复数概念及公式总结

数系的扩充和复数概念和公式总结

1.虚数单位i:

它的平方等于-1，即21

i=-

2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i

3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1

4.复数的定义：形如(,)

+∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数

a bi a

b R

的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即(,)

=+∈

z a bi a b R

5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)

+∈，当且

a bi a

b R

仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.

5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.

6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都

是实数，就可以比较大小 当两个复数不全是实数时不能比较大小

7. 复平面、实轴、虚轴：

点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 （1）实轴上的点都表示实数

（2）虚轴上的点都表示纯虚数

（3）原点对应的有序实数对为(0，0)

设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，

8．复数z 1与z 2的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .

9.复数z 1与z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .

10.复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . 11.复数z 1与z 2的除法运算律：z 1÷z 2 =(a +bi )÷(c +di )=i d

c a

d bc d c bd ac 2222+-+++（分母实数化） 12.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数

通常记复数z 的共轭复数为z 。例如z =3＋5i 与z =3－5i 互为共轭复数

13. 共轭复数的性质

（1）实数的共轭复数仍然是它本身

（2）2

2Z Z Z Z ==⋅ （3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称

14.复数的两种几何意义： 15几个常用结论

（1）()i i 212=+，（2）()i i 212-=- （3）i i -=1， （4）

i i i =-+11 16.复数的模： （5） i i

i -=+-11 复数bi a Z +=的模22b a Z += （6）()()22b a bi a bi a +=-+ 点),(b a Z

向量OZ

一一对应 一一对应 一一对应 复数()R b a bi a Z ∈

+=,