岩土类材料弹塑性力学模型及本构方程

岩土类材料的弹塑性力学模型及本构方程
摘要：本文主要结合岩土类材料的特性，开展研究其在受力变形过程中的弹性及塑性变形的特点，描述简化的力学模型特征及对应的适用条件，同时在分析研究其弹塑性力学模型的基础上，探究了关于岩土类介质材料的各种本构模型，如M-C、D-P、Cam、D-C、L-D及节理材料模型等，分析对应使用条件，特点及公式，从而推广到不同的材料本构模型的研究，为弹塑性理论更好的延伸发展做一定的参考性。

关键词：岩土类材料，弹塑性力学模型，本构方程
不同的固体材料，力学性质各不相同。

即便是同一种固体材料，在不同的物理环境和受力状态中，所测得的反映其力学性质的应力应变曲线也各不相同。

尽管材料力学性质复杂多变，但仍是有规律可循的，也就是说可将各种反映材料力学性质的应力应变曲线，进行分析归类并加以总结，从而提出相应的变形体力学模型。

第一章岩土类材料
地质工程或采掘工程中的岩土、煤炭、土壤，结构工程中的混凝土、石料，以及工业陶瓷等，将这些材料统称为岩土材料。

岩土塑性力学与传统塑性力学的区别在于岩土类材料和金属材料具有不同的力学特性。

岩土类材料是颗粒组成的多相体，而金属材料是人工形成的晶体材料。

正是由于不同的材料特性决定了岩土类材料和金属材料的不同性质。

归纳起来，岩土材料有3点基本特性：1.摩擦特性。

2.多相特性。

3.双强度特性。

另外岩土还有其特殊的力学性质：1.岩土的压硬性，2.岩土材料的等压屈服特性与剪胀性，3.岩土材料的硬化与软化特性。

4.土体的塑性变形依赖于应力路径。

对于岩土类等固体材料往往在受力变形的过程中，产生的弹性及塑性变形具备相应的特点，物体本身的结构以及所加外力的荷载、环境和温度等因素作用，常使得固体物体在变形过程中具备如下的特点。

固体材料弹性变形具有以下特点：(1)弹性变形是可逆的。

物体在变形过程中，外力所做的功以能量（应变能)的形式贮存在物体内，当卸载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得以完全恢复； (2)无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力状态，在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系；(3)对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。

因此，应力与应变是一一对应的关系。

固体材料的塑性变形具有以下特点： (l)塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆。

塑性变形的产生过程，必定要消耗能量(称耗散能或形变功)； (2)在塑性变形阶段，应力和应变关系是非线性的。

因此，不能应用叠加原理。

又因为加载与卸载的规律不同，应力与应变也不再存在一一对应的关系，也即应力与相应的应变不能唯一地确定，而应当考虑到加载的路径(即加载历史)； (3)当受力固体产生塑性变形时，将同时存在有产生弹性变形的弹性区域和产生塑性变形的塑性区域。

并且随着载荷的变化，两区域的分界面也会产生变化。

第二章 弹塑性力学中常用的简化力学模型
对于不同的材料，不同的应用领域，可以采用不同的变形体模型。

在确定力学模型时，要特别注意使所选取的力学模型必须符合材料的实际情况，这是非常重要的，因为只有这样才能使计算结果反映结构或构件中的真实应力及应力状态。

另一方面要注意所选取的力学模型的数学表达式应足够简单，以便在求解具体问题时，不出现过大的数学上的困难。

岩上材料的力学特性不外乎由室内试验、现场试验取得。

一般说来,室内试验所得到的力学特性不能完全反映现场实际情况,要得到真实的本构关系必须根据现场试验直接量测荷载—变形—时间之关系。

但该方法不仅花费大而且难以实现,目前大量的还是根据室内试验来决定。

岩土材料的力学性质颇为复杂,这是因为它们是由固相(土粒子)、液相(空隙中的水)、气相(空隙中的空气)组成,易受密度、空隙率、温度、时间、水等因素影响。

岩土材料从微观上应视为非连续体，但从工程角度，宏观上可视为连续体。

2.1 理想弹塑性力学模型
当材料进行塑性状态后，具有明显的屈服流动阶段，而强化程度较小。

若不考虑材料的强化性质，则可得到如图2-1所示理想弹塑性模型，又称为弹性完全塑性模型。

在图2-1中，线段OA 表示材料处于弹性阶段，线段AB 表示材料处于塑性阶段，应力可用如下公式求出：
s
E σσεσ== （当时;s s εεεε≥≤） （2-1） 由公式（2-1）中只包括了材料常数E 和εs ，故不能描述应力应变曲线的全部特征，又由于在ε=εs 处解析式有变化，故给具体计算带来一定困难。

这一力学模型抓住了韧性材料的主要特征，因而与实际情况符合得较好。

2.2 理想线性强化弹塑性力学模型
当材料有显著强化率，而屈服流动不明显时，可不考虑材料的塑性流动，而采用如图4-4所示线性强化弹塑性力学模型。

图中有两条直线，其解析表达式为
）-（1s
s E E εεσσεσ+== （当时;s s εεεε≥≤） （2-2） 式中E 及E1分别表示线段OA 及AB 的斜率。

具有这种应力应变关系的材料，称为弹塑性线性强化材料。

由于OA 和AB 是两条直线，故有时也称之为双线性强化模型。

显然，这种模型和理想弹塑性力学模型虽然相差不大，但具体计算却要复杂得多。

在许多实际工程问题中，弹性应变比塑性应变小得多，因而可以忽略弹性应变。

于是上述两种力学模型又可简化为理想刚塑性力学模型。

2.3 理想刚塑性力学模型
如图2-1所示，应力应变关系的数学表达式为:
εσE = （当时0≥ε） （2-3）
上式表明在应力到达屈服极限之前，应变为零，这种模型又称为刚性完全塑性力学模型，它特别适宜于塑性极限载荷的分析。

2.4 理想线性强化刚塑性力学模型
如图2-1所示，其应力应变关系的数学表达式为:
εσσ1E s += （当时0≥ε） （2-4）
2.5 幂强化力学模型
为了避免在ε=εs 处的变化，有时可以采用幂强化力学模型，即取：
n A εσ= （2-5）
式中n 为幕强化系数，介于0与1之间。

式(2-5)所代表的曲线(如图2-1所示)在ε=0处与ζ轴相切，而且有：
A
A ==σεσ （当时0;1==n n ） （2-6） 式（2-6)的第一式代表理想弹性模型，若将式中 的A 用弹性模量E 代替，则为虎克定律式； 第二式若将A 用ζs 代替，则为理想塑性(或称理想 刚塑性)力学模型。

通过求解式(2-6)则可得ε=1，即 两条直线在ε=1处相交。

由于幂强化模型也只有两 个参数A 和n ，因而也不可能
第三章 岩土类介质本构模型
岩土塑性与本构模型的发展，主要是围绕着两个方面：一是对经典塑性理论的修正与静力本构模型的完善；二是针对不同岩土不同工况发展了许多新型的本构模型。

国内学者作了大量的工作，新发展的广义塑性力学既适应岩土类摩擦材料，也适应金属，可以作为岩土塑性力学的理论基础。

新型模型中动力模型、复杂路径模型等正在逐渐走向实用。

本章主要探究岩土体材料的Mohr-Coulomb(M-C)理想弹塑性模型 、Drucker-Prager(D-P)模型、Cam-clay （Cam ）模型、Duncan-Chang （D-C ）模型、Lade-Duncan （L-D ）模型、修正的帽子模型、与蠕变耦合的帽子塑性模型、节理材料模型等。

3.1 Mohr-Coulomb(M-C)理想弹塑性模型
Coulomb 在土的摩擦试验、压剪试验和三轴试验的基础上，于1773年提出了库仑破坏准则，即剪应力屈服准则，它认为当土体某平面上剪应力达到某一特定值时，就进入屈服。

Mohr-Coulomb 塑性模型主要适用于在单调荷载下以颗粒结构为特征的材料，如土壤，它与率变化无关。

其准则方程形式一般为：),,(n n c f σϑτ=。

其中，c 为土的粘聚力；ϑ为土的内摩擦角；n σ为屈服面上的正应力。

这个函数关系式通过试验确定。

M-C 条件为：ϑστtan n n c +=。

在π平面上的屈服曲线为一封闭的非正六边形。

现在，M-C 准则仍被广泛应用，该准则在π平面上的拉、压轴相等时即为广义Tresca 准则。

M-C 准则比较符合试验，但是它的缺点在于三维应力空间中的屈服面存在角点奇异性，且没有考虑中间主应力2σ的影响。

3.2 Drucker-Prager(D-P)模型
1952年Drucker 和Prager 首先把不考虑中间主应力2σ影响的Coulomb 屈服准则与不考虑净水压力P 影响的Mises 准则联系在一起，提出广义Mises 理想塑性模型，即D-P 模型。

D-P 模型的屈服面方程为：0-12=-=K I J F α。

D-P 屈服函数所表示的屈服面在π平面上是一个圆，更适合数值计算。

但是作为近似计算，D-P 模型仍被广泛应用，它的主要缺点也是没有考虑中间主应力2σ的影响。

该系列的模型适用于实质上是单调加载的场合，如土基的极限荷载分析。

它最适合用于仿真有内摩擦力的材料。

该模型具备如下几个特点：
1. 应力空间中存在弹性区域与塑性区以及它们的分界面
2. 材料是初始各向同性的。

3. 屈服行为取决于静水压力的大小。

静水压力越大，材料的强度越高，而且材料在软化或硬化时是各向同性的，因此可以用引入与静水压力的相关关系的方式来体现模型在各种情况下的变化。

4. 非弹性变形与体积变形同时发生，流动法则中可考虑剪胀行为，所以提供了两种不同的流动准则。

5. 屈服行为受第二主应力2 σ大小的影响。

6. 材料可以与应变率有关。

7. 材料参数可以与温度有关。

8. 模型的弹性部分可以是线弹性或非线性的孔隙材料弹性。

9. 提供了三种不同的屈服准则供选择。

其区别基于三种不同的屈服面子午线：线性、双曲线或一般的指数函数。

10. 模型选择的合理性在很大程度上取决于材料的类型和标定模型参数时试验数据的有效性，还取决于压应力值序列是否与材料性质合拍。

3.3 Cam-clay （Cam ）模型
Cam 模型由英国剑桥大学Roscoe 等人于1963年提出，适用范围为粘土或者正常固结土，模型可应用于土石坝、地基和桩基础等，其屈服面方程为：
0ln ''0'=-p p M p q （3-1）
1965年，Roscoe ，Burland 分别研究了Cam 模型屈服面与临界状态线及正常固结线的
关系，根据能量方程对Cam 模型屈服面的形状进行了修正，提出了修正Cam 模型。

在q
p -'平面上修正Cam 模型的屈服面是通过原点的椭圆形曲线。

屈服面函数为： 0222'''P M M p q p =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （3-2）
Cam 模型只有3个参数，且易于测定，因此是当前应用最广的模型之一。

模型的主要缺点是受到传统塑性理论的限制，且没有充分考虑剪切变形。

3.4 Duncan-Chang （D-C ）模型
1970年Duncan 和Chang 根据Kondner(1963年)的研究成果，将三轴试验得到的土体131)(εσσ--（轴向应变）曲线用下述双曲线方程来表示：1
131)(εεσσb a +=
-。

其中，a,b 均为试验常数。

由试验最终得出D-C 模型的切线模量方程为： 233131sin 2cos 2))(sin 1(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ϕσϑσσϕσc R P KP E f n a a （3-3）
1980年，Duncan 根据试验结果提出改用体积变形模量K 作为计算参数，将E-V 模型修正为E-K 模型。

D –C 模型能反映土体的主要变形特性，且采用加载模量和卸载模量来部分反映土的非线性性质，所采用的参数少，具有比较明确的物理意义，且可由常规的三轴剪切试验确定，因而在实际工程中得到了广泛应用。

但该模型的主要缺点是不能反映土的剪胀性，也不能反映中间主应力2对模量的影响，其实际应用受到了一定的限制。

针对许多土体存在剪胀性的真实性状，沈珠江(1986年)等提出了考虑球张量和偏张量相互交叉影响的非线性弹性模型，是一种可以考虑土体剪胀性的非线性应力—应变模型。

3.5 Lade-Duncan （L-D ）模型
Lade-Duncan(1975年)根据对砂土的真三轴试验结果，提出了一种适用于砂土类的真三轴弹塑性模型。

该模型的屈服函数由试验资料拟合得到，它把土视作加工硬化材料，服从不相关联流动法则，并采用塑性功硬化规律。

在应力空间中屈服面形状是开口三角锥面。

屈服面方程为：
033
1=-=K I I F （3-4）
L-D 模型是以塑性功为硬化参量，其优点是较好地考虑了剪切屈服和应力Lode 角的影响。

缺点是需要9个计算参数，而没有充分考虑体积变形，难以考虑静水压力作用下的屈服特性，即使采用非相关联流动法则也会产生过大的剪胀现象，且不能考虑体缩。

3.6修正的帽子模型
3.6.1 适用范围
这个模型是在子午线为线性的Drucker-Prager 模型上增加一个帽子状的屈服面而构成的，其目的有两个：
一是对静水压力给出一个上限
二是在材料因剪切而屈服时控制体积膨胀。

这个模型适用于粘性岩土介质。

3.6.2 特点
1、考虑了弹、塑性变形，弹性应变可以是线性弹性或孔隙介质的非线性弹性。

2、屈服行为与静水压力有关，所以应力空间中的屈服行为有两种情况：屈服面上所 对应的是理想塑性，帽子曲面对应的却是硬化塑性。

硬化/软化行为是体积塑性应变的函数。

3、塑性变形与体积变形相关：在屈服面上表现为膨胀，在帽子曲面上表现为压缩， 在两者的交界线上，为无体积变形的常剪应力状态。

4、中间主应力2 σ对屈服有影响
5、在载荷循环时，帽子曲面可给出相应响应，屈服面只能对应单向加载。

6、材料是初始各向同性的。

7、材料性质可以随温度而改变。

3.6.3修正的帽子模型公式和参数
模型由两个屈服面组成，一个是子午线为线性的Drucker-Prager 屈服面，它体现为与静水压力有关的剪切破坏，另一个是帽子曲面，它体现了受压破坏。

帽子模型中Drucker-Prager 破坏曲面本身是理想塑性的，但是它存在一个产生体积膨胀的塑性流动，使帽子软化，屈服面方程为：
0tan =--=d P t F S β （3-5）
其中β为摩擦角，d为粘聚力。

t为偏应力的度量，可以用不同的应力状态（如受拉或受压）来调整t。

3.7与蠕变耦合的帽子塑性模型
3.7.1适用范围
在许多情况下，岩土介质需考虑蠕变造成的影响，一旦加载时段与蠕变发生时段的尺度是同一个数量级时，需考虑蠕变与塑性的耦合求解，与蠕变耦合的帽子塑性模型适合于这类情况。

3.7.2特点
1、耦合求解帽子塑性方程与蠕变方程；
2、帽子塑性模型的弹性阶段为各向同性线弹性，塑性阶段为K=1（π平面上是圆）的屈服面，D-P屈服面与帽子屈服面之间无过渡区，即α=0 ；
3、蠕变模型中有两类蠕变行为：
①粘性蠕变，它同时发生于剪切破坏区与帽子区。

②固结蠕变，它只发生于帽子区。

图3.7.1 帽子蠕变模型的蠕变等值面
3.8 节理材料模型
3.8.1适用范围
节理材料模型为在不同方向上存在分布度很高的平行节理的岩土介质提供一种简明的，连续介质本构关系，它要求某一方向上各节理层的间距很小，从而使连续介质假定得以成立，这个模型也可以用于存在大量断层的岩石中。

3.8.2特点
1、考虑弹，塑性变形。

2、节理层之间有三种关系：
①有摩擦的滑动；
②闭合；
③分开。

一旦节理层分开，材料立即变为正交各向异性体。

3、考虑了基于Drucker-prager模型的体积变形导致的破坏。

4、节理所组成的整体材料的力学机理既包括了塑性滑移，也包括了膨胀。

5、模型提供了合理的应力循环，包括节理的开合和剪力循环。

6、材料可以与温度有关.
第四章土的本构模型研究趋势
为了较好的描述土的真实性状，建立土的应力-应变-时间之间的关系，已经发展了大量土的本构模型，并且有些模型的应用相当广泛，对这些传统模型进行改进和修正，使之适用于更广泛的工程问题，比建立一个新的土的模型更具有实际意义。

随着土本构研究的深入，可从以下几个方面开展工作：
1)为了准确反映上的非线性、非弹性、软化、剪胀与剪缩性等特性，需要建立和发展复杂应力状态与加卸载序列条件下土的本构模型。

2)重视模型参数的测定和选用，重视本构模型验证以及推广应用研究，通过不同类型仪器、不同应力路径的土工试验及工程现场测试等形式，客观地评价和论证已建模型的正确性与可靠性，全面系统地讨论与比较模型的实用性、局限性及其适用范围，使之更好地为工程建设和科学研究服务。

3)开展非饱和土的本构模型研究，建立非饱和土的本构模型时应充分考虑土中含水量的影响及颗粒骨架、孔隙水与气体三相之间的界面相互作用及相互交换问题。

4)注重土体的微观结构和宏观结构研究，揭示土结构性及其变化的力学效果。

5)土的本构模型中有许多假设条件与实际情况不符，影响了工程计算的精度和适用性，今后应加以改进和提高，建立用于解决实际工程问题的实用性模型，反映土体的真实特性，服务于各类工程建设。

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