人们力图以某些物理量必须量子化的假定来修正经典力学，用于解释某些宏观现象，并且给出其微观机制。
这种在量子力学建立以前形成的量子理论称为旧量子论。
评价：旧量子论冲破了经典物理学能量连续变化的框框。
对于黑体辐射、光电效应与氢光谱等现象的解释取得了成功。
但是，旧量子论是一个以连续为特征的经典力学加上以分立为特征的量子化条件的自相矛盾的体系，本质上还是属于经典力学的范畴。
由于把微观粒子当作经典粒子，并把经典力学的运动规律应用于微观粒子，因而必然遭到严重的困难。
结构化学练习之量子力学基础习题附参考问题详解
量子力学基础习题一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。
1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。
1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。
1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。
1105、一组正交、归一的波函数ψ1， ψ2， ψ3，…。
正交性的数学表达式为 ，归一性的表达式为 。
1106、│ψ (x 1， y 1， z 1， x 2， y 2， z 2)│2代表______________________。
1107、物理量xp y - yp x 的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。
1108、质量为 m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动，(1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ；(2)体系的本征值谱为____________________， 最低能量为____________ ；(3)体系处于基态时， 粒子出现在0 ─ l /2间的概率为_______________ ；(4)势箱越长， 其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ；(5)若该粒子在长l 、宽为2l 的长方形势箱中运动， 则其本征函数集为____________，本征值谱为 _______________________________。
1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。
波函数ψ211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态ψ211时，概率密度最大处坐标是_______________________；若体系的能量为2247ma h ，其简并度是_______________。
大学物理-量子力学基础习题思考题及答案word精品文档5页
习题22-1．计算下列客体具有MeV 10动能时的物质波波长，(1)电子；（2）质子。
解：(1) 电子高速运动，设电子的总能量可写为：20K E E m c =+ 用相对论公式，222240E c p m c =+ 可得（2）对于质子，利用德布罗意波的计算公式即可得出：22-2．计算在彩色电 视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为kV 0.25，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。
解：（1）用非相对论公式：m meU h mE h 123193134108.71025106.1101.921063.622p h ----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====λ（2）用相对论公式：22-3．一中子束通过晶体发生衍射。
已知晶面间距nm 1032.72-⨯=d ，中子的动能eV 20.4k =E ，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角.解：先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长：再利用晶体衍射的公式，可得出：2sin d k ϕλ= 0,1,2k =…22-4．以速度m/s 1063⨯=v 运动的电子射入场强为5V/cm =E 的匀强电场中加速，为使电子波长 A 1=λ，电子在此场中应该飞行多长的距离？ 解：3410h 110p m λ--====⨯ 可得：U=150.9V ，所以 U=Ed ，得出d=30.2cm 。
22-5．设电子的位置不确定度为A 1.0，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为keV 1，计算电子能量的不确定度。
解：由测不准关系： 3424101.0510 5.2510220.110h p x ---⨯∆===⨯∆⨯⨯ 由波长关系式：Ec h =λ 可推出： E E c h ∆=∆λ 22-6．氢原子的吸收谱线 A 5.4340=λ的谱线宽度为A 102-，计算原子处在被激发态上的平均寿命。
解：能量hcE h νλ==，由于激发能级有一定的宽度ΔE ，造成谱线也有一定宽度Δλ，两者之间的关系为：2hcE λλ∆=∆由测不准关系，/2,E t ∆∆≥平均寿命τ=Δt ，则22-7．若红宝石发出中心波长m 103.67-⨯=λ的短脉冲信号，时距为)s 10(ns 19-，计算该信号的波长宽度λ∆。
量子力学基础知识习题解答可修改全文
01.量子力学基础知识本章主要知识点一、微观粒子的运动特征 1. 波粒二象性：,hE h p νλ==2. 测不准原理：,,,x y z x p h y p h z p h t E h ∆∆≥∆∆≥∆∆≥∆∆≥3. 能量量子化； 二、量子力学基本假设1. 假设1：对于一个量子力学体系，可以用坐标和时间变量的函数(,,,)x y z t ψ来描述，它包括体系的全部信息。
这一函数称为波函数或态函数，简称态。
不含时间的波函数(,,)x y z ψ称为定态波函数。
在本课程中主要讨论定态波函数。
由于空间某点波的强度与波函数绝对值的平方成正比，即在该点附近找到粒子的几率正比于*ψψ，所以通常将用波函数ψ描述的波称为几率波。
在原子、分子等体系中，将ψ称为原子轨道或分子轨道；将*ψψ称为几率密度，它就是通常所说的电子云；*d ψψτ为空间某点附近体积元d τ中电子出现的几率。
对于波函数有不同的解释，现在被普遍接受的是玻恩（M. Born ）统计解释，这一解释的基本思想是：粒子的波动性（即德布罗意波）表现在粒子在空间出现几率的分布的波动，这种波也称作“几率波”。
波函数ψ可以是复函数，ψψψ⋅=*2合格（品优）波函数：单值、连续、平方可积。
2. 假设2：对一个微观体系的每一个可观测的物理量，都对应着一个线性自厄算符。
算符：作用对象是函数，作用后函数变为新的函数。
线性算符：作用到线性组合的函数等于对每个函数作用后的线性组合的算符。
11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 自厄算符：满足**2121ˆˆ()d ()d A A ψψτψψτ=∫∫的算符。
自厄算符的性质：（1）本证值都是实数；（2）不同本证值的本证函数相互正交。
3. 假设3：若某一物理量A 的算符ˆA作用于某一状态函数ψ，等于某一常数a 乘以ψ，即：ˆAa ψψ=，那么对ψ所描述的这个微观体系的状态，物理量A 具有确定的数字a 。
量子力学基础习题课send
（3） ( x y )( 1 2 ) x( 1 2 )+y ( 1 2 )
x 1 x 2 y 1 y 2 ( x y ) 1 ( x y ) 2
* * * ( x y ) d ( x y ) d [( x y ) ] 2 2 1 d 1 2 * 1 为实数 坐标算符
2 n x n ( x) sin( ), a a
对比可知
n2 h2 En 8ma 2
n 1, 2, 3,
( x) 2 1 ( x) 3 2 ( x)
根据态叠加原理知，线性组合态也是粒子的可能状态。 要弄清楚能量是否有确定值，就是要求解函数 ( x) 是否 为哈密顿算符的本征函数，即
dx ==== 0
为奇函数
被积函数
因此
x p
x x
2
1 4
2
p
2
p
满足不确定度关系
1 xp 4
2
判断下列算符是否是线性厄米算符：
d (1) dx
(2)
2
(3) x y
(4)e
x2
解： 线性厄米算符要满足如下两个表达式：
线性算符 厄米算符
ˆ ) A ˆ A ˆ A( 1 2 1 2
结构化学习题课
量子力学基础
2015. 4. 16
REVIEW
------- 能量量子化 ------- 光电效应 “紫外灾难” ------- 波粒二象性 ------- 不确定度关系 量子力学基本假设 波函数 算符 本征方程 态叠加 Pauli原理 箱中粒子的Schrö dinger方程
第一章 量子力学基础 例题与习题
第一章量子力学基础例题与习题一、练习题1．立方势箱中的粒子，具有的状态量子数，是A． 211 B． 231 C． 222 D． 213。
解：(C)。
2．处于状态的一维势箱中的粒子，出现在处的概率是多少？A．B．C．D．E．题目提法不妥，以上四个答案都不对。
解：(E)。
3．计算能量为100eV光子、自由电子、质量为300g小球的波长。
( )解：光子波长自由电子300g小球。
4．根据测不准关系说明束缚在0到a范围内活动的一维势箱中粒子的零点能效应。
解：。
5．链状共轭分子在波长方向460nm处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模型估计该分子的长度。
解：6．设体系处于状态中，角动量和有无定值。
其值是多少？若无，求其平均值。
解：角动量角动量平均值7．函数是不是一维势箱中粒子的一种可能的状态？如果是，其能量有没有确定值？如有，其值是多少？如果没有确定值，其平均值是多少？解：可能存在状态，能量没有确定值，8．求下列体系基态的多重性。
(2s+1) (1)二维方势箱中的9个电子。
(2)二维势箱中的10个电子。
(3)三维方势箱中的11个电子。
解：(1)2，(2)3，(3)4。
9．在0－a间运动的一维势箱中粒子，证明它在区域内出现的几率。
当，几率P怎样变？解：10．在长度l的一维势箱中运动的粒子，处于量子数n的状态。
求 (1)在箱的左端1/4区域内找到粒子的几率？(2)n为何值，上述的几率最大？(3)，此几率的极限是多少？(4)(3)中说明什么？解：11．一含K个碳原子的直链共轭烯烃，相邻两碳原子的距离为a，其中大π键上的电子可视为位于两端碳原子间的一维箱中运动。
取l＝(K－1)a，若处于基组态中一个π电子跃迁到高能级，求伴随这一跃迁所吸收到光子的最长波长是多少？解：12．写出一个被束缚在半径为a的圆周上运动的质量为m的粒子的薛定锷方程，求其解。
解：13．在什么条件下?解：14．已知一维运动的薛定锷方程为：。
和是属于同一本征值得本征函数，证明常数。
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aa
aa
子的一种可能状态？若是，其能量有无确定值？若有，其值为多
少？若无，求其平均值。
解：首先写出一维箱中粒子波函数及能级的表达式，分别为：
n (x)
2 sin(n x),
a
a
En
n2h2 8ma2
n 1, 2, 3,
对比可知 (x) 21(x) 3 2 (x)
根据态叠加原理知，线性组合态也是粒子的可能状态。
*(x)Hˆ (x)dx
| cn |2En
E
n
*(x) (x)dx
| cn |2
n
4E1 9E2 49
5h2 13ma
2
5h2 即能量的平均值为 13ma2 。
设粒子处在 0 ~ a 范围内的一维无限深势阱中运动，其状态可用波
函数 (x) 4 sin( x)cos2( x) 表示，试估算：
解：（1）粒子处于第n激发态的概率为 Pn | cn1 |2 （0为基态）
因此 P0 | c1 |2 0.36
P2 | c3 |2 0
（2）粒子出现在 0 x l / 3 范围内的概率计算如下
( ) ( ) P
l
/
3
*
(
x)
(
x)dx
x
2
)*
2dx
=
2 (e x2 1)*dx
故e x2 为线性厄米算符
总结：对坐标算符进行实数运算后的算符仍为线性算符， 如sin x, x 等，但求导运算可能不为实数运算。
( ) xeax2 是算符
d2 dx2
4a2x2
的本征函数，求其本征值。
解：根据量子力学基本假设III，若算符 Aˆ C ，
一个质量为m的粒子被束缚在一个长度为 l 的一维势箱中运动，
若该粒子的某一运动状态可用下列波函数表示：
(x) 0.61(x) 0.8 2 (x) 已归一化
（1）指出该粒子处于基态和第二激发态的概率； （2）计算该粒子出现在 0 x l / 3 范围内的概率； （3）对此粒子的能量作一次测量，估算可能的实验结果。
Pi | ci |2 / | ci |2
i
因为 (x) 已归一化，即 | ci |2 1 ，所以相应的概率为
i
P1 | c1 |2 1 / 2, P3 | c3 |2 1 / 2
（2）能量平均值
E | cn |2En P1E1 P3E3
n
5h2 / 8ma2
v
2h( 0 )
me
2 6.626 1034 (1015 5.464 1014 )
9.11031
m/s
8.127 105 m / s
对一个运动速度 v c (光速)的自由粒子，有人进行了如下推导：
①
② h ③ h ④ E ⑤ 1
mv p mv
结构化学习题课
量子力学基础
2015. 4. 16
REVIEW
“紫外灾难”------- 能量量子化 ------- 光电效应 ------- 波粒二象性 ------- 不确定度关系
量子力学基本假设 波函数 算符 本征方程 态叠加 Pauli原理
箱中粒子的Schrödinger方程
金属钾的临阈频率为 5.4641014 s1，如用它作为光电池的阴极，当
aa
a
（1）该粒子能量的可能测量值及相应的概率；
（2）能量平均值。
解：（1）根据题意将波函数 (x)展开成一维箱中粒子能量本
(x)
4a征s态in(anx(x))c的os线2(性ax组)合，具4a 体sin如(下ax：)1
cos(
2
2
a
x
)
2 sin( x) 2 sin( x)cos(2 x)
5.4 1023 kg m / s
由图知 arctan(px / py ) 0
可以看出，电子经光栅衍射后落到同一点上，
因此观察不到电子衍射现象
一个粒子的某状态波函数为
(
x)
2
1/ 4
e
x2
，
为常数，
x , 证明 xpx 满足不确定度关系。
( x2 1 )
4
p
*
(
x)(i
d ) (x)dx i
2 e x2 d (e x2 )dx
dx
dx
i
2
e
x2
(2
x)e
x2
dx
被积函数
====
0
为奇函数
因此 x x2 x 2 1
4 p p2 p 2
以 2 为例进行证明，2 及 2 同理可得
x2
y2 z2
d2 dx2
( 1
2)
d 21
dx2
d 2 2
dx2
* 1
d2 dx2
2dx
* 1
d dx
(
d 2
dx
)dx
1*d
(
d 2
dx
)
应用波函数单
* 1
d 2
dx
d 2
x
*
( x) x
(
x)dx
2
xe2 x2
dx
被积函数
====
0
为奇函数
p2
*
(
x)(
2
d2 dx2
)
( x)dx
2
2
e x2
d2 dx2
(e x2 )dx
2 2 e x2 d (2 xe x2 )dx
2
本征值 C 2 B
已知封闭的圆环中粒子的能级为
En
n2h2
8 2mR2
n 0, 1, 2, 3,
式中n为量子数，R是圆环的半径。若将此能级公式近似地用于苯
分子中的
6 6
离域
键，取R=140pm，试求其电子从基态跃迁到
第一激发态所吸收的光的波长。
解：由题中能级公式知，除n=0之外，其他能级简并度均为2。
dx
2 2 e x2 (2 e x2 4 2 x2e x2 )dx
( ) 2
2
2
e
2
x2
dx
4
2
x
2
e
2
x2
dx
2 2 (2 4 2 x2 )
2
2
2
证明： 附：题中需用到高斯积分 ex2 dx /
由标准差的定义知：x x2 x 2 , px px2 px 2
另外物理量的平均值为
A *Aˆ d
于是
x2
*
( x) x 2
( x)dx
(
2
)
1 4
e
x2
e x2
d2 dx2
(e x2 ) Bx2e x2
d (2 xe x2 ) Bx2e x2
dx
2 e x2 4 2 x2e x2 Bx2e x2
2 e x2 (4 2 B)x2e x2
两式对比可得 4 2 B 0 B
xp 1
满足不确定度关系
4
2
判断下列算符是否是线性厄米算符：
(1) d dx
(2)2
(3)x y
(4)e x2
解： 线性厄米算符要满足如下两个表达式：
线性算符 Aˆ (1 2 ) Aˆ 1 Aˆ 2
厄米算符 1*Aˆ 2d (Aˆ 1)* 2d
d
* 1
dx
dx dx
d
* 1
dx
d
2
值连续及平方
可积的条件
d
* 1
dx
2
2d
(
d
* 1
dx
)
2
d dx
(
d
* 1
dx
)dx
2
(
d2 dx2
1
)*
dx
故2为线性厄米算符
（3） (x y)(1 2 ) x(1 2 )+y(1 2 ) x1 x 2 y1 y 2 (x y)1 (x y) 2
用波长为300nm的紫外光照射该电池时，发射的光电子的最大速度
是多少？
解：光子的频率
c
3108 m / s 300 109 m
1.0 1015 s1
根据光电效应的公式
h W Ek h 0 mev2 / 2
其中 0 5.464 1014 s1
因此电子的最大速度为
射(用10000V电压加速电子) 。
x
解： 电子位置的不确定度约为光栅的周期，
即： x 106 m
e