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排列组合常用方法题型总结

【知识内容】

1•基本计数原理

⑴加法原理

分类计数原理：做一件事，完成它有

n 类办法，在第一类办法中有 m 1种不同的方法，在第

二类办法中有m 2种方法，……，在第 n 类办法中有m n 种不同的方法•那么完成这件事共有

N mi m 2 L m n 种不同的方法.又称加法原理.

⑵乘法原理

分步计数原理：做一件事，完成它需要分成

n 个子步骤，做第一个步骤有 m 1种不同的方法,

做第二个步骤有 m 2种不同方法，……，做第 n 个步骤有m n 种不同的方法.那么完成这件事 共有N m 1

m 2 L m .种不同的方法.又称乘法原理.

⑶加法原理与乘法原理的综合运用

如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类 计数原理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事 才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理.

分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、 组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用.

2.排列与组合

⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取 m(m < n)个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.(其中被取的对象叫做元素) 排列数：从n 个不同的元素中取出 m(m < n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同 元素中取出m 个元素的排列数，用符号 A m 表示.

排列数公式： A ； n(n 1)(n 2)L (n m 1) , m , n 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列， n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，

⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出 m (m < n)个元素并成一组, 元素中任取m 个元素的一个组合.

组合数：从n 个不同元素中，任意取出m (m < n)个元素的所有组合的个数， 不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号c m 表示. 组合数公式：C

；

n(n 1)(n 2)L(n m 1

^

, m,n N ，并且

m!

m!( n m)!

组合数的两个性质：性质1：

c m c n m

；性质2：

ch

c m

c m 1

.(规定c n

1)

N ，并且m < n .

叫做n 个不同元素的一个全排列. 用n!表示.规定：0! 1 .

叫做从n 个

叫做从n 个

⑶排列组合综合问题

解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是

分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：

1．特殊元素、特殊位置优先法

元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；

2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．

3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．

4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它

元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．

5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．

6 .插板法：n个相同元素，分成m（m < n）组，每组至少一个的分组问题一一把n个元素排成一排，从n 1个空中选m 1个空，各插一个隔板，有C n m 11．

7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一

般地平均分成n堆（组），必须除以n !,如果有m堆（组）元素个数相等，必须除以m !

&错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当n 2，3，4，5 时的错位数各为1，

2，9，44．关于5、6、7 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2 个、3个、4 个元素的错位排列的问题．

1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途

径：

①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；

②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；

③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．

求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．

2．具体的解题策略有：

① 对特殊元素进行优先安排；

② 理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③ 对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；

④ 对于元素相邻的条件， 采取捆绑法； 对于元素间隔排列的问题， 采取插空法或隔板法； ⑤ 顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥ 对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面.

⑦ 对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型.

排列组合题型总结】

直接法

1 . 特殊元素法

例1用1， 2， 3， 4， 5， 6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位 数各有多少个 （1）数字 1 不

排在个位和千位 （2）

3 3

2 2 2

23

A 33

-

C 42

22

A 2

2=432

分析： 数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。

1 ）个位和千位有 5 个数字可供选择 A5

，其余 2 位有四个可供选择 A4

，由乘法

原理：

A5 A

4

=240

2．特殊位置法

2）当 1 在千位时余下三位有 A5

=60， 1 不在千位时， 千位有 A4

种选法， 个位有 A4

种，

余下的有A 4

，共有A 4

A 4

A 4

=192所以总共有192+60=252

间接法 当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（

2）可用间接法

A 64

2A 53

A 42

=252

Eg 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1， 2 与 3， 4 与 5， 6 与 7， 三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？

分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数

C5 2 A3

个，

8 与 9，将它们任意

其中 0 在百位的有

C 42

2

2

A2

个 ， 这 是 不 合 题 意 的 。 故 共 可 组 成

不 同 的 三 位数

C 53