3.1一维晶格振动 固体物理研究生课程讲义

m
弹性波
m
2π a
π a
o
πa
Vp q
vp a
m
由连续介质波
弹性模量
的传播速度： v p 介质密度
q 2π a
vp a
m
在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质，格波可视 为弹性波。
例1.求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原
子质量为m，恢复力常数为(只考虑近邻原子间的相互作用)。
2a
2a
N s N
2
2
(共有N个值)
由N个原胞组成的一维双原子链，波矢的数目为N，频率的
数目为2N，格波(振动模式)数目为2N。
一维双原子链，每个原胞有两个原子，晶体的自由度数是2N。
晶格振动波矢的数目=晶体的原胞个数 晶格振动频率(振动模式)的数目=晶体中原子的自由度数
3.声学波和光学波
(1)当波矢q
1 2
mM
mM
m
M
m
M 1
4mM
m M 2
(
aq
)
2
1
2
mM
m
M m
M 1
2mM
m M 2
(aq)2
mM
2mM
m M
(
aq
)
2
A
2
mM
aq
vpq
vp
2
mM
a
(2)相邻原子的振幅之比
2 cos aqA M 2 2 B 0 m 2 2 A 2 cos aqB 0
2
2
O
m
A
2
M
π
o
πq
2a
2a
q
π 时:
2a
o min
2
m
2
A max
M
(2)波矢q的取值
由玻恩----卡门边界条件，设晶体有N个原胞，则：
x2n x2(n N ) ,
Aeit 2naq Aeit 2n N aq
ei 2 Naq 1,
2 Naq
2πs
(
s为整数
),
q
π Na
s
π q π
2 1 {2(m M ) [2(m M ) ]2 4mM 4 2 (1 cos2 aq)}
2mM
1 {2(m M ) 2 (m M )2 4mM (1 cos2 aq)}
2mM
{(m M ) m 2 M 2 2mM 4mM cos2 aq }
mM
{(m M ) m 2 M 2 2mM cos 2aq }
cos
2aq
1 2
0(+)-----光学支格波， A(-)-----声学支格波 推导略
2 cos aq m 2 2
M 2 2 0
2 cos aq
4 2 cos 2 aq mM 4 2(m M ) 2 4 2 0
mM 4 2(m M ) 2 4 2 (1 cos2 aq) 0
解:设最近邻原子间的恢复力系数为，则:
m
..
xn
xn
xFra Baidu bibliotek1
xn
x n1
xn Ae i t naq
将试探解代入振动方程得色散关系:
2
sin aq
m
2
由玻恩---卡门周期性边界条件:
x1 x1 N
eiNaq 1
S为整数
Naq 2π s
q 2π s 5a
π q π
a
a
5<s 5
m
..
xn
xn
xn1
xn
x n1
m
..
xn
2xn
xn1
xn1
给出试探解： xn Ae i t naq
x Aei[t( n1)aq] n1
原子都以同一频率，同一振幅A振动,相邻原子间的位相差
为aq。晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关
系,即原子的振动形成了波，这种波称为格波。
高次项，只保留到(r)2项---简谐近似。
(忽略掉作用力中非线性项的近似---简谐近似。)
得:
fnk
d2u dr2
r0
xnk
nk xnk
nk
d2u dr 2
r0
fn nk xn xk
k
弹性恢复力系数
原子的振动方程:
m
..
xn
nk
xn
xk
k
n k a r0
只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等：
u(r )
u(r0 )
1 2
d2u dr 2
r0
xn2k
1 6
d3u dr 3
r0
xn3k
第 n个与第 k个原子间的相互作用力:
f nk
du dr
d2u dr 2
r0
x nk
1 2
d3u dr 3
r0
x
2 nk
f nk
du dr
d2u dr 2
r0
xnk
1 2
d3u dr 3
r0
xn2k
振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（r）二次方以上的
第一节 一维晶格的振动
本节主要内容: 3.1.1 一维单原子链的振动 3.1.2 一维双原子链(复式格子)的振动
§3.1 一维晶格的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
1. 振动方程及其解
(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为 a，原子质量为m。
第n-2个原子
第n-1个原子 第n个原子
第n+1个原子 第n+2个原子
a
Xn-2
Xn-1
Xn
Xn+1
Xn+2
第n-2个原子
第n-1个原子 第n个原子
第n+1个原子 第n+2个原子
a
Xn-2
Xn-1
Xn
Xn+1
Xn+2
用xn和xk分别表示序号为n和k的原子在t时刻偏离平衡位置的
位移，用xnk= xn-xk表示在t时刻第n个和第k个原子的相对位移。
x2n1 Ae i t 2n1aq
x2n Beit2naq
其他原子位移可按下列原则得出:
(1)同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅 不同。
(2)相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为2aq。
x 2 n1 Ae i t 2 n1aq
x B e 2 n 2
[ t ( 2 n 2 )aq ]
A 2 cos aq B 2 m 2
对于声学支格波:
A 2 cos(aq)
BA
2
m
2 A
π q π
2a
2a
cos( aq ) 0, A
2
M
, 所以2
m
2 A
0,
A 0 BA
声学支格波，相邻原子都是沿着同一方向振动的。
q 0, cosaq 1； 0 A B A
长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同原子以相 同的振幅和位相作整体运动。因此，可以说，长声学波代表了 原胞质心的运动。
mM
(1)色散曲线
2 o
mM
m M
m 2 M 2 2mM
cos
2aq
1 2
2 A
mM
m M
m 2 M 2 2 mM
cos
2 aq
1 2
(q) (q)
π q π
2a
2a
(q π ) q
a
q 0时 :
2(m M ) 2
o max
mM
A min
0
折合质量
o
πa
2π a
当 q , q 2 π s ( s为整数 ), a
(q) (q)
且
i t na ( q 2 π s )
x n (q ) A e
a xn( q )
a
4a
a
4a 5
x
当 q , q 2 π s ( s为整数 ), a
且 xn( q ) xn( q )
..
x M 2 n x 2 n1 x 2 n1 2 x 2 n ..
m x 2 n 1 x 2 n 2 x 2 n 2 x 2 n1
x2n1 Ae i t 2n1aq
x2n Bei t 2naq
2.色散关系
M Be 2 i(t2naq) {Aei[t(2n1)aq] Aei[t(2n1)aq] 2Bei(t2naq)}
s ( N 1),( N 2),( N 3), ,1, 0,1, 2, , N (共N个值)
2
2
2
2
波矢 q
2π Na
s
也只能取N个不同的值。
晶格振动波矢只能取分立的值
波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目
4. 长波极限:
q
2π
0
2
sin aq 2
aq a
q
m
2
m2
m
Vp q
vp a
将试探解代入振 动方程得振动频率:
2 sin aq
m2
色散关系 (晶格振动谱) 推导略
m
..
xn
2xn
xn1
xn1
给出试探解: xn Ae i t naq
.
xn
iAei t naq
..
xn
( i
)2 A e i t naq
2 A e i t naq
mA e2 i t naq
2 A e i wt naq A e i t n1aq A e i t n1aq
m 2 ( 2 eiaq eiaq )
m 2 [2 (cos aq i sin aq) (cos aq i sin aq)]
(2 2cos aq) 4 sin 2 aq
(2)振动方程和解
平衡时，第k个原子与第n个原子相距 n k a r0
u(r )为两个原子间的互作用势能，平衡时为 u(r0 ) ，
t时刻为 u(r) u(r0 r)
u(r) u(r0 r)
u(r0
)
du dr
r0
r
1 2
d2u dr2
r0
(
r
)2
1 6
d3u dr3
r0
(
r)3
x nk
M 2B eiaq eiaq A 2 B
m Ae 2 i[t(2n1)aq] {Bei[t(2n2)aq] Bei(t2naq) 2Aei[t(2n1)aq]}
m 2 A eiaq eiaq B 2 A
上式看成是以A、B为未知数的线性齐次方程；
2 cos aq A M 2 2 B 0 m 2 2 A 2 cos aq B 0
2n-2
2n-1
2n
2n+1
2n+2
M
m
质量为M的原子编号为2n-2 、2n、2n+2、···
质量为m的原子编号为2n-1 、2n+1、2n+3、···
x2n-2
x2n-1
x2n
x2n+1
x2n+2
(2)方程和解
m
..
xn
nk xn
xk
k
若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：
..
M x2n x2n x2n1 x2nx2n1
x2n1 x2n1 2 x2n
..
x m 2n1 x 2n1 x 2n 2 x 2n1 x 2n
x2n2 x2n 2x2n1
..
x M 2 n x 2 n1 x 2 n1 2 x 2 n ..
m x 2 n 1 x 2 n 2 x 2 n 2 x 2 n1
n-2 n-1 n mm
n+1 n+2
a
m
..
xn
xn
xn1
xn
x n1
xn Aei t naq
2 sin aq
m
2
2
m
π q π
a
a
xn xnN
π a
o
πa
晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数
3.1.2 一维双原子链(复式格)的振动
1. 运动方程和解
(1) 模型:一维无限长原子链，原子质量为m和M，且m<M。 相邻原子间距均为a，恢复力系数为。 (晶格常量为2a )
(q) (q)
m
故取
π q π
a
a
π a
o
πa
简约布里渊区
3. 玻恩---卡门周期性边界条件及波矢q的取值
(1)玻恩---卡门周期性边界条件
设在实际晶体外，仍然有无限多个完全相同的晶体相连接， 各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。
晶体中任一个原子，当其原胞标数增加N（N为晶体中
原胞的个数 ）后，其振动情况复原。由N个原胞组成的单原
0时,
cos( 2aq ) 1 1 2aq 2 则,
2
2 A
mM
m
M
m2
M2
2mM
cos2aq
1 2
A
2
mM
aq,
vp
2
mM
a
在长波近似的情况下，声学支格波与弹性波的情况类似。 推导略
2 A
mM
m
M
m2
M 2 2mM
cos2aq
1 2
m
M
m 2
M
2
2mM
4mM (aq)2
若A，B不全为零，必须其系数行列式为零，即:
2 cos aq m 2 2
M 2 2 0 2 cos aq
2 {(m M ) m 2 M 2 2mM cos 2aq }
mM
2 o
mM
m M
m 2 M 2 2mM
cos
2aq
1 2
2 A
mM
m M
m 2 M 2 2mM
2
2
5<s 5
2
2
s 2, 1, 0, 1, 2
q 4 π , 2 π ,0 , 2 π , 4 π 5a 5a 5a 5a
2 sin aq
m
2
1 2
m
sin
2π 5
,21
2
sin m
π 5
,3
0,4
2
,5
1
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
子链，由玻恩---卡门周期性边界条件: xn xn N
(2)波矢q的取值 对于一维布拉维晶格(原胞标数与原子标数相同):
xn xnN
A e i t naq A e i[ t ( n N )aq ]
eiNaq 1
π q π
a
a
Naq 2π s
N s N
2
2
整数
q 2π s Na
2
2 sin aq
m
2
2.色散关系
当
q ,
a
max
2
; m
当 q 0, min 0
由色散关系式可画图如下:
m
2 sin aq
m
2
2π / a π / a
0
π/a
2π / a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。
m
2 sin aq
m
2
2π a
π a