因式分解论文初中数学论文：因式分解在初中数学中的重要作用
为什么在数学中要使用因式分解？
为什么在数学中要使用因式分解？一、因式分解的概念和意义因式分解在数学中是一个非常重要的概念，它将一个多项式拆解成若干个乘积的形式，帮助我们更好地理解和处理数学问题。
因式分解的意义在于简化和化简数学表达式，使问题更容易解决，并且为我们进一步研究和应用数学提供了便利。
1.1 提高计算效率在数学中，我们经常需要进行各种各样的运算，而因式分解可以帮助我们高效地进行计算。
通过将多项式进行因式分解，可以将复杂的计算问题转化为简单的因式相乘问题，从而大大提高了计算的效率。
1.2 简化数学表达式通过因式分解，我们可以将一个复杂的数学表达式简化为一个更加简洁的形式，这样有助于我们更直观地理解数学问题的本质。
简化后的数学表达式通常更易于计算和应用，同时还能避免冗余信息和误解。
二、因式分解的应用领域和例子因式分解在数学中有着广泛的应用领域，它不仅仅是一种数学工具，更是解决各类实际问题的有效方法。
以下是其中一些常见领域和具体例子：2.1 代数方程的求解在代数学中，我们经常需要解决各种各样的代数方程，而因式分解是解决这些方程的重要方法之一。
通过将方程进行因式分解，可以将复杂的方程转化为简单的因式相乘形式，进而快速求解。
2.2 数学模型的建立和分析在数学建模中，我们往往需要根据实际问题建立数学模型，并对其进行分析和求解。
因式分解可以帮助我们简化模型，提取关键信息，并更好地理解问题的本质。
例如，在经济学中，通过因式分解可以将复杂的经济模型简化为更容易理解和研究的形式。
2.3 统计和概率问题的计算在统计学和概率论中，因式分解也有着广泛的应用。
通过因式分解，我们可以将复杂的统计和概率问题转化为简单的因式相乘问题，进而提高计算效率和准确性。
例如，在概率论中，通过因式分解可以推导出常见的概率公式，帮助我们计算概率。
三、因式分解的技巧和方法因式分解作为数学中的重要工具，有一些技巧和方法可以帮助我们更好地进行因式分解。
以下是一些常见的技巧和方法：3.1 公因式的提取当多项式的每一项都含有公因式时，可以通过公因式的提取来进行因式分解。
论文浅谈多项式因式分解的方法
论文浅谈多项式因式分解的方法浅谈多项式因式分解的方法重庆师范大学涉外商贸学院数学与应用数学(师范) 2008级徐传华指导教师：赵振华中文摘要：多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，是代数式恒等变形的一个重要组成部分，也是处理数学问题的重要手段和工具.因式分解在代数式的运算、解方程等方面有极其广泛的运用.本文通过对因式分解概念的阐述和方法的介绍来说明它在数学中的应用.关键词：多项式因式分解转化方法应用Chinese Abstract: polynomial factorization of polynomial multiplication is the inverse process, are algebraic identical deformation is an important part of solving mathematical problems, is also the important means and tools.. Factorization in algebraic operations, such as solutions of equations has extremely extensive application. Based on the factorization of concept and method are presented to illustrate its application in mathematics.Key words: Factorization of polynomial transformation method and its application.在初等数学中，因式分解是一个十分重要的概念，在解题过程中有着广泛的应用，借助分解因式可解决计算、求值、说理等多方面的问题，因式分解也是整式乘法的一种重要变形，而转化是其中最重要的数学思想，即将高次的多项式分解转化为若干个较低次的因式的乘积.这种转化通常要通过观察、分析、尝试，应用提取公因式、乘法公式、分组分解等方法来达到目的.在解题过程中，问题变化万千，方法灵活多变.本文归纳总结因式分解的几种常用方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、简单的十字相乘法、拆、添项法、配方法、因式定理法、换元法、求根法、综合除法、整除法、图象法、主元法、特殊值法、待定系数法、双十字相乘法、综合法.1.定义定义把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）.因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用.学习它，既可以复习整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力.分解因式与整式乘法为相反变形.(a-b)(a+b) a2-b2 整式乘法(a-b)(a+b) a2-b2 因式分解同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤.2.基本方法2.1提公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式.例1 分解因式 bm-am+cm分析在多项式bm-am+cm中，每个单项式都含有字母m，故提出m就可以了.解 bm-am+cm=m(b-a+c)例2 分解因式 a(x-y)+b(y-x)分析通过适当的变形可以找出公因式（x-y）或（y-x），再提出就可以了.解1 a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)解2 a(x-y)+b(y-x)=-a(y-x)+b(y-x)=(y-x)(b-a).2.2公式法若把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.例3 分解因式 4a2-9b2分析①∵4a2=(2a)2,9b2=(3b)2,那么只要把2a和3b看作平方差公式中的a和b 即可.②将两项交换后，这两项式是平方差的形式.解 4a2-9b2=(2a)2-(3b)2=(2a+3b)(2a-3b)注为保证解题正确要将中间步骤(2a)2-(3b)2写上，即先化为公式的左边形式.例4 分解因式(1)x(x2-1)-x2+1(2)(x 2+x+2)(x 2+x+7)-6分析 (1)可看成二项式：将-x 2+1变形为-(x 2-1)则可提取公因式(x 2-1)再将公因式用平方差公式分解.(2)题若将此式展开一定繁琐，注意到x 2+x+2与x 2+x+7的平均数为292++x x ，故可用换元法解：解 (1)x(x 2-1)-x 2+1 =x(x 2-1)-(x 2-1) =(x 2-1)(x-1) =(x+1)(x-1)(x-1) =(x+1)(x-1)2(2)设y= 2)7()2(22+++++x x x x =292++x x则(x 2+x+2)(x 2+x+7)-6 =6)25)(25(-+-y y=64252--y =4492-y=)27)(27(-+y y=)2729)(2729(22-+++++x x x x =(x 2+x+8)(x 2+x+1)注此题也可以展开式子(x 2+x)2+9(x 2+x)+8再应用十字相乘法进行.说明此题虽然题目中没有因式分解的要求，但是248-1是因式分解的平方差公式的基本形式.将其进行等价转化，逐步地运用平方差公式，直到出现26+1=65和26-1=63两个因式. 例5 分解因式(1)x 2+6ax+9a 2 (2)-x 2-4y 2+4xy (3)9(a-b)2+6(a-b)+1分析这题的三个小题都为三项式，又都没有公因式，可考虑是否能用公式中的完全平方公式.(1)题的x2=(x)2，9a2=(3a)2，且这两项的符号相同，可写成平方和.这样x和3a就为公式中的a和b了.另外6ax正好是2(x)(3a)即公式中的2ab项，这样这题就可用和的完全平方公式分解.(2)题中的-x2-4y2，这两项符号相同，提取负号后可写成平方和，即-x2-4y2=-[x2+(2y)2]，4xy正好是2(x)(2y)是公式中的2ab项，此题可用完全平方公式.注意提取负号时4xy要变号为-4xy.(3)题9(a-b)2+1可写成平方和[3(a-b)] 2+12，就找到公式中的a 和b项为3(a-b)和1，6(a-b)正好是2×3(a-b)×1为公式中的2ab项，符合完全平方公式.解 (1)x2+6ax+9a2=(x)2+2(x)(3a)+(3a)2=(x+3a)2注再写第一步的三个项的和时实际上先写x2和(3a)2项，再写固定的“2”常数再将公式中的a、b数即x和3a写进二个括号内；计算出来为6ax，即原题中的中间项.(2)-x2-4y2+4xy=-(x2-4xy+4y2)=-[x2-2(x)(2y)+(2y)2]=-(x-2y)2(3)9(a-b)2+6(a-b)+1=[3(a-b)]2+2×3(a-b)×1+12=[3(a-b)+1]2=(3a-3b+1)2例6 分解因式 (m2+n2+1)2-4m2n2分析本题是一个二项式，符合平方差公式.用平方差公式分解后的两个多项式的因式后，都可分别先用完全平方公式再用平方差公式.解 (m2+n2-1)2-4m2n2=(m2+n2-1+2mn)(m2+n2-1-2mn)=[(m2+2mn+n2)-1][(m2-2mn+n2)-1]=[(m+n)2-12][(m-n)2-12]=(m+n+1)(m+n-1)(m-n+1)(m-n-1)例7 把下列多项式分解因式（1）a3＋8（2）27－8y3分析（1）因为8=23，故这是形如a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，就完全可以运用立方和公式.（2）通过变形就可以运用立方差公式 a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2).解（1）a3＋8=a3+23=（a+2）(a2-2a+22)=(a+2)( a2-2a+4)（2）27－8y3=33-(2y)3=(3-2y)[(32+6y+(2y)2)]=(3-2y)(9+6y+4y2)注运用公式法分解因式时，先观察多项式的特征，主要看它的项数、次数，然后尝试选择何种公式进行分解，并记住公式的结构特点和应用条件，不要把因式中的符号和系数搞错了2.3分组分解法能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法.例8 把多项式ax+ay+bx+by分解因式分析通过观察、分析，发现此题应用二二分法：把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配.解 ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)同样，这道题也可以这样做.ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)例9 把多项式x2-x-y2-y分解因式分析利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决.解 x2-x-y2-y=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)例10 把45am2-20ax2+20axy-5ay2分解因式.分析这个多项式的各项有公因式5a,先提取公因式,再观察余下的因式,可以按“一、三”分组原则进行分组，然后运用公式法分解因式.解 45am2-20ax2+20axy-5ay2=5a(9a2-4x2+4xy-y2)=5a[9a2-(4x2-4xy+y2)]=5a[(3a)2-(2x-y)2]=5a(3a-2x+y)(3a+2x-y).2.4十字相乘法十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.一般地，对于二次三项式ax+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1×a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1×c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下： a1c1╳a2 c2按斜线交叉相乘，再相加，得到a1×c2+a2×c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1×c2+a2×c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a22之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.但十字相乘法只能把某些二次三项式分解因式，而在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程.当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号.例11 把多项式x2+2x-15分解因式分析通过观察，此题采用十字相乘法就可以了.解1 -3╳1 5 1×5+1×(-3)=2所以x+2x-15=(x-3)(x+5).例12 把2x2-7x+3分解因式.分析先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数因为取负因数的结果与正因数结果相同！2=1×2=2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：╳2 3 1×3+2×1=51 3╳2 1 1×1+2×3 =71 -1╳2 -3 1×(-3)+2×(-1)=-51 -3╳2 -1 1×(-1)+2×(-3)=-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 2x2-7x+3=(x-3)(2x-1)例13 把多项式(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.分析这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解，但用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?通过观察发现第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.解 (x-y)(2x-2y-3)-2=(x-y)[2(x-y)-3]-2=2(x-y)2-3(x-y)-21 -2╳2 1 1×1+2×(-2)=－3原式=[(x-y)-2][2(x-y)+1]=(x-y-2)(2x-2y+1).注把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.2.5 拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例14 分解因式x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x39x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x39x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最好的一种．这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.例15 把m2-6m+8 分解因式用添项，拆项法做！解法一 m2-6m+8=m2-6m+9-1=(m-3)2-12=(m-3+1)(m-3-1)=(m-2)(m-4)解法二 m2-6m+8=m2-2m-4m+8=m(m-2)-4(m-2)=(m-2)(m-4)2.6 配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法.属于拆项、补项法的一种特殊情况.也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.例16 把多项式x2+6x-7分解因式解 x2+6x-7=x2+6x+9-16=(x+3)2-(4)2=(x+7)(x-1)．2.7 应用因式定理对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．例17 分解因式：x2+5x+6分析令f(x)=x2+5x+6，则f(-2)=0，故可确定x+2是x2+5x+6的一个因式.解 x2+5x+6=(x+2)(x+3)注意 1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数2．对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数2.8 换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法.注意：换元后勿忘还元.例18 把x4+7x2-30分解因式分析这个多项式不是关于x的二次三项式，如果把x2设为y，那么这个多项式就可以转化为y2+7y-30.这是关于y的二次三项式，就可以利用上题的方法分解因式了.这里，设y=x2，把y称为辅助元，这种方法叫做换元法.解1 设x2=y,则多项式可化为：y2+7y-30y2+7y-30=(y+10)(y-3)∴x4+7x2-30=(x2+10)(x2-3)说明通过辅助元，把所给的多项式转化为形如x2+px+q的二次三项式，在解题中，代换的步骤可以省略.解2 x4+7x2-30=(x2)2+7x2-30=(x2+10)(x2-3)例19 把(a2+a)2-14(a2+a)+24分解因式分析题目中的多项式有什么特点？含有字母的项可以作什么变换？解令a2+a=u则原式变为u2-14u+24因为u2-14u+24=(u-2)(u-12)所以(a2+a)2+14(a2+a)+14=(a2+a-2)(a2+a-12)=(a+2)(a-1)(a+4)(a-3)说明换元法将原多项式化为二次三项式形式，可用十字相乘法分解因式，这是常用方法.换元的步骤可以不写出来.例20 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式分析这个多项式是两个因式之积与另一个因式之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再分解因式.两个乘积的因式有什么特点？用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.解 (x-y)(2x-2y-3)-2=(x-y）[2(x-y)-3]-2=2(x-y)2-3(x-y)-2=[(x-y)-2][2(x-y)+1]=(x-y-2)(2x-2y+1)说明把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这是运用了数学中的“整体”思想方法，当然也可以运用换元法，只是我们在熟悉后就直接把它当做一个整体.2.9 求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3， (x)n，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．例21 把多项式2x4+7x3-2x2-13x+6分解因式解令2x4+7x3-2x2-13x+6=0，则通过综合除法或整除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1．所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．例22 分解因式 3x3－4x2－13x－6分析(1)用综合除法试商时，要由常数项和最高次项系数来决定．常数项的因数除以最高次项系数的因数都可能是除的整除商．上例中常数项是6，则因数是±1，±2，±3，±6，最高次项系数是3,则因数是±1，±3，所以根可能是±1，±1/3，±2，±2/3，±3，±6，它们的因式可能是x±1，x±2，x±3，x±6，3x ±1，3x±2．试除时先从简单的入手 (2)因式可能重复．解 3x3－4x2－13x－6=(x+1)(x－3)(3x+2)．例23 把多项式2x3+3x2-8x+3分解因式.解 (有理根定理的使用)2x3+3x2-8x+3常数项3的因数：±1，±3首项系数2的因数：±1，±2可能的有理根就是常数项的因数除以首项系数的因数.23,23,21,21,3,3,1,1----由验算这些可能的根时，得知x=1就是其中的一个根. 2×13+3×12-8×1+3=2+3-8+3=0 现在由综合除法可得到下面的结果. 1 2 3 -8 3 2 5 -3 2 5 -3 0所以(x-1)(2x 2+5x-3)= 2x 3+3x 2-8x+3 最后,因式分解(2x 2+5x-3)=(2x-1)(x+3) 故，可得2x 3+3x 2-8x+3=(x-1)(2x-1)(x+3). 我们也可以用带余除法的方法来解此题x-1(除式) 2x 3+3x 2-8x+3(被除式) 2x 2+5x-3(商式) 2x 3-2x 2 5x 2-8x+ 3 5x 2-5x -3x+3 -3x+3 0(余式)于是求得商为2x 2+5x-3，余式为0.所得结果可以写成3x 3+4x 2-5x+6=(2x 2+5x-3)(x-1)再对多项式2x 2+5x-3进行分解为(2x-1)(x+3) 故3x 3+4x 2-5x+6=(x-1)(2x-1)(x+3).2.10 图象法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X 轴的交点x 1,x 2,x 3,……x n ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x 1)(x-x 2)(x-x 3)……(x-x n )．与方法9相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确.例24 分解因式：x3 +2x2-5x-6分析在分解x3 +2x2-5x-6时，可以令y=x3 +2x2 -5x-6.作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2 则x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．解 x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)2.11主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解.例25 分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列解 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) [a -a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)例26 分解因式 x2-8xy-48y2分析这是多个字母的式子，关键是要确定其中的主要字母，而把其它字母看作这个字母的系数，题中的主要字母是x，它是关于x的二次三项式.解 x2-8xy-48y2=(x-12y)(x+4y)说明如果认定题中的y为主要字母，并把x看作这些字母的系数，用这种分解方法也可以得到同样的分解结果.2.12 特殊值法将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式.例27 把x3+9x2+23x+15分解因式分析在分解x3+9x2+23x+15时，令x=2，则x3 +9x+23x+15=8+36+46+15=105，将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ．注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，则x3+9x2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此.2.13 待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解.例28 把 x4-x3-5x2-6x-4分解因式分析在分解x4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式.于是设x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4．解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．则x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)．2.14 双十字相乘法双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法.双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下：ax2+bxy+cy2+dx+ey+fx、y为未知数，其余都是常数用一道例题来说明如何使用.例29 分解因式 x2+5xy+6y2+8x+18y+12．分析这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解.解图如下，把所有的数字交叉相连即可x 2y 2①②③x 3y 6∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．双十字相乘法其步骤为：①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项.如十字相乘图②中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错.例30 求证2x-3y-1是多项式4x2-4xy-3y2+4x-10y-3的一个因式.分析先用十字相乘法分解关于x,y的二次齐次式4x2-4xy-3y2,,再把常数项-3分解为(+3)×(-1)，再利用十字相乘法，就可以得出最后结果.证明4x2-4xy-3y2+4x-10y-3=(2x+y)(2x-3y)+4x-10y-3=(2x+y+3)(2x-3y-1)说明此题是运用双十字相乘，先把多项式前三项用十字相乘法分解，然后再次使用十字相乘法，将多项式分解，命题得证.2.15 综合法应用多种方法来因式分解.例31 分组分解后再用十字相乘把2x2-8xy+8y2-11x+22y+15分解因式解原式=(2x2-8xy+8y2)-(11x-22y)+15=2(x-2y)2-11(x-2y)+15=[(x-2y)-3][2(x-2y)-5]=(x-2y-3)(2x-4y-5)说明分组后运用十字相乘进行因式分解，分组的原则一般是二次项一组，一次项一组，常数项一组.本题通过这样分组就化为关于(x-2y)的二次三项式，利用十字相乘法完成因式分解.例32 换元法与十字相乘法把(x2+x+1)(x2+x+2)-6分解因式分析观察式子特点，二次项系数和一次项系数分别相同，把(x2+x)看成一个“字母”，把这个式子展开，就可以得到关于(x2+x)的一个二次三项式(或设x2+x=u，将原式化为(u+1)(u+2)-6=u2+3u-4，则更为直观)再利用十字相乘法进行因式分解解 (x2+x+1)(x2+x+2)-6 =[(x2+x)+1][(x2+x)+2]-6=(x2+x)2+3(x2+x)-4=(x2+x+4)(x2+x-1)说明本题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解了，若能分解一定要继续分解.例33 因式分解与十字相乘法已知(x2+y2)(x2-1+y2)=12 求：x2+y2的值解 (x2+y2)(x2-1+y2)=12(x2+y2)[(x2+y2)-1]-12=0(x2+y2)2-(x2+y2)-12=0[(x2+y2)-4][(x2+y2)+3]=0∵x2+y2≥0∴(x2+y2)+3≠0∴(x2+y2)-4=0∴x2+y2=4说明我们把(x2+y2)看成一个“字母”，则原式转化为关于这个“字母”的一。
因式分解论文
因式分解（分解因式）Factorization ，把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
因式分解是中学数学中一种重要的恒等变形，是处理数学问题的重要手段与工具。
本文主要对初中数学中的因式分解方法进行简要的归纳与总结。
利用典型的例题分析解释在数学不同的领域不同问题的重要地位的应用。
因式分解是初中数学教学的一个很重要的教学工具，是与整式乘法中单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算过程有相反的恒等变形，与整式乘法法则不同的是因式分解不象整式乘法法则那样有法可依一一可按法则直接进行运算，而是根据所给的多项式的特点进行具体问题具体分析，推敲或转化，灵活运用才能解决问题。
因式分解的方法比较多、灵活，技巧性很强，且涉及的题型广、变化较大，对于解决比较复杂、繁琐的问题有一定的难度。
因此学习多项式因式分解需要两大数学思想方法：转化思想与整体思想（转化思想是数学中的常见的一种数学思想方法，的运用十分的广泛，在解题的过程中，运用转化思想，可以将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题。
整体思想也是一种常见的数学思想方法，运用整体思想可以使解题的思路清晰、步骤简捷、方法简便等。
）所以学好它，不仅可以拓宽学生的思路，培养学生的观察、组织运算能力，激发学生学习数学的兴趣，又可以帮助学生提高解题技能、综合分析能力，发展学生的思维能力。
那多项式因式分解有几种方法及其它们是如何应用在解题上的呢？具体来说多项式因式分解有基本方法和特殊方法。
在初中教材中我们涉及了几种是基本方法，下面将对多项式因式分解的方法进行分类整理，归纳总结，并通过典型的例子对它们进行分析，进一步理解、掌握基本方法，熟悉特殊方法，解决问题，了解它的应用。
且因式分解的应用不仅在代数的推理占有着很重要的地位，对解决计算的复杂与艰难有了不可缺少的一部分。
更在分式的约分、通分，分式的加减乘除运算，化简，解方程等变形中都具有广泛的应用。
“因式分解”的重要性及教学效果的提升
因式分解”的重要性及教学效果的提升通过小学阶段的数学知识的学习，大多数的学生对数学学习都已经掌握了一些基本方法。
数学知识在生活中随处可见，因式分解又是初中数学知识中的重要组成部分。
正是因为如此，在初中阶段让学生学会学习因式分解有其重要的现实意义。
由于传统的初中教学过程中，学生普遍认为因式分解是初中数学中较难的知识点。
基于此，本文从因式分解对初中数学学习的重要性以及如何改善初中数学因式分解教学效果两个方面展开。
一、提高因式分解教学效果的必要性（一）因式分解对初中数学的重要性因式分解在初中数学中涉及到的知识面非常广，是众多知识的基础。
因式分解的定义是把一个多项式化成几个整式的积的形式。
对这个定义，学生的理解会出现偏差。
首先需要注意到，研究的对象是多项式，其次是其结果必须是整式积的形式，他是整式乘法互为逆运算过程，不能混淆。
由于因式分解在初中数学中，主要讨论的是多项式的因式分解。
而多项式的因式分解在初中教学中主要集中在分式的约分和通分、利用因式分解的相关知识可以使某些计算更加简便。
因式分解也是后期学习解方程的基本工具，更是中学阶段的后期学习初中几何和证明题的基础。
通过以上的内容，可以看出因式分解在初中数学的教学和初中生学习的过程中，都是举足轻重的，是学好其他相关知识的基础，而且对初中生后期学习数学都有极其重要的意义。
如若不能很好地掌握因式分解的相关内容，那在后期的数学学习过程中，会举步维艰，从而导致学生失去学习的兴趣。
（二）因式分解的解法包含众多数学思想因式分解是初中数学正式从数字教学向字母教学过渡的第一个阶段，是初中学生开始接触模糊数学的启蒙阶段，也是向科学性的思维过渡发展的重要阶段。
因式分解的解法中包含的数学思想主要有整体思想、类比思想、转化思想和换元思想。
这些基本的数学思想是初中数学教学阶段中的重点也是难点。
整体思想是指在进行因式分解时，要教会学生把分解的多项式中的某些项看成一个整体，从而加以和其他项区分开。
因式分解的地位和价值
“因式分解”的地位和价值，如何发挥其功效？重庆珊瑚中学八年级数学组因式分解这一章节，一直以来是教学中的重点、难点。
这个内容在初中代数中占有重要地位，具体地说，至少表现在以下几个方面：首先，它是我们解决一元二次方程及高次方程的必不可少的方法，利用这一方法可以有效地解决方程中的降次问题。
其次，它在分式的运算中扮演重要的角色，如分式乘除法中，约分需要它；分式的加减法中通分需要它。
再者，利用它可以将分式方程转化为整式方程。
甚至还可以利用它来解决一些公分母的问题。
因式分解作为培养学生逆向思维，全面思考，灵活解决矛盾的载体。
为此，淡化理论。
简化难题，紧紧掌握最基本的教学方法（提取公因式法和公式法）即可。
这是新课程体现教育价值最明显的变化。
为此，在学生思维方法和对世上的事，要正，反两方面认识上下功夫，是这节课的重要所在。
基于因式分解内容的重要性，我们需要认真思考和认识该教学内容对于学生成长发展的教育价值，并努力探究其体现育人价值的教学实践新形态。
首先可以使学生了解知识的来龙去脉，学习有意义的数学，让学生明白我们为何要学习因式分解？因式分解的目的是什么？而不是教材、教师让我学，变被动为主动。
其次，可以使学生整体把握“因式分解”的方法结构，而不是点状的知识，这样学生对结构相关的知识才能牢固掌握并熟练运用。
再次，可以培养学生判断与选择的意识，提升学生准确判断，灵活选择的思维品质。
当然，“新基础教育”带给我的远远不止这些，我觉得更重要的是带给教师们一种对自己生命价值的追求，让教师可以在教育事业上不断的去体现自己生命的价值。
在教学过程中，要注意以下几点：1.注重使学生经历探究分解因式的方法的过程，进一步发展学生的观察、发现、归纳、概括等能力。
2.注重学生的对分解因式的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力。
3.有意识的培养学生的逆向思考问题的习惯。
4.保证基本的运算技能，避免复杂的题型训练。
总之，教学的着眼点，不是熟练技能，而是发展思维，使学生在学习情感，态度的价值观上发生深刻的变化对“因式分解”这章我们也有些困惑。
初中数学 因式分解有什么作用
初中数学因式分解有什么作用因式分解在数学中有着广泛的应用和重要的作用。
以下是因式分解的一些主要作用：1. 简化计算：因式分解可以帮助我们简化复杂的计算。
通过将一个数或者一个多项式因式分解为若干个较简单的乘积，我们可以简化计算的过程。
这在进行数值计算、求解方程和进行代数运算时非常有用。
2. 解方程：因式分解可以帮助我们解决各种类型的方程。
通过将方程中的多项式进行因式分解，我们可以将复杂的方程转化为简单的线性方程或者二次方程，从而更容易地求解方程的根。
3. 理解多项式的性质：因式分解可以帮助我们理解多项式的性质和结构。
通过将多项式进行因式分解，我们可以看到多项式的因子之间的关系，了解多项式的根和零点，进而研究多项式的图像、极值点、拐点等特性。
4. 寻找最大公因数和最小公倍数：因式分解可以帮助我们寻找数之间的最大公因数和最小公倍数。
通过将数进行因式分解，我们可以找到它们的公因子和公倍数，从而确定最大公因数和最小公倍数。
5. 理解数的性质：因式分解可以帮助我们理解数的性质。
通过将一个数因式分解为质数的乘积，我们可以了解数的因数结构，从而推导出数的性质，如奇偶性、可约分性、完全平方数等。
6. 探索数论问题：因式分解在数论中有着重要的应用。
通过因式分解，我们可以研究素数、完全数、亲和数等数论问题，探索数的性质和规律。
总结起来，因式分解在数学中具有广泛的应用和重要的作用。
它可以帮助我们简化计算、解决方程、理解多项式的性质、寻找公因数和公倍数、探索数论问题等。
因此，掌握因式分解的方法和技巧对于数学学习和问题解决都是非常重要的。
希望这个解答对您有所帮助。
如果您还有任何问题，请随时提问。
关于因式分解的论文
初中数学因式分解常用的方法与技巧阿舍中学曹金凤【摘要】多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，也是代数式恒等变形的一个重要组成部分。
因式分解在代数的运算、解方程等方面都有极其广泛的应用。
本文阐述了因式分解概念，并详细地介绍了因式分解的方法【关键词】多项式因式分解应用因式分解是中国数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地初中数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
一、多项式分解的定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。
二、多项式因式分解的方法（一）提公因式法定义：把多项式中每项都含有的公因式提出来，从而把多项式化成两因式相乘的形式叫提公因数法。
提公因式法基本步骤1.找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；2.提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
例1 ()c b a m cm bm am ++=++；()()()()()()()()b a y x y x b y x a x y b y x a x y b y x a --=---=-+-=-+-（二）运用公式法运用公式分解因式，就是把一些形如公式的多项式按公式的形式分解成几个 因式的乘积的形式的方法。
平方差公式：()()b a b a b a -+=-22； 完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±；注：(1)首平方，尾平方，首尾的2倍在中央，同号正，异号负（2）公式法的关键是寻找首尾项，符号同中央。
因式分解在初中数学中的应用
因式分解在初中数学中的应用摘要：近年来因式分解在中考中的热度只增不减，初中因式分解是初中数学的重难点，在初中数学知识体系中有着很多的应用。
本文主要对初中因式分解进行相关研究，内容包括因式分解概念解析，因式分解的常见解题方法，重点研究在初中数学中因式分解的不同应用，最后是结合笔者自身教学经验，以及与中学一线教师的沟通交流所得，给出学生学习因式分解与教师进行因式分解教学的一些建议。
关键词：因式分解；初中数学；因式分解应用；因式分解学习与教学建议把一个多项式分解成几个非常数的多项式或单项式的乘积的形式，叫做多项式的因式分解。
在《我国全日制义务教育数学课程标准（修订版）》中要求能用提公因式法、公式法进行因式分解；能运用因式分解的知识进行代数式的变形，从而解决有关问题。
因式分解中蕴含大量数学思想，包括类比思想、整体思想、换元思想、分解与组合思想等，是培养初中生的数学素养很好的载体。
因式分解可用来解决代数问题中可解决解方程、求值、降次、约分、通分问题，也可用于等式证明、整除问题等。
因式分解作为初中数学代数研究重要工具，在初中数学中有广泛的应用。
一．因式在初中数学中的应用1.1因式分解在解一元二次方程及二次函数中的应用解一元二次方程的本质是对方程进行降次，通过因式分解可以很好地对方程进行处理。
举例如下：1.解方程移项后，用平方差公式可得到，化简得解得若先将两边的用完全平方公式先打开，再进行求解，便不如用因式分解来的一气呵成。
1.求二次函数解：,解得即可知该二次函数与x轴的交点为在此题中，遇到的二次函数数据较为复杂，利用因式分解中的十字相乘法可轻松解决，找到当函数值为0时对应的x的取值，也就找到了该二次函数与x轴的交点。
1.2因式分解在初中计算与化简中的应用因式分解是初中代数中的重要内容，学好因式分解，反过来也能解决很多计算和化简问题。
1.解：原式学生在解这道题时，巧妙地利用因式分解提取1009这个公因式，大大降低了计算量，减少出现计算失误的可能性。
因式分解的作用范文
因式分解的作用范文因式分解是一种代数运算，它在数学领域中起着重要的作用。
它可以将一个多项式表达式分解为较简单的乘积形式，从而帮助我们更好地理解和研究数学问题。
首先，因式分解可以帮助我们简化复杂的代数表达式。
在代数学中，多项式是由一系列的项相加或相乘得到的，而每个项本质上是由一个系数与一个或多个变量的乘积组成的。
当一个多项式较为复杂时，我们可以进行因式分解，将其分解为更简单的乘积形式，从而更好地理解和计算多项式的性质。
例如，我们可以将二次多项式分解为一次多项式的乘积形式，从而更方便地求解方程的根。
其次，因式分解可以帮助我们研究和计算数学问题。
在数学研究中，我们常常会遇到一些复杂的方程或不等式，这些问题可能难以直接求解。
通过因式分解，我们可以将复杂的方程或不等式转化为更简单的因式形式，进而帮助我们研究和计算数学问题。
例如，通过因式分解，我们可以将一个高次方程转化为一组一次方程，进而求解方程的根。
再次，因式分解可以帮助我们发现和应用数学规律。
在数学中，很多数列或函数的性质可以通过因式分解来揭示和推导。
通过因式分解，我们可以将一个复杂的数列或函数分解为更简单的因子形式，从而揭示其内在的规律和性质。
例如，在数列中，我们常常会遇到一些复杂的递推关系，通过因式分解，我们可以将这些递推关系转化为更简单的形式，从而帮助我们发现并应用数列的规律。
最后，因式分解在应用数学和实际问题中也起着重要的作用。
在实际问题中，我们常常需要对数据进行建模和分析，而多项式函数是一种常见的数学模型。
通过因式分解，我们可以将复杂的多项式函数分解为更简单的因子形式，从而更好地了解和应用这些数学模型。
例如，在经济学中，因式分解可以将复杂的供求方程分解为更简单的部分，从而帮助我们分析和预测市场的行为。
总结来说，因式分解在数学领域中有着重要的作用。
它可以帮助我们简化复杂的代数表达式，研究和计算数学问题，揭示和应用数学规律，以及在应用数学和实际问题中建立数学模型。
因式分解论文：小议因式分解在数学中的地位
因式分解论文：小议因式分解在数学中的地位因式分解知识在课改前，系统、全面，占用了教材的大量篇幅，中、高考中涉及因式分解的知识或者技巧题占的比重较大，相当一部分学生在学习和应用因式分解知识花去大量时间，可是学习效果并不好。
为什么因式分解知识如此重要呢？这还得从数学运算说起。
小学数学主要以数的计算为主，涉及简单的数的恒等变形，主要代表：分解质因数、乘法对加法的分配率逆运用（简便运算）。
进入中学后不但增加了负数（从而增加了符号运算），还引入了字母表示数或事件，式的恒等变形就成为中学教材中的一个重要而且难学的内容之一了，式的变形已经贯穿于整个后续数学的全体，掌握好式的各种变形（恒等、同解、非恒等、非同解）是后续学习数学的重要基础之一。
因式分解作为多项式乘法的逆向变形，其作用远远超过了逆向变形这个看似作用不大的变形，它在后续学习中地位非常重要：快速求解存在有理根的一元二次方程、分式的运算（包括解分式方程）、高次方程或高次不等式的降次、判别一个多项式的正负符号（比较两式的大小、探求函数的单调区间等）等。
课程改革以后，在初中教材中，因式分解的知识只介绍了最基本的内容：提取公因式法和公式法，所用课时在4节课左右，在附录里介绍了x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)及其简单的运用。
删除了十字相乘法和分组分解法，学生学习这部分知识轻松了，其连锁反应：分式的化简和异分母加减法变得非常简单，口算能力强的学生可以直接写出化简或者异分母加减运算的结果；由于去掉了十字相乘法，解一元二次方程时，去掉了因式分解法的方法，主要运用开平方法和公式法，使得原本可以用因式分解法来解的一元二次方程用开平方法或者公式法，所用解题时间增加一倍以上，本人认为删除因式分解法解一元二次方程是不应该的，因为这种方法还运用到“降次”的数学思想（属于转化思想之一：化繁为简），事实上绝大多数初中（或高中）数学教师都给学生补充讲解了十字相乘法和分组分解法。
[精编]数学因式分解研究论文
![[精编]数学因式分解研究论文](https://img.taocdn.com/s3/m/b4d06d8459f5f61fb7360b4c2e3f5727a5e9242f.png)
[精编]数学因式分解研究论文题目：数学因式分解研究论文摘要：本研究论文旨在探索数学因式分解的相关概念、方法和应用。
数学因式分解是将一个数或一个代数式表示为若干乘积的形式。
本论文将从数论、代数和应用角度来讨论因式分解的重要性和应用领域。
论文将综述不同的因式分解方法并分析其特点和适用范围。
此外，我们将通过实例来展示因式分解的应用，包括解方程、简化代数表达式、寻找最大公因数和最小公倍数等。
最后，本论文将展望因式分解在未来的发展前景。
关键词：数学因式分解，数论，代数，应用，方程，代数表达式，最大公因数，最小公倍数引言：数学因式分解是数学中最基本、最重要的概念之一。
它不仅在数论和代数中有着广泛的应用，也是其他数学分支如几何和概率统计的基础。
因式分解可以帮助我们简化复杂的代数表达式，解决实际问题，例如在工程和经济领域中的应用。
本研究论文旨在系统地分析因式分解的相关概念、方法和应用，并展望其未来的发展前景。
一、因式分解的概念和方法：本节将介绍因式分解的基本概念和方法。
我们将从整数的因式分解开始，包括质因数分解和完全平方的因式分解。
随后，我们将讨论多项式的因式分解，包括提公因式法、配方法和分组分解法等。
我们将分析每种方法的特点和适用范围，并给出具体的例子来说明。
二、因式分解的应用：本节将讨论因式分解在不同领域的应用。
首先，我们将说明如何利用因式分解来解方程，包括一次方程、二次方程和高次方程。
其次，我们将介绍如何利用因式分解来简化复杂的代数表达式，包括多项式、分式和根式。
此外，我们还将探讨因式分解在寻找最大公因数和最小公倍数中的应用。
三、因式分解的未来发展：本节将展望因式分解在未来的发展前景。
我们将研究现有的因式分解算法和方法，并提出改进和优化的方向。
此外，我们还将探讨因式分解与其他数学分支的交叉应用，并讨论可能的未来研究方向，如高维因式分解、非整数因式分解和数值因式分解等。
结论：本研究论文系统地介绍了数学因式分解的相关概念、方法和应用。
因式分解在初中数学中的作用
因式分解在初中数学中的作用因式分解是初中数学中的一个重要概念，它在代数运算中起着至关重要的作用。
通过因式分解，我们可以将一个复杂的代数式化简为简单的乘积形式，从而更好地理解和分析问题。
因式分解不仅在解题过程中起到简化计算的作用，还能帮助我们发现数学规律，提高数学思维能力。
因式分解能够帮助我们简化计算。
在进行代数运算时，经常会遇到多项式相乘或相除的情况。
而通过因式分解，我们可以将复杂的多项式分解成若干个简单的因式相乘，从而减少计算的复杂度。
例如，对于多项式的乘法运算，我们可以利用因式分解将其化简为乘积形式，再进行计算。
这样可以大大简化计算过程，提高解题效率。
因式分解能够帮助我们发现数学规律。
在因式分解的过程中，我们需要找到能够整除原式的因式。
通过寻找因式的方法和技巧，我们可以深入理解数学中的一些重要概念和定理。
例如，通过因式分解可以发现二次三项式的因式分解公式，即(a+b)(a-b)=a^2-b^2。
这个公式在解决二次三项式的乘法和因式分解问题时起到了重要的作用。
通过因式分解，我们还能够发现一些数学规律，如完全平方公式和差平方公式等。
这些数学规律在解决问题时起到了关键的作用。
因式分解还能帮助我们解决实际问题。
在解决实际问题时，我们经常会遇到复杂的数学模型和方程式。
通过因式分解，我们可以将这些复杂的问题转化为简单的乘积形式，从而更好地理解和解决问题。
例如，在解决面积和周长问题时，我们可以通过因式分解将面积和周长关系式化简为更简单的形式，进而得到更直观的解答。
因式分解还可以帮助我们解决分数的运算问题，如化简分数、约分等。
这些技巧在解决实际问题时非常实用。
总结起来，因式分解是初中数学中至关重要的概念之一。
它不仅能够帮助我们简化计算，还能够发现数学规律和解决实际问题。
因式分解不仅在代数运算中起到了重要的作用，还培养了我们的数学思维能力和创造力。
因此，在学习初中数学时，我们应该重视因式分解的学习与应用，掌握相关的技巧和方法。
因式分解教学过程中学生学习能力培养论文
浅谈因式分解教学过程中学生学习能力的培养初中数学作为学校学科教学的重要组成部分,对学生基础知识的掌握,学习方法的培养,解题能力的提升等方面有着重要的促进和提升作用。
初中数学学科知识中的教学内容对学生学习能力的发展起到推动作用,因式分解作为初中数学知识体系的重要组成部分,在整个初中学习阶段具有重要的地位。
广大教师在教学中深刻认识到:因式分解教学内容是数学教学中恒等变形思想的升华,是整式乘法的逆变形运算,同时,因式分解内容在整个初中代数教学体系和几何教学中发挥着重要的作用,如在分式运算中,因式分解是通分和约分的基础条件,在解答二次和高次方程或方程组时采用因式分解内容,可以有效解决方程或方程组的降次问题等等,由此可见,因式分解教学内容在初中数学教学体系中起着承上启下的重要作用,并且一直是初中数学教学中的难点和重点。
加之,新课标理念内容的深入实施,初中教师在数学教学中如何能够通过有效教学手段,提升学生学习能力和水平,本人结合自己在因式分解教学中的实践,谈一谈自己对培养学生学习能力的一些粗浅的看法。
一、认真研究教材,准确掌握教学内容学生在学习过程中要能准确、灵活地掌握教学内容,必须建立在教师对教学内容准确掌握、运用自如、丰富讲解上,因此,在进行因式分解教学时,教师要对教材内容能进行认真研究和分析,掌握教材内容的知识点和解决重难点的有效手段,确保在教学时能够做到有的放矢,循序渐进地教学。
在制定课堂教学目标过程中要遵循新课标提出的“教学目标三维性”原则,实现教学目标体现教材内容的整体性,体现学生学习的个体差异性,体现教学要求的层次性,使学生在学习过程能够得到全面的发展和整体的进步。
如在制定因式分解教学目标时,教师既要对学生整体提出学习要求:能够进行因式分解的基本运算;又对不同层次学生提出不同要求:能够掌握进行因式分解运算的一些常用解题方法(中等生),能够对因式分解知识在方程组和几何知识体系中进行有效运用(优等生)。
因式分解的重要性
因式分解的重要性引言因式分解是初等代数中重要的概念和方法之一，它是将一个数或者一个代数表达式写成几个乘积的形式。
因式分解在数学的许多领域中发挥着非常重要的作用，本文将探讨因式分解的重要性以及它在数学和实际问题中的应用。
基本概念因式分解是将一个数或者一个代数表达式分解为乘积形式的过程。
对于一个数的因式分解，就是将其分解为若干个素数的乘积。
例如，对于数10，它的因式分解为2 × 5，而对于数30，它的因式分解为2 × 3 × 5。
在代数中，因式分解是将一个多项式分解为几个乘积的多项式。
例如，对于多项式x^2 + 3x + 2，它的因式分解为(x + 1)(x + 2)。
数学中的应用因式分解在数学的许多领域中发挥着重要的作用。
首先，因式分解可以帮助我们简化复杂的代数表达式。
通过将一个多项式分解为较小的乘积形式，我们可以更容易地对其进行运算和简化。
此外，因式分解还可以帮助我们发现数学问题中的模式和性质。
通过观察因式分解后的形式，我们可以更深入地理解问题的结构和关系。
其次，因式分解在解方程和求根的过程中也起到关键的作用。
通过将方程或多项式分解为乘积形式，我们可以更容易地求解方程或找出多项式的根。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以通过因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，进而得到x = -2和x = -3两个解。
实际问题中的应用除了在数学中的应用，因式分解也在实际问题中发挥着重要的作用。
例如，在经济学中，因式分解可以帮助我们分析生产过程中的各种因素的作用。
通过将生产函数或成本函数进行因式分解，我们可以更加清晰地理解各个因素对产出或成本的影响。
此外，在物理学和工程学中，因式分解也广泛用于分析和解决复杂的物理和工程问题。
结论因式分解是数学中一个重要的概念和方法。
它不仅帮助我们简化复杂的代数表达式，而且在解方程和求根的过程中也起到关键作用。
此外，因式分解在实际问题中也发挥着重要的作用，帮助我们分析和解决各种问题。
因式分解论文初中数学论文：因式分解在初中数学中的重要作用
因式分解论文初中数学论文：因式分解在初中数学中的重要作用初中数学中，因式分解是最常用最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中。
例如，在八年级的《分式》教学中，处处让学生感受到因式分解的存在，不论是在约分、通分以及分式的各种运算中，都需要进行因式分解才能解答。
学生如果不能正确地进行多项式的因式分解，那将在分式学习中举步维艰，无从下手。
所以因式分解是我们解决许多数学问题的有力工具，而因式分解的方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用，也是发展学生智能、培养能力、深化学生逆向思维的良好载体。
一、因式分解在初中阶段最常用的方法有提取公因式法，运用公式法，分组分解法和十字相乘法等1．提公因式法如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
这种分解因式的方法叫做提公因式法。
am+bm+cm=m(a+b+c) 。
例如：-2x3-2x2 +8x=-2x(x2+x-4)2．运用公式法（1）平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)（2）完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2（3）立方和公式：a3+b3= (a+b)(a2-ab+b2)立方差公式:a3-b3= (a-b)(a2+ab+b2)例如： 3x6-3x2=3x2(x4 -1) = 3x2(x2 +1) (x2 -1) =3x2(x2 +1) (x +1) (x -1)3．分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后再进行分解因式的方法。
分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。
例如： m2+5n-mn-5m = m2-5m-mn+5n= (m2-5m )+(-mn+5n) = m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4．十字相乘法二次三项式x2+(p+q)x+pq型的特点是：二次项的系数是1，常数项是两个数的积，一次项系数是常数项的两个因数的和。
因式分解思维与运用论文
因式分解的思维与运用摘要：因式分解有近百年来的沿革历程．它在代数教学中具有非常重要的地位，是代数运算的基础。
能够灵活的运用因式分解，对直觉思维能力和观察能力的培养有很大作用。
关键词：因式分解；代数；灵活；思维；能力中图分类号：g633.62 文献标识码：a 文章编号：1002-7661（2011）11-228-02一、引言因式分解在代数教学中具有重要的地位，是代数运算的基础，如在分式运算、一元二次方程的解法、一元二次不等式、二次函数、三角方程和根式运算等方面都发挥着十分重要的作用，著名数学家吴文俊曾说“只会推理, 缺乏数学直觉, 是不会有创造的”一个可约多项式究竟如何去分解，需要正确的灵活掌握因式分解的方法。
分解因式蕴含的数学思想、方法需要我们通过因式分解这一“载体”塑造良好的数学思维品质，而不能满足于仅只知道一些相对固定的方法，可以说“因式分解将贯穿整个数学过程”。
因式分解是初中代数“式”的重要内容，是代数教学的重点，因为其在整个初中代数教学体系，甚至部分几何教学里发挥着重要作用，是一个必不可少的“工具”；在分式的运算中，因式分解是通分和约分必备的基础知识；在解二次或高次方程、方程组、不等式中，因式分解法可以有效地解决方程中的降次问题；在数的计算中，因式分解是进行简便运算的一种常用方法；因式分解还可以在等式证明、整除问题、初中几何问题中发挥作用。
可见，因式分解在初中数学体系中具有承上启下的重要作用。
因式分解一般安排在初二（或八年级）学习，而这一时期是学生学习数学的一个重要发展阶段，也就是具体思维向形式思维转变的时期，所以可以说因式分解的教学处于学生数学思维的转变阶段，由具体的数的运算向字母的运算过渡的阶段．在初二分式运算中的约分、通分、加减、乘除混合运算的运用，初三的解一元二次方程以及简单的二元二次方程组中的运用等，可以说在因式分解中的运用以外，还在计算、化简中起着重要的衔接作用，是初中代数的重要一环。
因式分解在初中数学中的重要作用
因式分解在初中数学中的重要作用作者：邵祝会来源：《教育界》2011年第14期初中数学中，因式分解是最常用最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中。
例如，在八年级的《分式》教学中，处处让学生感受到因式分解的存在，不论是在约分、通分以及分式的各种运算中，都需要进行因式分解才能解答。
学生如果不能正确地进行多项式的因式分解，那将在分式学习中举步维艰，无从下手。
所以因式分解是我们解决许多数学问题的有力工具，而因式分解的方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用，也是发展学生智能、培养能力、深化学生逆向思维的良好载体。
一、因式分解在初中阶段最常用的方法有提取公因式法，运用公式法，分组分解法和十字相乘法等1．提公因式法如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
这种分解因式的方法叫做提公因式法。
am+bm+cm=m(a+b+c) 。
例如：-2x3-2x2 +8x=-2x(x2+x-4)2．运用公式法（1）平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)（2）完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2（3）立方和公式：a3+b3= (a+b)(a2-ab+b2)立方差公式:a3-b3= (a-b)(a2+ab+b2)例如： 3x6-3x2=3x2(x4 -1) = 3x2(x2 +1) (x2 -1)=3x2(x2 +1) (x +1) (x -1)3．分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后再进行分解因式的方法。
分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。
例如： m2+5n-mn-5m = m2-5m-mn+5n= (m2-5m )+(-mn+5n) = m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4．十字相乘法二次三项式x2+(p+q)x+pq型的特点是：二次项的系数是1，常数项是两个数的积，一次项系数是常数项的两个因数的和。
试述因式分解在中学代数中的地位
试述因式分解在中学代数中的地位
因式分解是一种在中学代数课程中常见的数学操作，它的作用是将一个多项式分解为两个或更多的因式的乘积。
因式分解有助于学生理解多项式的结构，并且在解决一些代数问题时也很有用。
例如，因式分解可以帮助学生解决方程，并且在求解多项式的根时也有用。
因此，因式分解在中学代数课程中占有重要地位，是学生掌握的重要技能之一。
在进行因式分解时，学生需要熟练掌握一些基本的数学操作，如分解质因数和使用二次平方公式。
因式分解的过程可以分为以下几个步骤：
1.将多项式化为最简式。
2.求出多项式的最高次幂项系数。
3.尝试将最高次幂项系数分解为两个数的乘积。
4.将分解出的两个数分别乘以最高次幂项和常数项的相应因式，并用括号括起来。
5.继续分解每个因式，直到无法继续分解为止。
在分解过程中，学生需要运用自己的逻辑思维能力，并结合相关的数学知识来进行分析。
在完成因式分解后，学生还需要运用因式分解的结果来解决实际问题，例如求解多项式的根或解决方程。
总之，因式分解是一种在中学代数课程中十分重要的操作，有助于学生加深对多项式的理解，并在解决实际问题时发挥作用。
因式分解 在数学中的作用
因式分解在数学中的作用《因式分解在数学中的作用》想象一下，你走进了一间充满活力的初中数学课堂。
阳光透过窗户洒在课桌上，同学们的脸上洋溢着青春的气息，眼睛里透着对知识的渴望。
讲台上站着的是数学老师李老师，他戴着一副黑框眼镜，头发有点稀疏，但是眼神中充满了智慧。
今天的数学课，李老师在黑板上写下了一个大大的式子：$x^2 - 4$。
然后他清了清嗓子，对着同学们说：“同学们，今天咱们来玩一个数学魔法，把这个式子变个样子。
”同学们都好奇地盯着黑板。
我坐在座位上，心里想：这式子看起来有点复杂，怎么变呢？这时候，我的同桌小声嘀咕：“这看起来像个迷宫，不知道该怎么走。
”李老师似乎看穿了我们的心思，笑着说：“这个时候啊，因式分解就像一把神奇的钥匙，可以帮我们打开这个迷宫的大门。
”只见他拿起粉笔，“唰唰”几下，把式子写成了$(x + 2)(x - 2)$。
“哇！”同学们发出一阵惊叹。
李老师接着说：“你们看，因式分解就这么神奇。
那它在数学里到底有什么用呢？这就好比是一个超级工具包，在很多地方都能派上大用场。
”首先，因式分解就像是数学中的“放大镜”。
比如说，我们要解方程$x^2 - 4 = 0$。
如果没有因式分解，我们可能要费好大的劲儿。
但是现在呢，我们把它分解成$(x + 2)(x - 2)=0$。
这时候就简单多了，就像把一个复杂的大问题分解成了两个小问题。
我只要让$x + 2 = 0$或者$x - 2 =0$，就能轻松地求出$x = 2$或者$x = - 2$。
这难道不像是用放大镜把问题看清楚了吗？再来说说计算。
如果我们要计算$201\times199$，直接算的话有点麻烦。
但是我们可以把它变成$(200 + 1)\times(200 - 1)$，然后根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，这里$a = 200$，$b = 1$，就可以轻松得到$200^2 - 1^2 = 40000 - 1 = 39999$。
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因式分解论文初中数学论文：因式分解在初中数学中的重要
作用
初中数学中，因式分解是最常用最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中。
例如，在八年级的《分式》教学中，处处让学生感受到因式分解的存在，不论是在约分、通分以及分式的各种运算中，都需要进行因式分解才能解答。
学生如果不能正确地进行多项式的因式分解，那将在分式学习中举步维艰，无从下手。
所以因式分解是我们解决许多数学问题的有力工具，而因式分解的方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用，也是发展学生智能、培养能力、深化学生逆向思维的良好载体。
一、因式分解在初中阶段最常用的方法有提取公因式法，运用公式法，分组分解法和十字相乘法等
1．提公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
这种分解因式的方法叫做提公因式法。
am+bm+cm=m(a+b+c) 。
例如：-2x3-2x2 +8x=-2x(x2+x-4)
2．运用公式法
（1）平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
（2）完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2
（3）立方和公式：a3+b3= (a+b)(a2-ab+b2)
立方差公式:a3-b3= (a-b)(a2+ab+b2)
例如： 3x6-3x2=3x2(x4 -1) = 3x2(x2 +1) (x2 -1) =3x2(x2 +1) (x +1) (x -1)
3．分组分解法
分组分解法：把一个多项式分组后再进行分解因式的方法。
分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。
例如： m2+5n-mn-5m = m2-5m-mn+5n
= (m2-5m )+(-mn+5n) = m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4．十字相乘法
二次三项式x2+(p+q)x+pq型的特点是：二次项的系数是1，常数项是两个数的积，一次项系数是常数项的两个因数的和。
因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解: x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 。
例：x2-5x+4=(x-1)(x-4)
二、在中学数学中，学习因式分解对于我们解题技能的培养有着独特的作用和价值。
1．运用因式分解可以求一些无法直接求解的代数式的值，即整体代入法
例：已知：a+b=1, 求a3+3ab+b3的值。
分析：在解题过程中，认真观察题目特点，先分组，再考虑运用公式法分解因式变形成含有a+b的式子，然后直接代入求值。
既运用了知识，又简便了运算。
解： a3+3ab+b3 = (a3+b3)+3ab
=(a+b)(a2-ab+b2)+3ab = a2-ab+b2+3ab
=a2+2ab+b2 = (a+b)2
=12 = 1
2．利用因式分解可判断多项式或数的整除性
例：判断993-99能被100整除吗？
解：993-99=99（992-1）=99（99+1）（99-1）
=99×100×98
通过利用因式分解变形含有因式100，所以993-99能被100整除。
3．利用因式分解与几何中三角形的三边关系的结合解决一些综合题
例：已知a,b,c为三角形abc的三边，利用因式分解证明b2-a2+2ac-c2>0
证明：
b2-a2+2ac-c2=b2-(a2-2ac+c2)=b2-(a2-c2)=(b+a-c)(b-a+
c)
因为a+b>c b+c>a
所以b+a-c>0 b-a+c>0
所以 b2-a2+2ac-c2>0
4.因式分解对分式的运算起着非常重要的作用。
（1）分式的乘除法要进行约分，而分式约分首先要将分子，分母分解因式才能进行。
（2）分式的加减法中的将异分母化为同分母需要通分，而找最简公分母时多项式也需要将各分母分解因式。
总之，在探究因式分解的方法活动中，教师要通过对整式乘法与因式分解之间的互逆关系的探究过程，培养学生有条理的思考，表达与交流的能力，引导学生在活动中运用类比的思想进行思考，并自觉地用语言说明变形过程，有意识地培养学生逆向思考问题的习惯。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以pdf 格式阅读原文。