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第二十一章 一元二次方程

21.1 一元二次方程

在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax 2

+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：ax 2

+bx+c=0时，应满足（a≠0）

21.2 降次——解一元二次方程

1．一元二次方程的解法

(1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)，b )a x (2=-(b ≥0)类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为a x 2=或

b )a x (2=-的形式，也可以用此法解． (2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用

此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根．

(3)配方法：任何一个形如bx x 2

+的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一

个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方程．如解07x 6x 2

=++时，可把方

程化为7x 6x 2-=+，

2

22

26726x 6x ⎪⎭⎫

⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++，即2)3x (2=+，从而得解． 注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1．

(2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点．

(3)公式法：一元二次方程0c bx ax 2

=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．在0

ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac

4b b x 2-±-=

．用公式法解一元二次方程的一般步骤：

①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2

=++(a ≠0)的形式；

②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)；

③计算0ac 4b 2

<-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)； ④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根．

说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．

2．一元二次方程根的判别式

一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实

数根．而根的情况，由ac 4b 2-的值来确定．因此ac 4b 2-=∆叫做一元二次方程0c bx ax 2

=++的根的判别式．

△>0⇔方程有两个不相等的实数根． △＝0⇔方程有两个相等的实数根． △<0⇔方程没有实数根．

判别式的应用

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参数系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题． 3．韦达定理及其应用

定理：如果方程0c bx ax 2

=++(a ≠0)的两个根是21x x ，，那么

a c

x x a b x x 2121=⋅-=+，． 当a ＝1时，c x x b x x 2121=⋅-=+，．

应用：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程； (4)已知两数和与积求两数． 4．一元二次方程的应用 (1)面积问题； (2)数字问题；

(3)平均增长率问题． 步骤：

①分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)； ②设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； ③找出相等关系，并用它列出方程； ④解方程求出题中未知数的值；

⑤检验所求的答数是否符合题意，并做答． 这里关键性的步骤是②和③．

注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因一元二次方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义．

第二十二章 二次函数

22.1二次函数及其图像

二次函数概念

一般地，把形如y=ax ²+bx+c （其中a 、b 、c 是常数，a ≠0，b ，c 可以为0）的函数叫做二次函数，其中a 称为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。x 为自变量，y 为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。二次函数图

像是轴对称图形。对称轴为直线，顶点坐标

，交点式为（仅限

于与x 轴有交点和的抛物线），与x 轴的交点坐标是

和

。

注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”

的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。

二次函数公式大全

二次函数

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax²;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：y=a(x-h)²;+k [抛物线的顶点P（h，k）]

交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2a k=(4ac-b²;)/4a x1,x2=(-b±√b²;-4ac)/2a

III.二次函数的图象

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x??的图象，

可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为

P [ -b/2a ，(4ac-b²;)/4a ]。

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b²-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²;+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

即ax²;+bx+c=0

此时，函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。