高数 常数项级数的审敛法 知识点与例题精讲
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第十一章 第2节常数项级数审敛法
∞
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )
高数11-2数项级数及审敛法.ppt
1) un un1 ( n 1, 2, );
2) lim un 0,
n
则级数 (1)n1un收敛 , 且其和 S u1, 其余项满足
n1
rn un1 .
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1) 1 1 1 1 (1)n1 1 n1 1
收敛
2)
1
2 1
2!
3 1
3!
因此级数发散 ;
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1 时, 等比级数发散 .
例2. 判别下列级数的敛散性:
解: (1)
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
ln n 1 n
(ln 2 ln1) (ln3 ln 2) ln(n 1) ln n
定理 1. ( Abel定理 )若幂级数 an xn
n0
则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当
时该幂级数发散 , 则对满足不等式
的一切 x , 该幂级数也发散 .
发散
收敛 发散
收o敛
发散x
收敛半径
收敛区间
收敛域
定理2. 若
的系数满足
则
1) 当 ≠0 时,
R
1
;
2) 当 ＝0 时, R ;
lim
n
un
0
满足
比值审敛法 nlimuunn1
根值审敛法
lim n
n
un
1
1
收敛
发散
不满足 发 散
比较审敛法
2) lim un 0,
n
则级数 (1)n1un收敛 , 且其和 S u1, 其余项满足
n1
rn un1 .
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1) 1 1 1 1 (1)n1 1 n1 1
收敛
2)
1
2 1
2!
3 1
3!
因此级数发散 ;
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1 时, 等比级数发散 .
例2. 判别下列级数的敛散性:
解: (1)
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
ln n 1 n
(ln 2 ln1) (ln3 ln 2) ln(n 1) ln n
定理 1. ( Abel定理 )若幂级数 an xn
n0
则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当
时该幂级数发散 , 则对满足不等式
的一切 x , 该幂级数也发散 .
发散
收敛 发散
收o敛
发散x
收敛半径
收敛区间
收敛域
定理2. 若
的系数满足
则
1) 当 ≠0 时,
R
1
;
2) 当 ＝0 时, R ;
lim
n
un
0
满足
比值审敛法 nlimuunn1
根值审敛法
lim n
n
un
1
1
收敛
发散
不满足 发 散
比较审敛法
高数 常数项级数的审敛法 知识点与例题精讲
n2 n 1
解
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x1
un un1 ,
又
lim
n
un
lim
n
n
n 1
0.
原级数收敛.
三、绝对收敛与条件收敛
定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
例 2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 , n(n 1) n 1
而级数
1
1
发散,
n1 n 1 n2 n
级数
1 发散.
n1 n(n 1)
3.比较审敛法的极限形式:
定理4:
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n源自n12n收敛,但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2
n1
3, 2
lim
n
un 1 un
lim
n
an
不存在.
例 5 判别下列级数的收敛性:
n4
收敛
因此
sin n
n1
n4
解
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x1
un un1 ,
又
lim
n
un
lim
n
n
n 1
0.
原级数收敛.
三、绝对收敛与条件收敛
定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
例 2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 , n(n 1) n 1
而级数
1
1
发散,
n1 n 1 n2 n
级数
1 发散.
n1 n(n 1)
3.比较审敛法的极限形式:
定理4:
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n源自n12n收敛,但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2
n1
3, 2
lim
n
un 1 un
lim
n
an
不存在.
例 5 判别下列级数的收敛性:
n4
收敛
因此
sin n
n1
n4
11习题课常数项级数审敛
(a 0).
n
解
lim n
n
un
n
lim
n
ln(n 2) a1
1 lim n
a n
ln( n
2),
n 2 时, n 2 en , n 从而有
1 n ln(n 2) n n, 由于 lim n n 1,
n
lim n ln(n 2) 1,
故 bn 收敛
例6 设 an 0,bn 0 且 an1 bn1 an bn
若 bn 收敛 则 an 也收敛
证 由题设知 an1 an a1
bn1 bn
b1
an
a1 b1
bn
而 bn 收敛 由比较法得 an 收敛
例7 Cauchy积分审敛法
设 y f ( x) 0 单调减少 un f (n) 则
⑵ 1 un发散
⑶
1 ln
1
un的敛散性不定
由 lim un 1 知 对 1
n ln n
ln 1
N ,n N 有
un q 1
ln n
ln 1 q ln n un
ln un qln n
1 un nq 故由比较法知
n
lim n
n
un
1. a
当 a 1即 0 1 1时, 原级数收敛； a
当 0 a 1即 1 1时, 原级数发散； a
当 a 1时,
原级数为
n1
ln(n (1
1
2), )n
n
高数课件-常数项级数的审敛法
證明 S2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
21
由前一式知{S2n}單調增加，由後一式知S2n <u1。 由數列判斂的單調有界準則知:
lim
n
S 2n 存 在 ， 记 为S , 则S
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
1
lim
n
a
2n
, 6
3
lim
n
a
2n1
, 2
lim un1 n un
lim
n
an
不存在.
13
例4 判斷下列各級數的斂散性
n3
(1)
,
n1 2n
e n
(2)
,
n1 n!
n!
(3) n1 nn
ln n
(4)
,
n2
n2
解（1）
)~ 3 n2
而
1
3
收
敛,
所給級數收斂。
n n1 2
9
定理 10.2.4(比值審斂法,達朗貝爾D’Alember審斂法)
设 un
n1
是正项级数,如果lim un1 n un
(数或
)
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1 时失效.
證明 当为有限数时, 对 0,
N,
当n N时,
有 un1 ,
(1)n当P 0时收敛。
n2 n p
注意 un單調減少不是交錯級數 (1)n1un (un 0) n1 收斂的必要條件。
23
例8 判斷 sin n2 1的收敛性。
u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
21
由前一式知{S2n}單調增加，由後一式知S2n <u1。 由數列判斂的單調有界準則知:
lim
n
S 2n 存 在 ， 记 为S , 则S
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
1
lim
n
a
2n
, 6
3
lim
n
a
2n1
, 2
lim un1 n un
lim
n
an
不存在.
13
例4 判斷下列各級數的斂散性
n3
(1)
,
n1 2n
e n
(2)
,
n1 n!
n!
(3) n1 nn
ln n
(4)
,
n2
n2
解（1）
)~ 3 n2
而
1
3
收
敛,
所給級數收斂。
n n1 2
9
定理 10.2.4(比值審斂法,達朗貝爾D’Alember審斂法)
设 un
n1
是正项级数,如果lim un1 n un
(数或
)
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1 时失效.
證明 当为有限数时, 对 0,
N,
当n N时,
有 un1 ,
(1)n当P 0时收敛。
n2 n p
注意 un單調減少不是交錯級數 (1)n1un (un 0) n1 收斂的必要條件。
23
例8 判斷 sin n2 1的收敛性。
高数课件28无穷级数1常数项级数审敛法
应用举例
对于形如$sum a^{n^2}$的级数，我们可以通过根号审敛法来判断其敛散性。
积分审敛法及其他方法简介
积分审敛法原理
设$f(x)$在$[1, +infty)$上非负且单调减少，则级数$sum_{n=1}^{infty} f(n)$与广义 积分$int_{1}^{+infty} f(x) dx$同敛散。
和函数求解技巧和性质总结
和函数求解技巧
和函数是幂级数的和，可以通过逐项积分、逐项求导 等方法求解。在求解过程中，需要注意积分和求导后 的收敛半径可能发生变化。
和函数性质
和函数具有连续性、可积性、可导性等性质。在收敛 域内，和函数可以表示为原函数的形式，从而方便进 行各种运算和分析。
典型例题分析与解答
足单调递减条件，因此不能用莱布尼茨判别法判断其敛散性。实际上，该级数发散。 • 例题2：判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}$的敛散性。 • 解答：该级数为交错级数。对于数列$\frac{1}{n^2}$，由于$\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$且$\lim{n
VS
交错级数性质
若交错级数收敛，则其满足$u_{n+1} leq u_n$，且$lim_{n to infty}u_n = 0$。
莱布尼茨判别法原理及应用举例
莱布尼茨判别法原理
对于交错级数$sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n-1}u_n$，若数列${u_n}$单调递减且$lim_{n to infty}u_n = 0$，则该级数收敛。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
该幂级数的系数是 $frac{1}{n}$，可以通过比值 法或根值法求出收敛半径为1。 然后通过对幂级数逐项积分 或逐项求导等方法求出和函 数为$lnfrac{1}{1-x}$，但需 要注意收敛域为$(-1,1)$。
对于形如$sum a^{n^2}$的级数，我们可以通过根号审敛法来判断其敛散性。
积分审敛法及其他方法简介
积分审敛法原理
设$f(x)$在$[1, +infty)$上非负且单调减少，则级数$sum_{n=1}^{infty} f(n)$与广义 积分$int_{1}^{+infty} f(x) dx$同敛散。
和函数求解技巧和性质总结
和函数求解技巧
和函数是幂级数的和，可以通过逐项积分、逐项求导 等方法求解。在求解过程中，需要注意积分和求导后 的收敛半径可能发生变化。
和函数性质
和函数具有连续性、可积性、可导性等性质。在收敛 域内，和函数可以表示为原函数的形式，从而方便进 行各种运算和分析。
典型例题分析与解答
足单调递减条件，因此不能用莱布尼茨判别法判断其敛散性。实际上，该级数发散。 • 例题2：判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}$的敛散性。 • 解答：该级数为交错级数。对于数列$\frac{1}{n^2}$，由于$\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$且$\lim{n
VS
交错级数性质
若交错级数收敛，则其满足$u_{n+1} leq u_n$，且$lim_{n to infty}u_n = 0$。
莱布尼茨判别法原理及应用举例
莱布尼茨判别法原理
对于交错级数$sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n-1}u_n$，若数列${u_n}$单调递减且$lim_{n to infty}u_n = 0$，则该级数收敛。
THANKS FOR WATCHING
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该幂级数的系数是 $frac{1}{n}$，可以通过比值 法或根值法求出收敛半径为1。 然后通过对幂级数逐项积分 或逐项求导等方法求出和函 数为$lnfrac{1}{1-x}$，但需 要注意收敛域为$(-1,1)$。
高数知识点总结
a = ax i + ay j+ az k， b =bxi + by j+ bz k a b = (ax + bx) i + (ay+ by) j + (az+ bz ) k a = ( a x ) i + ( a y ) j + ( a z ) k a = ax i + ay j+ az k 称为向量a在基本单位向量 i, j, k下的基本分解式或坐标表示式. ax、ay 、az为 坐标，分别是a在三坐标轴上的投影. 若在三维空间中不建立直角坐标系，同样 可研究向量的分解及向量的坐标运算。 设, , 为三个线性无关向量,a为任意向量， 则存在唯一一组数x,y,z,使得 a = x+ y+ z
fx
2 2
法线的方向余弦
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
cos
1 fx f y
, cos
fy 1 fx f y
2 2
,
cos
切平面方程
1 1 fx f y
2 2
z z0 f x ( x0 , y0 ) ( x x0 ) f y ( x0 , y0 ) ( y y0 )
u u x u y s x s y s u u x u y t x t y t
一、内容总结
1、隐函数的导数：
• 一个方程的情形
定 理 1
设 函 数
在
U (X0)
定 F(x,yz) 理 2 F (x , y z ) 0 '
4、函数的幂级数和傅里叶级数展开法 （1）. 函数的幂级数展开法
• 直接展开法 — 利用泰勒公式 • 间接展开法 — 利用已知展式的函数及幂级数性质
fx
2 2
法线的方向余弦
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
cos
1 fx f y
, cos
fy 1 fx f y
2 2
,
cos
切平面方程
1 1 fx f y
2 2
z z0 f x ( x0 , y0 ) ( x x0 ) f y ( x0 , y0 ) ( y y0 )
u u x u y s x s y s u u x u y t x t y t
一、内容总结
1、隐函数的导数：
• 一个方程的情形
定 理 1
设 函 数
在
U (X0)
定 F(x,yz) 理 2 F (x , y z ) 0 '
4、函数的幂级数和傅里叶级数展开法 （1）. 函数的幂级数展开法
• 直接展开法 — 利用泰勒公式 • 间接展开法 — 利用已知展式的函数及幂级数性质
高数 常数项的级数 知识点与例题精讲
Guido Ubaldus thought that this proved the Existence of God because “something has been created out of nothing !
例6.判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数
发散 , 从而原级数发散 .
1 2n
5 n1 n(n 1)
n1
1 2n
n1
5 n(n
1)
5
n1
1 n
n
1
1
令gn
5 n k1
1 k
k
1
1
5(1
1 n
), 1
lim n
gn
5 lim(1 n
1) n1
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三、级数收敛的必要条件
设收敛级数
则必有
证: un Sn Sn1
lim un lim Sn lim Sn1 S S 0
n
n
n
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
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注意:
练习题答案
一、1、1 1 2 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9 ； 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 2 4 6 810
2、 1! 11
2! 22
3! 33
4! 44
5! 55
；
n
3、
x2
； 4、(1)n1 a n1 ；
例6.判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数
发散 , 从而原级数发散 .
1 2n
5 n1 n(n 1)
n1
1 2n
n1
5 n(n
1)
5
n1
1 n
n
1
1
令gn
5 n k1
1 k
k
1
1
5(1
1 n
), 1
lim n
gn
5 lim(1 n
1) n1
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三、级数收敛的必要条件
设收敛级数
则必有
证: un Sn Sn1
lim un lim Sn lim Sn1 S S 0
n
n
n
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
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注意:
练习题答案
一、1、1 1 2 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9 ； 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 2 4 6 810
2、 1! 11
2! 22
3! 33
4! 44
5! 55
；
n
3、
x2
； 4、(1)n1 a n1 ；
高数第三节：常数项级数的审敛法
n =1
其中
un > 0 , n =1, 2, L
定理7（莱布尼兹定理） 定理 （莱布尼兹定理）如果交错级数
n =1
∑ (−1)
∞
n−1
= u1 − u2 + u3 − u4 +L+ (−1) n−1un +L un
满足条件： 满足条件：
n→∞
(1) un ≥ un +1 ( n = 1, 2 , L), ( 2 ) lim un = 0
∞ n=1
∑ un = u1 + u2 + L+ un + L
∞
一般项取绝对值后所得级数记为
n =1
∑ | un | = |u1| + | u2| + L+ |un| + L
∞
∞
收敛， 1） （1）若 ∑ | un | 收敛， 则称原级数 ∑ un 绝对收敛
n =1 ∞
n=1
收敛， 发散， （2）若 ∑ | un | 发散， 而 ∑ un 收敛， ）
n −1 1 1 1 1 1 1 ( ) +( ) +L+ ( ) − − − 2 −1 2 +1 3 −1 3 +1 n −1 n +1
vn =
v2 = 2
∞
∞
v3 = 1
+L
∞ 2 2 ∑ vn = ∑ = ∑ 发散， 发散， 所以原级数发散 . n =2 n =2 n−1 n =1 n
（二）绝对收敛与条件收敛 考虑任意项级数 考虑任意项级数
∞
∞
（1）该结论的逆命题不成立。 ）该结论的逆命题不成立。 （2）定理提供了检验一般级数 ∑ un 是否收敛的一种 ） 有效方法。 有效方法。
第十一章第2节常数项级数审敛法
.
例如
n un
p - 级数
1 n1 n p
:
lim un1 lim n un n
1 (n1) p 1 np
1
但
p 1 级数收敛 p 1 级数发散
18
例 11 判别下列级数的收敛性:
n!
(1) n1 nn ;
n! (2) n1 10n ;
由定理2可知 , 若级数
vn发散 , 则级数
un
也发散. 12
n 1
n1
总结:
un , vn 是两个正项级数 , lim un l ,
n1
n 1
n vn
(1) 当 0 l 时 , 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l 0 且级数 vn 收敛时 , 级数 un 也收敛 ;
n 1
n vn
(1) 当 0 l 时 , 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l 0 且级数 vn 收敛时 , 级数 un 也收敛 ;
n 1
n1
(3) 当 l 且级数 vn 发散时 , 级数 un 也发散 .
n 1
n1
证: 根据极限定义 , 对 0 ,存在 N Z,当 n N 时,
,
级数
n1
1 4n2
收敛,
故级数
n1
2n
(
1 2n
1)
收敛.
20
例12. 讨论级数 n xn1 ( x 0 ) 的敛散性 .
n1
解:
lim un1 lim n un n
高等数学同济大学版10.2 常数项级数的审敛法
n
1
1,
1
而级数
发散,
n1 n 1
级数
1
发散.
n1 n(n 1)
完
例5
判别级数
2n 1
n1 (n 1)2 (n 2)2
的敛散性.
解 运用比较判别法. 因
(n
2n 1 1)2(n
2)2
(n
2n 2 1)2(n
2)2
(n
2 1)3
2 n3
,
而
1 n3
n1
是收敛的,
所以原级数收敛.
,
1
1
而级数 n1 2n
(| q | 1)收敛, 2
1 级数 n1 2n 1
收敛.
1
例3 判断级数
的收敛性.
n1 n(n 1)
解
1
1
n(n 1) n2 ,
1
而级数
n2
n1
收敛,
1
级数
收敛.
n1 n(n 1)
完
例4 判断级数
1
的收敛性.
n1 n(n 1)
解
1 n(n 1)
从而得到下述重要定理:
定理 正项级数 un 收敛的充分必要条件是其部分和 n1
正项级数
定理1 正项级数 un 收敛的充分必要条件是其部分和 n1
数列 {Sn }有界.
证: “
” 若 收敛 ,
故有界.
“
”
∴部分和数列
单调递增,
又已知
有界, 故
收敛 , 从而
也收敛.
完
比较审敛法
定理2 设 un , vn均为正项级数, 且 un vn(n 1,2,).
11-2常数项级数审敛法(上)
n
un
(为数或 ), 则 1时级数收敛;
1时级数发散; 1时失效.
31
证明 (1) 1 取 0 0 1
则 r 0 1
由
lim n
n
un
知
N，使当n N时
n un 0 r
un r n (n N )
由 rn 收敛及比较审敛法得
n N 1
un 收敛
n N 1
1；
n2
n1
n1 n
n1 n (n 1)
（4）
1
；（5）
n2 ；
n1 n(n 1)
n1 n(n 1)
解答： （1）收敛；（2）发散（3）收敛 （4）发散（5）发散
12
例2 利用比较法判定下列级数的敛散性:
(1)
1 sin2
n;
(2) n sin
1;
2n
n1
n1
4n
解：(1)
1 2n
sin2
部分和数列{sn } 为单调增加数列.
定理 正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
3
定理 1. 正项级数
收敛
有界 .
部分和序列
证:
若
收敛 ,
故有界.
∴部分和数列 单调递增,
又已知
有界, 故 收敛 ,从而
也收敛.
注：正项级数收敛的本质 —— un 0足够快。
4
3.比较审敛法 设 un和vn均为正项级数，
14
4.比较审敛法的极限形式:
设 un 与 vn 都是正项级数,如果
n1
n1
lim un n vn
l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性 ;
4-1 常数项级数审敛
设 un 是正项级数,
n1
lim n
n
un
(为数或 ),
则 1时,收敛; 1时,发散.（ 1时失效）
比值审敛法的优点:
两点注意:
不必找参考级数.直接从级数本 身的构成——即通项来判定其 敛散性
1.当 1时比值审敛法失效;
例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
n1
(1)n1 np
解 (1) | un |
(
1 np
p
0); (2)
n1
0 收敛.
(1)n n1
n
.
(2)
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故 x 单调递减, x 1
| un || un1 | ;
又
lim
n
|
un
|
lim
n
n n1
0.
收敛.
3.1课前回顾
一、级数收敛的必要条件：一般项不趋于零级数发散;
(2) 当0 l 时， un收敛 vn收敛;
(3) 当0 l 时， un收敛 vn收敛.
注: 比较审敛法的不方便—— 须有参照级数.
例 1 讨论 p-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.( p
0)
解 (1)
p
1
时,
1 np
1, n
p 级数发散; y
(2)
p 1时,
(为数或 ) ,
三、交错级数：莱布尼茨定理 1、单调递减（可用微分学方法证明） 2、一般项极限为0
11-2高数下常数项级数的审敛法
高等数学（下）
3.比较审敛法 设 un和 vn均为正项级数，
n1
n1
且 un vn (n 1, 2,) , 若 vn 收 敛 , 则 un 收
n1
n1
敛；反之，若 un 发散，则 vn 发散.
n1
n1
证 vn 收敛，则其部分和有上界M
n 1
∴且 sn u1 u2 un v1 v2 vn ≤M
1 发散,
n1 n 1
级数
1 发散.
n1 n(n 1)
高等数学（下）
例 2 讨论 P-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.(
p
0)
解
设
p 1,
1 np
1 , 则P 级数发散.
n
设 p 1,
由
1 xp
单调递减知
1 np
n dx x n1 p
sn
1
1 2p
1 3p
1 np
1
设
un
是正项级数,如果lim n
n
un
n1
(为数或 ), 则 1时级数收敛;
1时级数发散; 1时失效.
例如, 设级数
1,
nn
n1
n
un
n
1 nn
1 0 (n ) 级数收敛. n
高等数学（下）
例5 讨论级数 n!( x )n ( x 0) 的敛散性 .
n 1
n
解
lim n
即 un的部分和数列有上界 un收敛.
n 1
n1
高等数学（下）
例如 设 bn 与 cn 都收敛，且bn an cn
n1
12(2)常数数级数的审敛法
又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
u1 数列 s2n是有界的.
lim
n
s2n
s
u1
30
证 lim n
s2n1
s
s2n1 s2n u2n1
(2)
lim
n
un
0
由条件(2):
lim
n
u2n1
10n n!
n1 10
(n )
故级数
n1
n! 10n
发散.
22
(2)
1
n1 (2n 1) 2n
lim un l ,当0 l 时, v n
n
两级数有相同的敛散性
解 lim un1 lim (2n 1) 2n 1
n un n (2n 1) (2n 2)
如
级数
1 发散
级数
n1 n 1
收敛
lim un1 n un
1
n1 n2
4. 比值判别法的优点：不用找参考级数。
21
例 判定下列级数的敛散性
n!
(1) n1 10n
(2)
1
n1 (2n 1) 2n
解
(1) un1 un
(
n 1)! 10n1
n1
(2)
若{sn }有上界,
lim
n
sn
s
un必收敛.
n1
2
定理1(基本定理)
正项级数收敛 部分和所成的数列 sn有界.
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rn un1.
证明 un1 un 0,
s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
数列
s2
是
n
单
调
增
加
的
,
又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
u1 数列 s2n是有界的 ,
部分和数列{sn }为单调增加数列.
定理1：
正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
1. 正项级数的积分审敛法
定理2：设函数 f (x) 在区间 [1,) 上非负连续
且单调减少，则正项级数
f (n)
与广义积分
n1
1 f ( x)dx 具有相同的敛散性。
证明：略.
例 1 讨论 P-级数
n1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n1
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n1
n1
n1
例8. 证明下列级数绝对收敛 :
(1)
sin n
n1
n4
;
(2)
(1)n
n1
n2 en
.
证: (1)
sin n
n4
1 n4
,
而
1
n1
n4
收敛
,
n1
sin n
n1
n1
证明
令
vn
1 2
(un
un
)
(n 1,2,),
显然 vn 0, 且 vn un , vn收敛,
n1
又 un (2vn un ), un 收敛.
n1
n1
n1
上定理的作用： 任意项级数
正项级数
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
3)
1 10
2 102
3 103
4 104
(1)n1
n 10n
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1)
1;
n1 n
2)
1;
n1 n !
3)
n n110n
.
发散
收敛
收敛
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例 7 判别级数 (1)n n 的收敛性.
n2 n 1
解
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x1
un un1 ,
又
lim
n
un
lim
n
n
n 1
0.
原级数收敛.
三、绝对收敛与条件收敛
定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1 10
(n ),
故级数
n! n1 10n
发散.
(3) lim un1 lim (2n 1) 2n 1, n un n (2n 1) (2n 2)
比值审敛法失效, 改用比较审敛法
(2n
1 1)
2n
1 n2
,
级数
n1
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.(
p
0)
解 设 f (x) 1
xp
则 f ( x) 在 [1,) 上连续,且单调减少,由定理2知
1
n1
f
(n)
n1
n
p
与 1
f ( x)dx 1
1 xp
dx
具有相同的敛散性
从而
p 级数
n1
1 np
n4
收敛
因此
sin n
n1
n4
绝对收敛 .
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(2) 令
(n 1)2
lim un1 lim
n un n
e n1 n2
en
lim
n
1 e
n n
12
1 e
1
n1
(1)n
n2 en
收敛,
因此
(1)n
1
不定
部分和极限
用它法判别
积分判别法
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3. 任意项级数审敛法
概念:
为收敛级数
绝对收敛
Leibniz判别法: un un1 0 lim un 0
n
条件收敛
则交错级数
(1)nun
收敛
n1
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思考与练习
(数或
)
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1时失效.
证明 当为有限数时, 对 0,
N , 当n N时, 有 un1 ,
即
un1
un
(n N )
un
当 1时, 取 1 , 使r 1,
设正项级数
un 收敛,
能否推出
un2
收敛 ?
n1
n1
提示: lim un2 n un
lim
n
un
0
由比较判敛法可知
un2
收敛
.
n1
注意: 反之不成立. 例如,
1
n1
n2
收敛 ,
1
发散
.
n1 n
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练习题:
1. 判别级数的敛散性:
1
(2) n1 3n n ;
解 (1)
sin 1
lim
n
n 1
1,
原级数发散.
1n
(2)
lim
n
3n
1
n
3n
lim
n
1
1
n 3n
1,
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
例4. 判别级数
ln
n1
1
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)～
设 un 与 vn 都是正项级数,如果
n1
n1
lim un n vn
l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当 l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
例 2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 , n(n 1) n 1
而级数
1
1
发散,
n1 n 1 n2 n
级数
1 发散.
n1 n(n 1)
3.比较审敛法的极限形式:
定理4:
1 n2
收敛,
故级数
n1
2n
(
1 2n
1)
收敛.
5.正项级数的根值审敛法 (Cauchy 判别法)：
定理6: (正项级数的根值审敛法)
设
n1
un
是正项级数,如果lim n
n
un
(为数或 ),则 1时级数收敛;
1时级数发散; 1时失效.
例6. 证明级数
当n N时, un1 run un ,
lim
n
un
0.
发散
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1.当 1时比值审敛法失效;
例 级数 1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
2 (1)n 2n
当p
1时收敛,当p
1时发散.
特别地,当p 1时,级数
1
称 为 调 和 级 数, 由 例1知
n1 n
调和级数
1发散.
n1 n
P
级数当当pp
1时, 1时,
收敛 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
2.正项级数的比较审敛法
定理3: 设 un和vn均为正项级数，
1
(1)
;
n1 n!
n!
(2) n1 10n ; 1
1
(3)
.
n1 (2n 1) 2n