因式分解论文初中数学论文：因式分解在初中数学中的重要作用

因式分解论文初中数学论文：因式分解在初中数学中的重要

作用

初中数学中，因式分解是最常用最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中。例如，在八年级的《分式》教学中，处处让学生感受到因式分解的存在，不论是在约分、通分以及分式的各种运算中，都需要进行因式分解才能解答。学生如果不能正确地进行多项式的因式分解，那将在分式学习中举步维艰，无从下手。所以因式分解是我们解决许多数学问题的有力工具，而因式分解的方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用，也是发展学生智能、培养能力、深化学生逆向思维的良好载体。

一、因式分解在初中阶段最常用的方法有提取公因式法，运用公式法，分组分解法和十字相乘法等

1．提公因式法

如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。

am+bm+cm=m(a+b+c) 。

例如：-2x3-2x2 +8x=-2x(x2+x-4)

2．运用公式法

（1）平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)

（2）完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2

（3）立方和公式：a3+b3= (a+b)(a2-ab+b2)

立方差公式:a3-b3= (a-b)(a2+ab+b2)

例如： 3x6-3x2=3x2(x4 -1) = 3x2(x2 +1) (x2 -1) =3x2(x2 +1) (x +1) (x -1)

3．分组分解法

分组分解法：把一个多项式分组后再进行分解因式的方法。

分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。

例如： m2+5n-mn-5m = m2-5m-mn+5n

= (m2-5m )+(-mn+5n) = m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

4．十字相乘法

二次三项式x2+(p+q)x+pq型的特点是：二次项的系数是1，常数项是两个数的积，一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解: x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 。

例：x2-5x+4=(x-1)(x-4)

二、在中学数学中，学习因式分解对于我们解题技能的培养有着独特的作用和价值。

1．运用因式分解可以求一些无法直接求解的代数式的值，即整体代入法

例：已知：a+b=1, 求a3+3ab+b3的值。

分析：在解题过程中，认真观察题目特点，先分组，再考虑运用公式法分解因式变形成含有a+b的式子，然后直接代入求值。既运用了知识，又简便了运算。

解： a3+3ab+b3 = (a3+b3)+3ab

=(a+b)(a2-ab+b2)+3ab = a2-ab+b2+3ab

=a2+2ab+b2 = (a+b)2

=12 = 1

2．利用因式分解可判断多项式或数的整除性

例：判断993-99能被100整除吗？

解：993-99=99（992-1）=99（99+1）（99-1）

=99×100×98

通过利用因式分解变形含有因式100，所以993-99能被100整除。

3．利用因式分解与几何中三角形的三边关系的结合解决一些综合题

例：已知a,b,c为三角形abc的三边，利用因式分解证明b2-a2+2ac-c2>0

证明：

b2-a2+2ac-c2=b2-(a2-2ac+c2)=b2-(a2-c2)=(b+a-c)(b-a+

c)

因为a+b>c b+c>a

所以b+a-c>0 b-a+c>0

所以 b2-a2+2ac-c2>0

4.因式分解对分式的运算起着非常重要的作用。

（1）分式的乘除法要进行约分，而分式约分首先要将分子，分母分解因式才能进行。

（2）分式的加减法中的将异分母化为同分母需要通分，而找最简公分母时多项式也需要将各分母分解因式。

总之，在探究因式分解的方法活动中，教师要通过对整式乘法与因式分解之间的互逆关系的探究过程，培养学生有条理的思考，表达与交流的能力，引导学生在活动中运用类比的思想进行思考，并自觉地用语言说明变形过程，有意识地培养学生逆向思考问题的习惯。

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