不定积分的解题方法与技巧

一．直接积分法（公式法）

利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分

二．第一类换元法 1.当遇到形如

⎰

++c

bx ax dx

2

的不定积分，可分为以下三种情况： （1）当0>∆时，可将原式化为()()

21x x x x --，

其中，21,x x 为c bx ax

++2

的两个解，则原不定积分为：

()()()()()⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡------=--⎰⎰⎰

221112211

x x x x d x x x x d x x x x x x dx ()C x x x x x x +---=

2

1

12ln 1

（2）当0=∆时，可利用完全平方公式，化成

()

()

⎰--2

k x

k x d 。然后根据基本积分公式即可

解决。

（3）当0<∆时，可先给分母配方，多利用

C x x dx

+=+⎰arctan 12解决。

2.当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇次项去凑微分。当被积函数为三角函数的偶次幂

时，常用半角公式降幂；若为奇次，则拆一项去凑微分，剩余的偶次用半角公式降幂。

三．第二类换元法 1.三角代换

当被积函数含有2

2x a -时，令x=asint 或x=acost ，⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-∈2,2ππt 。当被积函数含有

22x a +时，令x=tant ，⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-∈2,2ππt 。当被积函数含有2

2a x -时，令x=±

asect ，⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛∈2,0πt

2.倒代换

当分母中因子次数较高时，可考虑倒代换。

三．分部积分法

口诀：反对幂指三，谁后谁先微。意思是：反三角函数，对数函数，幂函数，指数函数，三角函数，谁在后面谁先被微分。

分部积分法一般用于两个函数相乘且两个函数属于口诀中五种函数中的两个。

四．有理函数的积分 1.形如

()

k

a -x 1

的有理函数，它所对应的部分分式是

()()()

k

k

221a -x A a -x A a -x A +⋯⋯++ 2.形如

()

k

q

px ++2

x

1

的有理函数，它所对应的的部分分式是

(

)(

)

()

k

2

k

k 2

22

2211x

x x q

px C x B q

px C x B q px C x B ++++

⋯⋯+++++

+++

3.非以上二者形式的有理函数，采取固定分项步骤（其实，就是上述两种方法的综合）： 部分分式项数为原有理函数的分母整体的次数和。当部分分式分母次数为1时（指的是x 的次数，并非整体次数），拆开时，分子所设x 的次数相应减一。

例如：当部分分式分母x 次数为1时，分子所设应为A ；当部分分式分母x 次数为2时，分子所设应为Ax+B 。

上述三种方法解题时可用待定系数法或者特殊值法确定各未知量。

3.不能拆的时候，可采用凑微分的方法，将分子凑出分母的微分，再拆开求解。（这样的题用到arctan 和ln 很多）。 4．类似

二次多项式

常数

形式，分母配方，使用arctan 。

5.带根号的，想办法无理化有理，要么三角代换，要么根号整体分式代换。

6.对于分母是多项式平方的有理分式，依然要配方，再凑微分。然后一步三角换元，所得各个三角量利用三角形，找出表达式。

五．凑平方差法 例题：

dx x

⎰

+sin 11

()C

x x x d x x dx x

x

xdx dx x

dx +-=+

=-=

==⎰⎰

⎰⎰

⎰cos 1

tan cos cos 1

tan cos sin sec cos sinx

-1x sin -1sinx

-1222

2

2