(完整版)导数的概念及其几何意义同步练习题(教师版)
河东教育北师大高中数学选修同步练习:第章 导数的概念及其几何意义 导数的概念
导数的概念及其几何意义 导数的概念 同步练习一,选择题:1.已知函数f(x)=2x+5,当x 从2变化到4时,函数的平均变化率是( )A 、 2B 、 4C 、 2D 、 -22.一个物体的运动方程为21s t t 其中S 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A 、 7米/秒B 、6米/秒C 、 5米/秒D 、 8米/秒4.32()32f x ax x =++,若(1)4f '-=,则a 的值等于( ) A .319 B .316 C .313 D .310 5.如果()f x 为偶函数,且导数()f x 存在,则()0f '的值为 ( )A .2B .1C .0D .-16、根据导数的定义,)(1'x f 等于( )A. 01010)()(lim 1x x x f x f x --→ B.x x f x f x ∆-→∆)()(lim 010 C.x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 110 D.xx f x x f x ∆-∆+→)()(lim 1101 7、 物体作直线运动的方程为)(t s s =,则10)4('=s 表示的意义是( )(A )经过4s 后物体向前走了10m (B )物体在前4s 内的平均速度为10m/s(C )物体在第4s 内向前走了10m (D )物体在第4s 时的瞬时速度为10m/s8、某人拉动一个物体前进,他所做的功W (J )是时间t (s )的函数t t t t W W 166)(23+-==,则他在时刻s t 2=时的功率为( )(A )4s J / (B )16s J / (C )5s J / (D )8s J /9、一辆汽车从停止时开始加速行驶,并且在5秒内速度)/(s m v 与时间t (s )的关系近似表示为t t t f v 10)(2+-==,则汽车在时刻1=t 秒时的加速度为( )(A )9s m / (B )92/s m (C )82/s m (D )72/s m10、 若函数x x x f +-=2)(的图像上一点)2,1(--及邻近一点)2,1(y x ∆+-∆+-,则=∆∆xy ( )(A )3 (B )2)(3x x ∆-∆ (C )2)(3x ∆- (D )x ∆-311、若函数)(x f 对于任意x ,有3'4)(x x f =,1)1(-=f ,则此函数为( )(A )1)(4+=x x f (B )2)(4-=x x f(C )1)(4-=x x f (D )2)(4+=x x f12、已知函数63)(23-+=x ax x f ,若4)1('=-f ,则实数a 的值为( )(A )319 (B )316 (C )313 (D )310 二,填空题: 13、一质点运动方程为2t s =,则质点在4=t 时的瞬时速度为 。
(完整版)导数的几何意义练习题
导数的几何意义命题人:刘春来 时间:9.18 姓名: 学号:1.曲线x y e 在点A (0,1)处的切线斜率为( )A.1B.2C.eD.1e 2.若曲线y =在点(a ,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a 等于( ) A .64B .32C .16D .8 3.已知点P 在曲线y =4e x +1上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( ) A .(0,π4) B .(π4,π2) C .(π2,3π4) D .[3π4,π) 4.曲线y =e x 在点(2,e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.94e 2 B .2e 2 C .e 2 D.e 225.若函数f (x )=e x +a e -x 的导函数是奇函数,并且曲线y =f (x )的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标是 ( )A .-ln 22B .-ln 2 C.ln 22D .ln 2 6.如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图像,则f (2)+f ′(2)=________.7.若曲线 f (x )=x 4-x 在点P 处的切线平行于直线3x -y =0,则点P 的坐标为________.8.若点P 是曲线f (x )=x 2-ln x 上任意一点,则点P 到直线y =x -2的最小距离为________.9.设点P 是曲线y =x 33-x 2-3x -3上的一个动点,则以P 为切点的切线中,斜率取得最小值时的切线方程是__________________.10.已知曲线y =13x 3+43. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程;(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程.12.已知曲线y =16x 2-1与y =1+x 3在x =x 0处的切线互相垂直,求x 0的值.13.已知函数f (x )=12x 2-a ln x (a ∈R). (1)若函数f (x )的图象在x =2处的切线方程为y =x +b ,求a ,b 的值;(2)若函数f (x )在(1,+∞)上为增函数,求a 的取值范围.。
2.2导数的概念及其几何意义(讲义+典型例题+小练)(解析版)
2.2导数的概念及其几何意义(讲义+典型例题+小练)一.导数的定义:0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤:①求函数的增量:00()()y f x x f x ∆=+∆-;②求平均变化率:00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆; ③取极限得导数:00'()lim x yf x x∆→∆=∆例1:1.设()()22lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆,则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线的倾斜角是( ) A .4π B .3π C .34π D .23π 【答案】C 【分析】根据导数的概念可得()21f '=-,再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】 因为()()()022lim222x f x f x f x∆→+∆--∆'==-∆,所以()21f '=-,则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为1-,故所求切线的倾斜角为34π. 故选:C2.已知函数()y f x =在0x x =处的导数为1,则()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=∆( )A .0B .12C .1D .2【分析】由已知结合导数的定义即可直接求解. 【详解】解:因为函数()y f x =在0x x =处的导数为1, 则()()()()()0000000111limlim 2222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.故选:B . 【点睛】本题考查导数的概念,涉及极限的性质,属于基础题.举一反三:1.设()f x 是可导函数,且()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=-∆,则0()f x '=( )A .2B .1-C .1D .2-【答案】D 【分析】由导数的定义可得()()0000lim ()x f x f x f x x x∆→+-'=∆∆,即可得答案.【详解】 根据题意,()()0000lim()2x f x f x f x x x∆→∆+-'==-∆,故0()2f x '=-. 故选:D . 【点睛】本题考查导数的定义,属于基础题. 2.若()02f x '=,则()()000lim2h f x h f x h→+-=______.【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的几何定义即可计算.()()()()()000000011limlim 1222h h f x h f x f x h f x f x h h →→+-+-'===.故答案为:1.二.导数的几何意义:函数()f x 在0x 处导数的几何意义,曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。
高中数学 文导数的概念几何意义及公式同步练习 人教实验B版.doc
高二数学人教实验B 版<文>导数的概念、几何意义及公式同步练习(答题时间:50分钟)一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)1. 已知函数42)(2-=x x f 的图象上一点(1,2-)及邻近一点)2,1(y x ∆+-∆+,则xy∆∆等于( )A. 4B. x 4C. x ∆+24D. 2)(24x ∆+2. 已知曲线2212-=x y 上一点P (1,23-),过点P 的切线的倾斜角为( ) A. ︒30 B. ︒45 C. ︒135 D. ︒1653. 如果质点按规律3t s =运动,则在3=t 时的瞬时速度为( ) A. 3 B. 9 C. 27- D. 27 4. 曲线x y =在点P (4,2)处的切线方程为( ) A. 044=++y x B. 044=+-y x C. 0124=++y x D. 0124=+-y x5. 抛物线2x y =上何处的切线与直线013=+-y x 的夹角是︒45( )A. )1,1(-B. )161,41(C.(1,1)D. )1,1(-与)161,41(6. 过点P (2,1-)且与曲线2432+-=x x y 在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是( )A. 042=++y xB. 042=+-y xC. 042=--y xD. 042=-+y x二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 7. 设)(x f 在点0x 处可导,a 为常数,则xx a x f x a x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim 000= 。
8. 函数xy 1=的导数'y =________________。
9. 函数xxx f +-=11log )(2的导数)x ('f =________________。
10. 曲线2x x )x (f 3-+=在P 0处的切线平行于直线1x 4y -=,则P 0点的坐标为 。
江西省高二数学北师大版选修2-2同步精练:2.2导数的概念及其几何意义 Word版含答案
1.函数f (x )=1-3x 在x =2处的导数为( ). A .-3B .-2C .-5D .-12.设函数f (x )为可导函数,则0(1)(1)lim 2x f x f x∆→+∆-∆等于( ).A .f ′(1)B .2f ′(1)C .12f ′(1)D .f ′(2)3.如果过函数y =f (x )图像上点A (3,a )的切线与直线2x +y +1=0平行,则f ′(3)=( ).A .2B .12-C .-2D .124.已知曲线y =2ax 2+1过点,3),则在该点处的切线方程是( ). A .y =-4x -1B .y =4x -1C .y =4x -11D .y =-4x +75.已知曲线y =x 3上过点(2,8)的切线方程为12x -ay -16=0,则a =( ). A .-1B .1C .-2D .26.如果曲线y =x 3+x -10的一条切线与直线y =4x +3平行,则曲线与切线相切的切点坐标为( ).A .(1,-8)B .(-1,-12)C .(1,-8)或(-1,-12)D .(1,-12)或(-1,-8)7.已知函数y =f (x )的图像在点M (1,f (1))处的切线方程为y =12x +2,则f (1)+f ′(1)=__________.8.已知f (x )在x =6处可导,且f (6)=8,f ′(6)=3,则226[()][(6)]lim 6x f x f x →--=__________.9.已知点M (0,-1),过点M 的直线l 与曲线f (x )=13x 3-4x +4在点42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线平行,求直线l 的方程.10.已知直线l 1为曲线y =x 2+x -2在点(1,0)处的切线,l 2为该曲线的另一条切线,且l 1⊥l 2,求直线l 2的方程.参考答案1.答案:A 解析:f ′(2)=00(2)(2)13(2)(132)lim limx x f x f x x x∆→∆→+∆--+∆--⨯=∆∆ =0lim x ∆→(-3)=-3.2.答案:B 解析:00(1)(1)1(1)(1)1limlim (1)222x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆ .3.答案:B 解析:因为过点A (3,a )的切线与2x +y +1=0平行,所以过A 点的切线斜率f ′(3)=-2.4.答案:B 解析:由3=2a 2+1,得a =1或a =-1(舍去).又∵f ′(1)=22002(1)1(211)limlim x x a x a x∆→∆→+∆+-⨯+=∆(4+2Δx )=4, ∴在点(1,3)处的切线方程为y -3=4(x -1), ∴y =4x -1.5.答案:B 解析:k =3300(2)2limlim x x x x∆→∆→+∆-=∆[12+6Δx +(Δx )2]=12, ∴过点(2,8)的切线方程为y -8=12(x -2),即y =12x -16,∴a =1. 6.答案:B 解析:设切点坐标为P (x 0,y 0),则y 0=x 03+x 0-10.切线斜率为k =3300000()()10(10)lim x x x x x x x x∆→+∆++∆--+-∆=0lim x ∆→(3x 02+1)+3x 0·Δx +(Δx )2]=3x 02+1=4,∴x 0=±1.当x 0=1时,y 0=-8;当x 0=-1时,y 0=-12,即切点为(1,-8)或(-1,-12). 7.答案:3 解析:f (1)=12×1+2=52,f ′(1)=12,∴f (1)+f ′(1)=52+12=3. 8.答案:48 解析:f ′(6)=3,∴6()(6)lim6x f x f x →--=3.∴226[()][(6)]lim 6x f x f x →-- =6[()(6)][()(6)]lim6x f x f f x f x →-+-=[f (6)+f (6)]·f ′(6)=(8+8)×3=48. 9.答案:解:Δy =13(2+Δx )3-4(2+Δx )+4-311242433⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭(Δx )3+2(Δx )2, ∴13y x ∆=∆(Δx )2+2Δx , ∴2001limlim ()23x x y x x x ∆→∆→∆⎡⎤=∆+∆⎢⎥∆⎣⎦=0,即k =f ′(2)=0.∴直线l 的方程为y =-1.10.解:f ′(1)=220(1)(1)2(112)lim x x x x∆→+∆++∆--+-∆=3,即l 1的斜率为k 1=3,∴直线l 1的方程为y =3(x -1),即y =3x -3.设直线l 2过曲线y =x 2+x -2上的点P (x 0,x 02+x 0-2),∴f ′(x 0)=2200000()()2(2)lim x x x x x x x x∆→+∆++∆--+-∆=0lim x ∆→(2x 0+Δx +1)=2x 0+1,则直线l 2的斜率为k 2=f ′(x 0)=2x 0+1. 又∵l 1⊥l 2,∴k 1k 2=-1,即3(2x 0+1)=-1,∴x 0=23-,y 0=22233⎛⎫-- ⎪⎝⎭-2=209-.∴切点为220,39⎛⎫-- ⎪⎝⎭,斜率k 2=13-,∴直线l 2的方程为y +2012933x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, ∴3x +9y +22=0.。
高中数学2.2导数的概念及其几何意义同步精练北师大版选修2-2
高中数学 2.2 导数的概念及其几何意义同步精练 北师大版选修2-21.函数f (x )=1-3x 在x =2处的导数为( ).A .-3B .-2C .-5D .-12.设函数f (x )为可导函数,则0(1)(1)lim2x f x f x ∆→+∆-∆等于( ). A .f ′(1)B .2f ′(1)C .12f ′(1)D .f ′(2) 3.如果过函数y =f (x )图像上点A (3,a )的切线与直线2x +y +1=0平行,则f ′(3)=( ).A .2B .12-C .-2D .124.已知曲线y =2ax 2+1过点3),则在该点处的切线方程是( ).A .y =-4x -1B .y =4x -1C .y =4x -11D .y =-4x +7 5.已知曲线y =x 3上过点(2,8)的切线方程为12x -ay -16=0,则a =( ).A .-1B .1C .-2D .2 6.如果曲线y =x 3+x -10的一条切线与直线y =4x +3平行,则曲线与切线相切的切点坐标为( ).A .(1,-8)B .(-1,-12)C .(1,-8)或(-1,-12)D .(1,-12)或(-1,-8) 7.已知函数y =f (x )的图像在点M (1,f (1))处的切线方程为y =12x +2,则f (1)+f ′(1)=__________. 8.已知f (x )在x =6处可导,且f (6)=8,f ′(6)=3,则226[()][(6)]lim 6x f x f x →--=__________.9.已知点M (0,-1),过点M 的直线l 与曲线f (x )=13x 3-4x +4在点42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线平行,求直线l 的方程.10.已知直线l 1为曲线y =x 2+x -2在点(1,0)处的切线,l 2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2,求直线l2的方程.参考答案1.答案:A 解析:f ′(2)=00(2)(2)13(2)(132)limlim x x f x f x x x∆→∆→+∆--+∆--⨯=∆∆ =0lim x ∆→(-3)=-3. 2.答案:B 解析:00(1)(1)1(1)(1)1lim lim (1)222x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆ . 3.答案:B 解析:因为过点A (3,a )的切线与2x +y +1=0平行,所以过A 点的切线斜率f ′(3)=-2.4.答案:B 解析:由3=2a 2+1,得a =1或a =-1(舍去).又∵f ′(1)=22002(1)1(211)lim lim x x a x a x∆→∆→+∆+-⨯+=∆(4+2Δx )=4, ∴在点(1,3)处的切线方程为y -3=4(x -1),∴y =4x -1.5.答案:B 解析:k =3300(2)2lim lim x x x x∆→∆→+∆-=∆[12+6Δx +(Δx )2]=12, ∴过点(2,8)的切线方程为y -8=12(x -2),即y =12x -16,∴a =1.6.答案:B 解析:设切点坐标为P (x 0,y 0),则y 0=x 03+x 0-10. 切线斜率为k =3300000()()10(10)lim x x x x x x x x∆→+∆++∆--+-∆ =0lim x ∆→(3x 02+1)+3x 0·Δx +(Δx )2] =3x 02+1=4,∴x 0=±1.当x 0=1时,y 0=-8;当x 0=-1时,y 0=-12,即切点为(1,-8)或(-1,-12).7.答案:3 解析:f (1)=12×1+2=52,f ′(1)=12, ∴f (1)+f ′(1)=52+12=3. 8.答案:48 解析:f ′(6)=3,∴6()(6)lim 6x f x f x →--=3. ∴226[()][(6)]lim 6x f x f x →--=6[()(6)][()(6)]lim 6x f x f f x f x →-+- =[f (6)+f (6)]·f ′(6)=(8+8)×3=48.9.答案:解:Δy =13(2+Δx )3-4(2+Δx )+4-311242433⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭(Δx )3+2(Δx )2, ∴13y x ∆=∆(Δx )2+2Δx , ∴2001limlim ()23x x y x x x ∆→∆→∆⎡⎤=∆+∆⎢⎥∆⎣⎦=0, 即k =f ′(2)=0.∴直线l 的方程为y =-1.10.解:f ′(1)=220(1)(1)2(112)lim x x x x∆→+∆++∆--+-∆=3, 即l 1的斜率为k 1=3,∴直线l 1的方程为y =3(x -1),即y =3x -3.设直线l 2过曲线y =x 2+x -2上的点P (x 0,x 02+x 0-2), ∴f ′(x 0)=2200000()()2(2)lim x x x x x x x x∆→+∆++∆--+-∆ =0lim x ∆→(2x 0+Δx +1)=2x 0+1, 则直线l 2的斜率为k 2=f ′(x 0)=2x 0+1.又∵l 1⊥l 2,∴k 1k 2=-1,即3(2x 0+1)=-1,∴x 0=23-,y 0=22233⎛⎫-- ⎪⎝⎭-2=209-. ∴切点为220,39⎛⎫-- ⎪⎝⎭,斜率k 2=13-, ∴直线l 2的方程为y +2012933x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, ∴3x +9y +22=0.。
(完整版)导数的几何意义(基础练习题)
导数的几何意义(1)1.设f(x)=1x,则limx→af x-f ax-a等于( )A.-1aB.2aC.-1a2D.1a22.在曲线y=x2上切线倾斜角为π4的点是( )A.(0,0) B.(2,4)C.(14,116) D.(12,14)3.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a=( )A.1 B.1 2C.-12D.-14.若曲线y=h(x)在点P(a,h(a))处切线方程为2x+y+1=0,则( )A.h′(a)<0 B.h′(a)>0C.h′(a)=0 D.h′(a)的符号不定5.一木块沿某一斜面自由下滑,测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s=18t2,则当t=2时,此木块在水平方向的瞬时速度为( )A. 2B. 1C.12D.146.函数f (x )=-2x 2+3在点(0,3)处的导数是________.7.如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图像,则f (2)+f ′(2)=________.8.设曲线y =x 2在点P 处的切线斜率为3,则点P 的坐标为________.9.已知曲线y =2x 2上的点(1,2),求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程.10.求双曲线y =1x 在点(12,2)处的切线的斜率,并写出切线方程.导数的几何意义(2)1.如果曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为x +2y -3=0,那么( )A .f ′(x 0)>0B .f ′(x 0)<0C .f ′(x 0)=0D .f ′(x 0)不存在2.函数在处的切线斜率为( ) A .0 B 。
1 C 。
2 D 。
33.曲线y =12x 2-2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-32处切线的倾斜角为( )A .1B.π4 C.54πD .-π44.在曲线y =x 2上切线的倾斜角为π4的点是( ) A .(0,0) B .(2,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14,116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,14 5.设f (x )为可导函数,且满足lim x →0 f (1)-f (1-2x )2x=-1,则过曲线y =f (x )上点(1,f (1))处的切线斜率为( ) A .2 B .-1 C .1D .-26.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线( ) A .不存在B .与x 轴平行或重合C .与x 轴垂直D .与x轴斜交7.函数在点处的导数的几何意义是__________________________________________________;曲线在点P处的切线方程为是_____________________________________________.8.已知函数f(x)=x2+3,则f(x)在(2,f(2))处的切线方程为_________________________9.求过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程10.若曲线f(x)=ax3+3x2+2在x=-1处的切线斜率为4,求a的值。
导数的概念和几何意义同步练习题(教师版)
导数的概念和几何意义同步练习题一、选择题1.若幂函数()y f x =的图像经过点11(,)42A ,则它在A 点处的切线方程是( ) A. 4410x y ++= B. 4410x y -+= C .20x y -= D. 20x y +=【答案】B 【解析】试题分析:设()af x x =,把11(,)42A 代入,得1142a =,得12a =,所以12()f x x ==()f x '=,1()14f '=,所以所求的切线方程为1124y x -=-即4410x y -+=,选B.考点:幂函数、曲线的切线.2.函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为( ) A 、4π B 、0 C 、43πD 、1 【答案】A 【解析】试题分析:由)sin (cos )('x x e x f x -=,则在点()()0,0f 处的切线的斜率1)0('==f k ,1.利用导数求切线的斜率;2.直线斜率与倾斜角的关系 3.曲线xy e =在点2(2)e ,处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.2e B.22e C.24eD.22e 【答案】D 【解析】试题分析:∵点2(2)e ,在曲线上,∴切线的斜率'222xx x k ye e --===,∴切线的方程为22(2)y e e x -=-,即220e x y e --=,与两坐标轴的交点坐标为2(0,)e -,(1,0),∴221122e S e =⨯⨯=.考点:1.利用导数求切线方程;2.三角形面积公式.4.函数2()f x x =在点(2,(2))f 处的切线方程为( ) A .44y x =-B .44y x =+C .42y x =+D .4y =【答案】A 【解析】试题分析:由x x f 2)(='得切线的斜率为4)2(='f ,又4)2(=f ,所以切线方程为)2(44-=-x y ,即44-=x y .也可以直接验证得到。
高中数学 2.2.2导数的概念及其几何意义同步练习 北师
2.2.2 导数的几何意义
1、设曲线)(x f y =在某点处的导数值为0,则过曲线上该点的切线( )
A 、垂直于x 轴
B 、垂直于y 轴
C 、既不垂直于x 轴也不垂直于y 轴
D 、方向不能确定
2、分别求抛物线241x y =
过点(-2,1),(2,1)的切线方程。
3、已知曲线12-=x y 和其上一点,且这点的横坐标为-1,求曲线在这点的切线方程。
4、设点),(00y x 是抛物线432++=x x y 上一点,求过点),(00y x 的切线方程。
5、求抛物线241x y =
过点(4,47)的切线方程
6、曲线12)(2++=x x x f 在点M 处的切线的斜率为2,求点M 的坐标。
7、曲线22
3x y =
上哪一点的切线与直线13-=x y 平行?
参考答案:
1、B
2、答案提示:01=++y x ;01=--y x
3、答案提示:022=++y x
4、答案提示:))(32(000x x x y y -+=-
5、答案提示:0142=--y x 或049414=--y x
6、答案提示:(0,1)
7、答案提示:)2
3,1(。
高中数学 4.1.3 导数的概念和几何意义同步精练 湘教版
高中数学 4.1.3 导数的概念和几何意义同步精练 湘教版选修2-21.质点的运动规律为s (t )=2t 2+1,其中s 表示路程,t 表示时间,则在某时间段1,1+d ]中,质点运动的路程s 对时间t 的平均变化率为( ).A .4B .dC .4+dD .4+2d2.函数f (x )=3x 在x =1处的导数是( ).A .12B .1C .32D .4 3.函数y =f (x )=x 2的导函数是( ).A .xB .2xC . x 2D .2x 24.曲线f (x )=x 3+2x +1在点P (1,4)处的切线方程是( ).A .5x -y +1=0B .x -5y -1=0C .5x -y -1=0D .x -5y +1=05.函数f (x )=x 3+4x +1,则f ′(x )=( ).A .3x 2+4B .4x 2+3C .x 3+4xD .x 2+46.对于函数y =x 2,在x =________处的导数值等于其函数值.7.曲线y =f (x )=2x -x 3在点(1,1)处的切线方程为________.8.曲线f (x )=x 3在点(a ,a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x =a 所围成的三角形的面积为16,则a =________.9.直线l :y =x +a (a ≠0)和曲线C :y =x 3-x 2+1相切,求a 的值及切点的坐标.10.已知直线l 1为曲线y =f (x )=x 2+x -2在点(1,0)处的切线,l 2为该曲线的另一条切线,且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程;(2)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积.参考答案1.D 平均变化率为s (1+d )-s (1)d =2(1+d )2+1-(2×12+1)d=4+2d . 2.Cf (1+d )-f (1)d =3·1+d -1d =31+d +1, 当d →0,31+d +1→32,∴f ′(1)=32. 3.B ∵f (x +d )-f (x )d =(x +d )2-x 2d=2x +d , ∴当d →0时,2x +d →2x ,∴f ′(x )=2x .4.C 在曲线上另取一点Q (1+d ,f (1+d )),计算PQ 的斜率为k (1,d )=f (1+d )-f (1)d=(1+d )3+2(1+d )+1-(13+2×1+1)d=d 3+3d 2+5d d=d 2+3d +5. 当d →0时,d 2+3d +5→5.∴切线方程为y -4=5(x -1),即5x -y -1=0.5.A 当d →0时,f (x +d )-f (x )d =(x +d )3+4(x +d )+1-(x 3+4x +1)d→3x 2+4. ∴f ′(x )=3x 2+4.6.0或2 设此时x =x 0,则f (x 0+d )-f (x 0)d =(x 0+d )2-x 20d =d +2x 0,∴当d →0时,d +2x 0→2x 0,由题意得2x 0=x 20,∴x 0=0或x 0=2.7.x +y -2=0 ∵f (1+d )-f (1)d=2(1+d )-(1+d )3-(2×1-13)d=-1-3d -d 2.∴当d →0时,-1-3d -d 2→-1.∴f ′(1)=-1,即切线的斜率为-1,∴所求切线的方程为x +y -2=0. 8.±1 ∵f (a +d )-f (a )d =(a +d )3-a 3d=3a 2+3ad +d 2,当d 趋于0时,3a 2+3ad +d 2趋于3a 2, ∴曲线在点(a ,a 3)处的切线斜率为3a 2,∴曲线在点(a ,a 3)处的切线方程为y -a 3=3a 2(x -a ).切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ,0.∴12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a -23a ·|a 3|=16,解得a =±1.9.解:设直线l 和曲线C 相切于点P (x 0,y 0),令f (x )=x 3-x 2+1,则f (x 0+d )-f (x 0)d=(x 0+d )3-(x 0+d )2+1-(x 30-x 20+1)d=d 2+3x 0d +3x 20-2x 0-d .当d 趋于0时,f ′(x 0)=3x 20-2x 0.由题意知3x 20-2x 0=1,解得x 0=-13或1.于是切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,2327或(1,1).当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,2327时,2327=-13+a ,∴a =3227.当切点为(1, 1)时,1=1+a ,∴a =0(舍去).∴a 的值为3227,切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,2327.10.解:(1)∵k 1=f ′(1)=3,∴直线l 1的方程为y =3x -3.设直线l 2与曲线y =x 2+x -2的切点为B (b ,b 2+b -2),则k 2=f ′(b )=2b +1,∵l 1⊥l 2,∴(2b +1)×3=-1,解得b =-23.∴直线l 2的方程为y =-13x -229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y =3x -3,y =-13x -229,得⎩⎪⎨⎪⎧ x =16,y =-52.∴直线l 1与l 2的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16,-52.又∵l 1、l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫-223,0,∴所求三角形的面积S =12×253×⎪⎪⎪⎪⎪⎪-52=12512.。
高中数学 3.2 导数的概念及其几何意义同步精练 北师大
高中数学 3.2 导数的概念及其几何意义同步精练 北师大版选修1-11.下列说法正确的是( )A .若f ′(x 0)不存在,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处就没有切线B .若曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处有切线,则f ′(x 0)必存在C .若f ′(x 0)不存在,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线斜率不存在D .若曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处切线的斜率不存在,则曲线在该点处就没有切线2.若函数f (x )在x 0处可导,则lim Δx →0f (x 0-Δx )-f (x 0)Δx 等于( ) A .f ′(x 0) B .-f ′(x 0) C .f (x 0) D .-f (x 0)3.抛物线y =14x 2在点Q (2,1)处的切线方程是( ) A .x -y +1=0 B .x -y -1=0 C .x +y +1=0 D .x +y -1=04.若运动物体的位移s =12gt 2(g =9.8 m/s 2),则该物体在t =2 s 时的瞬时速度为( ) A .19.6 m/s B .9.8 m/sC .4.9 m/sD .39.2 m/s 5.曲线f (x )=x 2+3x 在点A (2,10)处的切线斜率k 等于( )A .7B .6C .5D .4 6.已知曲线y =ax 2在点(1,a )处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a 等于( )A .1 B.12 C .-12 D .-17.函数f (x )=x 在x =1处的导数为________.8.曲线f (x )=12x 2-2在点⎝⎛⎭⎪⎫-1,-32处切线的倾斜角为________. 9.某块正方形铁板在0 ℃时,边长为10 cm ,加热后会膨胀.当温度为t ℃时,边长变为10(1+at ) cm ,a 为常数,则该铁板面积对温度t 的瞬时膨胀率为________.10.求曲线y =f (x )=1x和y =f (x )=x 2在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积.11.已知曲线C :y =f (x )=13x 3+43. (1)求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程;(2)(1)中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点?参考答案1. 解析:当切线斜率不存在时,其切线方程为x =x 0.答案:C2. 解析:lim Δx →0f (x 0-Δx )-f (x 0)Δx =-lim Δx →0f [x 0+(-Δx )]-f (x 0)-Δx=-f ′(x 0),故选B. 答案:B3. 解析:由导数的定义,可得lim Δx →0Δy Δx =lim Δx →014(2+Δx )2-14×22Δx=lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1+14Δx =1, 所以抛物线y =14x 2在点Q (2,1)处的导数为1. 又点Q (2,1)在抛物线上,所以所求的切线方程为y -1=x -2,即x -y -1=0. 答案:B4. 答案:A5. 解析:利用导数的定义及其几何意义直接求结果.k =f ′(2)=7.答案:A6. 解析:令f (x )=y =ax 2,则曲线在点(1,a )处的切线斜率k =f ′(1),即2=k =f ′(1)=lim Δx →0 f (1+Δx )-f (1)Δx=2a ,故a =1. 答案:A7. 解析:∵f (1+Δx )-f (1)=1+Δx -1,f (1+Δx )-f (1)Δx =1+Δx -1Δx =11+Δx +1, ∴li m Δx →011+Δx +1=12.∴f ′(1)=12. 答案:128. 解析:f ′(-1)=li m Δx →0f (-1+Δx )-f (-1)Δx =-1,即曲线f (x )=12x 2-2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-32处切线的斜率为-1,故倾斜角为135°. 答案:135°9. 解析:设温度的增量为Δt ,则铁板面积S 的增量ΔS =200(a +a 2t )Δt +100a 2(Δt )2,因此ΔSΔt =200(a +a 2t )+100a 2Δt ,令Δt →0,则S ′(t )=200(a +a 2t ).即铁板面积对温度t 的瞬时膨胀率为200(a +a 2t ).答案:200(a +a 2t )10.解:由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =1x ,y =x 2得曲线的交点是A (1,1).对曲线y =f (x )=1x 求导数,f ′(x )=lim Δx →0Δy Δx =lim Δx →01x +Δx -1x Δx =lim Δx →0-1x 2+x Δx =-1x 2.曲线y =1x 在点A 处的切线斜率k 1=f ′(1)=-1,切线方程是l 1:y =-x +2.对曲线y =f (x )=x 2求导数,f ′(x )=lim Δx →0Δy Δx =lim Δx →0(x +Δx )2-x2Δx=lim Δx →02x Δx +(Δx )2Δx =lim Δx →0(2x +Δx )=2x .曲线y =x 2在点A 处的切线斜率k 2=f ′(1)=2,切线方程是l 2:y =2x -1. 又l 1,l 2与x 轴的交点坐标分别为(2,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0.所以它们与x 轴所围成的三角形的面积S =12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2-12×1=34.11. 解:(1)将x =2代入曲线C 的方程得y =4,∴切点为P (2,4).∴Δy Δx =f (2+Δx )-f(2)Δx =4+2Δx +13(Δx )2,∴lim Δx →0Δy Δx =lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤4+2Δx +13(Δx )2=4.∴k =4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y -4=4(x -2),即4x -y -4=0.(2)由题意联立方程组,得⎩⎪⎨⎪⎧ y =4x -4,y =13x 3+43,即(x -2)2(x +4)=0, 解得x 1=2,x 2=-4.当x =2时,y =4,当x =-4时,y =-20.∴公共点的坐标为(2,4)或(-4,-20),即切线与曲线C 的公共点除了切点(2,4)外,还有另外一点(-4,-20).。
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导数的概念及其几何意义同步练习题一、选择题1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为( B )A .3B .2C .1D .02. 质点运动动规律23s t =+,则在时间(3,3)t +∆中,相应的平均速度为( A )A .6t +∆B .96t t+∆+∆ C .3t +∆ D .9t +∆3. 函数y =f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0+⊿x 时,函数值的改变量⊿y 为( D ) A.f (x 0+⊿x ) B.f (x 0)+⊿x C. f (x 0)•⊿x D. f (x 0+⊿x )- f (x 0)4.已知函数y =f (x )=2x 2-1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1+⊿x ,1+⊿y ),则等于( C )A.4B.4xC.4+2⊿xD.4+2(⊿x )25. 一质点运动的方程为s =5-3t 2,则在时间[1,1+Δt ]内相应的平均速度为( D ) A. 3Δt +6 B. -3Δt +6 C. 3Δt -6 D. -3Δt -66.若函数y =f (x )在x 0处可导,则000()()lim h f x h f x h®+-的值( B )A.与x 0,h 有关B.仅与x 0有关,而与h 无关C. 仅与h 有关,而与x 0无关D. 与x 0,h 都无关7. 函数y =x +1x在x =1处的导数是( C )A.2B.1C.0D.-1 8.设函数f (x )=,则()()limx af x f a x a®--等于( C )A.1a -B.2aC.21a- D.21a 9. 下列各式中正确的是( D )A. y ′|x =x 0=li m Δx →0 f (x -Δx )-f (x 0)ΔxB. y ′|x =x 0=li m Δx →0 f (x 0+Δx )+f (x 0)ΔxC. f ′(x 0)=li m Δx →0 f (x 0-Δx )-f (x 0)ΔxD. f ′(x )=li m Δx →0 f (x 0)-f (x 0-Δx )Δx10. 设函数f (x )可导,则lim Δx →0 f (1+Δx )-f (1)3Δx等于( C ) A. f ′(1) B. 不存在 C. 13f ′(1) D. 以上都不对11. 设函数f (x )=ax +4,若f ′(1)=2,则a 等于( A ) A. 2 B. -2 C. 3 D. 不确定12. 已知物体的运动方程为s =t 2+3t(t 是时间,s 是位移),则物体在时刻t =2时的速度为(D)A. 194B. 174C. 154D. 13413.曲线y=2x 2+1在点P (-1,3)处的切线方程是( A ) A.y =-4x -1 B.y =-4x -7 C.y =4x -1 D.y =4x -714.过点(-1,2)且与曲线y =3x 2-4x +2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是( C ) A.y =2x -1 B.y =2x +1 C.y =2x +4 D .y =2x -4 15. 下面四个命题:①若f ′(x 0)不存在,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处没有切线; ②若曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处有切线,则f ′(x 0)必存在;③若f ′(x 0)不存在,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线斜率不存在; ④曲线的切线和曲线有且只有一个公共点. 其中,真命题个数是( B ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 316. 函数y =f (x )的导函数f ′(x 0)图像如图所示,则在y =f (x )的图像上A 、B 的对应点附近,有( A )A. A 处下降,B 处上升B. A 处上升,B 处下降C. A 处下降,B 处下降D. A 处上升,B 处上升17. 曲线y =2x 2上有一点A (2,8),则点A 处的切线斜率为( C ) A.4 B. 16 C. 8 D. 218. 曲线y =x 3-3x 2+1在点(1,-1)处的切线方程为( B ) A. y =3x -4 B. y =-3x +2 C. y =-4x +3 D. y =4x -519.一直线运动的物体,从时间t 到t +Δt 时,物体的位移为Δs ,那么lim Δx →0ΔsΔt为( ) A .在t 时刻该物体的瞬时速度 B .当时间为Δt 时物体的瞬时速度 C .从时间t 到t +Δt 时物体的平均速度 D .以上说法均错误解析:选A.根据导数的概念可知,lim Δx →0 ΔsΔt 表示瞬时变化率,即t 时刻该物体的瞬时速度. 20. (2012·宝鸡检测)已知函数f (x )=x 3-x 在x =2处的导数为f ′(2)=11,则( D )A .f ′(2)是函数f (x )=x 3-x 在x =2时对应的函数值B .f ′(2)是曲线f (x )=x 3-x 在点x =2处的割线斜率C .f ′(2)是函数f (x )=x 3-x 在x =2时的平均变化率D .f ′(2)是曲线f (x )=x 3-x 在点x =2处的切线的斜率21.已知函数y =f (x )的图像如图,则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A .f ′(x A )>f ′(xB ) B .f ′(x A )<f ′(x B )C .f ′(x A )=f ′(x B )D .不能确定 解析:选B.f ′(x A )和f ′(x B )分别表示函数图像在点A 、B 处的切线斜率,故f ′(x A )<f ′(x B ).22.(2012·上饶检测)函数y =3x 2在x =1处的导数为( ) A .2 B .3 C .6 D .12解析:选C.f ′(1)=lim Δx →0 3(1+Δx )2-3×12Δx =lim Δx →0 3+6Δx +3(Δx )2-3Δx =6. 23.设f (x )=ax +4,若f ′(1)=2,则a 等于( )A .2B .-2C .3D .-3 解析:选A.∵f (1+Δx )-f (1)Δx =a (1+Δx )+4-a -4Δx=a ,∴f ′(1)=a ,又f ′(1)=2,∴a =2.24.设曲线y =ax 2在点(1,a )处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a 等于( ) A .1 B.12 C .-12D .-1解析:选A.令f (x )=y =ax 2,则2=k =f ′(1)=lim Δx →0f (1+Δx )-f (1)Δx=2a ,故a =1.25.已知曲线y =x 24的一条切线斜率为12,则切点的横坐标为 ( A )A .1B .2C .3D .426.一物体的运动方程是s =12at 2(a 为常数),则该物体在t =t 0时的瞬时速度是 ( A )A .at 0B .-at 0 C.12at 0 D .2at 0二、填空题27. 在曲线y =x 2+1的图像上取一点(1,2)及附近一点(1+Δx,2+Δy ),则Δy Δx为_Δx +2____.28. 若质点M 按规律s =2t 2-2运动,则在一小段时间[2,2+Δt ]内,相应的平均速度_ 8+2Δt _.29.已知函数y =f (x )的图像在点M (1,f (1))处的切线方程是y =12x +2,则f (1)+f ′(1)=__3___.30.曲线y =f (x )=2x -x 3在点(1,1)处的切线方程为________.答案:x +y -2=031.函数y =x 2在x =________处的导数值等于其函数值.解析:y =f (x )=x 2在x =x 0处的导数值为f ′(x 0) =lim Δx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=lim Δx →0(Δx +2x 0)=2x 0.由2x 0=x 20,解得x 0=0或x 0=2.答案:0或2 32. (2012·南昌调研)若一物体的运动方程为s =3t 2+2,求此物体在t =1时的瞬时速度是 633.过点P (-1,2)且与曲线y =3x 2-4x +2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是___2x -y +4=0__.34.函数f (x )=3x 2-4x 在x =-1处的导数是 . 解析. Δy =1+Δx -1,Δy Δx =1+Δx -1Δx =11+Δx +1. lim Δx →011+Δx +1=12,∴ y ′| x =1=12.三、解答题35. 已知函数f (x )=2x 2+3x -5.(1)求当x 1=4,且Δx =1时,函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx ;(2)求当x 1=4,且Δx =0.1时,函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ;(3)求当x 1=4,且Δx =0.01时,函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx;解析: f (x )=2x 2+3x -5,∴ Δy =f (x 1+Δx )-f (x 1)=2(x 1+Δx )2+3(x 1+Δx )-5-(2×x 21+3×x 1-5)=2[(Δx )2+2x 1Δx ]+3Δx =2(Δx )2+(4x 1+3)Δx .(1)当x 1=4,Δx =1时,Δy =2+(4×4+3)×1=21,∴ Δy Δx =211=21.(2)当x 1=4,Δx =0.1时,Δy =2×0.12+(4×4+3)×0.1=1.92.∴ Δy Δx =1.920.1=19.2.(3)当x 1=4,Δx =0.01时,Δy =2×0.012+(4×4+3)×0.01=0.190 2,∴ Δy Δx =0.190 20.014=19.02.36. 已知自由落体的运动方程为s =12gt 2,求:(1)落体在t 0到t 0+Δt 这段时间内的平均速度;(2)落体在t 0时的瞬时速度;(3)落体在t 0=2 s 到t 1=2.1 s 这段时间内的平均速度;(4)落体在t =2 s 时的瞬时速度. 解析: (1)落体在t 0到t 0+Δt 这段时间内(即Δt 时间内)取得的路程增量为Δs =12g (t 0+Δt )2-12gt 20.因此,落体在这段时间内的平均速度为v =Δs Δt =12g t 0+Δt 2-12gt 20Δt =12g (2t 0+Δt ).(2)落体在t 0时的瞬时速度为v =lim Δt →0v =lim Δt →0 12g (2t 0+Δt )=gt 0. (3)落体在t 0=2 s 到t 1=2.1 s 时,其时间增量Δt =t 1-t 0=0.1 s ,由(1)知平均速度为v =12g (2×2+0.1)=2.05g ≈2.05×9.8=20.09(m/s).(4)由(2)知落体在t 0=2 s 的瞬时速度为v =g ×2≈9.8×2=19.6(m/s).37. 求等边双曲线y =1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2处的切线的斜率,并写出切线方程. 解析:∵ y ′=lim Δx →0 Δy Δx =lim Δx →0 1x +Δx -1x Δx =lim Δx →0 -1x 2+x Δx =-1x 2,又 点⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2在曲线上, ∴ 切线的斜率 k =y ′⎪⎪⎪x =12=-4.∴ 切线方程为 y -2=-4⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12, 即 4x +y -4=0.38. 在曲线y =x 2上过哪一点的切线,(1)平行于直线y =4x -5; (2)垂直于直线2x -6y +5=0;(3)与x 轴成135°的倾斜角.解析: f ′(x )=lim Δx →0 f x +Δx -f x Δx =lim Δx →0 x +Δx 2-x 2Δx =2x . 设点P (x 0,y 0)是满足条件的点.(1)因为切线与直线y =4x -5平行,所以2x 0=4,x 0=2,y 0=4,即点P (2,4).(2)因为切线与直线2x -6y +5=0垂直,所以2x 0·13=-1,得x 0=-32,y 0=94,即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,94. (3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角,所以其斜率为-1.即 2x 0=-1,得x 0=-12,y 0=14,即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,14. 39.已知抛物线f (x )=ax 2+bx -7过点(1,1),且过此点的切线方程为4x -y -3=0,求a ,b 的值.解析:f′(x)=li m Δx→0 a x +Δx 2+b x +Δx -7-ax 2-bx +7Δx=li m Δx →0 (a ·Δx +2ax +b )=2ax +b . 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a +b -7=12a +b =4,解得a =-4,b =1240. (2012·榆林调研)已知曲线y =13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2,83。