高二年级期末考试数学试卷汇总
2023-2024学年浙江省杭州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1．已知集合A ＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |x 2﹣5x +4≥0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3，4}B ．{2，3}C ．{1，4}D ．{0，1，4}2．已知（2+i ）z ＝i ，i 为虚数单位，则|z |＝（ ） A ．15B ．13C ．√55D ．√533．已知平面向量a →=(2，0)，b →=(−1，1)，且（m a →−b →）∥（a →+b →），则m ＝（ ） A ．﹣1 B ．0C ．1D ．1±√324．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)左，右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若双曲线左支上存在点P 使得|PF 2|=32c −2a ，则离心率的取值范围为（ ）A ．[6，+∞）B ．（1，6]C ．[2，+∞）D ．[4，+∞）5．已知2cos 2θ﹣cos θ＝1，θ∈（0，π），则|sin θ|＝（ ） A ．0B ．12C ．√32或0 D ．√326．数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当x 较大时，1+12+13+⋯+1x=lnx +γ（x ∈N *，常数γ＝0.557…）．利用以上公式，可以估算1101+1102+⋯+1300的值为（ ） A ．ln 30B ．ln 3C ．﹣ln 3D ．﹣ln 307．已知α，β∈(0，π2)，则“cos(α−β)＜14”是“cosα+sinβ＜14”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知圆C ：x 2﹣2x +y 2＝0与直线l ：y ＝mx +2m （m ＞0），过l 上任意一点P 向圆C 引切线，切点为A 和B ，若线段AB 长度的最小值为√2，则实数m 的值为（ ） A ．2√77B ．√77C ．√142D ．√147二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年江苏省常州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省常州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．A 72−C 75=（ ）A ．63B ．10C ．21D ．02．用最小二乘法得到一组数据（x ，y ）（i ＝1，2，3，4，5，6）的线性回归方程为y =2x +3，若∑ 6i=1x i =30，则∑ 6i=1y i =（ ） A ．11B ．13C ．63D ．783．方程x 22+k +y 28−k =1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ ）A ．k ＞﹣2B ．k ＜8C ．﹣2＜k ＜8D ．﹣2＜k ＜34．若双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|等于（ ） A ．1B ．13C ．1或13D ．155．定义：“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（ ） A ．21B ．35C ．36D ．456．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＝6，则8S 3+S 9的最小值为（ ） A ．18B ．24√2C ．30D ．337．已知圆M ：x 2+y 2+4x ＝0和圆N ：x 2+y 2﹣4y ﹣12＝0相交于A ，B 两点，点P 是圆M 上任意一点，则|PA →+PB →|的取值范围是（ ） A ．[2√2，4+√2] B ．[4−√2，4+√2]C ．[4−√2，2√2]D ．[4−2√2，4+2√2]8．经过双曲线C ：x 212−y 2b2=1(b ＞0)的右焦点F 作该双曲线的一条渐近线的垂线l ，垂足为M ，且l 交另一条渐近线于点N ，若3FN →=5MF →，则b 的值为（ ） A ．2√6B ．4C ．2D ．√3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．点A （﹣2，1），B （a ，1﹣a ），过A ，B 的直线为l ，下列说法正确的有（ ）A ．若a ＝1，则直线l 的方程为x +3y ﹣1＝0B ．若a ＝﹣1，则直线l 的倾斜角为π4C ．任意实数a ，都有|AB|≥√3D ．存在两个不同的实数a ，能使直线l 在x ，y 轴上的截距互为相反数 10．甲、乙、丙等6人排成一列，下列说法正确的有（ ） A ．若甲和乙相邻，共有240种排法 B ．若甲不排第一个共有480种排法C ．若甲与丙不相邻，共有480种排法D ．若甲在乙的前面，共有360种排法11．已知直线l ：mx ﹣y ﹣m ＝0（m ∈R ）与圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）交于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，且点T 的坐标为（3，0）．当m ＝1时，|AB|=√14，则（ ） A ．r ＝2B ．|AB |的最小值为2√3C ．存在点A ，使∠ATO ＝45°D ．存在m ，使QO →⋅QT →=−5412．在等比数列{a n }中，a 2＞0，a 1+a 2＜0，T n 为数列{a n }的前n 项积，下列说法正确的有（ ） A ．﹣1＜q ＜0 B ．a 10+a 11＜0C ．若（a 10﹣1）（a 12﹣1）＜0，则T n 的最大项为T 11D ．若（a 9+1）（a 11+1）＜0，则T n 的最小项为T 10 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（x 2﹣y ）6的展开式中，各项系数的绝对值之和为 ．14．已知等差数列{a n }的公差不为0，其前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 3+a 4a 1+a 2= ．15．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为抛物线C ：y 2＝4x 上两个不同的点，F 为抛物线的焦点，若AF →=3FB →，则△OAB 的面积为 ． 16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，点T （b ，0），若椭圆C 上存在四个不同的点到点T 的距离相等，则e 2的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．中国体育代表团获得201金111银71铜，共383枚奖牌，取得亚运会参赛历史最好成绩．亚运会结束后，某调查小组为了解杭州市不同年龄段的市民每日运动的情况，在市民中随机抽取了200人进行调查，结果如下表所示，其中每日平均运动低于1万步的人数占样本总数的2，40岁以上（含40岁）的人数占样本总数的1．（1）将题中表格补充完整（填写在答题卡上）；（2）判断是否有99.9%的把握认为该市市民每日平均运动的步数与年龄有关． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．18．（12分）设S n 是正项数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，S n +S n−1−2a n=0(n ∈N ∗，n ≥2)． （1）求证；数列{S n 2}是等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式． 19．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为（1，0），点A(−1，32)在C 上．（1）求C 的方程；（2）斜率为1的直线l 与C 交于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，求点P 的横坐标的取值范围． 20．（12分）已知f(x)=(x 2+2x +3)8=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+⋯+a 16(x +1)16． （1）求a n （n ＝0，1，2，…，16）的最大值； （2）求f （5）﹣5被13除的余数．21．（12分）已知等差数列{a n }满足a 3+a 4＝12，a 5+a 7＝22，数列{b n }满足b 1＝3，且b n +1＝2b n ﹣n +1． （1）证明：{b n ﹣n }是等比数列，并求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）将数列{a n }和{b n }的公共项从小到大排成的数列记为{c n }，求{（﹣1）n c n }的前2n 项和S 2n ． 22．（12分）已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点Q （﹣1，0）的直线l （斜率为正数）与C 由左至右交于A ，B 两点，连结BF 并延长交C 于点D ． （1）证明：∠BQF ＝∠DQF ；（2）当△BDQ 的内切圆半径r ∈[12，23]时，求|QA |•|QB |的取值范围．2023-2024学年江苏省常州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．A 72−C 75=（ ）A ．63B ．10C ．21D ．0解：A 72−C 75=A 72−C 72=7×6−7×62=21． 故选：C ．2．用最小二乘法得到一组数据（x ，y ）（i ＝1，2，3，4，5，6）的线性回归方程为y =2x +3，若∑ 6i=1x i =30，则∑ 6i=1y i =（ ） A ．11B ．13C ．63D ．78解：∵∑ 6i=1x i =30，∴x =16×30=5， ∵线性回归方程y =2x +3一定过点（x ，y ）， ∴y =2x +3＝2×5+3＝13， ∴∑ 6i=1y i =6×13＝78． 故选：D ．3．方程x 22+k +y 28−k =1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ ）A ．k ＞﹣2B ．k ＜8C ．﹣2＜k ＜8D ．﹣2＜k ＜3解：∵方程x 22+k +y 28−k=1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴8﹣k ＞2+k ＞0， ∴﹣2＜k ＜3，∴实数k 的取值范围是（﹣2，3）． 故选：D ．4．若双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|等于（ ） A ．1B ．13C ．1或13D ．15解：双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝7，a ＝3，b ＝4，c ＝5．点P 在双曲线E 左支上． 则|PF 2|＝2a +|PF 1|＝6+7＝13． 故选：B ．5．定义：“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（ ） A ．21B ．35C ．36D ．45解：按百位数字分类讨论：①百位数字为1时，后两位相加为7，有8种； ②百位数字为2时，后两位相加为6，有7种； ③百位数字为3时，后两位相加为5，有6种； ④百位数字为4时，后两位相加为4，有5种； ⑤百位数字为5时，后两位相加为3，有4种； ⑥百位数字为6时，后两位相加为2，有3种； ⑦百位数字为7时，后两位相加为1，有2种； ⑧百位数字为8时，后两位相加为0，有1种， 故共有8+7+6+5+4+3+2+1＝36种． 故选：C ．6．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＝6，则8S 3+S 9的最小值为（ ） A ．18B ．24√2C ．30D ．33解：正项等比数列{a n }中，S 6＝6， 又S 3，S 6﹣S 3，S 9﹣S 6成等比数列， 所以（6﹣S 3）2＝S 3（S 9﹣6），整理得，S 9=36S 3+S 3﹣6，S 3＞0， 则8S 3+S 9=36S 3+9S 3﹣6≥2√36S 3⋅9S 3−6＝30，当且仅当36S 3=9S 3，即S 3＝2时取等号． 故选：C ．7．已知圆M ：x 2+y 2+4x ＝0和圆N ：x 2+y 2﹣4y ﹣12＝0相交于A ，B 两点，点P 是圆M 上任意一点，则|PA →+PB →|的取值范围是（ ） A ．[2√2，4+√2] B ．[4−√2，4+√2]C ．[4−√2，2√2]D ．[4−2√2，4+2√2]解：根据题意，圆M ：x 2+y 2+4x ＝0和圆N ：x 2+y 2﹣4y ﹣12＝0相交于A ，B 两点， 联立两圆的方程有{x 2+y 2+4x =0x 2+y 2−4y −12=0，两式相减可得：4x +4y +12＝0，变形可得x +y +3＝0， 即AB 所在直线的方程为x +y +3＝0； 设AB 的中点为C ，易得MC ⊥AB ，圆M ：x 2+y 2+4x ＝0，即（x +2）2+y 2＝4，其圆心M 为（﹣2，0），半径为2， M 到直线AB 的距离d ＝|MC |=|−2+3|√1+1=√22， C 为AB 的中点，由平行四边形法则，有PA →+PB →=2PC →，则有|PA →+PB →|＝2|PC →|， P 为圆M 上任意一点，则|PC →|的最小值为r ﹣|MC |＝2−√22，最大值为r +|MC |＝2+√22，故|PA →+PB →|的取值范围是[4−√2，4+√2]． 故选：B ．8．经过双曲线C ：x 212−y 2b2=1(b ＞0)的右焦点F 作该双曲线的一条渐近线的垂线l ，垂足为M ，且l 交另一条渐近线于点N ，若3FN →=5MF →，则b 的值为（ ） A ．2√6B ．4C ．2D ．√3解：根据题意可得F （c ，0），点F （c ，0）到直线y =ba x 的距离|MF |=√b +(−a)=bcc=b ，因为3FN →=5MF →，所以|FN →|=53|MF →|=53b ，过点F 作FH ⊥ON ，垂足为H ，则|FH |＝b ，则tan ∠FNO =b√(53b)2−b2=34=ab+53b， 从而b a =12=2√3，所以b =√3．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．点A （﹣2，1），B （a ，1﹣a ），过A ，B 的直线为l ，下列说法正确的有（ ） A ．若a ＝1，则直线l 的方程为x +3y ﹣1＝0B ．若a ＝﹣1，则直线l 的倾斜角为π4C ．任意实数a ，都有|AB|≥√3D ．存在两个不同的实数a ，能使直线l 在x ，y 轴上的截距互为相反数 解：当a ＝1时，点B 的坐标为（1，0），直线的斜率k =0−11+2=−13， 所以直线方程为y =−13(x −1)即x +3y ﹣1＝0，所以A 正确；当a ＝﹣1时，点B 的坐标为（﹣1，2），直线的斜率k =2−1−1+2=1， 所以直线倾斜角为π4，所以B 正确．|AB |=√(a +2)2+(1−a −1)2=√2a 2+4a +4，当a ＝﹣1时，|AB |取得最小值√2，所以任意实数a ，都有|AB|≥√2，所以C 错误； 直线的方程为y−1x+2=1−a−1a+2，即y =−aa+2(x +2)+1，在x 轴上的截距为2−a a，在y 轴上的截距为2−a a+2，若2−a a+2−a a+2=0，则a ＝﹣1或a ＝2，所以存在两个不同的实数a 使直线l 在x ，y 轴上的截距互为相反数，所以D 正确． 故选：ABD ．10．甲、乙、丙等6人排成一列，下列说法正确的有（ ） A ．若甲和乙相邻，共有240种排法 B ．若甲不排第一个共有480种排法C ．若甲与丙不相邻，共有480种排法D ．若甲在乙的前面，共有360种排法解：对于A ，若甲和乙相邻，共有A 22⋅A 55=240种排法，故A 正确；对于B ，若甲不排第一个，共有A 51⋅A 55=600种排法，故B 错误； 对于C ，若甲与丙不相邻，共有A 44⋅A 52=480种排法，故C 正确；对于D ，若甲在乙的前面，共有A 66A 22=360种排法，故D 正确．故选：ACD ．11．已知直线l ：mx ﹣y ﹣m ＝0（m ∈R ）与圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）交于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，且点T 的坐标为（3，0）．当m ＝1时，|AB|=√14，则（ ） A ．r ＝2B ．|AB |的最小值为2√3C ．存在点A ，使∠ATO ＝45°D ．存在m ，使QO →⋅QT →=−54解：当m ＝1时，直线l ：x ﹣y ﹣1＝0，点O 到直线l 的距离为d =|−1|√1+(−1)2=√22，所以|AB |＝2√r 2−d 2=2√r 2−12=√14，解得r ＝2，故A 正确； 直线l ：mx ﹣y ﹣m ＝0过定点（1，0），圆O 的方程为x 2+y 2＝4，当点（1，0）为AB 的中点时，|AB |最小，最小值为2√4−1=2√3，故B 正确； 设∠ATO ＝α，当TA 与圆O 相切时，∠ATO 最大，此时sin α=23＜√22，所以∠ATO ＜45°，故C 错误；设Q （x ，y ），因为点Q 为线段AB 的中点，所以OQ ⊥AB ，所以Q 的轨迹是以（12，0）为圆心，12为半径的圆，所以点Q 的轨迹方程为（x −12）2+y 2=14，由QO →⋅QT →=−54，得x （x ﹣3）+y 2=54，即（x −32）2+y 2=72，而√142−1＜32−12＜√142+1， 所以圆（x −12）2+y 2=14与圆（x −32）2+y 2=72相交，所以存在m ，使QO →⋅QT →=−54，故D 正确．故选：ABD ．12．在等比数列{a n }中，a 2＞0，a 1+a 2＜0，T n 为数列{a n }的前n 项积，下列说法正确的有（ ） A ．﹣1＜q ＜0 B ．a 10+a 11＜0C ．若（a 10﹣1）（a 12﹣1）＜0，则T n 的最大项为T 11D ．若（a 9+1）（a 11+1）＜0，则T n 的最小项为T 10 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，等比数列{a n }中，a 2＞0，a 1+a 2＜0，即a 1＜﹣a 2＜0，变形可得0＜a 2＜﹣a 1， 所以q =a 2a 1＞−1，且q ＜0，即﹣1＜q ＜0，A 正确； 对于B ，由题意得，a 10+a 11＝a 10（1+q ）＞0，B 错误；对于C ，若（a 10﹣1）（a 12﹣1）＜0，则0＜a 12＜1＜a 10，a 11＜0， 则T 10＜0，T 11＞0，T 12＞0，T 12＝T 11•a 12＜T 11， T n 的最大项为T 11，C 正确；对于D ，若（a 9+1）（a 11+1）＜0，则a 9＜﹣1＜a 11＜0，又由﹣1＜q ＜0，a 1＜0，则等比数列{a n }奇数项为负，偶数项为正， 则有a 1＜a 3＜……a 9＜﹣1， 则T 9＜0，T 10＜0，T 11＞0，但T 9﹣T 10＝T 9（1﹣a 10），不能确定1﹣a 10的符号，则T n 的最小项不一定是T 10，D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（x 2﹣y ）6的展开式中，各项系数的绝对值之和为 64 ．解：二项式的展开式T r+1=C 6r ⋅(−1)r ⋅x 12−2r ⋅y r ，令x ＝1，y ＝﹣1，故各项系数的绝对值之和26＝64． 故答案为：64．14．已知等差数列{a n }的公差不为0，其前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 3+a 4a 1+a 2= 3 ．解：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 1，S 2，S 4成等比数列，且S 1＝a 1，S 2＝2a 1+d ，S 4＝4a 1+6d ，得(2a 1+d)2=a 1(4a 1+6d)， ∵d ≠0，∴d ＝2a 1， ∴a 3+a 4a 1+a 2=2a 1+5d 2a 1+d=6d 2d=3．故答案为：3．15．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为抛物线C ：y 2＝4x 上两个不同的点，F 为抛物线的焦点，若AF →=3FB →，则△OAB 的面积为4√33．解：因为抛物线C ：y 2＝4x ，则F （1，0）， 又AF →=3FB →，可得A ，F ，B 三点的共线，设直线AB 为：x ＝my +1，代入y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣4＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），故y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4， 由AF →=3FB →，可得（1﹣x 1，﹣y 1）＝3（x 2﹣1，y 2），求得﹣y 1＝3y 2，故y 1＝6m ，y 2＝﹣2m ，可得﹣12m 2＝﹣4，求得m 2=13，故|y 1﹣y 2|＝|8m |=8√33．则△OAB 的面积为：12×|OF |×|y 1﹣y 2|=4√33． 故答案为：4√33． 16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，点T （b ，0），若椭圆C 上存在四个不同的点到点T 的距离相等，则e 2的取值范围为 （√5−12，1） ． 解：由椭圆C 上存在四个不同的点到点T 的距离相等， 可得在直线x ＝b 的右侧有两个点满足题意，设P （x 0，y 0），则y 02=b 2−b 2a2x 02，则|TP |=√(x 0−b)2+y 02=√c2a2x 02−2bx 0+2b 2，﹣a ≤x 0≤a ，可得﹣a ＜−−2b2c 2a 2＜a ，化为﹣c 2＜ab ＜c 2，即为c 4＞a 2（a 2﹣c 2），化为e 4+e 2﹣1＞0，解得e 2＞√5−12，又e 2＜1，可得√5−12＜e 2＜1． 故答案为：（√5−12，1）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．中国体育代表团获得201金111银71铜，共383枚奖牌，取得亚运会参赛历史最好成绩．亚运会结束后，某调查小组为了解杭州市不同年龄段的市民每日运动的情况，在市民中随机抽取了200人进行调查，结果如下表所示，其中每日平均运动低于1万步的人数占样本总数的2，40岁以上（含40岁）的人数占样本总数的1．（1）将题中表格补充完整（填写在答题卡上）；（2）判断是否有99.9%的把握认为该市市民每日平均运动的步数与年龄有关． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．解：（1）由题意可知，40岁以上（含40岁）的人数为200×12=100，40岁以下的人数为100， 每日平均运动低于1万步的人数为200×25=80， 所以2×2列联表如下：（2）由2×2列联表可得，K 2=200×(80×60−40×20)2120×80×100×100=1003＞10.828，所以有99.9%的把握认为该市市民每日平均运动的步数与年龄有关． 18．（12分）设S n 是正项数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，S n +S n−1−2a n=0(n ∈N ∗，n ≥2)． （1）求证；数列{S n 2}是等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式． （1）证明：因为S n +S n−1−2a n=0， 所以S n 2−S n−12=(S n −S n−1)(S n +S n−1)=(S n −S n−1)2a n=2， 所以S n 2−S n−12=2 （常数）．所以{S n 2} 是以1为首项，2为公差的等差数列． （2）解：S n 2=1+2(n −1)=2n −1，且a n ＞0，所以S n =√2n −1，当n ≥2时，S n−1=√2n −3， a n =S n −S n−1=√2n −1−√2n −3． n ＝1时，a 1＝1不满足上式，所以a n ={1，n =1√2n −1−√2n −3，n ≥2．19．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为（1，0），点A(−1，32)在C 上．（1）求C 的方程；（2）斜率为1的直线l 与C 交于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，求点P 的横坐标的取值范围． 解：（1）易知椭圆C 的左右焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）， 因为点A(−1，32)在C 上，所以AF 1+AF 2＝2a ＝4，解得a ＝2， 则b =√a 2−c 2=√3， 故C 的方程为x 24+y 23=1；（2）不妨设直线l 的方程为y ＝x +m ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），P （x 0，y 0）， 联立{y =x +mx 24+y 23=1，消去y 并整理得7x 2+8mx +4m 2﹣12＝0，此时Δ＝（8m ）2﹣4×7×（4m 2﹣12）＝48（7﹣m 2）＞0， 解得−√7＜m ＜√7， 由韦达定理得x 1+x 2=−8m 7，x 1x 2=4m 2−127， 因为线段MN 的中点为P ，所以x 0=x 1+x 22=−47m ，此时−47√7＜x 0＜47√7， 故点P 的横坐标的取值范围为(−47√7，47√7)．20．（12分）已知f(x)=(x 2+2x +3)8=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+⋯+a 16(x +1)16． （1）求a n （n ＝0，1，2，…，16）的最大值； （2）求f （5）﹣5被13除的余数．解：（1）因为(x 2+2x +3)8=[2+(x +1)2]8=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+⋯+a 16(x +1)16，所以T r+1=C 8r 28−r [(x +1)2]r =C 8r 28−r(x +1)2r ，r =0，1，2，⋯，8， 所以a 1＝a 3＝⋯＝a 15＝0，a 2n =C 8n 28−n ，n ＝0，1，2， (8)令 C 8n 28−n ≥C 8n+127−n，则2≤n ≤3，所以a n 的最大值为1792．（2）因为f(5)−5=388−5=(39−1)8−5=C 80398+C 81397(−1)+⋯+C 8739(−1)7+1−5，所以f （5）﹣5 被13除的余数，即为﹣4被13除的余数为9．21．（12分）已知等差数列{a n }满足a 3+a 4＝12，a 5+a 7＝22，数列{b n }满足b 1＝3，且b n +1＝2b n ﹣n +1． （1）证明：{b n ﹣n }是等比数列，并求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）将数列{a n }和{b n }的公共项从小到大排成的数列记为{c n }，求{（﹣1）n c n }的前2n 项和S 2n ． 解：（1）由a 3+a 4＝12，a 5+a 7＝22，可得{a 1+2d +a 1+3d =12a 1+4d +a 1+6d =22，解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n ﹣1．根据b n +1＝2b n ﹣n +1，整理得b n +1﹣（n +1）＝2（b n ﹣n ）， 因为b 1﹣1＝2≠0，可知b n ﹣n ≠0，所以b n+1−(n+1)b n −n=2（常数），所以{b n ﹣n }是公比为2的等比数列，首项为b 1﹣1＝2，可得b n ﹣n ＝2×2n ﹣1＝2n ，即b n =2n +n ． （2）根据（1）的结论，可知：c n =b 2n−1=22n−1+(2n −1)，则S 2n ＝﹣c 1+c 2﹣c 3+c 4+⋯﹣c 2n ﹣1+c 2n ＝﹣（2+1）+（23+3）﹣（25+5）+⋯﹣（24n ﹣3+4n ﹣3）+（24n﹣1+4n ﹣1）＝（﹣2+23﹣25+27+…﹣24n ﹣3+24n ﹣1）+[﹣1+3﹣5+7+…﹣（4n ﹣3）+（4n ﹣1）] =−2−24n−1×(−4)1−(−4)+[(−1+3)+(−5+7)+⋯+(−4n +3+4n −1)]=24n+1−25+2n ．22．（12分）已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点Q （﹣1，0）的直线l （斜率为正数）与C 由左至右交于A ，B 两点，连结BF 并延长交C 于点D ． （1）证明：∠BQF ＝∠DQF ；（2）当△BDQ 的内切圆半径r ∈[12，23]时，求|QA |•|QB |的取值范围．（1）证明：设BF ：x ＝ny +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 3，y 3），y 2＞y 1， 由 {x =nyy 2=4x，得y 2﹣4ny ﹣4＝0，y 2+y 3＝4n ，k BQ +k DQ =y 2x 2+1+y 3x 3+1=y 2ny 2+2+y 3ny 3+2=2ny 2y 3+2(y 2+y 3)(ny 2+2)(ny 3+2)=2n(−4)+2(4n)(ny 2+2)(ny 3+2)=0，所以∠BQF ＝∠DQF ．（2）解：过B 作BB ′垂直抛物线的准线于B ′，设直线l 的倾斜角为θ，如图：由（1）可知：△BDQ 的内切圆圆心在x 轴上，所以设圆心M （a ，0），﹣1＜a ＜1，设直线l ：x ＝my ﹣1（m ＞0）， 由{x =my −1y 2=4x，得y 2﹣4my +4＝0，则Δ＞0⇒m 2＞1⇒m ＞1，y 2+y 1＝4m ，y 1y 2＝4， 因为△BDQ 的内切圆为圆M ，所以|QM||FM|=|BQ||BF|=|BQ||BB′|=1cosθ=√1+m 2m，即a+11−a=√1+m 2m，又点M 到直线l 的距离为r =|a+1|√1+m ，所以√m 2+1=1−a m=r ，所以a =r 24，所以m =1−a r =1−r 24r =1r −r4，因为y =1r −r 4 在 r ∈[12，23] 上单调减，所以m ∈[43，158]， 所以|QA|⋅|QB|=(√1+m 2⋅y 1)(√1+m 2⋅y 2)=(1+m 2)y 1y 2=4(1+m 2)∈[1009，28916|．。
2023-2024学年河南省新乡市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l1：﹣tx+2y+2＝0和l2：6x﹣（t+1）y+3＝0平行，则实数t＝（）A．3B．3或﹣4C．﹣3D．﹣3或42．已知＝（﹣1，4，2）为平面α的一个法向量，α∥β（）A．（2，0，1）B．（4，2，﹣1）C．（2，8，4）D．（2，﹣8，﹣4）3．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则λ＝（）A．3B．﹣3C．6D．﹣64．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BCA＝90°，CC1＝3BC＝3CA，则AC1与CB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多3个，已知第一排有5个座位，则该阶梯大教室最后一排的座位数为（）A．30B．33C．38D．406．如图所示，在空间四边形OABC中，点M在线段OA上，N为线段BC的中点，，则（）A．B．C．D．7．在空间直角坐标系中，已知点M（1，1，0），N（2，﹣1，﹣2），P（﹣1，1，2），则点P到直线MN 的距离为（）A．B．2C．D．48．如图，椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，B为y轴上一点，F1在以AB为直径的圆上，且，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7＝9，S4＝3a4，则（）A．{a n}的公差为1B．{a n}的公差为2C．S4＝18D．a2023＝202510．已知圆O：x2+y2＝4，动直线l过点P（3，0），下列结论正确的是（）A．当l与圆O相切于点E时，B．点P到圆O上点的距离的最大值为5C．点P到圆O上点的距离的最小值为2D．若点Q（0，1）在l上，l与圆O相交于点M，N，则11．已知P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1所在空间内一点，且，0＜λ＜1，则（）A．B．三棱锥D﹣P A1C1的体积为定值C．存在唯一的λ，使得平面P A1C1⊥平面BDD1B1D．存在唯一的λ，使得，12．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，过点F作互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点A，B，C，D，P，Q分别为AB，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（）A．+＝B．•≥5C．若F恰好为PB的中点，则直线PQ的斜率为±D．直线PQ过定点（3，0）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知双曲线C：的一条渐近线方程为，则C的焦距为．14．若数列{a n}满足a2＝11，，则a985＝．15．若直线x+3y﹣1＝0是圆x2+y2﹣2ax﹣8＝0的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为．16．在首项为1的数列{a n}中，若存在n∈N*，使得不等式（m﹣a n）（m+a n+3）＞0成立，则m的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2（a1+a2）＝a4，S5＝35．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，若，求正整数m的最大值．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，＝，BC＝，AC＝．（1）证明：BC⊥平面P AB；（2）求直线CP与平面ABD所成角的正弦值．19．（12分）已知圆C过点A（﹣5，﹣1）和B（2，0），且圆心C在直线x+y﹣1＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）经过点（3，4）的直线l与圆C相切，求l的方程．20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，BC＝BP＝5，，△P AC为等边三角形，Q为PC上的一个动点．（1）证明：平面P AB⊥平面ABC．（2）当时，求二面角P﹣AB﹣Q的余弦值．21．（12分）在数列{a n}中，已知a1＝3，a n+1＝4a n+3n﹣1．（1）证明数列{a n+n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n＝2n﹣1，若数列{a n}与{b n}的公共项为b m，记m由小到大构成数列{c n}，求{c n}的前n项和S n．22．（12分）已知椭圆与双曲线的焦距之比为．（1）求椭圆C1和双曲线C2的离心率；（2）设双曲线C2的右焦点为F，过F作FP⊥x轴交双曲线C2于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆C1的左、右顶点，AP与椭圆C1交于另一点Q，O为坐标原点，证明：k BP•k OP＝k OQ+k OP．2023-2024学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l1：﹣tx+2y+2＝0和l2：6x﹣（t+1）y+3＝0平行，则实数t＝（）A．3B．3或﹣4C．﹣3D．﹣3或4解：直线l1：﹣tx+2y+8＝0和l2：7x﹣（t+1）y+3＝8平行，则（﹣t）•（﹣t﹣1）＝2×4，解得t＝3或﹣4，当t＝7时，两直线不重合，当t＝﹣4时，两直线重合，故a＝3．故选：A．2．已知＝（﹣1，4，2）为平面α的一个法向量，α∥β（）A．（2，0，1）B．（4，2，﹣1）C．（2，8，4）D．（2，﹣8，﹣4）解：根据题意，为平面α的一个法向量，则也是平面β的一个法向量，分析选项：对于A，设＝（2，0，∥不成立，7，1）不是平面β的一个法向量；对于B，设＝（4，6，∥不成立，0，1）不是平面β的一个法向量；对于C，设＝（7，8，∥不成立，8，3）不是平面β的一个法向量；对于D，设＝（2，﹣4），有，则∥成立，﹣5．故选：D．3．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则λ＝（）A．3B．﹣3C．6D．﹣6解：等比数列{a n}的前n项和为S n，则＝，＝6×3n+λ，故，即．故选：D．4．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BCA＝90°，CC1＝3BC＝3CA，则AC1与CB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．解：如图，建立空间直角坐标系，设CC1＝3BC＝6CA＝3，则A（1，2，0），C1（6，0，3），7，0），B1（3，1，3），所以，则，故AC1与CB1所成角的余弦值为．故选：C．5．某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多3个，已知第一排有5个座位，则该阶梯大教室最后一排的座位数为（）A．30B．33C．38D．40解：根据题意，第n排的座位数为a n，由于第一排有5个座位，从第二排开始，则数列{a n}是以5为首项，公差为8的等差数列n＝5+（n﹣1）×6＝3n+2，该阶梯大教室共有258个座位，则有，变形可得：（3n+43）（n﹣12）＝0，又由n是正整数，则n＝12，则该阶梯大教室最后一排的座位数为a12＝5×12+2＝38．故选：C．6．如图所示，在空间四边形OABC中，点M在线段OA上，N为线段BC的中点，，则（）A．B．C．D．解：＝+＝﹣++，则x＝﹣，y＝．故选：B．7．在空间直角坐标系中，已知点M（1，1，0），N（2，﹣1，﹣2），P（﹣1，1，2），则点P到直线MN 的距离为（）A．B．2C．D．4解：点M（1，1，5），﹣1，P（﹣1，6，则＝（﹣2，0，，故＝，，故点P到直线MN的距离为：＝2．故选：B．8．如图，椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，B为y轴上一点，F1在以AB为直径的圆上，且，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．解：由，设|F2A|＝8t，|F2B|＝3t，（t＞6），则|AB|＝5t，由对称性知2B|＝|F6B|＝3t，因为F1在以AB为直径的圆上，则|F7A|＝4t，cos∠F1AB＝，由椭圆的定义知|F1A|+|F7A|＝6t＝2a，所以a＝5t，在△F1AF2中，8c2＝16t2+2t2﹣2×8t×2t×cos∠F1AB＝20t3﹣t2＝t2，所以c＝t，所以e＝．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7＝9，S4＝3a4，则（）A．{a n}的公差为1B．{a n}的公差为2C．S4＝18D．a2023＝2025解：设{a n}的公差为d，a7＝9，S8＝3a4，则解得故a2023＝a8+2022d＝2025，S4＝4a3+6d＝18．故选：ACD．10．已知圆O：x2+y2＝4，动直线l过点P（3，0），下列结论正确的是（）A．当l与圆O相切于点E时，B．点P到圆O上点的距离的最大值为5C．点P到圆O上点的距离的最小值为2D．若点Q（0，1）在l上，l与圆O相交于点M，N，则解：对于A，，A正确．易知点P到圆O上点的距离的最大值为8+2＝5，B正确；点P到圆O上点的距离的最小值为6﹣2＝1，C错误．对于D，动直线l过点P（6，点Q（0，所以直线l的方程为x+3y﹣5＝0，点O到直线l的距离，所以，D错误．故选：AB．11．已知P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1所在空间内一点，且，0＜λ＜1，则（）A．B．三棱锥D﹣P A1C1的体积为定值C．存在唯一的λ，使得平面P A1C1⊥平面BDD1B1D．存在唯一的λ，使得， 解：建立空间直角坐标系，如图所示：因为，0＜λ＜3，设＝t，1）；＝++＝++t，6，0）+（0，4，t，0）＝（t﹣1，t，＝+＝（1，6，0，﹣1）＝（4，1，所以•＝t﹣1+t﹣1＝4t﹣2＜0；三棱锥D﹣P A 5C1的体积为＝•BD＝××＝，是定值；当且仅当P为AC的中点时，平面P A1C1⊥平面BDD2B1，此时λ＝，选项C正确；因为＝++＝（﹣t，0）+（4，0，0，7）＝（﹣t+1，﹣1），＝++＝（﹣t，0）+（0，7，1，0）＝（﹣t，﹣4），所以•＝4t（t﹣1）+1＝2t2﹣2t+4，||＝|＝；令＝＝，化简得3t5﹣3t+1＝4，Δ＝9﹣12＜0，即不存在λ∈R，使cos＜，，选项D错误．故选：BC．12．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，过点F作互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点A，B，C，D，P，Q分别为AB，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（）A．+＝B．•≥5C．若F恰好为PB的中点，则直线PQ的斜率为±D．直线PQ过定点（3，0）解：设直线AB的方程为x＝my+1（m≠0），A（x7，y1），B（x2，y7），联立方程组，得y2﹣4my﹣5＝0，则y1+y2＝4m，y1y3＝﹣4，∴|AB|＝＝4（m2+5），同理可得，∴，故A正确；∵P，Q分别为AB，∴P（6m2+1，8m），，∴，当且仅当m＝±1时等号成立；∵F为PB的中点，∴y3＝﹣2m，又∵y1+y2＝4m，∴y1＝7m．∵，∴，可得；当直线PQ的斜率存在时，，∴直线PQ的方程为，整理得，可得直线PQ过定点（3；当直线PQ的斜率不存在时，m＝±2，过点（3，∴直线PQ过定点（3，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知双曲线C：的一条渐近线方程为，则C的焦距为2．解：由题意知，双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为y＝±x，因为双曲线C的一条渐近线方程为，即y＝x，所以＝，解得m＝9，所以C的焦距为2＝2．故答案为：2．14．若数列{a n}满足a2＝11，，则a985＝．解：根据题意，有a2＝，又a2＝11，所以11＝，解得a5＝，又a3＝＝＝﹣，a4＝＝＝＝a2，…，所以{a n}是以3为周期的周期数列，所以a985＝a328×3+3＝a1＝．故答案为：．15．若直线x+3y﹣1＝0是圆x2+y2﹣2ax﹣8＝0的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为1．解：由题可知，该圆的圆心为（a，因为直线x+3y﹣1＝3过圆心，所以a﹣1＝0，所以圆的方程为（x﹣8）2+y2＝7，因为圆心与的距离为，所以点与该圆上任意一点的距离的最小值为3﹣2＝4．故答案为：1．16．在首项为1的数列{a n}中，若存在n∈N*，使得不等式（m﹣a n）（m+a n+3）＞0成立，则m的取值范围为或．解：结合题意：a n＝a1+（a2﹣a3）+（a3﹣a2）+⋯+（a n﹣a n﹣3）＝，则a n＞0，所以（m﹣a n）（m+a n+3）＞7，解得m＞a n或m＜﹣a n+3，当n为偶数时，，递增n的最小值为，则，，递增n+3的最小值为，则，当n为奇数时，，递减n的最大值为a8＝1，，，递减n+6的最大值为，，综上所述：要使得存在n∈N*，使得不等式（m﹣a n）（m+a n+5）＞0成立，只需或，所以m的取值范围为或．故答案为：或．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2（a1+a2）＝a4，S5＝35．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，若，求正整数m的最大值．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题意得，解得，{a n}的通项公式a n＝1+5（n﹣1）＝3n﹣2．（2）由（1）得S n＝＝，所以＝＝，所以T n＝＝，由，得≤，解得m≤15，故正整数m的最大值为15．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，＝，BC＝，AC＝．（1）证明：BC⊥平面P AB；（2）求直线CP与平面ABD所成角的正弦值．解：（1）证明：因为P A⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，因为AB＝2，，，所以AB5+BC2＝AC2，则AB⊥BC，又因为P A∩AB＝A，P A⊂平面P AB，所以BC⊥平面P AB．（2）以B为坐标原点，，的方向分别为x，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（3，0，0），7，0），，4，4），1，8），所以，，，设平面ABD的法向量为，则，解得y＝0，令z＝﹣1，得，所以，设直线CP与平面ABD所成的角为θ，则，即直线CP与平面ABD所成角的正弦值为．19．（12分）已知圆C过点A（﹣5，﹣1）和B（2，0），且圆心C在直线x+y﹣1＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）经过点（3，4）的直线l与圆C相切，求l的方程．解：（1）AB的中点（，），k AB＝＝，所以AB的中垂线方程为：7x+y+11＝6，由，得，即圆心（﹣2，半径r＝，所以圆C的标准方程为：（x+2）2+（y﹣3）2＝25．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时直线l与圆C相切，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣4＝k（x﹣3），因为直线l与圆C相切，所以＝3，所以直线L的方程为：12x+5y﹣56＝2．综上，直线l的方程为：x＝3或12x+5y﹣56＝2．20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，BC＝BP＝5，，△P AC为等边三角形，Q为PC上的一个动点．（1）证明：平面P AB⊥平面ABC．（2）当时，求二面角P﹣AB﹣Q的余弦值．（1）证明：因为△P AC为等边三角形，所以，又PB＝CB，PC为公共边，作PO⊥AB，垂足为O，由三角形全等易知CO⊥AB，PO＝CO，设OB＝x，则OA＝4﹣x2＝P A2﹣OA2，且PO2＝PB2﹣OB6，所以，解得x＝2，故，故CO＝4，在△POC中，因为PO8+CO2＝PC2，所以PO⊥CO，又因为CO⊥AB，AB，AB∩PO＝O，所以CO⊥平面P AB，因为CO⊂平面ABC，所以平面P AB⊥平面ABC；（2）以O为坐标原点，OC，OP所在直线分别为x，y，建立如图所示的空间直角坐标系，则＝（5，7，设点Q（x0，5，z0），则，因为，所以，解得，所以Q（1，2，则，设平面QAB的一个法向量为，则，解得y＝3，则x＝3，故，又因为平面P AB的一个法向量为，所以，由图可知，二面角P﹣AB﹣Q为锐二面角，故二面角P﹣AB﹣Q的余弦值为．21．（12分）在数列{a n}中，已知a1＝3，a n+1＝4a n+3n﹣1．（1）证明数列{a n+n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n＝2n﹣1，若数列{a n}与{b n}的公共项为b m，记m由小到大构成数列{c n}，求{c n}的前n项和S n．（1）证明：因为a n+1＝4a n+6n﹣1，所以a n+1+n+3＝4a n+4n＝5（a n+n），即＝5，又a1+1＝7，所以数列{a n+n}是首项为4，公比为4的等比数列，所以a n+n＝5×4n﹣1＝2n，即a n＝4n﹣n，故数列{a n}的通项公式为a n＝4n﹣n．（2）解：设b n＝8n﹣1，则b m＝2m﹣7，由数列{a n}与{b n}的公共项为b m，得2m﹣1＝4n﹣n，所以m＝，所以n﹣1＝7k（k∈N），即n＝2k+1（k∈N），所以m＝34k+1﹣k（k∈N），所以c n＝54n﹣3﹣（n﹣5）（n∈N*），所以S n＝＝．22．（12分）已知椭圆与双曲线的焦距之比为．（1）求椭圆C1和双曲线C2的离心率；（2）设双曲线C2的右焦点为F，过F作FP⊥x轴交双曲线C2于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆C1的左、右顶点，AP与椭圆C1交于另一点Q，O为坐标原点，证明：k BP•k OP＝k OQ+k OP．解：（1）易知椭圆C1的焦距，双曲线C2的焦距，因为椭圆与双曲线，所以，整理得，此时，，则椭圆C1的离心率，双曲线C2的离心率，（2）证明：由（1）知，因为A（﹣a，0），此时直线AP的方程为，联立，消去y并整理得，由韦达定理得，解得，则，因为，，，所以，，故k BP•k OP＝k OQ+k OP．。
2023-2024学年浙江省金华市十校高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省金华市十校高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线：x ﹣2y +3＝0与直线：2x +ay ﹣2＝0互相平行，则a ＝（ ）A ．1B ．4C ．﹣4D ．﹣12．已知等差数列{a n }中，a 3+a 10＝9，则S 12＝（ ）A ．24B ．36C ．48D ．543．如果函数y ＝f （x ）在x ＝2处的导数为1，那么limΔx→0f(Δx+2)−f(2)Δx =（ ） A ．1 B ．12 C ．13 D ．144．过点P （﹣1，2）且与直线x +2y +3＝0垂直的直线方程是（ ）A ．x ﹣2y +5＝0B ．x +2y ﹣3＝0C ．2x ﹣y +4＝0D ．2x +y ＝05．圆C ：x 2+y 2﹣2x +4y ＝r 2﹣5（r ＞0）与圆D ：x 2+y 2＝6的位置关系不可能（ ）A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切 6．（多选）已知v →为直线l 的方向向量，n 1→，n 2→分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列说法中，正确的有（ ）A ．n 1→∥n 2→⇔α∥βB ．n 1→⊥n 2→⇔α⊥β C ．v →∥n 1→⇔l ∥α D ．v →⊥n 1→⇔l ⊥α 7．法国天文学家乔凡尼•多美尼卡•卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称为卡西尼卵形线（Cas sin iOval ）小张同学受到启发，提出类似疑问，若平面内动点与两定点所成向量的数量积为定值，则动点的轨迹是什么呢？设定点M 和N ，动点为H ，若MH →⋅NH →=2，则动点H 的轨迹为（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线 8．已知直线l ：y ＝kx +m （k ≠±1）与双曲线x 2﹣y 2＝1有唯一公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于A （x ，0），B （0，y ）两点，则当M 运动时，点P （x ，y ）到C(2√2，0)、D(3√2，1)两点距离之和的最小值为（ ）A ．√51−4B ．√51+4C ．√51−2D ．√3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．下列导数运算正确的（ ）A ．（e x ）'＝e xB ．(1x )′=1x 2C ．[ln(2x)]′=1xD ．（xe x ）'＝（x +1）e x10．已知等差数列{a n }的公差为﹣3，若a 7＞0，a 8＜0，则首项a 1的值可能是（ ）A ．18B ．19C ．20D ．2111．已知抛物线P ：x 2＝2py 的准线方程为y ＝﹣1，焦点为F ，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线上的两点，抛物线在A ，B 两点的切线交于点P ，则下列结论一定正确的（ ）A ．抛物线的方程为：x 2＝4yB ．|AF |＝y 1+1C ．当直线AB 过焦点时，三角形OAB 面积的最小值为1D ．若|AB|=√32(y 1+y 2+2)，则∠AFB 的最大值为23π 12．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，是一个八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，某玩具厂商制作一个这种形状棱长为6cm ，重量为360g 的实心玩具，则下列说法正确的是（ ）A ．将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为6√2cmB ．将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为4√2cmC ．将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为3√10cmD ．将玩具放至水中，其会飘浮在水面上三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线f(x)=12x 2+2x 在点（2，f （2））处的切线斜率为 ． 14．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数m ＝6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）．数列{a n }满足冰雹猜想，其递推关系为：a 1＝m （m 为正整数），a n+1={12a n ，当a n 为偶数时3a n +1，当a n 为奇数时．若a 4＝1，则m 所有可能的取值为 ．15．如图，在四面体ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE EB =AH HD =CF FB =CG GD =12，M 是EG 和FH 的交点，以{AB →，AC →，AD →}为基底表示AM →，则AM →= ．16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√53，F 为椭圆C 的一个焦点，若F 关于直线y ＝kx 的对称点恰好在椭圆C 上，则斜率k 的取值构成的集合为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2023-2024学年安徽省宣城市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省宣城市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．设不同的直线l 1：2x ﹣my ﹣1＝0，l 2：x ﹣2y +1＝0，若l 1∥l 2，则m 的值为（ ） A ．﹣4B ．﹣1C ．1D ．42．数列{a n }满足a n+1=11−a n ，a 1＝3，则a 2024＝（ ） A ．−52B ．23C ．−12D ．33．直线l 过圆C ：（x +3）2+y 2＝4的圆心，并且与直线x +y +2＝0垂直，则直线l 的方程为（ ） A ．x +y ﹣2＝0B ．x ﹣y +2＝0C ．x +y ﹣3＝0D ．x ﹣y +3＝04．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，AG →=2GE →，则FG →=（ ） A ．13AB →−23AC →−12AA 1→B ．13AB →+23AC →+12AA 1→C ．−23AB →+13AC →−12AA 1→D ．−13AB →+23AC →+12AA 1→5．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 3＝4，a 4+a 5+a 6＝8，则S 9S 6=（ ） A ．2B ．73C ．53D ．376．已知直线l 经过点A （﹣1，1，1）和点B （1，﹣1，1），下列点P 在直线l 上的是（ ） A ．P （3，﹣3，1） B ．P （﹣2，3，1） C ．P （1，﹣3，1） D ．P （3，3，1）7．如图，在两条异面直线a ，b 上分别取点A '，E 和点A ，F ，使AA '⊥a ，且AA '⊥b ．已知AA '＝6，A ′E ＝3，AF ＝4，EF ＝7，则异面直线a ，b 所成的角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π28．设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右两个顶点分别为A 、B ，点C 为椭圆上不同于A 、B 的任一点，若将△ABC 的三个内角记作A 、B 、C ，且满足3tan A +3tan B +2tan C ＝0，则椭圆的离心率为（ ） A ．13B ．√33C ．23D ．√63二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知双曲线C 的两个焦点分别为F 1(−2√2，0)，F 2(2√2，0)，且满足条件p ，可以解得双曲线C 的方程为x 2﹣y 2＝4，则条件p 可以是（ ） A ．实轴长为4 B ．双曲线C 为等轴双曲线 C ．离心率为√22D ．渐近线方程为y ＝±x10．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0．则下列命题中正确的有（ ）A ．直线l 恒过定点（3，1）B ．圆C 被y 轴截得的弦长为4 C ．直线l 与圆C 恒相离D ．直线l 被圆C 截得最短弦长时，直线l 的方程为2x ﹣y ﹣5＝0 11．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3=152，则（ ） A ．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ﹣4 B ．数列{a n }的公差为−12C ．数列{a n }的前n 项和为S n =−n 2+13n4D ．数列{|a n |}的前20项和为56 12．已知四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的下底面和上底面分别是边长为4和2的正方形，则（ ）A ．侧棱CC 1上一点E ，满足C 1E C 1C =13，则A 1B ∥面AD 1EB ．若E 为CC 1的中点，过A ，D 1，E 的平面把四棱台分成两部分时，较小部分与较大部分的体积之比为3：5C ．DA →+BB 1→+12DC →=DA 1→D ．设DB 1与面AD 1C 的交点为O ，则DOOB 1=21三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 77−S 33=4，则a 5﹣a 3＝ ．14．圆x 2+y 2＝1与圆（x ﹣4）2+（y ﹣4）2＝25的公共弦长等于 ．15．在空间直角坐标系中，已知向量u →=(1，1，1)，点P 0（1，1，1），点P （x ，y ，z ）．若平面α经过点P 0，且以u →为法向量，P 是平面α内的任意一点，则点P 的坐标满足的关系式为 ． 16．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）与圆O ：x 2+y 2＝5交于A ，B 两点，且|AB |＝4，直线l 过C 的焦点F ，且与C 交于M ，N 两点，则|MF |+2|NF |的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n +2＝2a n +1﹣a n ． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{2a n a n+1}的前n 项和S n ． 18．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2AA 1＝2，∠ABC ＝90°，M 是BC 的中点． （1）求证：A 1B ∥面AMC 1； （2）求点A 1到平面AMC 1的距离．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1（﹣2，0），F 2（2，0），点E 满足|EF 1|﹣|EF 2|＝2，记E 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）若过点F 2的直线l 与C 交于M 、N 两点，且MF 2→=2F 2N →，求直线l 的方程．20．（12分）如图，在五面体ABCDE 中，已知AC ⊥BD ，AC ⊥BC ，ED ∥AC ，且AC ＝BC ＝2ED ＝2，DC =DB =√3．（1）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（2）线段BC 上是否存在一点F ，使得平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值等于5√39，若存在，求BFBC的值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知正项数列{a n}中，√a1+√a2+⋯+√a n=n(n+1)2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n={√a n，n为奇数n⋅2√a n，n为偶数，求数列{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知F1（﹣2，0），F2（2，0）分别是椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，当PF1⊥F1F2时，|PF2|＝3|PF1|．（1）求椭圆C的方程；（2）记椭圆C的上下顶点分别为A，B，过点（0，3）且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，证明：直线BM与AN的交点G在定直线上，并求出该定直线的方程．2023-2024学年安徽省宣城市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．设不同的直线l 1：2x ﹣my ﹣1＝0，l 2：x ﹣2y +1＝0，若l 1∥l 2，则m 的值为（ ） A ．﹣4B ．﹣1C ．1D ．4解：因为两条直线平行，所以21=−m −2≠−11，解得m ＝4．故选：D ．2．数列{a n }满足a n+1=11−a n，a 1＝3，则a 2024＝（ ） A ．−52B ．23C ．−12D ．3解：由题可知，a 2=11−a 1=11−3=−12，a 3=11−a 2=11−(−12)=23，a 4=11−a 3=11−23=3=a 1， ∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，∴a 2024=a 2+3×674=a 2=−12．故选：C ．3．直线l 过圆C ：（x +3）2+y 2＝4的圆心，并且与直线x +y +2＝0垂直，则直线l 的方程为（ ） A ．x +y ﹣2＝0B ．x ﹣y +2＝0C ．x +y ﹣3＝0D ．x ﹣y +3＝0解：由（x +3）2+y 2＝4可知圆心为（﹣3，0）， 又因为直线l 与直线x +y +2＝0垂直， 所以直线l 的斜率为k ＝1， 由点斜式得直线l ：y ﹣0＝x +3， 化简得直线l 的方程是x ﹣y +3＝0． 故选：D ．4．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，AG →=2GE →，则FG →=（ ） A ．13AB →−23AC →−12AA 1→B ．13AB →+23AC →+12AA 1→C ．−23AB →+13AC →−12AA 1→D ．−13AB →+23AC →+12AA 1→解：如图所示：由于AG →=2GE →，故FG →−FA →=2(FE →−FG →)，整理得3FG →=2FE →+FA →；故FG →=13AB →−23AC →−12AA 1→．故选：A ．5．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 3＝4，a 4+a 5+a 6＝8，则S 9S 6=（ ） A ．2B ．73C ．53D ．37解：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，若S 3＝4，则有a 4+a 5+a 6＝q 3（a 1+a 2+a 3）＝q 3×S 3＝8，变形可得q 3＝2，则S 9S 6=a 1(1−q 9)1−q a 1(1−q 6)1−q=1−q 91−q 6=73． 故选：B ．6．已知直线l 经过点A （﹣1，1，1）和点B （1，﹣1，1），下列点P 在直线l 上的是（ ） A ．P （3，﹣3，1） B ．P （﹣2，3，1） C ．P （1，﹣3，1） D ．P （3，3，1） 解：点A （﹣1，1，1），点B （1，﹣1，1），则AB →=(2，−2，0)，对于A ，AP →=(4，−4，0)，则AP →=2AB →，且有公共点A ，故点P 在直线l 上，故A 正确； 对于B ，AP →=（﹣1，2，0），不存在实数λ，使得AP →=λAB →，故点P 不在直线l 上，故B 错误； 对于C ，AP →=（2，﹣4，0），不存在实数λ，使得AP →=λAB →，故点P 不在直线l 上，故C 错误； 对于D ，AP →=（4，2，0），不存在实数λ，使得AP →=λAB →，故点P 不在直线l 上，故D 错误． 故选：A ．7．如图，在两条异面直线a ，b 上分别取点A '，E 和点A ，F ，使AA '⊥a ，且AA '⊥b ．已知AA '＝6，A ′E ＝3，AF ＝4，EF ＝7，则异面直线a ，b 所成的角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解：如图，过点A 作直线a ′∥a ，过点E 作EB ∥AA ′，交直线a 于点B ，连接BF ，由AA ′⊥a ，a ′∥a ，得AA ′⊥a ′，结合AA ′⊥b ，且a ′、b 是平面ABF 内的相交直线，可得AA ′⊥平面ABF ，而EB ∥AA ′，所以EB ⊥平面ABF ，结合BF ⊂平面ABF ，可得EB ⊥BF ． 根据题意得BE ＝AA ′＝6，EF ＝7，在Rt △EBF 中，FB =√EF 2−BE 2=√13， 设异面直线a 、b 所成的角为θ，则∠BAF ＝θ，由AB ＝A ′E ＝3，根据余弦定理得cosθ=AB 2+AF 2−FB 22AB×AF =9+16−1324=12，结合0＜θ＜π2，可得θ=π3，即异面直线a 、b 所成的角为π3．故选：C ．8．设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右两个顶点分别为A 、B ，点C 为椭圆上不同于A 、B 的任一点，若将△ABC 的三个内角记作A 、B 、C ，且满足3tan A +3tan B +2tan C ＝0，则椭圆的离心率为（ ） A ．13B ．√33C ．23D ．√63解：因为3tan A +3tan B +2tan C ＝0可得3sinA cosA +3sinB cosB =2×sin(A+B)cos(A+B)，即3(sinAcosB+sinBcosA)cosAcosB=2×sin(A+B)cos(A+B)，而在三角形中，sin A cos B +cos A sin B ＝sin （A +B ）≠0，所以上式可得3cos （A +B ）﹣2cos A cos B ＝0 而cos （A +B ）＝cos A cos B ﹣sin A sin B ，所以可得cos A cos B ＝3sin A sin B ，即tan A •tan B =13，由题意可得A （﹣a ，0），B （a ，0），设C （x 0，y 0），可得x02a2+y02b2=1，由双曲线的对称性设C在第一象限，如图所示：在△ACD中，tan A=y0x0+a，在△ABD中，tan B=y0a−x0，所以tan A•tan B=y0x0+a•y0a−x0=y02a2−x02=b2(1−x02a2)a2−x02=b2a2，所以可得b2a2=13，所以离心率e=ca=√1−b2a2=√1−13=√63．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知双曲线C的两个焦点分别为F1(−2√2，0)，F2(2√2，0)，且满足条件p，可以解得双曲线C的方程为x2﹣y2＝4，则条件p可以是（）A．实轴长为4B．双曲线C为等轴双曲线C．离心率为√22D．渐近线方程为y＝±x解：设该双曲线标准方程为x2a2−y2b2=1，则c=2√2，对于A选项，若实轴长为4，则a＝2，∴b2＝c2﹣a2＝4，符合题意；对于B选项，若该双曲线为等轴双曲线，则a＝b，又c=2√2，a2+b2＝c2＝8，可解得a2＝b2＝4，符合题意；对于C选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意；对于D选项，若渐近线方程为y＝±x，则a＝b，结合a2+b2＝c2＝8，可解得a2＝b2＝4，符合题意，故选：ABD．10．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0．则下列命题中正确的有（）A．直线l恒过定点（3，1）B．圆C被y轴截得的弦长为4C．直线l与圆C恒相离D．直线l被圆C截得最短弦长时，直线l的方程为2x﹣y﹣5＝0解：将直线l的方程整理为（x+y﹣4）+m（2x+y﹣7）＝0，令{x+y−4=02x+y−7=0，解得{x=3y=1，则无论m 为何值，直线l 过定点D （3，1），故A 正确；令x ＝0，则（y ﹣2）2＝24，解得y =2±2√6，故圆C 被y 轴截得的弦长为4√6，故B 错误； 因为（3﹣1）2+（1﹣2）2＝5＜25，所以点D 在圆C 的内部，直线l 与圆C 相交，故C 错误；圆心C （1，2），半径为5，|CD|=√5，当截得的弦长最短时，l ⊥CD ，k CD =−12，则直线l 的斜率为2，此时直线l 的方程为y ﹣1＝2（x ﹣3），即2x ﹣y ﹣5＝0，故D 正确． 故选：AD ．11．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3=152，则（ ） A ．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ﹣4 B ．数列{a n }的公差为−12C ．数列{a n }的前n 项和为S n =−n 2+13n4D ．数列{|a n |}的前20项和为56 解：由题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 3=a 1+2d =2S 3=3a 1+3×22d =152，化简整理，得{a 1+2d =22a 1+2d =5，解得{a 1=3d =−12，故选项B 正确； ∴a n ＝3−12•（n ﹣1）=−12n +72，故选项A 错误；S n ＝3n +n(n−1)2•（−12）=−n 2+13n4，故选项C 正确； ∵令a n ＞0，即−12n +72＞0，解得n ＜7，令a n ＝0，即−12n +72=0，解得n ＝7，令a n ＜0，即−12n +72＜0，解得n ＞7，∴|a n |={a n ，n ≤7−a n ，n ＞7，∴数列{|a n |}的前20项和为：|a 1|+|a 2|+…+|a 20| ＝a 1+a 2+…+a 7﹣a 8﹣a 9﹣…﹣a 20 ＝a 1+a 2+…+a 7﹣（a 8+a 9+…+a 20） ＝S 7﹣（S 20﹣S 7） ＝2S 7﹣S 20＝2×−72+13×74−−202+13×204＝56，故选项D 正确．故选：BCD ．12．已知四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的下底面和上底面分别是边长为4和2的正方形，则（ ）A ．侧棱CC 1上一点E ，满足C 1EC 1C =13，则A 1B ∥面AD 1EB ．若E 为CC 1的中点，过A ，D 1，E 的平面把四棱台分成两部分时，较小部分与较大部分的体积之比为3：5C ．DA →+BB 1→+12DC →=DA 1→D ．设DB 1与面AD 1C 的交点为O ，则DOOB 1=21解：对于A ，连结D 1E ，并延长交DC 于F ，CF ＝4，连AF 交BC 于G 点，则G 为BC 中点，连D 1G ， 由四棱台的结构可知A 1D 1∥AD ，AD ∥BC ，所以A 1D 1∥BG ，A 1D 1＝BG ， 所以四边形A 1BGD 1为平行四边形，A 1B ∥D 1G ，又因为A 1B ⊄平面AD 1E ，D 1G ⊂平面AD 1E ，所以A 1B ∥面AD 1E ，选项A 正确； 对于B ，设四棱台的高为h ，若E 为CC 1中点，则CF ＝2，CG =13CB ，V 多面体ACDD 1EG =V 三棱锥D 1−AEF −V 三棱锥E ﹣CGF =13×12×4×6•h −13×12×43×2•12h =349h ， V 四棱台ABCD−A 1B 1C 1D 1=13(16+4+8)⋅ℎ=283ℎ，所以V 上=283ℎ−349ℎ=509ℎ，所以V 小V 大=1725，选项B 错误；对于C ，DA →+BB 1→+12DC →=DA →+BA →+AA 1→+A 1B 1→+12DC →=DA →+BA →+AA 1→+DC →=DA →+AA 1→=DA 1→，选项C 正确；对于D ，连接AC 、BD 交于点P ，连接D 1P ，B 1D 1，由四棱台的结构特征可得B 1D 1∥BP ，B 1D 1＝BP ， 所以四边形BPD 1B 1为平行四边形，所以BB 1∥D 1P又BB 1⊄平面AD 1C ，D 1P ⊂平面AD 1C ，所以BB 1∥平面AD 1C ， 所以V B 1−AD 1C =V B−AD 1C =V D 1−ABC ，V D−AD 1C =V D 1−ADC ，所以V D 1−ABC =V D 1−ADC ，所以点D 、B 1到平面AD 1C 的距离相等，设直线DB 1与面AD 1C 所成角为θ，则sinθ=ℎDDO =ℎB 1OB 1，所以DO ＝OB 1，选项D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 77−S 33=4，则a 5﹣a 3＝ 4 ．解：因为等差数列{a n }中，S n n=a 1+(n−1)d2，又S 77−S 33=4，所以a 1+3d ﹣a 1﹣d ＝2d ＝4，即d ＝2，则a 5﹣a 3＝2d ＝4．故答案为：4．14．圆x 2+y 2＝1与圆（x ﹣4）2+（y ﹣4）2＝25的公共弦长等于 √2 ． 解：圆x 2+y 2＝1与圆（x ﹣4）2+（y ﹣4）2＝25的方程相减得：x +y ﹣1＝0， 由圆x 2+y 2＝1的圆心（0，0），半径r 为1， 且圆心（0，0）到直线x +y ﹣1＝0的距离d =1√2，则公共弦长为2√1−12=√2．故答案为：√2．15．在空间直角坐标系中，已知向量u →=(1，1，1)，点P 0（1，1，1），点P （x ，y ，z ）．若平面α经过点P 0，且以u →为法向量，P 是平面α内的任意一点，则点P 的坐标满足的关系式为 x +y +z ﹣3＝0 ． 解：根据题意，点P 0（1，1，1），点P （x ，y ，z ）．P 0P →=（x ﹣1，y ﹣1，z ﹣1），平面α经过点P 0，且以u →为法向量，则有u →•P 0P →=1×（x ﹣1）+1×（y ﹣1）+1×（z ﹣1）＝x +y +z ﹣3＝0．故点P 的坐标满足的关系式为x +y +z ﹣3＝0． 故答案为：x +y +z ﹣3＝0．16．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）与圆O ：x 2+y 2＝5交于A ，B 两点，且|AB |＝4，直线l 过C 的焦点F ，且与C 交于M ，N 两点，则|MF |+2|NF |的最小值为 3+2√2 ．解：由抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）与圆O ：x 2+y 2＝5交于A ，B 两点，且|AB |＝4，得到第一象限交点（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，所以22＝2p，解得p＝2，所以C：y2＝4x，则F（1，0），设直线l：x＝my+1，与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，所以|MN|=√1+m2|y1−y2|=√1+m2⋅√(y1+y2)2−4y1y2=4(1+m2)，由抛物线的定义，1|MF|+1|NF|=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2x1x2+x1+x2+1=m(y1+y2)+4(y1y2)216+m(y1+y2)+3=4m2+44m2+4=1，所以|MF|+2|NF|＝（|MF|+2|NF|）（1|MF|+1|NF|）＝3+2|NF||MF|+|MF||NF|≥3+2√2，当且仅当|MF|=1+√2，|NF|=1+√22时等号成立．故答案为：3+2√2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）数列{a n}满足a1＝1，a2＝3，a n+2＝2a n+1﹣a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{2a n a n+1}的前n项和S n．解：（1）因为a n+2＝2a n+1﹣a n，所以a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n，故数列{a n}为等差数列，设数列{a n}的公差为d，又因为a1＝1，a2＝3，即1+d＝3，解得公差d＝2，所以a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）记b n=2a n a n+1=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1，S n=b1+b2+b3+⋯+b n=(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(12n−1−12n+1)=1−12n+1=2n2n+1．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝2AA1＝2，∠ABC＝90°，M是BC的中点．（1）求证：A1B∥面AMC1；（2）求点A1到平面AMC1的距离．解：（1）证明：连接A 1C ，交AC 1于O ，连接OM ， 在△A 1BC 中，OM 是三角形 A 1BC 的中位线， ∴OM ∥A 1B ，又∵OM ⊂平面 AMC 1，∴A 1B ∥平面 AMC 1． （2）∵ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱，且∠ABC ＝90°， ∴BA ，BC ，BB 1 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则B （0，0，0），C （，2，0，0），A （0，2，0），M （1，0，0），C （2，0，1），B 1（0，0，1），A 1（0，2，1），设平面AMC 1的法向量为 n →=(x ，y ，z)，AA 1→=(0，0，1)，AM →=(1，−2，0)，C 1M →=(−1，0，−1)， ∴{n →⋅C 1M →=x −2y =0n →⋅AM →=−x −z =0，令x ＝2，得n →=(2，1，−2)，AA 1→=(0，0，1)，设点A 1到平面AMC 1的距离为d ， 则点A 1到平面AMC 1的距离为d =|AA 1→⋅n →||n →|=|0×2+0×1+1×(−2)|√4+1+4=23． 19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1（﹣2，0），F 2（2，0），点E 满足|EF 1|﹣|EF 2|＝2，记E 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）若过点F 2的直线l 与C 交于M 、N 两点，且MF 2→=2F 2N →，求直线l 的方程． 解：（1）因为|EF 1|﹣|EF 2|＝2， 又F 1（﹣2，0），F 2（2，0），所以点E 的轨迹是F 1，F 2为焦点的双曲线右支， 此时2c ＝4，2a ＝2，解得a ＝1，c ＝1，则b 2＝c 2﹣a 2＝3， 故C 的方程为x 2−y 23=1(x ≥1)； （2）易知直线l 的斜率不为0，不妨设直线l 的方程为x ＝my +2，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立{x =my +2x 2−y 23=1，消去x 并整理得（3m 2﹣1）y 2+12my +9＝0，此时3m 2﹣1≠0， 由韦达定理得y 1+y 2=−12m 3m 2−1，y 1y 2=93m 2−1， 因为MF 2→=2F 2N →，所以（2﹣x 1，﹣y 1）＝2（x 2﹣2，y 2），解得﹣y 1＝2y 2， 所以y 2=12m 3m 2−1且−2y 22=93m 2−1， 即−2×144m 2(3m 2−1)2=93m 2−1，解得m =±√3535． 故直线l 的方程为35x ±√35y −70=0．20．（12分）如图，在五面体ABCDE 中，已知AC ⊥BD ，AC ⊥BC ，ED ∥AC ，且AC ＝BC ＝2ED ＝2，DC =DB =√3．（1）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（2）线段BC 上是否存在一点F ，使得平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值等于5√39，若存在，求BFBC的值；若不存在，说明理由．（1）证明：∵AC ⊥BD ，AC ⊥BC ，BC ∩BD ＝B ，∴AC ⊥平面BCD ， ∵ACC 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ， 取BC 的中点O ，AB 的中点H ，连接OD 、OH 、EH ， ∵BD ＝CD ，∴DO ⊥BC ，又DO ⊂平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD ，平面BCD ∩平面ABC ＝BC ，∴DO ⊥平面ABC ，又OH ∥AC ，OH =12AC ，DE ∥AC ，DE =12AC ，∴OH ∥DE 且OH ＝DE ，∴四边形OHED 为平行四边形，∴EH ∥OD ， ∵DO ⊥面ABC ，∴EH ⊥平面ABC ， 又∵EH ⊂面ABE ，∴平面ABC ⊥平面ABC ． （2）解：∵AC ⊥BC ，OH ∥AC ，则OH ⊥BC ， ∵OD ⊥平面ABC ，以点O 为坐标原点，OH 、OB 、OD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则A （2，﹣1，0）、B （0，1，0）、C （0，﹣1，0）、E(1，0，√2)、H （1，0，0）， HE →=(0，0，√2)，AB →=(−2，2，0)，设平面ABE 的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，则{m ⋅HE →=√2z 1=0m →⋅AB →=−2x 1+2y 1=0，取x 1＝1，则y 1＝1，z 1＝0，可得平面ABE 的法向量为m →=(1，1，0)， 设在线段BC 上存在点F （0，t ，0）（﹣1≤t ≤1）， 使得平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值等于5√39， 设平面AEF 的法向量为n →=(x 2，y 2，z 2)， AF →=(−2，t +1，0），AE →=(−1，1，√2)， 由{n →⋅AF →=−2x 2+(t +1)y 2=0AE →=−x 2+y 2+√2z 2=0，取x 2=√2(t +1），y 2＝2√2，z 2＝t ﹣1，可得平面AEF 的法向量为n →=(√2(t +1)，2√2，t −1)， 由题意可得|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√2(t+3)|√2⋅√(3t +2t+11=5√39，整理可得3t 2﹣7t +2＝0，解得t =13或t ＝2（舍去），∴F(0，13，0)，则BF =23，∴BF BC =13，综上所述：在线段BC 上存在点F ，满足BFBC =13，使得平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值等于5√39． 21．（12分）已知正项数列{a n }中，√a 1+√a 2+⋯+√a n =n(n+1)2． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）记b n ={√a n ，n 为奇数n ⋅2√a n ，n 为偶数，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：（1）因为√a 1+√a 2+⋯+√a n =n(n+1)2， 所以√a 1+√a 2+...+√a n−1=n(n−1)2（n ≥2）， 两式相减有√a n =n(n ≥2)，即a n =n 2(n ≥2)， 因为√a 1+√a 2+⋯+√a n =n(n−1)2， 令n ＝1有√a 1=1， 所以a 1＝1，满足上式， 所以a n =n 2(n ∈N ∗)；（2）由（1）得b n ={n ，n 为奇数n ⋅2n，n 为偶数，当n 为偶数时，T n ＝b 1+b 2+…+b n ＝1+2×22+3+4×24+…+（n ﹣1）+n •2n ＝[1+3+…（n ﹣1）]+（2×22+4×2++…+n •2n ）， 令A ＝1+3+…+（n ﹣1），则A =n2(1+n−1)2=n 24； 令B ＝2×22+4×24+⋯+n •2n ，所以4B ＝2×24+4×26+⋯+n •2n +2， 两式相减得，﹣3B ＝2×22+2×24+2×26+…+2•2n﹣n •2n +2=8−8⋅2n−3−n ⋅2n+2，所以B =89−89⋅2n +n 3⋅2n+2， 所以T n ＝A +B =n 24+89+12n−89•2n；当n 为奇数时，T n ＝T n ﹣1+b n =(n−1)24+89+12n−209•2n ﹣1+n =(n+1)24+89+3n−59•2n +1；所以T n ={(n+1)24+89+3n−59⋅2n+1，n 为奇数n 24+89+12n−89⋅2n，n 为偶数．22．（12分）已知F 1（﹣2，0），F 2（2，0）分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一点，当PF 1⊥F 1F 2时，|PF 2|＝3|PF 1|． （1）求椭圆C 的方程；（2）记椭圆C 的上下顶点分别为A ，B ，过点（0，3）且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，证明：直线BM 与AN 的交点G 在定直线上，并求出该定直线的方程． （1）解：易知|PF 1|+|PF 2|＝2a ， 因为|PF 2|＝3|PF 1|，所以|PF 1|=a 2，|PF 2|=3a2，①因为PF 1⊥F 1F 2，所以|PF 1|2+|F 1F 2|2=|PF 2|2，② 联立①②， 解得a 2＝8， 则b 2＝a 2﹣c 2＝4， 故椭圆C 的方程为x 28+y 24=1；（2）证明：由（1）知A （0，2），B （0，﹣2），直线MN 的方程为y ＝kx +3， 不妨设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{y =kx +3x 28+y 24=1，消去y 并整理得（1+2k 2）x 2+12kx +10＝0，此时Δ＝64k 2﹣40＞0， 由韦达定理得x 1+x 2=−12k 1+2k 2，x 1x 2=101+2k2， 因为直线AN 的方程为y −2=y 2−2x 2x ，直线BM 的方程为y +2=y 1+2x 1x ， 联立{y −2=y 2−2x 2xy +2=y 1+2x 1x，此时y−2y+2=(y 2−2)x 1(y 1+2)x 2=(kx 2+3−2)x 1(kx 1+3+2)x 2=kx 1x 2+x 1kx 1x 2+5x 2=kx 1x 2+x 1+x 2−x 2kx 1x 2+5x 2=kx 1x 2+(x 1+x 2)−x 2kx 1x 2+5x 2，因为x 1+x 2=−12k 1+2k 2，x 1x 2=101+2k2， 所以k101+2k 2+(−12k1+2k 2)−x 2k 101+2k 2+5x 2=−15，解得y =43，故直线BM 与AM 的交点G 在定直线y =43上．。
2023-2024学年广东省惠州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题满分40分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1．已知抛物线C 的方程为y ＝4x 2，则其准线方程为（ ） A ．y =−116B ．y =116C ．y ＝﹣1D ．y ＝12．若直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π63．已知正项等比数列{a n }满足a 3为2a 2与a 6的等比中项，则a 3+a 5a 1+a 3=（ ） A ．√22B ．12C ．√2D ．24．已知平面α={P|n →⋅P 0P →=0}，其中P 0（1，1，1），法向量n →=(−1，1，2)，则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（2，0，1）B ．（2，0，2）C ．（﹣1，1，0）D ．（0，2，0）5．设A ，B 为两个互斥的事件，且P （A ）＞0，P （B ）＞0，则下列各式错误的是（ ） A ．P （AB ）＝0 B ．P(AB)=[1−P(A)]P(B) C ．p(A ∪B)=1D ．P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）6．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝2，a n +2＝a n +1﹣a n ，则a 2024＝（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．2D ．17．如图，四面体O ﹣ABC ，G 是底面△ABC 的重心，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则OG →=（ ）A ．13a →+23b →+23c →B ．13a →+13b →+13c →C ．23a →+23b →+23c →D ．23a →+23b →+13c →8．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A 、B 两点，且OB →⋅BF →=0，AB →=2BF →，则该双曲线的离心率为（ ）A．√2B．√3C．2D．√5二、选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分。
2023-2024学年江苏省南通市高二(上)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年江苏省南通市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列1,53,52，…的通项公式可能是a n =( )A. n 2+1n +1B. n +1n 2+1C. n 22n−1D. n 2+12n−12.圆(x +1)2+y 2=1和圆(x−2)2+(y−4)2=16的位置关系为( )A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切3.某校文艺部有7名同学，其中高一年级3名，高二年级4名.从这7名同学中随机选3名组织校文艺汇演，则两个年级都至少有1名同学入选的选法种数为( )A. 12B. 30C. 34D. 604.已知F 是抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点，点A(1,14)在C 上，则|AF|=( )A. 38B. 58C. 54D. 945.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4=6，S 8=18，则S 16=( )A. 48B. 90C. 96D. 1626.已知椭圆C ：x 24+y 23=1，直线l 经过点T(1,12)与C 交于A ，B 两点.若T 是线段AB 的中点，则l 的方程为( )A. 4x−6y−1=0 B. 3x−2y−1=0 C. 4x +6y−7=0 D. 3x +2y−4=07.已知平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，AA 1=3，BD =4，AD 1⋅DC−AB 1⋅BC =5，则cos <AA 1，BD >=( )A. 512B. −512C. 415D. −4158.已知F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线y = 52b 与C 交于A ，B 两点.若△ABF 的周长为7a ，则C 的离心率为( )A. 43 B. 65 C. 2 105二、多选题：本题共4小题，共20分。
2023-2024学年山西省高二(上)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年山西省高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合A={3,4}，B={x|2x−1<4,x∈N}，则A∩B=( )A. (2,3)B. {2,3}C. (3,4)D. {3,4}2.已知复数z满足(z−1)2=−4，则复数z的模为( )A. 2B. 5C. 7D. 223.下列说法中，正确的是( )A. 数列2，4，6，8可表示为集合{2,4,6,8}B. 数列1，2，3，4与数列4，3，2，1是相同的数列C. 数列{n2+n}的第k项为k2+kD. 数列0，1，2，3，4，⋯可记为{n}4.若函数f(x)=lnx−2x+1，则f′(12)=( )A. 0B. 12C. 32D. 525.若α∈(0,π)，且2sinα−cosα=1，则12sinαcosα−cos2α=( )A. 2539B. 53C. −53D. −25396.已知半径为1的圆经过点(1,1)，其圆心到直线3x+4y+3=0的距离的最大值为( )A. 52B. 72C. 2D. 37.已知公差不为0的等差数列{a n}满足a m+a p=2a5，则4m+2+1p的最小值为( )A. 1B. 54C. 34D. 28.已知函数f(x)=2x−sinx+cosx，若α∈(0,1)，则下列式子大小关系正确的是( )A. f(α)<f(α)<f(α)B. f(α)<f(α)<f(α)C. f(α)<f(α)<f(α)D. f(α)<f(α)<f(α)二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是( )A. a n=n+n2,n∈N∗B. a n=3−n,n∈N∗C. a n=13n ,n∈N∗ D. a n={n+1,n≤22n−1,n>2,n∈N∗10.2023年7月31日国家统计局发布了制造业采购经理指数(PMI)如图所示：则下列说法正确的是( )A. 从2022年7月到2023年7月，这13个月的制造业采购经理指数(PMI)的极差为5.8%B. 2023年7月份，制造业采购经理指数(PMI)为49.3%，比上月上升0.3个百分点C. 从2023年1月到2023年7月，这7个月的制造业采购经理指数(PMI)的第71百分位数为50.1%D. 从2022年7月到2022年12月，这6个月的制造业采购经理指数(PMI)的平均数约为48.78%11.已知正四棱锥P−ABCD的底边长为2，高为2，且各个顶点都在球O的球面上，则下列说法正确的是( )A. 直线PA与平面ABCD所成角的余弦值为33B. 平面ABCD截球O所得的截面面积为2πC. 球O的体积为9π2D. 球心O到平面PAD的距离为351012.已知F1，F2为双曲线Γ：x2a2−y24=1(a>0)的左、右焦点，P为平面上一点，若PF1⋅PF2=0，则( )A. 当P为双曲线Γ上一点时，△PF1F2的面积为4B. 当点P坐标为(0,22)时，a=2C. 当P在双曲线Γ上，且点P的横坐标为±15时，Γ的离心率为3D. 当点P在第一象限且在双曲线Γ上时，若△PF1F2的周长为2a+4c，则直线OP的斜率为3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年山东省威海市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省威海市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={z|z =i n +1in ，n ∈N ∗}，则A 的元素个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 2．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，若a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d的值为（ ）A ．±2B ．2C ．±4D ．43．设v 1→，v 2→分别是空间中的直线l 1，l 2的方向向量，A ∈l 1，B ∈l 2．记甲：v 1→，v 2→，AB →不共面，乙：l 1与l 2异面，则（ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件4．已知点A （﹣2，4），B （﹣1，﹣3），若直线y ＝kx 与线段AB 有公共点，则（ ） A ．k ∈[﹣∞，﹣2]∪[3，+∞] B ．k ∈[﹣2，3] C ．k ∈[﹣∞，−12]∪[13，+∞]D ．k ∈[−12，13]5．已知直线x ﹣y +1＝0与圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y +m ＝0交于A ，B 两点，且|AB|=2√2，则实数m ＝（ ） A ．4B ．3C ．2D ．16．已知双曲线C 与椭圆x 29+y 2=1有相同的焦点F 1，F 2，且P 为C 与椭圆的一个交点，若∠F 1PF 2＝120°，则C 的方程为（ ） A ．x 220−y 212=1 B ．x 212−y 220=1C ．x 23−y 25=1D ．x 25−y 23=17．已知在空间直角坐标系中，直线l 经过A （3，3，3），B （0，6，0）两点，则点P （0，0，6）到直线l 的距离为（ ） A ．6√2B ．2√3C ．2√6D ．68．一个边长为1的正方形被等分成9个相等的正方形，将中间的一个正方形挖掉如图（1）；再将剩余的每个正方形都等分成9个相等的正方形，将中间的一个正方形挖掉如图（2），如此继续操作下去，到第n 次操作结束时，挖掉的所有正方形的面积之和为（ ）A ．9n −8n 9nB ．8n −3n 5⋅3n C ．8n −17⋅9nD ．8n −7n9n二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年北京市通州区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市通州区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知等差数列{a n }，a 5＝10，a 9＝20，则a 1等于（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．2 D ．52．已知P 为双曲线x 29−y 216=1右支上一点，F 1，F 2为双曲线的左右焦点，|PF 1|﹣|PF 2|等于（ ）A ．8B ．6C ．4D ．33．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，上下顶点为B 1，B 2，若四边形F 1B 1F 2B 2为正方形，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√32C ．√22 D ．124．已知点A （x 0，y 0）在抛物线y 2＝4x 上，且点A 到抛物线准线的距离为3，则y 0等于（ ） A ．1B ．2C ．±2D ．±2√25．已知双曲线C ：y 2a 2−x 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2√33，则C 的渐近线方程为（ ）A ．y =±√3xB ．y ＝±3xC ．y =±√33xD ．y =±13x6．已知数列{a n }，a 1＝1，a n +1﹣a n ＝2n ，则a 10等于（ ） A ．511B ．1022C ．1023D ．20477．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝10，公差d ＝﹣2，则（ ） A ．S n 有最大值为1214B ．S n 有最大值为814C ．S n 有最大值为30D ．S n 有最小值为308．已知首项为a 1，公比为q 的等比数列{a n }，其前n 项和为S n ，则“a 1＞0，q ＞1”是“S n 单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知双曲线C ：x 23−y 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y ＝x +m 与C 交于A ，B 两点，若△F 1AB面积是△F 2AB 面积的2倍，则m 等于（ ） A ．6B ．23C ．−23D ．﹣610．已知数列{a n }的通项公式为a n =1−2nn+1，给出下列四个结论： ①数列{a n }为单调递增数列，且存在常数m ≤﹣2，使得a n ＞m 恒成立；②数列{a n}为单调递减数列，且存在常数m≤﹣2，使得a n＞m恒成立；③数列{a n}为单调递增数列，且存在常数m＜0，使得a n≤m恒成立；④数列{a n}为单调递减数列，且存在常数m＜0，使得a n≤m恒成立．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2023-2024学年江苏省淮安市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省淮安市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线√3x+y＝0的倾斜角为（）A．π3B．π6C．5π6D．2π32．在等差数列{a n}中，若a2＝5，a1+a4＝8，则{a n}的公差为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．已知双曲线C：x2a2−y2=1(a＞0)的左、右焦点为F1，F2，若双曲线C上存在点P满足PF1﹣PF2＝4，则双曲线C的一条渐近线方程为（）A．x+4y＝0B．4x+y＝0C．2x+y＝0D．x+2y＝04．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，射线OP绕O点从x轴正半轴逆时针匀速旋转到y轴正半轴，所扫过的内部图形（图中阴影部分）面积S可表示为时间t的函数y＝S（t），则下列图象中与y＝S（t）图象类似的是（）A．B．C．D．5．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F，上、下顶点分别为B1，B2，M是FB1的中点，若FB1⊥MB2，则椭圆C的离心率为（）A．14B．12C．√32D．346．“勾股数”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以边长为4的正方形ABCD的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若得到的“勾股树”上所存正方形的面积为96，则“勾股树”上所有正方形的个数为（）A．63B．64C．127D．1287．已知函数f（x）＝e x+1+e﹣x（e为自然常数），记a＝f（﹣2.1），b＝f（1），c＝f（1.2），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a8．已知抛物线y2＝2px上三点A（2，2），B，C，直线AB，AC是圆(x−2)2+y2=r2(0＜r＜4√55)的两条切线，则△ABC的面积最大值为（）A．8√2B．12C．64√39D．72√39二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年浙江省台州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省台州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题。
（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线y ＝2x ﹣1的斜率等于（ ） A ．﹣1B ．1C ．2D ．﹣22．若双曲线x 2m 2−y 212=1(m ＞0)的离心率为2，则实数m ＝（ ）A ．2B ．2√3C ．4D ．163．若空间向量a →=（1，0，1），b →=（2，1，2），则a →与b →的夹角的余弦值为（ ） A ．23B ．√23C ．2√23D ．−134．已知等差数列{a n }(n ∈N ∗)的前n 项和为S n ．若S 5＝35，a 4＝3a 1，则其公差d 为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．25．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，记AB →=a →，AD →=b →，AD 1→=c →，则D 1C →=（ ）A ．a →+b →−c →B ．−a →+b →+c →C ．a →−b →+c →D ．−a →−b →+c →6．人们发现，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，必会得到1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．现给出冰雹猜想的递推关系如下：对于数列{a n }（n ∈N ′），a 1＝m （m 为正整数），a n +1={a n2，a n 为偶数3a n +1，a n 为奇数，若a 5＝1，则m 所有可能的取值的和为（ ） A ．16B ．18C ．20D ．417．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，A ，B 两点在抛物线C 上，并满足AF →=3FB →，过点A 作x 轴的垂线，垂足为M ，若|FM |＝1，则p ＝（ ） A ．12B ．1C ．2D ．48．在空间四边形ABCD 中，若AB →⋅BC →=BC →⋅CD →=CD →⋅DA →=DA →⋅AB →，则下列结论中不一定正确的是（ ）A ．AB →+BC →=−(CD →+DA →) B ．AB 2+BC 2＝CD 2+DA 2 C ．△ABD ≌△DCAD ．AC ⊥BD二、多项选择题。
2023-2024学年浙江省嘉兴市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省嘉兴市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线x =√3的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π22．数列{a n }满足a n+1=1−1a n，a 1＝﹣1，则（ ） A ．a 1＜a 4B ．a 1＝a 4C ．a 2＜a 3D ．a 2＝a 33．抛物线y 2＝2x 的准线方程是（ ） A ．x =12B ．x ＝1C ．x =−12D ．x ＝﹣14．已知空间向量a →=(x ，4，1)，b →=(2，y ，−2)，且a →∥b →，则x +2y ＝（ ） A ．﹣17B ．﹣1C ．1D ．175．已知点P 为圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1外一动点，过点P 作圆C 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，且P A ⊥PB ，则动点P 的轨迹方程为（ ） A ．（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝2 B ．（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝2 C ．（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4D ．（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝46．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 24+y 23=1的两个焦点，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的不同的两点，则|AF 1|•|BF 2|的取值范围为（ ） A ．（2，3]B ．(3，72]C ．(72，4]D ．（3，4]7．如图，把正方形纸片ABCD 沿对角线AC 进行翻折，点E ，F 满足AD →=3AE →，CB →=3CF →，O 是原正方形ABCD 的中心，当∠EOF =2π3，直线AD 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．158．已知数列{a n }和{b n }均为等差数列，它们的前n 项和分别为S n 和T n ，且a n ＞0，a n b n =n 2+36n ，S 23＝T 23，则a 1+b 1＝（ ） A ．272B ．312C ．372D ．412二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年山东省青岛市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省青岛市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 的一方向向量为(1，√3)，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．甲、乙两名运动员进行一次射击比赛，若甲中靶的概率为34，乙中靶的概率为23，甲乙射击相互独立，则两人都中靶的概率为（ ） A ．112B ．16C ．14D ．123．已知双曲线C ：x 25−y 2b2=1的焦距为6，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为（ ）A ．√3B ．2C ．4D ．√314．某校要从高一、高二、高三共2023名学生中选取60名组成亚运会志愿者，若先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除23名，再从剩下的2000名学生中按分层抽样的方法抽取60名，则每名学生入选的可能性（ ） A ．都相等且为602023 B ．都相等且为3100C ．不完全相等D ．都不相等5．点P 在椭圆C ：x 23+y 24=1上，F （0，1），点P 到直线y ＝4的距离为d ，则（ ）A ．|PF |与d 无关B ．|PF |＝dC ．|PF|=d2D ．|PF |＝2d6．过三点A （1，2），B （3，2），C （1，﹣6）的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝（ ） A ．√3B ．2√3C ．√13D ．2√137．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p 满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数p 按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n +a n +7n的最小值为（ ）A ．172B ．192C ．10D ．118．已知抛物线C ：y 2＝4x 与过焦点F 的一条直线相交于A ，B 两点，过点F 且垂直于弦AB 的直线交抛物线的准线l 于点M ，则下列结论正确的是（ ） A ．准线l 的方程是x ＝﹣2B ．以AB 为直径的圆与y 轴相切C．|AB||MF|的最小值为2D．△ABM的面积最小值为2二、多项选择题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM2.5（PM2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：ug/m3）的日均值，依次为35，26，17，23，33，56，41，31，30，33，则（）A．这组数据的极差为39B．这组数据的众数为33C．这组数据的中位数为31或33D．这组数据的第60百分位数为3310．下列有关直线与圆的结论正确的是（）A．方程kx﹣y+3k+1＝0表示的直线必过点（﹣3，1）B．过点（2，5）且在x，y轴上的截距相等的直线方程为x+y﹣7＝0C．圆C1：(x−1)2+y2=1和圆C2：x2+y2−4x−4y+4=0的公共弦所在的直线方程为x+2y﹣2＝0D．若圆（x﹣1）2+y2＝4上恰有3个点到直线y＝x+b的距离等于1，则b=−1±√211．在等比数列{a n}中，a1＝1，a4＝27，则（）A．{a n a n+1}的公比为9B．{log3a n+1}的前20项和为210C．{a n}的前20项积为3200D．∑n k=1(a k+a k+1)=2(3n−1−1)12．已知双曲线C：x2﹣y2＝4，点M为双曲线右支上的一个动点，过点M分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B两点，则（）A．双曲线的离心率为2B．存在点M，使得四边形OAMB为正方形C．四边形OAMB的面积为2D．四边形OAMB的周长最小值为2√2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设A，B，C为三个随机事件，若A与B是互斥事件，B与C是相互对立事件，且P(A)=16，P(C)=23，则P（A∪B）＝．14．已知抛物线C的准线与圆M：（x﹣1）2+（y+1）2＝4相切，请写出一个抛物线C的标准方程为．15．已知P（x0，y0）是圆C：（x﹣1）2+y2＝1上任意一点，则y0+1x0+1的取值范围为．16．（3分）已知数列{a n}的通项公式a n＝2n+1，记b m为{a n}在区间[m+2，2m+2）（m∈N*）内项的个数，则b4＝；使得不等式b m+1﹣b m＞1048成立的m的最小值为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知点A（﹣2，1），B（2，4），C（2，1）中恰有两个点在抛物线E：x2＝2py（p＞0）上．（1）求E的标准方程；（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）在E上，且x1x2＝﹣4，证明：直线MN过定点．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，a n+1＝S n+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=1log2a n⋅log2a n+2，记数列{b n}的前n项和为T n，证明T n＜34．19．（12分）已知点A（﹣1，0），B（2，0），动点M满足2|MA|＝|MB|．（1）求动点M的轨迹方程；（2）一条光线从点C（2，1）射出，经x轴反射与动点M的轨迹交于E，F两点，其中|EF|=2√3，求反射光线所在直线的方程．20．（12分）现从某校高二年级的等级考物理成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求这100名学生的原始成绩的中位数；（2）从原始成绩在[80，90）和[90，100]内的学生中通过分层随机抽样的方法共抽取7人，再从这7人中选取2人，求这2人的原始成绩都在[80，90）内的概率；（3）若在[50，60）内数据的平均成绩x=57，方差S12=8；在[60，70）内数据的平均成绩y=63，方差S22=11．求在[50，70）内的平均成绩z，并估计在[50，70）内数据的原始成绩的方差s2．21．（12分）在通信技术中由0和1组成的序列有着重要作用，序列中数的个数称为这个0﹣1序列的长度．如010*******是一个长度为10的0﹣1序列．长为n的0﹣1序列中任何两个1不相邻的序列个数设为a n，长度为1的0﹣1序列为：0，1，都满足数列{a n}，a1＝2；长度为2且满足数列{a n}的0﹣1序列为：00，01，10，a2＝3．（1）求a3，a4；（2）求数列{a n}中a n+2，a n+1，a n的递推关系；（3）记S n是数列{a n}的前n项和，证明：a n+2﹣S n为定值．22．（12分）已知双曲线W：2x2﹣2y2＝1与椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦点相同，点P是W和C在第一象限的公共点，记W的左，右焦点依次为F1，F2，|PF2|=√22．（1）求C的标准方程；（2）设点Q在C上且在第一象限，QF1，QF2的延长线分别交C于点E1，E2，设r1，r2分别为△QF1E2，△QF2E1的内切圆半径，求r1﹣r2的最大值．2023-2024学年山东省青岛市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 的一方向向量为(1，√3)，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解：设直线l 的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），则tan θ=√3，∴θ＝60°． 故选：B ．2．甲、乙两名运动员进行一次射击比赛，若甲中靶的概率为34，乙中靶的概率为23，甲乙射击相互独立，则两人都中靶的概率为（ ） A ．112B ．16C ．14D ．12解：甲、乙两名运动员进行一次射击比赛，甲中靶的概率为34，乙中靶的概率为23，甲乙射击相互独立，则两人都中靶的概率为P =34×23=12． 故选：D ．3．已知双曲线C ：x 25−y 2b2=1的焦距为6，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为（ ）A ．√3B ．2C ．4D ．√31解：根据题意可得2√5+b 2=6，∴b 2＝4，∴双曲线的虚半轴长b ＝2， ∴根据双曲线的几何性质可得：双曲线C 的焦点到渐近线的距离为b ＝2． 故选：B ．4．某校要从高一、高二、高三共2023名学生中选取60名组成亚运会志愿者，若先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除23名，再从剩下的2000名学生中按分层抽样的方法抽取60名，则每名学生入选的可能性（ ） A ．都相等且为602023 B ．都相等且为3100C ．不完全相等D ．都不相等解：先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除20名，每个个体被抽取的概率相等， 再从剩下的2000名学生中按分层抽样的方法抽取60名，则每名学生入选的可能性为602023．故选：A ． 5．点P 在椭圆C ：x 23+y 24=1上，F （0，1），点P 到直线y ＝4的距离为d ，则（ ）A．|PF|与d无关B．|PF|＝d C．|PF|=d2D．|PF|＝2d解：∵在椭圆C：x23+y24=1中，a＝2，b=√3，c＝1，∴椭圆的上准线方程为y=a2c=4，e=ca=12∴|PF|d=e=12，∴|PF|=12d．故选：C．6．过三点A（1，2），B（3，2），C（1，﹣6）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝（）A．√3B．2√3C．√13D．2√13解：过三点A（1，2），B（3，2），C（1，﹣6）的圆，圆心分别在直线x＝2，y＝﹣2的直线上，故圆心坐标为E（2，﹣2），故半径r=|AE|=√17，故圆的方程为（x﹣2）2+（y+2）2＝17，令x＝0，解得y1=√13−2，y2=−√13−2，故|MN|＝|y1﹣y2|=2√13．故选：D．7．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，记数列{a n}的前n项和为S n，则S n+a n+7n的最小值为（）A．172B．192C．10D．11解：由题意，可知a n＝2+3•（n﹣1）＝3n﹣1，n∈N*，故数列{a n}是以2为首项，3为公差的等差数列，∴S n＝2n+n(n−1)2•3=32n2+12n，∴S n+a n+7n=32n2+12n+3n−1+7n=32n2+72n+6n=32n+6n+72≥2√3n2⋅6n+72＝2×3+72=192，当且仅当32n=6n，即n＝2时，等号成立，∴当n＝2时，S n+a n+7n取得最小值为192．故选：B．8．已知抛物线C：y2＝4x与过焦点F的一条直线相交于A，B两点，过点F且垂直于弦AB的直线交抛物线的准线l于点M，则下列结论正确的是（）A．准线l的方程是x＝﹣2B．以AB为直径的圆与y轴相切C．|AB||MF|的最小值为2D．△ABM的面积最小值为2解：由题意知，焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，即选项A错误；设直线AB的方程为x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立{x=ty+1y2=4x，得y2﹣4ty﹣4＝0，所以y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，所以x1+x2＝t（y1+y2）+2＝4t2+2，x1x2=y12⋅y224⋅4=1，所以|AB|＝x1+x2+p＝4t2+2+2＝4t2+4，线段AB的中点为（x1+x22，y1+y22），即（2t2+1，2t），其到y轴的距离为2t2+1，而以线段AB为直径的圆的半径为12|AB|＝2t2+2≠2t2+1，因此以AB为直径的圆不与y轴相切，即选项B错误；选项C，因为MF与AB垂直，所以直线MF的斜率为﹣t，其方程为y＝﹣t（x﹣1），联立{y=−t(x−1)x=−1，解得{x=−1y=2t，即M（﹣1，2t），所以点M到直线AB的距离|MF|=2√t+1=2√t2+1，所以|AB||MF|=22√t2+1=2√t2+1≥2，当且仅当t＝0时，等号成立，所以|AB||MF|的最小值为2，即选项C正确；选项D，△ABM的面积S=12|AB|•|MF|=12×（4t2+4）×2√t2+1=4(t2+1)32≥4，当且仅当t＝0时，等号成立，所以△ABM的面积最小值为4，即选项D错误．故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM2.5（PM2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：ug/m3）的日均值，依次为35，26，17，23，33，56，41，31，30，33，则（）A．这组数据的极差为39B．这组数据的众数为33C．这组数据的中位数为31或33D．这组数据的第60百分位数为33解：连续10天测得该地PM2.5（PM2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：ug/m3）的日均值从小到大为：17，23，26，30，31，33，33，35，41，56，对于A，这组数据的极差为56﹣17＝39，故A正确；对于B，这组数据的众数为33，故B正确；对于C，这组数据的中位数为31+332=32，故C错误；对于D，10×60%＝6，∴这组数据的第60百分位数为33，故D正确．故选：ABD．10．下列有关直线与圆的结论正确的是（）A．方程kx﹣y+3k+1＝0表示的直线必过点（﹣3，1）B．过点（2，5）且在x，y轴上的截距相等的直线方程为x+y﹣7＝0C．圆C1：(x−1)2+y2=1和圆C2：x2+y2−4x−4y+4=0的公共弦所在的直线方程为x+2y﹣2＝0D．若圆（x﹣1）2+y2＝4上恰有3个点到直线y＝x+b的距离等于1，则b=−1±√2解：对于A：因为kx﹣y+3k+1＝0，所以y﹣1＝k（x+3），即直线过点（﹣3，1），故A正确；对于B：设直线y＝kx+b，代入点（2，5）得2k+b＝5，令x＝0，则y＝b＝5﹣2k，令y＝0，则x=−bk=−5−2kk，由5﹣2k=−5−2kk，得（5﹣2k）（k+1）＝0，所以5﹣2k＝0或k+1＝0，解得k=52或k＝﹣1，当k＝﹣1时，b＝7，所以y＝﹣x+7，b=−1±√2当k=52时，b＝0，所以y=52x，故B不正确；对于C：已知圆C1：(x−1)2+y2=1，即x2+y2﹣2x＝0，圆C2：x2+y2−4x−4y+4=0，两式相减得：2x+4y﹣4＝0，即x+2y﹣2＝0，故C正确；对于D；因为圆（x﹣1）2+y2＝4上恰有3个点到直线y＝x+b的距离等于1，所以圆心（1，0）到直线的距离等于半径的一半，即√2=1，解得b=−1±√2，故D正确．故选：ACD．11．在等比数列{a n}中，a1＝1，a4＝27，则（）A．{a n a n+1}的公比为9B．{log3a n+1}的前20项和为210C．{a n}的前20项积为3200D．∑n k=1(a k+a k+1)=2(3n−1−1)解：等比数列{a n}中，a1＝1，a4＝27，则q3=a4a1=27，即q＝3，所以a n＝3n﹣1，A ：a n a n+1a n−1a n=a n+1a n−1=9，A 正确；B ：log 3a n +1＝lo g 33n =n ，故前20项和为1+2+ (20)20(1+20)2=210，B 正确； C ：{a n }的前20项积为1×3×32×…×319＝3190，C 错误； D ：∑ n k=1（a k +a k +1）＝a 1+a 2+…+a n +（a 2+a 3+…+a n +1）=1−3n1−3+3(1−3n)1−3＝2（3n ﹣1），D 错误； 故选：AB ．12．已知双曲线C ：x 2﹣y 2＝4，点M 为双曲线右支上的一个动点，过点M 分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B 两点，则（ ） A ．双曲线的离心率为2B ．存在点M ，使得四边形OAMB 为正方形C ．四边形OAMB 的面积为2D ．四边形OAMB 的周长最小值为2√2解：对于A ，易知双曲线C 为等轴双曲线，a ＝b ＝2，c =√a 2+b 2=2√2，则离心率为e =ca=√2，故A 错误；对于B ，双曲线C ：x 2﹣y 2＝4的渐近线为y ＝±x ， 则四边形OAMB 为矩形，又双曲线右顶点为(√2，0)， (√2，0) 到直线y ＝±x 的距离均为√2√2=1，故矩形OAMB 为正方形，即存在点M ，即M 为双曲线右顶点时，使得四边形OAMB 为正方形，故B 正确；对于C ，设M （x 0，y 0），则x 02−y 02=4，由点到直线的距离得|MA |=00√2，|MB |=00√2， 四边形OAMB 的面积为|MA |•|MB |=00√2•00√2=x 02−y 022=2，故C 正确；对于D ，根据双曲线的对称性，不妨设M 在第一象限，B 在第四象限，则x 0＞y 0，x 0≥2， 因为|MA |=002，|MB |=002，所以|MA |+|MB |=√2x 0≥2√2， 四边形OAMB 的周长为2（|MA |+|MB |）≥4√2，周长最小值为4√2，故D 错误． 故选：BC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设A ，B ，C 为三个随机事件，若A 与B 是互斥事件，B 与C 是相互对立事件，且P(A)=16，P(C)=23，则P （A ∪B ）＝12． 解：设A ，B ，C 为三个随机事件，A 与B 是互斥事件， B 与C 是相互对立事件，且P(A)=16，P(C)=23，∴P （B ）＝1﹣P （C ）＝1−23=13，则P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）=16+13=12．故答案为：12．14．已知抛物线C 的准线与圆M ：（x ﹣1）2+（y +1）2＝4相切，请写出一个抛物线C 的标准方程为 y 2＝4x （答案不唯一） ．解：因为抛物线C 的顶点为坐标原点O ，对称轴为坐标轴，且C 的准线与圆M ：（x ﹣1）2+（y +1）2＝4相切，当焦点在x 轴正半轴时，可得准线方程为x ＝﹣1，可得抛物线方程为：y 2＝4x （本题答案不唯一）．（y 2＝4x ，y 2＝﹣12x ，x 2＝﹣4y ，x 2＝12y ，中任意一个即可）．故答案为：y 2＝4x （答案不唯一）．15．已知P （x 0，y 0）是圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝1上任意一点，则y 0+1x 0+1的取值范围为 [0，43] ．解：设k =y 0+1x 0+1，变形可得k （x 0+1）﹣y 0﹣1＝0， 则k =y 0+1x 0+1的几何意义为直线k （x +1）﹣y ﹣1＝0的斜率， P （x 0，y 0）是圆C ：x 2+y 2﹣2x ＝0上任意一点， 则√1+k 2≤1，解得0≤k ≤43，即k =y 0+1x 0+1的取值范围为[0，43]．故答案为：[0，43]．16．（3分）已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n +1，记b m 为{a n }在区间[m +2，2m +2）（m ∈N *）内项的个数，则b 4＝ 6 ；使得不等式b m +1﹣b m ＞1048成立的m 的最小值为 12 ． 解：∵a n ＝2n +1，b m 为{a n }在区间[m +2，2m +2）（m ∈N *）内项的个数， ∴22n ﹣1+1＝2n +1+2（b 2n ﹣1﹣1）⇒b 2n−1=22n−2−n +1=22n−1−1−2n−12+12， 22n +1＝2n +3+2（b 2n ﹣1）⇒b 2n =22n−1−n =22n−1−2n2，∴b n=2n−1−n2+1−(−1)n4，b4＝6，b m+1﹣b m＞1048⇒2m−m+12+1−(−1)m+14−2m−1+m2−1−(−1)m4＞1048⇒2m+（﹣1）m＞2097，∴m的最小值为12．故答案为：6，12．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知点A（﹣2，1），B（2，4），C（2，1）中恰有两个点在抛物线E：x2＝2py（p＞0）上．（1）求E的标准方程；（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）在E上，且x1x2＝﹣4，证明：直线MN过定点．（1）解：由抛物线的对称性可知点A（﹣2，1），C（2，1）在抛物线E：x2＝2py（p＞0）上，所以4＝2p，即p＝2，故抛物线E的标准方程为x2＝4y．（2）证明：设直线MN为y＝kx+b，联立{y=kx+bx2=4y，得x2﹣4kx﹣4b＝0，因为M（x1，y1），N（x2，y2），所以x1x2＝﹣4b＝﹣4，即b＝1，所以直线MN为y＝kx+1，过定点（0，1）．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，a n+1＝S n+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=1log2a n⋅log2a n+2，记数列{b n}的前n项和为T n，证明T n＜34．解：（1）∵a n+1＝S n+2，∴当n≥2时，a n＝S n﹣1+2，两式相减，得a n+1﹣a n＝a n，即a n+1＝2a n，又∵a1＝2，∴a2＝S1+2＝2+2＝4，满足上式，即数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n=2n；证明：（2）∵b n=1log2a n⋅log2a n+2=1log22n⋅log22n+2=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，∴T n＝b1+b2+⋯+b n=12[(1−13)+(12−14)+⋯+(1n−1−1n+1)+(1n−1n+2)]=12（1+12−1n+1−1n+2）=34−12(1n+1+1n+2)＜34．19．（12分）已知点A（﹣1，0），B（2，0），动点M满足2|MA|＝|MB|．（1）求动点M的轨迹方程；（2）一条光线从点C（2，1）射出，经x轴反射与动点M的轨迹交于E，F两点，其中|EF|=2√3，求反射光线所在直线的方程．解：（1）设M（x，y），又A（﹣1，0），B（2，0），且2|MA|＝|MB|，∴2√(x+1)2+y2=√(x−2)2+y2，两边平方化简可得（x+2）2+y2＝4，∴点M的轨迹方程为（x+2）2+y2＝4；（2）设点C（2，1）关于x轴的对称点为P，则P（2，﹣1），根据对称性设反射光线所在直线l的方程为y+1＝k（x﹣2），k＜0，由（1）知点M的轨迹为圆E：（x+2）2+y2＝4，圆心E（﹣2，0），半径r＝2，又反射光线所在直线l：kx﹣y﹣1﹣2k＝0被圆E所截弦|EF|=2√3，∴圆心E（﹣2，0）到直线l：kx﹣y﹣1﹣2k＝0的距离d=√r2−(|EF|2)2=√4−3=1，又d=|4k+1|√k+1=1，k＜0，解得k=−815，∴反射光线所在直线l的方程为y+1=−815（x﹣2），即8x+15y﹣1＝0．20．（12分）现从某校高二年级的等级考物理成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求这100名学生的原始成绩的中位数；（2）从原始成绩在[80，90）和[90，100]内的学生中通过分层随机抽样的方法共抽取7人，再从这7人中选取2人，求这2人的原始成绩都在[80，90）内的概率；（3）若在[50，60）内数据的平均成绩x=57，方差S12=8；在[60，70）内数据的平均成绩y=63，方差S22=11．求在[50，70）内的平均成绩z，并估计在[50，70）内数据的原始成绩的方差s2．解：（1）由频率分布直方图得：[40，70）的频率为（0.005+0.010+0.020）×10＝0.35，[40，80）的频率为（0.005+0.010+0.020+0.030）×10＝0.65，∴这100名学生的原始成绩的中位数为：70+0.5−0.350.30×10=75．（2）从原始成绩在[80，90）和[90，100]内的学生中通过分层随机抽样的方法共抽取7人，则[80，90）内抽取7×0.0250.025+0.010=5人，[90，100]内抽取7×0.0100.025+0.010=2人，再从这7人中选取2人，基本事件总数n=C72=21，这2人的原始成绩都在[80，90）内包含的基本事件个数m=C52=10，∴这2人的原始成绩都在[80，90）内的概率为P=mn=1021；（3）在[50，60）内数据的平均成绩x=57，方差S12=8；在[60，70）内数据的平均成绩y=63，方差S22=11．在[50，60）内有100×0.010×10＝10人，在[60，70）内有100×0.020×10＝20人，∴在[50，70）内的平均成绩z=57×10+63×2030=61，估计在[50，70）内数据的原始成绩的方差为：s2=130{10×[8+（61﹣57）2]+20×[11+（61﹣63）2]}＝8．21．（12分）在通信技术中由0和1组成的序列有着重要作用，序列中数的个数称为这个0﹣1序列的长度．如010*******是一个长度为10的0﹣1序列．长为n的0﹣1序列中任何两个1不相邻的序列个数设为a n，长度为1的0﹣1序列为：0，1，都满足数列{a n}，a1＝2；长度为2且满足数列{a n}的0﹣1序列为：00，01，10，a2＝3．（1）求a3，a4；（2）求数列{a n}中a n+2，a n+1，a n的递推关系；（3）记S n是数列{a n}的前n项和，证明：a n+2﹣S n为定值．解：（1）由题意知：a3＝5，设长为4的0﹣1序列中任何两个1不相邻的序列有a4个，考虑最后一个数：若最后一位是0，则只要前3位任何两个1不相邻，则满足要求的序列有a3个，若最后一位是1，则倒数第二位是0，只要前2位任何两个1不相邻即可，满足要求的序列有a2个，所以a4＝a3+a2＝8；（2）考虑长度为n+2的0﹣1序列最后一个数：如果最后一位是0，则只要前n+1位任何两个1不相邻，则满足要求的序列有a n+1个；若最后一位是1，则倒数第二位是0，于是只要前n位任何两个1不相邻即可，则满足要求的序列有a n个，所以a n+2＝a n+1+a n；证明：（3）因为a n +2＝a n +1+a n ，所以（a n +3﹣S n +1）﹣（a n +2﹣S n ）＝a n +3﹣a n +2﹣（S n +1﹣S n ）＝a n +1﹣a n +1＝0， 所以数列{a n +2﹣S n }是常数列，所以a n +2﹣S n ＝a 3﹣S 1＝3为定值．22．（12分）已知双曲线W ：2x 2﹣2y 2＝1与椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的焦点相同，点P 是W 和C 在第一象限的公共点，记W 的左，右焦点依次为F 1，F 2，|PF 2|=√22．（1）求C 的标准方程； （2）设点Q 在C 上且在第一象限，QF 1，QF 2的延长线分别交C 于点E 1，E 2，设r 1，r 2分别为△QF 1E 2，△QF 2E 1的内切圆半径，求r 1﹣r 2的最大值．解：（1）由题意知：{|PF 1|−|PF 2|=√2|PF 1+|PF 2|=2a |PF 2|=√22，所以a =√2，又因为√a 2−b 2=1， 所以b ＝1，则椭圆的标准方程为x 22+y 2=1；（2）设Q （x 0，y 0），E 1（x 1，y 1），E 2（x 2，y 2），显然x 0＞0，y 0＞0，y 1＜0，y 2＜0， 由椭圆定义知：△QF 1E 2，△QF 2E 1的周长均为l =4√2，所以r 1=2S △QF1E 2l =|F 1F 2|(y 0−y 2)l =0222，同理r 2=0122，所以r 1−r 2=1222， 设直线QF 1：x ＝my ﹣1，m =x 0+1y 0， 将直线QF 1方程代入椭圆C 的方程x 22+y 2=1得：（m 2+2）y 2﹣2my ﹣1＝0， 所以y 0y 1=−1m 2+2=−1(x 0+1y 0)2+2=−y 02x 02+2x 0+1+2y 02=−y 023+2x 0， 即y 1=−y 03+2x 0，同理y 2=−y 03−2x 0， 所以r 1−r 2=1222=√2x 0y 09−4x 02=√2x 0y 0x 022+9y 02≤√2x 002√x 02×9y 02=13， 当且仅当x 0=3√55，y 0=√1010时等号成立， 所以r 1﹣r 2的最大值为13．。
2023-2024学年广东省深圳学校高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省深圳学校高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知抛物线C 的方程为x 2+8y ＝0，则抛物线的焦点坐标为（ ） A ．（﹣2，0）B ．（2，0）C ．（0，﹣2）D ．（0，2）2．已知直线l 的方程为x +√3y +2=0，则该直线的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π63．等比数列{a n }中a 4﹣a 1＝14，a 5﹣a 2＝28，则a 2024＝（ ） A ．22023B ．22024C ．22025D ．220264．已知方程x 2+y 2+2x ﹣2ay +2a +4＝0表示一个圆，则实数a 取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） B ．[﹣1，3]C ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D ．（﹣1，3）5．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n ﹣2025，其前n 项和为S n ，则S n 取最小值时n 的值为（ ） A ．1012B ．1013C ．1014D ．10156．已知动圆与圆F 1：(x +4)2+y 2=1及圆F 2：(x −4)2+y 2=9都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（ ） A ．x 2−y 215=1 B ．x 2−y 215=1(x ≤−1) C ．x 215−y 2=1D ．x 215−y 2=1(x ≤−√15)7．如图，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且MN =12ON ，AP =34AN ，用向量OA →，OB →，OC →表示OP →，则OP →=（ ）A ．14OA →+14OB →+14OC →B ．13OA →+13OB →+13OC →C ．14OA →+13OB →+13OC →D ．13OA →+14OB →+14OC →8．在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=3a n −2n−1(n ∈N ∗)，记c n =3n −2×(−1)n λa n ，若数列{c n }为递增数列，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(−32，1)B ．（﹣2，1）C ．（﹣1，1）D ．（0，1）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知数列{a n }的前5项依次为2，0，2，0，2，则下列可以作为数列{a n }通项公式的有（ ） A ．a n ={2，n 为奇数0，n 为偶数B ．a n =(−1)n +1C ．a n =2|sinnπ2|D ．a n =4|cosnπ3| 10．当实数m 变化时，关于x ，y 的方程（m 2+1）x 2+my 2＝m （m 2+1）可以表示的曲线类型有（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线11．如图，在直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA =CB =1，AA 1=2，∠BCA =π2，M ，N 分别是A 1B 1，AA 1的中点，则下列说法正确的有（ ）A ．BN =√2B ．A 1B ⊥C 1MC ．直线BC 1与平面ACC 1A 1的夹角正切值为12D ．cos ＜BA 1→，CB 1→＞=−√301012．已知圆C 过点（4，2），（2，0），（6，0），点M 在线段y ＝x （0≤x ≤4）上运动，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，以AB 为直径作圆C '，则下列说法正确的是（ ） A ．圆C 的方程为（x ﹣4）2+y 2＝4 B ．.△MAB 面积的最小值为2 C ．圆C '的面积的最小值为πD ．切点A 、B 的连线过定点（3，1）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．双曲线x 2−y 24=1的离心率为 ．14．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝3，S 8＝36，则数列{1S n}的前2024项和为 ．15．已知两条平行线l 1：3x ﹣4y +6＝0与l 2：6x ﹣8y +C ＝0之间的距离为1，则实数C 的值为 ．16．如图，在棱长为6正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，DD 1的中点，过E ，F ，G 三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知动点M 到两个定点O （0，0）、A （3，0）的距离的比12．（1）求动点M 的轨迹Γ的方程；（2）过点P （3，2）作曲线Γ的切线l ，求切线l 的方程．18．（12分）如图，正方形ABCD 的边长为5，取正方形ABCD 各边的中点E ，F ，G ，H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的中点I ，J ，K ，L ，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去；在这个过程中，记正方形ABCD 边长为a 1，正方形EFGH 边长为a 2，⋯，第n 个正方形边长为a n ，构成数列{a n }． （1）写出a 2，a 3；（2）求数列{a n }的通项公式a n ；（3）记数列{b n }满足b n =a n 2，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)经过点P(0，1)，Q(√3，12)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F(√3，0)作倾斜角π4的直线l ，直线l 交椭圆C 于点A ，B ，求△OAB 面积．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝120°，P A ＝PC ，PB ＝PD ，AC ∩BD ＝O ．（1）求证：PO ⊥平面ABCD ；（2）若P A 与平面ABCD 所成的角为30°，求平面BPC 与平面PCD 夹角的余弦值． 21．（12分）已知平面直角坐标系xOy 下，抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的准线方程：x ＝﹣1． （1）求抛物线E 的标准方程；（2）若抛物线E 上两点A ，B 满足OA →⋅OB →=−4，求证：直线AB 过定点，并求出定点坐标． 22．（12分）已知数列{b n }的前n 项和S n ，且S n ＝2b n ﹣2． （1）求数列{b n }的通项公式；（2）设数列{a n }的通项公式a n ＝n ，若将数列{a n }中的所有项按原顺序依次插入数列{b n }中，组成一个新数列：b 1，a 1，b 2，a 2，a 3，b 3，a 4，a 5，a 6，a 7，b 4，⋯，b k 与b k +1之间插入2k ﹣1项{a n }中的项，该新数列记作数列{c n }，求数列{c n }的前100项的和T 100．2023-2024学年广东省深圳学校高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知抛物线C的方程为x2+8y＝0，则抛物线的焦点坐标为（）A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，﹣2）D．（0，2）解：由x2+8y＝0，可得x2＝﹣8y，所以2p＝8，所以p2=2，故抛物线的焦点坐标为（0，﹣2）．故选：C．2．已知直线l的方程为x+√3y+2=0，则该直线的倾斜角为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6解：直线l：x+√3y+2=0，化成斜截式方程得y=−√33−2√33，设直线l的倾斜角为α，则直线l的斜率k＝tanα=−√33，且0≤α＜π，所以α=5π6，即直线l的倾斜角为5π6．故选：D．3．等比数列{a n}中a4﹣a1＝14，a5﹣a2＝28，则a2024＝（）A．22023B．22024C．22025D．22026解：设等比数列{a n}的公比为q，a4﹣a1＝14，a5﹣a2＝28，则q=a5−a2a4−a1=2814=2，a4﹣a1＝14，则8a1﹣a1＝14，解得a1＝2，故a2024=a1q2023=2×22023=22024．故选：B．4．已知方程x2+y2+2x﹣2ay+2a+4＝0表示一个圆，则实数a取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）B．[﹣1，3]C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（﹣1，3）解：圆的方程化为标准形式，可得（x+1）2+（y﹣a）2＝a2﹣2a﹣3，所以r 2＝a 2﹣2a ﹣3＞0，解得a ＜﹣1或a ＞3，即实数a 取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）． 故选：C ．5．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n ﹣2025，其前n 项和为S n ，则S n 取最小值时n 的值为（ ） A ．1012B ．1013C ．1014D ．1015解：由a n ＝2n ﹣2025，当1≤n ≤1012时，a n ＜0； 当n ≥1013时，a n ＞0，则S n 取最小值时n 的值为1012． 故选：A ．6．已知动圆与圆F 1：(x +4)2+y 2=1及圆F 2：(x −4)2+y 2=9都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（ ） A ．x 2−y 215=1B ．x 2−y 215=1(x ≤−1)C ．x 215−y 2=1D ．x 215−y 2=1(x ≤−√15)解：设动圆的圆心为M （，x ，y ），动圆的半径为r ，因为动圆与圆F 1：(x +4)2+y 2=1及圆F 2：(x −4)2+y 2=9都外切， 所以|MF 1|＝1+r ，|MF 2|＝3+r ， 所以，|MF 2|﹣|MF 1|＝2，故M 的轨迹是以F 1（﹣4，0），F 2（4，0）为焦点的双曲线的左支，a ＝1，c ＝4， 又b 2＝c 2﹣a 2＝15，则轨迹方程为x 2−y 215=1，x ≤﹣1． 故选：B ．7．如图，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且MN =12ON ，AP =34AN ，用向量OA →，OB →，OC →表示OP →，则OP →=（ ）A ．14OA →+14OB →+14OC →B ．13OA →+13OB →+13OC →C ．14OA →+13OB →+13OC →D ．13OA →+14OB →+14OC →解：∵M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，MN =12ON ，∴OM →=12（OB →+OC →），ON →=23OM →=13（OB →+OC →），∵AP =34AN ，∴OP →=OA →+AP →=OA →+34AN →=OA →+34（ON →−OA →）=14OA →+34×13（OB →+OC →）=14OA →+14OB →+14OC →，故选：A ．8．在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=3a n −2n−1(n ∈N ∗)，记c n =3n −2×(−1)n λa n ，若数列{c n }为递增数列，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(−32，1)B ．（﹣2，1）C ．（﹣1，1）D ．（0，1） 解：a n+1=3a n −2n−1（n ∈N *），等式两边同时除以2n +1可得：a n+12n+1=32⋅a n 2n −14， 所以a n+12n+1−12=32（a n 2n −12）， ∵a 1＝1，∴a 12−12=0，∴数列{a n 2n −12}为常数列，每项都为0， ∴a n 2n−12=0，∴a n ＝2n ﹣1，∴c n ＝3n ﹣2×（﹣1）n λ2n ﹣1＝3n ﹣（﹣2）n λ， ∵数列{c n }为递增数列， ∴对∀n ∈N *，c n +1＞c n 恒成立，∴3n +1﹣（﹣2）n +1λ＞3n ﹣（﹣2）n λ对∀n ∈N *恒成立，当n 为偶数时，有3n +1+2n +1λ＞3n ﹣2n λ恒成立，即λ＞[﹣（32）n ﹣1]max =−32，当n 为奇数时，有3n +1﹣2n +1λ＞3n +2n λ恒成立，即λ＜[（32）n ﹣1]min ＝1，综上所述，实数λ的取值范围为（−32，1）．故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知数列{a n }的前5项依次为2，0，2，0，2，则下列可以作为数列{a n }通项公式的有（ ） A ．a n ={2，n 为奇数0，n 为偶数B ．a n =(−1)n +1C ．a n =2|sinnπ2|D ．a n =4|cosnπ3| 解：数列{a n }的前5项依次为2，0，2，0，2， 经验证，AC 选项，显然可以表示，对于B ，当n ＝1时，a 1＝0，故B 错误； 对于D ，当n ＝2时，a 2＝2，故D 错误． 故选：AC ．10．当实数m 变化时，关于x ，y 的方程（m 2+1）x 2+my 2＝m （m 2+1）可以表示的曲线类型有（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解：（m 2+1）x 2+my 2＝m （m 2+1）， 当m ＝0时，方程为x 2＝0，即直线x ＝0； 当m ＞0时，方程为x 2m+y 2m 2+1=1，又m 2+1﹣m ＝（m −12）2+34＞0，可得方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆； 当m ＜0时，方程为x 2m +y 2m 2+1=1，可得方程表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．故选：ACD ．11．如图，在直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA =CB =1，AA 1=2，∠BCA =π2，M ，N 分别是A 1B 1，AA 1的中点，则下列说法正确的有（ ）A ．BN =√2B ．A 1B ⊥C 1MC ．直线BC 1与平面ACC 1A 1的夹角正切值为12D ．cos ＜BA 1→，CB 1→＞=−√3010解：根据题意，Rt △ABC 中，AB =√AC 2+BC 2=√2，在Rt △ABN 中，BN =√AN 2+AB 2=√1+2=√3，故A 不正确；因为△A 1B 1C 1中，A 1C 1＝B 1C 1，M 为A 1B 1中点，所以C 1M ⊥A 1B 1，又因为直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，C 1M ⊂平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥C 1M ， 因为A 1B 1∩AA 1＝A 1，所以C 1M ⊥平面AA 1B 1B ，结合A 1B ⊂平面AA 1B 1B ，可得C 1M ⊥A 1B ，故B 正确；因为AA 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC ，结合AC ⊥BC ，且AA 1∩AC ＝A ，可得BC ⊥平面AA 1C 1C ，即CC 1是BC 1在平面AA 1C 1C 内的射影， 所以∠BC 1C 是直线BC 1与平面ACC 1A 1的所成角，Rt △C 1BC 中，tan ∠BC 1C =BC CC 1=12，可知C 正确； 取AC 中点E ，连接AB 1，与A 1B 交于点O ，连接OE ，BE ．因为OE 是△AB 1C 的中位线，所以OE ∥B 1C ，∠BOE 是向量BA 1→，CB 1→的所成角，矩形AA 1B 1B 中，A 1B =√AA 12+AB 2=√6，矩形CC 1B 1B 中，B 1C =√BC 2+BB 12=√5，△BOE 中，BE =√BC 2+CE 2=√52，OE =12B 1C =√52，OB =12A 1B =√62， 所以cos ∠BOE =BO 2+OE 2−BE 22BO⋅OE =√3010，即cos ＜BA 1→，CB 1→＞=√3010，故D 不正确．故选：BC ．12．已知圆C 过点（4，2），（2，0），（6，0），点M 在线段y ＝x （0≤x ≤4）上运动，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，以AB 为直径作圆C '，则下列说法正确的是（ ） A ．圆C 的方程为（x ﹣4）2+y 2＝4 B ．.△MAB 面积的最小值为2 C ．圆C '的面积的最小值为πD ．切点A 、B 的连线过定点（3，1）解：由于圆C 过点（4，2），（2，0），（6，0），则圆心在直线x ＝4上， 设为C （4，c ），则（4﹣2）2+c 2＝（4﹣4）2+（c ﹣2）2，解得c ＝0， 故圆C ：（x ﹣4）2+y 2＝4，故A 正确； 设线段y ＝x （0≤x ≤4）为OD ，由于|AB |＝2|AC |sin ∠ACM ＝4sin ∠ACM ，结合图形可知△OCD 为等腰直角三角形， 当MC ⊥OD ，即M 在线段OD 的中点时，∠ACB 最小，则∠ACM 最小，此时|AB |最小， 此时点M 到直线AB 的距离最小，故此时△MAB 面积的最小， 由点到线的距离公式可得|MC |的最小值为√1+1=2√2，由切线长定理可得|MB |＝|MA |=√(2√2)2−22=2＝|AC |＝|BC |， 可得四边形AMBC 是正方形，所以△MAB 的面积=12×2×2＝2，故B 正确； 由于|AB |＝2|AC |sin ∠ACM ＝4sin ∠ACM ，结合图形可知△OCD 为等腰直角三角形， 当MC ⊥OD ，即M 在线段OD 的中点时，∠ACB 最小，则∠ACM 最小，此时AB 最小， 最小值为4sinπ4=2√2，此时以AB 为直径作圆C ′，圆的最小面积为π(√2)2=2π；故C 错误； 设M （a ，a ），则|MA |=√|MC|2−4=√(a −4)2+a 2−4，以M 为圆心，|MA |为半径的圆的方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣a ）2＝（a ﹣4）2+a 2﹣4， 化为普通方程为x 2﹣2ax +y 2﹣2ay ＝﹣8a +12， 与圆C 的一般式方程为x 2﹣8x +12+y 2＝0，两圆方程相减可得AB 所在直线方程为﹣2ax ﹣2ay +8a +8x ﹣24＝0，所以﹣2a （x +y ﹣4）+8x ﹣24＝0，所以AB 过x +y ﹣4＝0与8x ﹣24＝0的交点（3，1）， 所以切点A 、B 的连线过定点（3，1），故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．双曲线x 2−y 24=1的离心率为 √5 ． 解：∵双曲线x 2−y 24=1，∴a ＝1，b ＝2，可得c =√a 2+b 2=√5， 故双曲线x 2−y 24=1的离心率为c a=√5．故答案为：√5．14．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝3，S 8＝36，则数列{1S n }的前2024项和为 40482025．解：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 3＝3，S 8＝36，可得a 1+2d ＝3，8a 1+12×8×7d ＝36，即2a 1+7d ＝9，解得a 1＝d ＝1，则S n ＝n +12n （n ﹣1）=12n （n +1），1S n=2n(n+1)=2（1n −1n+1），数列{1S n }的前2024项和为2（1−12+12−13+...+12024−12025）＝2（1−12025）=40482025． 故答案为：40482025． 15．已知两条平行线l 1：3x ﹣4y +6＝0与l 2：6x ﹣8y +C ＝0之间的距离为1，则实数C 的值为 2或22 ． 解：直线l 1：3x ﹣4y +6＝0，即6x ﹣8y +12＝0，结合直线l 2：6x ﹣8y +C ＝0，可得它们之间的距离d =|12−C|√6+(−8)2=1，解得C ＝2或22．故答案为：2或22．16．如图，在棱长为6正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，DD 1的中点，过E ，F ，G 三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为 6√10+3√2 ．解：直线EF 与直线AD ，CD 分别交于点M ，N ，连接GM ，GN ，分别交AA 1，CC 1于点K ，H ，连接EK ，FH ，则五边形EFHGK 是过三点E ，F ，G 三点的平面截正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1所得截面，如图，由题意得AM ＝AE ＝GF ＝CN ＝3，AK DG =MK MG =AM MD =33+6=13，则AK ＝1， FH ＝EK =√12+32=√10，GH ＝GK =23GM =23√32+92=2√10， ∵EF ＝3√2，∴过E ，F ，G 三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为：6√10+3√2．故答案为：6√10+3√2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知动点M 到两个定点O （0，0）、A （3，0）的距离的比12． （1）求动点M 的轨迹Γ的方程；（2）过点P（3，2）作曲线Γ的切线l，求切线l的方程．解：（1）设M（x，y），由题意得，√x2+y2=12×√(x−3)2+y2，化简得，x2+y2+2x＝3，即动点M的轨迹Γ的方程为（x+1）2+y2＝4；（2）设过点P（3，2）作曲线Γ的切线l与圆的切点分别为N，F，圆T的圆心E（﹣1，0），设切线方程为y﹣2＝k（x﹣3），即kx﹣y+2﹣3k＝0，则√1+k2=2，解得，k＝0或k=43，故切线方程为y＝2或4x﹣3y﹣6＝0．18．（12分）如图，正方形ABCD的边长为5，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去；在这个过程中，记正方形ABCD边长为a1，正方形EFGH边长为a2，⋯，第n个正方形边长为a n，构成数列{a n}．（1）写出a2，a3；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）记数列{b n}满足b n=a n2，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）由题意可得：a2=√22a1=5√22，a3=√22a2=52；（2）由题意可得a n=√22a n−1，又a1＝5，则数列{a n}是以5为首项，√22为公比的等比数列，则a n=5×(√22)n−1；（3）记数列{b n}满足b n=a n2，则b n=25×(12)n−1，则数列{b n}的前n项和T n=25[1−(12)n]1−12=50[1−(12)n]．19．（12分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)经过点P(0，1)，Q(√3，12)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F(√3，0)作倾斜角π4的直线l，直线l交椭圆C于点A，B，求△OAB面积．解：（1）椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)经过点P(0，1)，Q(√3，12)．则{b=13a2+141=1，解得a2＝4，故椭圆C的标准方程为x24+y2=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），过点F(√3，0)作倾斜角π4的直线l，则直线的斜率为k＝1，则直线l的方程为y=x−√3，联立{y=x−√3x24+y2=1，化简整理可得，5y2+2√3y−1=0，由韦达定理可知，y1+y2=−2√35，y1y2=−15，|AB|=√1+1k2√(y1+y2)2−4y1y2=√2×√(−235)2−4×(−15)=85，原点O到直线AB的距离d=|3|√1+(−1)2=√62，故△OAB面积为12|AB|×d=12×85×√62=2√65．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝120°，P A＝PC，PB＝PD，AC∩BD ＝O ．（1）求证：PO ⊥平面ABCD ；（2）若P A 与平面ABCD 所成的角为30°，求平面BPC 与平面PCD 夹角的余弦值．（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴O 为AC ，BD 的中点，又P A ＝PC ，PB ＝PD ，∴PO ⊥AC ，PO ⊥BD ，∵AC ∩BD ＝O ，且AC ，BD ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD ；（2）解：设菱形ABCD 的边长为2t （t ＞0），∵∠ABC ＝120°，∴∠BAD ＝60°，则OA =√3t ，由（1）知PO ⊥平面ABCD ，∴P A 与平面ABCD 所成角为∠P AO ＝30°，得到PO ＝t ， 以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则B （0，t ，0），C （−√3t ，0，0），P （0，0，t ），D （0，﹣t ，0），得到BP →=(0，−t ，t)，CP →=(√3t ，0，t)，CD →=(√3t ，−t ，0)，设平面PBC 与平面PCD 的一个法向量分别为m →=(x 1，y 1，z 1)，n →=(x 2，y 2，z 2)，由{m →⋅BP →=−ty 1+tz 1=0m →⋅CP →=√3tx 1+tz 1=0，取x 1＝1，得m →=(1，−√3，−√3)，由{n →⋅CP →=√3tx 2+tz 2=0n →⋅CD →=√3tx 2−ty 2=0，取x 2＝1，得n →=(1，√3，−√3)，设平面BPC 与平面PCD 的夹角为θ，∴cos θ=|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=1√7×√7=17，∴平面BPC 与平面PCD 夹角的余弦值为17． 21．（12分）已知平面直角坐标系xOy 下，抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的准线方程：x ＝﹣1．（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若抛物线E 上两点A ，B 满足OA →⋅OB →=−4，求证：直线AB 过定点，并求出定点坐标． 解：（1）抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的准线方程：x ＝﹣1，则p 2=1，解得p ＝2， 故抛物线E 的方程为y 2＝4x ；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线AB 的方程为x ＝my +n ，联立{y 2=4x x =my +n，化简整理可得，y 2﹣4my ﹣4n ＝0， Δ＝16m 2+16n ＞0，即m 2+n ＞0，由韦达定理可知，y 1y 2＝﹣4n ，x 1x 2=(y 1y 2)216=n 2， OA →⋅OB →=−4，则x 1x 2+y 1y 2=n 2−4n =−4，即n ＝2，故AB 的方程为x ＝my +2，恒过定点（2，0）．22．（12分）已知数列{b n }的前n 项和S n ，且S n ＝2b n ﹣2．（1）求数列{b n }的通项公式；（2）设数列{a n }的通项公式a n ＝n ，若将数列{a n }中的所有项按原顺序依次插入数列{b n }中，组成一个新数列：b 1，a 1，b 2，a 2，a 3，b 3，a 4，a 5，a 6，a 7，b 4，⋯，b k 与b k +1之间插入2k﹣1项{a n }中的项，该新数列记作数列{c n }，求数列{c n }的前100项的和T 100．解：（1）∵S n ＝2b n ﹣2①，∴S n ﹣1＝2b n ﹣1﹣2（n ≥2）②，①﹣②得，b n ＝2b n ﹣2b n ﹣1（n ≥2），即b n ＝2b n ﹣1（n ≥2），又∵b 1＝2b 1﹣2，∴b 1＝2，∴数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，∴b n =2n ；（2）∵b k 与b k +1之间插入2k ﹣1项{a n }中的项，且20+21+22+…+25＝63，20+21+22+…+25+26＝127＞100，而b6与b7之间插入25项{a n}中的项，∴数列{c n}的前100项中有数列{b n}的前7项，∴数列{c n}的前100项中有数列{a n}的前93项，∴数列{c n}的前100项的和T100＝a1+a2+…+a93+b1+b2+…+b7＝1+2+…+93+2+4+…+27=93×(1+93)2+2×(1−27)1−2=4625．。
2023-2024学年江苏省徐州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．经过两点P(0，−3)，Q(−√3，0)的直线的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．圆（x +1）2+（y +1）2＝2的圆心坐标和半径分别为（ ） A ．（1，1），2 B ．(1，1)，√2 C ．（﹣1，﹣1），2D ．(−1，−1)，√23．已知{a n }是等差数列，a 6＝8，a 8＝6，则a 14＝（ ） A ．﹣14B ．﹣6C ．0D ．144．已知函数f （x ）的定义域为（a ，b ），导函数f ′（x ）的图象如图所示，则函数f （x ）的极小值点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．若椭圆C 的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则C 的离心率为（ ） A ．2√19−110B ．4√13−217 C ．45D ．356．若函数y =a+cosxx在区间（0，π）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[−π2，+∞)B ．(−∞，−π2]C ．（﹣∞，﹣1]D ．[﹣1，+∞）7．已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1=3a n +2，n ∈N ∗．记数列{a n +1(a n +3)(a n+1+3)}的前n 项和为T n ．若对任意的n ∈N *，都有k ＞T n ，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[110，+∞)B ．(110，+∞) C ．[15，+∞)D ．(15，+∞)8．已知a =ln1311，b =213，c =sin 1311−1113，则（ ） A ．a ＞b ＞c B ．c ＞a ＞b C ．b ＞c ＞a D ．a ＞c ＞b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2023-2024学年北京市大兴区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市大兴区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．椭圆x 29+y 24=1的长轴长是（ ）A ．3B ．6C ．9D ．42．双曲线x 24−y 22=1的渐近线方程是（ ）A ．y ＝±√2xB ．y ＝±√22xC ．y ＝±12xD ．y ＝±2x3．若直线l 的方向向量为（2，1，m ），平面α的法向量为（1，12，2），且l ⊥α，则m ＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．两条平行直线x ﹣y ＝0与x ﹣y ﹣1＝0间的距离等于（ ） A ．√22B ．1C ．√2D ．25．过点（1，0）且被圆x 2+（y +2）2＝1截得的弦长最大的直线方程为（ ） A ．2x +y ﹣2＝0B ．2x ﹣y ﹣2＝0C ．x +2y ﹣1＝0D ．x ﹣2y ﹣1＝06．圆C 1：x 2+y 2＝2与圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝2的位置关系是（ ） A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切7．采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：907 966 181 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 根据以上数据估计，该学员三次射击至少击中两次的概率为（ ） A ．310B ．720C ．25D ．9208．若方程x 2m−3+y 24−3m =1表示双曲线，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(−∞，43)∪(3，+∞)B ．(43，3)C ．(−∞，−43)∪(3，+∞)D ．(−43，3)9．如图F 1，F 2是双曲线C 1：x 2−y 28=1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限内的公共点，若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是（ ）A ．23B ．45C ．35D ．2510．平面内与定点F 1（﹣a ，0），F 2（a ，0）距离之积等于a 2（a ＞0）的动点的轨迹称为双纽线．曲线C 是当a ＝2√2时的双纽线，P 是曲线C 上的一个动点，则下列结论不正确的是（ ） A ．曲线C 关于原点对称B ．满足|PF 1|＝|PF 2|的点P 有且只有一个C ．|OP |≤4D ．若直线y ＝kx 与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为（﹣1，1） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2023-2024学年安徽省滁州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省滁州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系xOy 中，直线x 4−y8=1在y 轴上的截距为（ ）A ．﹣8B ．8C ．−18D ．182．已知双曲线y 212−x 2b 2=1(b ＞0)的焦距为12，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y =±12xB ．y ＝±2xC ．y =±√22x D ．y =±√2x3．已知等比数列{a n }满足a 1+a 3＝5，a 4+a 6＝40，则数列{a n }前7项的和为（ ） A ．256B ．255C ．128D ．1274．圆C 1：x 2+y 2﹣8x ﹣8y ＝0与圆C 2：x 2+y 2+8x +4y +12＝0公切线的条数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知函数f （x ）＝（x ﹣2022）（x ﹣2023）（x ﹣2024）（x ﹣2025），则f （x ）的图象在x ＝2024处的切线方程为（ ） A ．2x +y ﹣4048＝0 B ．x +y ﹣2024＝0C ．2x ﹣y ﹣4048＝0D ．x ﹣y ﹣2024＝06．已知A （5，2），点P 是抛物线y 2＝8x 上的一点，点B 是圆F ：（x ﹣2）2+y 2＝1上的一点，则|P A |+|PB |的最小值为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．87．如图，在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱CD 上的一点，且DE ＝2EC ，则点B 1到平面AEC 1的距离为（ ）A ．6√147B ．3√147C ．2√77D ．√778．已知函数f （x ）＝xlnx +ax 2+a 2在区间（0，+∞）上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．(−∞，−12)B ．（﹣∞，﹣1）C ．(−∞，−12]D ．（﹣∞，﹣1]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ）A ．若P ，A ，B ，C 四点共面，则存在实数x ，y ，使得CP →=xCA →+yCB →B ．若直线l 的方向向量为a →=(2，−1，−3)，直线m 的方向向量为b →=(1，5，−1)，则l ⊥m C ．若直线l 的方向向量为a →=(0，2，−1)，平面α的法向量为n →=(2，−1，−2)，则l ∥αD ．对于空间中的一点O ，若OP →=13OA →+13OB →+13OC →，则A ，B ，C ，P 四点共面10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ＞0，且S 18＝S 25，则下列说法正确的是（ ） A ．a 1＜0B ．a 1+a 43＝0C ．当S n 取得最小值时，n 的值为22D ．当S n ＞0时，n 的最小值为4411．已知函数f （x ）的定义域为R ，其导函数为f '（x ），且对任意的x ∈R ，都有f （x ）+f '（x ）＞0，则下列说法正确的是（ ） A ．ef （1）＜f （0） B ．ef （1）＞f （0） C ．2f （ln 2）＜ef （1）D ．2f （ln 2）＞ef （1）12．已知抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，且A （2，2），B ，C 三点都在抛物线上，则下列说法正确的是（ ） A ．点F 的坐标为(12，0)B ．若直线BC 过点F ，O 为坐标原点，则OB →⋅OC →=−34C ．若|BC |＝4，则线段BC 的中点到y 轴距离的最小值为54D ．若直线AB ，AC 是圆（x ﹣2）2+y 2＝1的两条切线，则直线BC 的方程为3x +6y +4＝0 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若直线2x +（a ﹣1）y +2023＝0与直线ax +y ﹣2024＝0互相垂直，则a ＝ ．14．在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，AB ＝AD ＝1，BD 1=√10，则A 1A ＝ ．15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 的左支上，且∠PF 1F 2=π3，|PF 2|＝5|PF 1|，则C 的离心率为 ．16．已知实数x ，y 满足e x +x =1y−lny ，则xe ﹣x ﹣y 的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，2a 1+a 2＝5，且S n +1＝S n +a n +2（n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式； （2）若b n =1a n a n+1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜12． 18．（12分）已知圆C ：（x ﹣2）2+（y +3）2＝2．（1）若点A （a ，b ）是圆C 上的一点，求2a +b 的取值范围；（2）过点P （1，﹣1）的直线l 与圆C 交于M ，N 两点，且|MN |＝2，求直线l 的方程．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是正方形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ，点E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点． （1）求证：AE ⊥PC ；（2）求平面AEF 与平面ECD 夹角的余弦值．20．（12分）在数列{a n }中，a 1＝1，且na n+1=(n +1)a n −n(n+1)2n (n ∈N ∗)． （1）求{a n }的通项公式；（2）记数列{a n }的前n 项和为S n ，若不等式(−1)n λ−n2n−1＜S n 对任意的n ∈N *恒成立，求λ的取值范围．21．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣alnx （a ∈R ）． （1）若a ＝2，求f （x ）的极值；（2）若函数g （x ）＝f （x ）+（1﹣2a ）x 恰有两个零点，求a 的取值范围．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√53，左、右顶点分别为A 1，A 2，上、下顶点分别为B 1，B 2，且四边形A 1B 1A 2B 2的面积为12． （1）求C 的方程；（2）过点P （0，1）的直线l 交C 于M ，N 两点（不同于B 1，B 2两点），直线MB 1与直线NB 2交于点T ，试判断△TA 1A 2的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．2023-2024学年安徽省滁州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系xOy 中，直线x 4−y8=1在y 轴上的截距为（ ）A ．﹣8B ．8C ．−18D ．18解：对于直线x 4−y 8=1，令x ＝0，解得y ＝﹣8，即直线x 4−y8=1在y 轴上的截距为﹣8．故选：A ． 2．已知双曲线y 212−x 2b 2=1(b ＞0)的焦距为12，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y =±12xB ．y ＝±2xC ．y =±√22x D ．y =±√2x解：由已知可得2c ＝12，则c ＝6，所以12+b 2＝36，解得b =2√6，a ＝2√3，则a b =√32√6=√22，所以该双曲线的渐近线方程为y =±√22x ．故选：C ．3．已知等比数列{a n }满足a 1+a 3＝5，a 4+a 6＝40，则数列{a n }前7项的和为（ ） A ．256B ．255C ．128D ．127解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1+a 3＝5，a 4+a 6＝40，可得{a 1(1+q 2)=5a 1q 3(1+q 2)=40，解得a 1＝1，q ＝2，所以数列{a n }前7项的和S 7=a 1(1−q 7)1−q =1×(1−27)1−2=127．故选：D ．4．圆C 1：x 2+y 2﹣8x ﹣8y ＝0与圆C 2：x 2+y 2+8x +4y +12＝0公切线的条数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：根据题意，圆C 2：x 2+y 2+8x +4y +12＝0即（x +4）2+（y +2）2＝8，其圆心为（﹣4，﹣2），半径R =2√2；圆C 1：x 2+y 2﹣8x ﹣8y ＝0即（x ﹣4）2+（y ﹣4）2＝32，其圆心为（4，4），半径r =4√2； 两圆的圆心距|C 1C 2|=√64+36=10＞R +r ＝6√2，所以两圆外离，其公切线条数有4条． 故选：D ．5．已知函数f （x ）＝（x ﹣2022）（x ﹣2023）（x ﹣2024）（x ﹣2025），则f （x ）的图象在x ＝2024处的切线方程为（）A．2x+y﹣4048＝0B．x+y﹣2024＝0C．2x﹣y﹣4048＝0D．x﹣y﹣2024＝0解：f（x）＝（x﹣2022）（x﹣2023）（x﹣2024）（x﹣2025），则f'（x）＝（x﹣2022）（x﹣2023）（x﹣2025）+（x﹣2024）[（x﹣2022）（x﹣2023）（x﹣2025）]′，所以f'（2024）＝2×1×（﹣1）＝﹣2，又f（2024）＝0，所以f（x）的图象在x＝2024处的切线方程为y﹣0＝﹣2（x﹣2024），即2x+y﹣4048＝0．故选：A．6．已知A（5，2），点P是抛物线y2＝8x上的一点，点B是圆F：（x﹣2）2+y2＝1上的一点，则|P A|+|PB|的最小值为（）A．5B．6C．7D．8解：由题意知F（2，0）是抛物线y2＝8x的焦点，抛物线准线l方程为：x＝﹣2，过点P作PP′垂直于准线l，垂足为P′，即点P到抛物线y2＝8x的准线的距离为|PP′|，圆F：（x﹣2）2+y2＝1是圆心为F（2，0），半径r＝1的圆，根据抛物线定义有：|PF|＝|PP′|，因为点B是圆F：（x﹣2）2+y2＝1上的一点，所以|PB|≥|PF|﹣1，即|PB|≥|PP′|﹣1，由此有：|P A|+|PB|≥|P A|+|PP′|﹣1，当且仅当A、P、P′三点共线时，|P A|+|PB|取得最小值5+2﹣1＝6，所以|P A|+|PB|≥|P A|+|PF|﹣1＝|P A|+|PP′|﹣1≥5+2﹣1＝6，所以|P A|+|PB|的最小值为6．故选：B．7．如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱CD上的一点，且DE＝2EC，则点B1到平面AEC1的距离为（）A ．6√147B ．3√147C ．2√77D ．√77解：在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱CD 上的一点，且DE ＝2EC ，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，∴A （0，0，0），B 1（3，0，3），E （2，3，0），C 1（3，3，3）， ∴AE →=(2，3，0)，AC →1=(3，3，3)， 设平面AEC 1的法向量n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AE →=2x +3y =0n →⋅AC 1→=3x +3y +3z =0，令x ＝3，得n →=(3，−2，−1)， ∵AB 1→=(3，0，3)，∴点B 1到平面AEC 1的距离d =|AB 1→⋅n →||n →|=6√9+4+1=3√147．故选：B ．8．已知函数f （x ）＝xlnx +ax 2+a 2在区间（0，+∞）上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．(−∞，−12)B ．（﹣∞，﹣1）C ．(−∞，−12]D ．（﹣∞，﹣1]解：∵f （x ）＝xlnx +ax 2+a 2在区间（0，+∞）上单调递减， ∴f '（x ）＝lnx +1+2ax ≤0在（0，+∞）上恒成立⇒−2a ≥lnx+1x在（0，+∞）上恒成立． 令g(x)=lnx+1x ，则g ′(x)=1−(lnx+1)x 2=−lnxx 2＞0⇒0＜x ＜1，∴g （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， g （x ）max ＝g （1）＝1， ∴﹣2a ≥1⇒a ≤−12，∴a 的取值范围是(−∞，−12]．故选：C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ）A ．若P ，A ，B ，C 四点共面，则存在实数x ，y ，使得CP →=xCA →+yCB →B ．若直线l 的方向向量为a →=(2，−1，−3)，直线m 的方向向量为b →=(1，5，−1)，则l ⊥m C ．若直线l 的方向向量为a →=(0，2，−1)，平面α的法向量为n →=(2，−1，−2)，则l ∥αD ．对于空间中的一点O ，若OP →=13OA →+13OB →+13OC →，则A ，B ，C ，P 四点共面解：根据题意，依次分析选项：对于A ，举出反例，当C ，A ，B 三点共线，点P 与C ，A ，B 三点不共线时，则不存在实数x ，y ，使得CP →=xCA →+yCB →，故A 错误；对于B ，a →=(2，−1，−3)，b →=(1，5，−1)，因为a →⋅b →=0，所以l ⊥m ，故B 正确； 对于C ，因为a →⋅n →=0，所以l ∥α或l ⊂α，故C 错误；对于D ，因为OP →=13OA →+13OB →+13OC →，所以OP →−OA →=OB →−OP →+OC →−OP →，所以PA →=−PB →−PC →，所以A ，B ，C ，P 四点共面，故D 正确． 故选：BD ．10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ＞0，且S 18＝S 25，则下列说法正确的是（ ） A ．a 1＜0B ．a 1+a 43＝0C ．当S n 取得最小值时，n 的值为22D ．当S n ＞0时，n 的最小值为44解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ＞0，且S 18＝S 25，对于A ，∵S 18＝S 25，∴S 25﹣S 18＝a 19+a 20+a 21+a 22+a 23+a 24+a 25＝7a 22＝0， ∴a 22＝a 1+21d ＝0，又d ＞0，∴a 1＜0，故A 正确；对于B ，a 1+a 43＝2a 22＝0，故B 正确； 对于C ，∵d ＞0，∴该等差数列是递增数列，∵a 22＝0，∴当n ＝22，或n ＝21时，S n 取得最小值，故C 错误；对于D ，S n =na 1+12n(n −1)d =−21dn +12n(n −1)d =12dn(n −43)＞0，又d ＞0，∴n ＞43，∴n 的最小值为44，故D 正确． 故选：ABD ．11．已知函数f （x ）的定义域为R ，其导函数为f '（x ），且对任意的x ∈R ，都有f （x ）+f '（x ）＞0，则下列说法正确的是（ ） A ．ef （1）＜f （0） B ．ef （1）＞f （0） C ．2f （ln 2）＜ef （1）D ．2f （ln 2）＞ef （1）解：∵令g （x ）＝e x f （x ），对任意的x ∈R ，都有f （x ）+f '（x ）＞0， ∴g '（x ）＝e x f （x ）+e x f '（x ）＝e x [f （x ）+f '（x ）]＞0， g （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴g （0）＜g （1）⇒f （0）＜ef （1），故A 错误，B 正确；g （ln 2）＜g （1）⇒e ln 2f （ln 2）＜ef （1）⇒2f （ln 2）＜ef （1），故C 正确，D 错误． 故选：BC ．12．已知抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，且A （2，2），B ，C 三点都在抛物线上，则下列说法正确的是（ ） A ．点F 的坐标为(12，0)B ．若直线BC 过点F ，O 为坐标原点，则OB →⋅OC →=−34C ．若|BC |＝4，则线段BC 的中点到y 轴距离的最小值为54D ．若直线AB ，AC 是圆（x ﹣2）2+y 2＝1的两条切线，则直线BC 的方程为3x +6y +4＝0 解：已知抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，且A （2，2），B ，C 三点都在抛物线上，因为A （2，2）在抛物线上，所以22＝2p ×2，解得p ＝1，所以抛物线焦点F 的坐标为(12，0)，故A 正确；由题意显然直线BC 的斜率不为0，设直线BC 的方程为x =ty +12，B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，由{y 2=2xx =ty +12得y 2﹣2ty ﹣1＝0，由韦达定理可得y 1y 2＝﹣1，所以x 1x 2=y 12y 224=14，所以OB →⋅OC →=x 1x 2+y 1y 2=−34，故B 正确；因为|BF|+|CF|=x 1+12+x 2+12=x 1+x 2+1≥|BC|=4（大于通径长2），当且仅当B ，C ，F 三点共线时，等号成立，所以x 1+x 2≥3，所以x 1+x 22≥32， 即线段BC 的中点到y 轴距离的最小值为32，故C 错误；若直线AB ，AC 是圆（x ﹣2）2+y 2＝1的两条切线， 直线AB 的斜率为k AB =y 1−2x 1−2=2y 1+2，所以直线AB 的方程为y −2=2y 1+2(x −2)， 即2x ﹣（y 1+2）y +2y 1＝0，又直线AB 与圆（x ﹣2）2+y 2＝1相切， 所以1√22+(y 1+2)2=1，整理得3y 12+12y 1+8=0，即3x 1+6y 1+4＝0．同理可得3x 2+6y 2+4＝0， 所以直线BC 的方程为3x +6y +4＝0，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若直线2x +（a ﹣1）y +2023＝0与直线ax +y ﹣2024＝0互相垂直，则a ＝ 13．解：若直线2x +（a ﹣1）y +2023＝0与直线ax +y ﹣2024＝0互相垂直，则2a +a ﹣1＝0，解得a =13．故答案为：13．14．在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，AB ＝AD ＝1，BD 1=√10，则A 1A ＝ 3 ．解：四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BD 1→=AD 1→−AB →=AD →+AA 1→−AB →， 因为∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，AB ＝AD ＝1，BD 1=√10， 所以BD 1→2=(AD →+AA 1→−AB →)2=AD 2→+AA 1→2+AB 2→+2AD →⋅AA 1→−2AD →⋅AB →−2AA 1→⋅AB →，即10=1+1+|AA 1→|2+2×1×|AA 1→|cos60°−2×1×1×cos60°−2×1×|AA 1→|cos60°， 解得|AA 1→|=3． 故答案为：3．15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 的左支上，且∠PF 1F 2=π3，|PF 2|＝5|PF 1|，则C 的离心率为 1+√978．解：由双曲线定义知，|PF2|﹣|PF1|＝2a，又|PF2|＝5|PF1|，所以|PF2|=5a2，|PF1|=a2，又∠PF1F2=π3，|F1F2|＝2c，在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠PF1F2=|PF1|2+|F1F2|2−|PF2|22|PF1|⋅|F1F2|=12，即(a2)2+(2c)2−(5a2)22⋅a2⋅2c=12，整理得4c2﹣ac﹣6a2＝0，解得ca=1+√978或ca=1−√978（舍），所以C的离心率为1+√978．故答案为：1+√978．16．已知实数x，y满足e x+x=1y −lny，则xe﹣x﹣y的最大值为1e2．解：因为e x+x=1y−lny，所以e x+x=1y+ln1y=ln1y+e ln1y．令f（x）＝e x+x，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又f(x)=f(ln1y)，所以x=ln 1y，所以y=1e x，所以xe−x−y=xe−x−1e x=x−1e x，令g(x)=x−1e x，所以g′(x)=2−xe x，令g'（x）＞0，解得x＜2；令g'（x）＜0，解得x＞2，所以g（x）在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，所以g(x)max=g(2)=1e2，即xe﹣x﹣y的最大值为1e2．故答案为：1e2．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，2a1+a2＝5，且S n+1＝S n+a n+2（n∈N*）．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=1a n a n+1，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜12．（1）解：因为a n+1＝S n+1﹣S n，S n+1＝S n+a n+2，所以S n+1﹣S n﹣a n＝2，所以a n+1﹣a n＝2，所以{a n}是公差为2的等差数列，又2a1+a2＝5，所以2a1+a1+2＝5，解得a1＝1，所以a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．（2）证明：由（1）知b n=1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以T n=12（1−13）+12（13−15）+...+12（12n−1−12n+1）=12(11−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=12−12(2n+1)．又12(2n+1)＞0，所以T n＜12．18．（12分）已知圆C：（x﹣2）2+（y+3）2＝2．（1）若点A（a，b）是圆C上的一点，求2a+b的取值范围；（2）过点P（1，﹣1）的直线l与圆C交于M，N两点，且|MN|＝2，求直线l的方程．解：（1）设2x+y＝t，则直线2x+y﹣t＝0与圆C有公共点，所以√22+12≤√2，解得1−√10≤t≤1+√10，所以2a+b的取值范围是[1−√10，1+√10]．（2）因为|MN|＝2，所以点C到直线l的距离d=√2−(|MN|2)2=1．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣（﹣1）＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣1＝0，所以22=1，解得k=−34，所以直线l的方程为3x+4y+1＝0，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，符合题意，综上，直线l的方程为x＝1或3x+4y+1＝0．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，P A＝AB，点E，F分别为棱PB，BC的中点．（1）求证：AE⊥PC；（2）求平面AEF与平面ECD夹角的余弦值．解：（1）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，P A＝AB，点E，F分别为棱PB，BC的中点，∵P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴P A⊥BC．∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥BC，∵AB∩P A＝A，AB，P A⊂平面P AB，∴BC⊥平面P AB，∵AE⊂平面P AB，∴AE⊥BC，在△P AB中，P A＝AB，又点E是棱PB的中点，∴AE⊥PB，∵BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，∴AE⊥平面PBC，∵PC ⊂平面PBC ，∴AE ⊥PC ．（2）∵P A ⊥平面ABCD ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AB ，P A ⊥AD ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设P A ＝2，∴A （0，0，0），F （2，1，0），E （1，0，1），D （0，2，0），C （2，2，0）， 设平面AEF 的法向量n →=(x ，y ，z)，∵AF →=(2，1，0)，AE →=(1，0，1)，∴{n →⋅AF →=2x +y =0n →⋅AE →=x +z =0， 取x ＝1，得n →=(1，−2，−1)．设平面ECD 的法向量m →=(a ，b ，c)，又DC →=(2，0，0)，DE →=(1，−2，1)，∴{m →⋅DC →=2a =0m →⋅DE →=a −2b +c =0，令b ＝1，得m →=(0，1，2)， 设平面AEF 与平面ECD 的夹角为θ，所以cosθ=|cos〈n →，m →〉|=|n →⋅m →||n →||m →|=4√1+4+1×√1+4=2√3015，∴平面AEF 与平面ECD 夹角的余弦值为2√3015． 20．（12分）在数列{a n }中，a 1＝1，且na n+1=(n +1)a n −n(n+1)2n (n ∈N ∗)． （1）求{a n }的通项公式；（2）记数列{a n }的前n 项和为S n ，若不等式(−1)n λ−n2n−1＜S n 对任意的n ∈N *恒成立，求λ的取值范围．解：（1）因为na n+1=(n +1)a n −n(n+1)2n (n ∈N ∗)， 两边同除以n （n +1），可得a n+1n+1−a n n=−12n(n ∈N ∗)．当n ≥2时，a n n =a n n −a n−1n−1+a n−1n−1−a n−2n−2+⋯+a 22−a 11+a 1=−12n−1−12n−2−⋯−12+1=−12[1−(12)n−1]1−12+1=12n−1，所以a n =n2n−1，又a 1＝1符合，所以a n =n2n−1． （2）由题意知S n ＝1•（12）0+2•（12）1+...+n •（12）n ﹣1，12S n ＝1•（12）1+2•（12）2+...+n •（12）n ， 两式相减得S n 2=120+121+122+⋯+12n−1−n ×12n=1−(12)n1−12−n ×12n=2−n+22n， 所以S n =4−n+22n−1． 若不等式(−1)n λ−n2n−1＜S n 对任意的n ∈N +恒成立，当n ＝2k ﹣1，k ∈N *时，则−λ＜4−22n−1，所以﹣λ＜2，即λ＞﹣2；当n ＝2k ，k ∈N *时，则λ＜4−22n−1，所以λ＜3．所以﹣2＜λ＜3，即λ的取值范围为（﹣2，3）． 21．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣alnx （a ∈R ）． （1）若a ＝2，求f （x ）的极值；（2）若函数g （x ）＝f （x ）+（1﹣2a ）x 恰有两个零点，求a 的取值范围． 解：（1）若a ＝2，则f （x ）＝x 2﹣2lnx ， 所以f ′(x)=2x −2x，令f ′（x ）＝0，解得x ＝1，当0＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当x ＞1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 又f （1）＝12﹣2ln 1＝1，所以f （x ）的极小值为1，无极大值．（2）g （x ）＝f （x ）+（1﹣2a ）x ＝x 2﹣alnx +（1﹣2a ）x ， 所以g ′(x)=2x −a x +1−2a =2x 2+(1−2a)x−a x =(2x+1)(x−a)x，当a ≤0时，在（0，+∞）上g '（x ）＞0恒成立， 所以g （x ）在（0，+∞）上单调递增， 所以g （x ）至多有一个零点，不符合题意，当a＞0时，令g′（x）＝0得x＝a，所以在（0，a）上g′（x）＜0，g（x）单调递减，在（a，+∞）上g′（x）＞0，g（x）单调递增，g(x)min=g(a)=a2−alna+(1−2a)a=a−alna−a2=a(1−lna−a)，令u（a）＝1﹣lna﹣a，a＞0，所以在（0，+∞）上，u′(a)=−1a−1＜0，所以u（a）在（0，+∞）上单调递减，又u（1）＝1﹣ln1﹣1＝0，若0＜a≤1，则g（a）≥0，则g（x）至多有一个零点，不符合题意，若a＞1，则g（a）＜0，又g(1e)=1e2−aln1e+(1−2a)1e=1e2+1e+a(1−2e)＞0，又g（x）在(1e，a)上单调递减，所以g（x）在(1e，a)上存在唯一一个零点，g（3a﹣1）＝（3a﹣1）2﹣aln（3a﹣1）+（1﹣2a）（3a﹣1）＝a[（3a﹣1）﹣ln（3a﹣1）]，因为a＞1，所以3a﹣1＞2，令t＝3a﹣1＞2，令v（t）＝t﹣lnt，t＞2，所以在（2，+∞）上，v′(t)=1−1t=t−1t＞0，所以v（t）在（2，+∞）上单调递增，所以v（t）＞v（2）＝2﹣ln2＞0，即（3a﹣1）﹣ln（3a﹣1）＞0，所以g（3a﹣1）＝a[（3a﹣1）﹣ln（3a﹣1）]＞0，又g（x）在（a，3a﹣1）上单调递增，所以g（x）在（a，3a﹣1）上存在唯一一个零点，所以当a＞1时，函数g（x）恰有两个零点，综上所述，a的取值范围是（1，+∞）．22．（12分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为√53，左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，且四边形A1B1A2B2的面积为12．（1）求C的方程；（2）过点P（0，1）的直线l交C于M，N两点（不同于B1，B2两点），直线MB1与直线NB2交于点T，试判断△TA1A2的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．解：（1）由题意知，{12⋅2a⋅2b=12ca=√53c2=a2−b2，解得a＝3，b＝2，c=√5，所以C的方程为x29+y24=1．（2）由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立{y=kx+1x29+y24=1，得（4+9k2）x2+18kx﹣27＝0，所以x1+x2=−18k4+9k2，x1x2=−274+9k2，因为B1（0，2），B2（0，﹣2），所以直线MB1的方程为y=y1−2x1x+2，直线NB2的方程为y=y2+2x2x−2，由直线MB1和直线NB2的方程，可得y−2y+2=y1−2x1y2+2x2=(y1−2)x2(y2+2)x1=(kx1+1−2)x2(kx2+1+2)x1=kx1x2−x2kx1x2+3x1=kx1x2−(x1+x2)+x1 kx1x2+3x1=k⋅(−274+9k2)−(−18k4+9k2)+x1k⋅(−274+9k2)+3x1=−9k4+9k2+x1−27k4+9k2+3x1=13，解得y＝4，即点T的纵坐标y T＝4，所以△TA1A2的面积S=12|A1A2|⋅|y T|=12×6×4=12，故△TA1A2的面积为定值12．。
2023-2024学年浙江省湖州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x ＝3n +1，n ∈Z }，B ＝{x |（x +6）（x ﹣5）＜0}，则A ∩B ＝（ ）A ．{﹣2，1，4}B ．{﹣8，﹣5，﹣2，1}C ．{﹣5，﹣2，1}D ．{﹣5，﹣2，1，4} 2．在复平面上，复数5i−2（i 为虚数单位）对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知向量a →=（k ，1，2），b →=（k ，0，﹣2），则“k ＝2”是“a →⊥b →”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．双曲线x 2﹣2y 2＝1的渐近线方程是（ ）A ．y =±√2xB ．y =±√22xC ．y =±12xD ．y ＝±2x5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，且a n +1＝3S n （n ∈N *），则（ ）A ．{S n }为等比数列B ．{S n }为等差数列C ．{a n }为等比数列D ．{a n }为等差数列6．已知圆C 1：x 2+y 2+6x ﹣4my +4m 2+8＝0（m ≠0，m ∈R ）与圆C 2：x 2+y 2﹣2my +m 2﹣4＝0，则圆C 1与圆C 2的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．外离D ．与m 的取值有关7．已知空间内三点A （1，1，2），B （﹣1，2，0），C （0，3，1），则点A 到直线BC 的距离是（ ）A ．√6B ．1C ．4√63D ．2√33 8．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点，椭圆上一点P 满足PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝5∠PF 1F 2，则该椭圆的离心率等于（ ）A ．√62B ．√33C ．√32D ．√63二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，则下列说法正确的是（ ）A ．f （﹣2）＝f （2）B ．f （0）＝0C ．若f （x ）在（﹣∞，0）上有最小值﹣2，则f （x ）在（0，+∞）上有最大值2D ．若f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，则f （x ）在（0，+∞）上单调递减10．对于直线l ：mx +ny ﹣3m ＝0（m 2+n 2≠0，m ，n ∈R ），下列说法正确的是（ ）A ．直线l 的一个方向向量为（n ，﹣m ）B ．直线l 恒过定点（3，0）C ．当m =√3n 时，直线l 的倾斜角为60°D ．当m ＝﹣2且n ＞0时，l 不经过第二象限11．设S n 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题正确的是（ ）A ．若d ＜0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d ＜0C ．若对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列D ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n ＞012．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 满足A 1F →=xA 1D 1→，AE →=yAD →+zAB →，且x ，y ，z ∈（0，1），记EF 与AA 1所成角为α，EF 与平面ABCD 所成角为β，则（ ）A ．若z =13，三棱锥E ﹣BCF 的体积为定值 B ．若x ＝y ＝z =12，则AE ⊥BFC ．∀x ，y ，z ∈（0，1），α+β=π2D ．∀x ∈（0，1），总存在y ＝2，使得EF ∥平面BDD 1B 1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．有四个大小、形状完全相同的小球，编号分别为1，2，3，4，现从中任取两个，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为 ．14．已知O 为坐标原点，过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M （p ，0），若|AF |＝|AM |，则直线AB 的斜率为 ．15．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n +1，则a 2023＝ ．16．在三棱锥O ﹣ABC 中，|OA →|=|OB →|=|OC →|=6，∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC =π3，点M 在OA 上，OM →=2MA →，N 为BC 中点，则|MN →|＝ ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，数列{b n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 2＝b 2，a 4＝b 3．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）设c n ＝b n ﹣a n ，求数列{c n }的前10项和．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＝b cos A ，且边AB 上的高等于14AB ．（1）求角A 的值；（2）若△ABC 的面积为18，求边BC 的长．19．（12分）已知圆O ：x 2+y 2＝4，直线l ：y ＝kx +4．（1）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当∠AOB ＝90°时，求k 的值；（2）若k =12时，点P 为直线l 上的动点，过点P 作圆O 的两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D ，求四边形OCPD 的面积的最小值．20．（12分）已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 为正方形，AB ＝BC ＝2，E ，F 分别为AC 和CC 1的中点，D 为棱A 1B 1上的点，BF ⊥A 1B 1．（1）求证：BF ⊥DE ；（2）当B 1D ＝1时，求平面BB 1C 1C 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值．21．（12分）已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 2+a 3+a 4＝117，a 3+18是a 2，a 4的等差中项．数列{b n }满足b 1＝1，数列{（b n +1﹣b n ）•a n }的前n 项和等于n 2．（1）求数列{a n }的前n 项和S n ；（2）求数列{b n }的通项公式．22．（12分）设双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点O为坐标原点，过点F的直线l与C的右支相交于A，B两点．（1）当直线1与x轴垂直，且A，B两点的距离等于双曲线C的实轴长时，求双曲线C的离心率；（2）若双曲线C的焦距为4．且0°＜∠AOB＜90°恒成立，求双曲线C的实轴长的取值范围．2023-2024学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x ＝3n +1，n ∈Z }，B ＝{x |（x +6）（x ﹣5）＜0}，则A ∩B ＝（ ）A ．{﹣2，1，4}B ．{﹣8，﹣5，﹣2，1}C ．{﹣5，﹣2，1}D ．{﹣5，﹣2，1，4}解：∵集合A ＝{x |x ＝3n +1，n ∈Z }，B ＝{x |（x +6）（x ﹣5）＜0}＝{x |﹣6＜x ＜5}，∴A ∩B ＝{﹣5，﹣2，1，4}．故选：D ．2．在复平面上，复数5i−2（i 为虚数单位）对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解：由题意，复数5i−2=5(i+2)(i−2)(i+2)=−2﹣i ，其对应的点（﹣2，﹣1）在第三象限． 故选：C ．3．已知向量a →=（k ，1，2），b →=（k ，0，﹣2），则“k ＝2”是“a →⊥b →”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解：向量a →=（k ，1，2），b →=（k ，0，﹣2），当k ＝2时，a →⋅b →=22+0﹣4＝0，∴“k ＝2”⇒“a →⊥b →”，当a →⊥b →时，a →⋅b →=k 2﹣4＝0，解得k ＝±2，∴“a →⊥b →“⇒“a ＝±2“，∴“k ＝2”是“a →⊥b →”的充分不必要条件．故选：A ．4．双曲线x 2﹣2y 2＝1的渐近线方程是（ ）A ．y =±√2xB ．y =±√22xC ．y =±12xD ．y ＝±2x解：由x 2﹣2y 2＝1，得x 2−y 22=1，则a ＝1，b =√2，∴双曲线x 2﹣2y 2＝1的渐近线方程是y ＝±√2x ．故选：A ．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，且a n +1＝3S n （n ∈N *），则（ ）A ．{S n }为等比数列B ．{S n }为等差数列C ．{a n }为等比数列D ．{a n }为等差数列解：∵a n +1＝3S n （n ∈N *），∴S n +1﹣S n ＝3S n ，即S n +1＝4S n ，又S 1＝a 1＝1，∴数列{S n }为等比数列，公比为4，因此A 正确，B 不正确；由上面可得S n ＝4n ﹣1， n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝4n ﹣1﹣4n ﹣2＝3•4n ﹣2， n ＝1时，上式不成立，因此数列{a n }既不是等比数列，也不是等差数列．因此只有A 正确．故选：A ．6．已知圆C 1：x 2+y 2+6x ﹣4my +4m 2+8＝0（m ≠0，m ∈R ）与圆C 2：x 2+y 2﹣2my +m 2﹣4＝0，则圆C 1与圆C 2的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．外离D ．与m 的取值有关解：圆C 1：x 2+y 2+6x ﹣4my +4m 2+8＝0（m ≠0，m ∈R ）圆的圆心（﹣3，2m ），半径为1；圆C 2：x 2+y 2﹣2my +m 2﹣4＝0的圆心（0，m ），半径为2，圆心距为：√(−3−0)2+(2m −m)2=√9+m 2＞1+2，所以两个圆相离．故选：C ．7．已知空间内三点A （1，1，2），B （﹣1，2，0），C （0，3，1），则点A 到直线BC 的距离是（ ）A ．√6B ．1C ．4√63D ．2√33解：空间内三点A （1，1，2），B （﹣1，2，0），C （0，3，1），|AB|=√(−2)2+12+(−2)2=3， 因为BC →=(1，1，1)，BA →=(2，−1，2)，由cos ∠ABC =BA →⋅BC→|BA →||BC →|=3×√3=√33，所以sin ∠ABC =√63， 所以点A 到直线BC 的距离d =|AB →|⋅sin∠ABC =3×√63=√6．故选：A．8．已知F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左，右焦点，椭圆上一点P满足PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝5∠PF1F2，则该椭圆的离心率等于（）A．√62B．√33C．√32D．√63解：因为PF1⊥PF2，所以∠PF2F1+∠PF1F2＝90°，又∠PF2F1＝5∠PF1F2，所以∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝15°，设椭圆的焦距为2c，在Rt△PF1F2中，|PF1|＝|F1F2|cos15°＝2c cos15°，|PF2|＝|F1F2|sin15°＝2c sin15°，由椭圆的定义知，|PF1|+|PF2|＝2a，所以2c cos15°+2c sin15°＝2a，即c（cos15°+sin15°）＝a，所以离心率e=ca=1cos15°+sin15°=1√(cos15°+sin15°)2=1√1+2sin15°cos15°=1√1+sin30°=√63．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，则下列说法正确的是（）A．f（﹣2）＝f（2）B．f（0）＝0C．若f（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣2，则f（x）在（0，+∞）上有最大值2D．若f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，则f（x）在（0，+∞）上单调递减解：因为函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣2）＝﹣f（2），A错误；由奇函数的性质可知，f（0）＝0，B正确；若f（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣2，则根据奇函数的对称性可知，f（x）在（0，+∞）上有最大值2，C正确；若f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，根据奇函数的对称性可知，f（x）在（0，+∞）上单调递增，D错误．故选：BC．10．对于直线l：mx+ny﹣3m＝0（m2+n2≠0，m，n∈R），下列说法正确的是（）A．直线l的一个方向向量为（n，﹣m）B．直线l恒过定点（3，0）C ．当m =√3n 时，直线l 的倾斜角为60°D ．当m ＝﹣2且n ＞0时，l 不经过第二象限解：当n ≠0时，直线l 的斜率k =−m n ，可得直线l 的一个方向向量为（1，−m n ）=−1n(n ，−m)， 因此，向量a →=(n ，−m)是直线l 的一个方向向量；当n ＝0时，直线l ：mx ﹣3m ＝0即x ＝3，斜率不存在，一个方向向量为（0，1），此时a →=(n ，−m)=（0，﹣m ）也是直线l 的一个方向向量．综上所述，直线l 的一个方向向量为（n ，﹣m ），A 项正确；将点（3，0）代入直线l 方程，得3m +0﹣3m ＝0，符合题意，故直线l 恒过定点（3，0），B 项正确；当m =√3n 时，直线l 的斜率k =−m n =−√3，可知直线l 的倾斜角为120°，故C 不正确； 当m ＝﹣2时，直线l ：﹣2x +ny +6＝0即2x ﹣ny ﹣6＝0，若n ＞0，则直线l 与x 轴交于（3，0），与y 轴交于（0，−6n）， 可知直线l 经过一、三、四象限，故D 正确．故选：ABD ．11．设S n 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题正确的是（ ）A ．若d ＜0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d ＜0C ．若对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列D ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n ＞0解：由等差数列的求和公式可得S n ＝na 1+n(n−1)2d =d 2n 2+（a 1−d 2）n ， 选项A ，若d ＜0，由二次函数的性质可得数列{S n }有最大项，故正确；选项B ，若数列{S n }有最大项，则对应抛物线开口向下，则有d ＜0，故正确；选项C ，若对任意n ∈N *，均有S n ＞0，对应抛物线开口向上，d ＞0，可得数列{S n }是递增数列，故正确；选项D ，若数列{S n }是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一定有任意n ∈N *，均有S n ＞0，故错误．故选：ABC ．12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 满足A 1F →=xA 1D 1→，AE →=yAD →+zAB →，且x ，y ，z ∈（0，1），记EF 与AA 1所成角为α，EF 与平面ABCD 所成角为β，则（ ）A ．若z =13，三棱锥E ﹣BCF 的体积为定值 B ．若x ＝y ＝z =12，则AE ⊥BFC ．∀x ，y ，z ∈（0，1），α+β=π2D ．∀x ∈（0，1），总存在y ＝2，使得EF ∥平面BDD 1B 1解：对于A ，若z =13，点E 在过线段AB 的三等分点（靠近A 点），并且于AD 平行的线段MN 上， ∵点E 在线段MN 上，且MN ∥BC ，∴点E 到线段BC 的距离为定值，则S △EBC 为定值，又点F 到平面ABCD ，即面EBC 的距离不变，∴V F−EBC =13S △EBC ⋅ℎF−EBC 为定值，故A 正确；对于B ，若x ＝y ＝z =12，则点F 为线段A 1D 1的中点，点E 为线段AC ，BD 的交点， 若AE ⊥BF ，又AE ⊥BD ，且BF ，BD ⊂面BFD ，BF ∩BD ＝B ，∴AE ⊥面BFD ，又EF ⊂面BFD ，∴AE ⊥EF ，设正方体的棱长为a ，则AE =√22a ，AF =√a 2+(a 2)2=√52a ，EF =√a 2+(a 2)2=√52a ， 此时，AF 2≠EF 2+AE 2，∴∠AEF ≠90°，与AE ⊥EF 矛盾，∴AE ⊥BF 不正确，故B 错误；对于C ，∀x ，y ，z ∈（0，1），则点F 在线段A 1D 1上（不含端点），点E 在正方形ABCD 内（不含边界）， 过F 作FG ∥AA 1，交AD 于G ，连接GE ，则∠GFE 为EF 与AA 1所成角，即α＝∠GEF ，∵AA 1⊥平面ABCD ，FG ∥AA 1，∴FG ⊥平面ABCD ，∴∠FEG 是EF 与平面ABCD 所成角，即β＝∠FEG ，∵△EGF 是直角三角形，∴α+β=π2，故C 正确；对于D ，过F 作FG ∥AA 1交AD 于G ，过G 作GE ∥BD ，交AC 于E ，连接EF ，此时满足A 1F →=x xA 1D 1→，AE →=yAD →+zAB →，x ∈（0，1），y ＝z ，下面证明EF ∥平面BDD 1B 1即可，∵FG ∥AA 1∥DD 1，FG ⊄面BDD 1B 1，DD 1⊂面BDD 1B 1，∴FG ∥面BDD 1B 1，∵GE ∥BD ，GE ⊄面BDD 1B 1，BD ⊂面BDD 1B 1，∴GE ∥面BDD 1B 1，∵GE ∩FG ＝G ，且GE ，FG ⊂面GEF ，∴面GEF ∥面BDD 1B 1，∴∀x ∈（0，1），总存在y ＝z ，使得EF ∥面BDD 1B 1，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．有四个大小、形状完全相同的小球，编号分别为1，2，3，4，现从中任取两个，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为 56． 解：从四个球中任取两个的所有可能为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）， 共6种，其中取出的小球中至少有一个号码为奇数的取法有5种，故所求概率为：P =56． 14．已知O 为坐标原点，过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M （p ，0），若|AF |＝|AM |，则直线AB 的斜率为 2√6 ．解：因为|AF |＝|AM |，M （p ，0），F(p 2，0)， 所以x A =x M +x F 2=34p ，所以y A 2=2px A =32p 2，y A =√62p ， 所以k AB =k AF =√62p−034p−p 2=2√6，故答案为：2√6．15．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n +1，则a 2023＝ 4045 ．解：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 4＝4S 2，可得4a 1+6d ＝4（2a 1+d ），即d ＝2a 1，由a 2n ＝2a n +1，n ∈N *，可得a 2＝a 1+d ＝2a 1+1，即d ＝a 1+1，解得a 1＝1，d ＝2，则a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，故a 2023＝2×2023﹣1＝4045．故答案为：4045．16．在三棱锥O ﹣ABC 中，|OA →|=|OB →|=|OC →|=6，∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC =π3，点M 在OA 上，OM →=2MA →，N 为BC 中点，则|MN →|＝ √19 ．解：由已知得MN →=MO →+ON →=−23OA →+12OB →+12OC →，则MN →2=（−23OA →+12OB →+12OC →）=49OA →2+14OB →2+14OC →2−23OA →•OB →−23OA →•OC →+12OB →⋅OC →=49×36+14×36+14×36−23×6×6×12−23×6×6×12+12×6×6×12=19，所以|MN →|=√19． 故答案为：√19．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，数列{b n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 2＝b 2，a 4＝b 3．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）设c n ＝b n ﹣a n ，求数列{c n }的前10项和．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ≠0，等比数列{b n }的公比为q ＞0，∵a 1＝b 1＝2，a 2＝b 2，a 4＝b 3，∴2+d ＝2q ，2+3d ＝2q 2，d ≠0，解得d ＝q ＝2，∴a n ＝2+2（n ﹣1）＝2n ，b n ＝2n ；（2）c n ＝b n ﹣a n ＝2n ﹣2n ，∴数列{c n }的前10项和为2(210−1)2−1−2×10×(1+10)2=1936． 18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＝b cos A ，且边AB 上的高等于14AB ．（1）求角A 的值；（2）若△ABC 的面积为18，求边BC 的长．解：（1）因为a sin B ＝b cos A ，所以由正弦定理得：sin A sin B ＝sin B cos A ，因为sin B ≠0，所以sin A ＝cos A ，即tan A ＝1，因为A ∈（0，π），所以A =π4； （2）因为△ABC 的面积为18，所以S =12AB ⋅ℎ=18AB 2=18，解得AB ＝12，即c ＝12， 又S =12bcsinA =18，所以12×12×√22b =18，解得b =3√2， 在△ABC 中，由余弦定理得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A =18+144−2×3√2×12×√22=90，所以a =3√10，所以边BC 的长为3√10．19．（12分）已知圆O ：x 2+y 2＝4，直线l ：y ＝kx +4．（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB＝90°时，求k的值；（2）若k=12时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形OCPD的面积的最小值．解：（1）已知圆O：x2+y2＝4，直线l：y＝kx+4．又直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB＝90°时，则圆O到直线AB的距离为√2，则√1+k2=√2，即k2＝7，则k的值为±√7；（2）若k=12时，直线l：y=12x+4．点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，则|PC|=√|OP|2−4，则四边形OCPD的面积为2S△POC=2×12×|PC|×2=2|PC|=2√|PO|2−4，又|PO|≥√12+(12)2=√5，则2√|PO|2−4≥4√555，则四边形OCPD的面积的最小值为4√55 5．20．（12分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1．（1）求证：BF⊥DE；（2）当B1D＝1时，求平面BB1C1C与平面DEF所成锐二面角的余弦值．（1）证明：如图，取线段BC的中点G，连接EG，B1G，由E ，G 分别是线段CA ，CB 的中点，可得EG ∥AB ∥A 1B 1，所以E ，G ，B 1，A 1四点共面， 在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 为正方形，AB ＝BC ＝2，四边形CBB 1C 1也为正方形，且EC BC =BGBB 1=12， 所以Rt △FCB ～Rt △GBB 1，则∠FBC +∠BGB 1=∠FBC +∠BFC =90°，所以BF ⊥GB 1，又BF ⊥A 1B 1，GB 1∩A 1B 1＝B 1，GB 1，A 1B 1⊂面EGB 1A 1，所以BF ⊥面EGB 1A 1，又DE ⊂面EGB 1A 1，所以BF ⊥DE ；（2）由（1）得BF ⊥面EGB 1A 1，又A 1B 1⊂面EGB 1A 1，所以BF ⊥A 1B 1，又BB 1⊥A 1B 1，BB 1∩BF ＝B ，BB 1，BF ∩面CBB 1C 1，所以A 1B 1⊥面CBB 1C 1，又A 1B 1∥AB ，所以AB ⊥面CBB 1C 1，又BC ⊂面CBB 1C 1，所以 AB ⊥BC ，故AB ，BC ，BB 1两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则D （1，0，2），E （1，1，0），F （0，2，1），DE →=(0，1，−2)，EF →=(−1，1，1)， 设平面DEF 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{DE →⋅n →=y −2z =0EF →⋅n →=−x +y +z =0，取z ＝1，可得n →=(3，2，1)， 又平面BB 1C 1C 的一个法向量为m →=(1，0，0)，设平面BB 1C 1C 与平面DEF 所成锐二面角为θ，所以cosθ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=3√1+4+9=3√1414． 21．（12分）已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 2+a 3+a 4＝117，a 3+18是a 2，a 4的等差中项．数列{b n }满足b 1＝1，数列{（b n +1﹣b n ）•a n }的前n 项和等于n 2．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）求数列{b n}的通项公式．解：（1）∵a3+18是a2，a4的等差中项，∴2（a3+18）＝a2+a4，又a2+a3+a4＝117，可得2（a3+18）＝117﹣a3，解得a3＝27，∴a2+a4＝90=a3q+a3q=27q+27q，q＞1，解得q＝3，∴a3＝a1×32＝27，解得a1＝3．∴S n=3(3n−1)3−1=3n+1−32．（2）由（1）可得a n＝3n，∵数列{（b n+1﹣b n）•a n}的前n项和等于n2，∴a1（b2﹣b1）+a2（b3﹣b2）+…+（b n+1﹣b n）•a n＝n2，n≥2时，a1（b2﹣b1）+a2（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）•a n﹣1＝（n﹣1）2，相减可得：（b n+1﹣b n）•a n＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，∴b n+1﹣b n=2n−1 3n，n＝1时，3（b2﹣b1）＝1，解得b2﹣b1=13，对于上式也成立，∴b n+1﹣b n=2n−13n，n∈N*，∴n≥2时，b n＝b1+（b2﹣b1）+…+（b n﹣1﹣b n﹣2）+（b n﹣b n﹣1）＝1+13+332+⋯+2n−53n−2+2n−33n−1，∴13b n=13+132+⋯+2n−53n−1+2n−33n，相减可得23b n＝1+2（132+⋯+13n−1）−2n−33n=1+2×19(1−13n−2)1−13−2n−33n，化为：b n＝2−n3n−1，经过验证n＝1时也成立，∴b n＝2−n3n−1．22．（12分）设双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点O为坐标原点，过点F的直线l与C的右支相交于A，B两点．（1）当直线1与x轴垂直，且A，B两点的距离等于双曲线C的实轴长时，求双曲线C的离心率；（2）若双曲线C 的焦距为4．且0°＜∠AOB ＜90°恒成立，求双曲线C 的实轴长的取值范围．解：（1）当直线l 与x 轴垂直时，令x ＝c 得c 2a 2−y 2b 2=1， 解得|y|=b 2a ，所以A ，B 两点的距离为2b 2a ， 根据题意可得2b 2a =2a ，所以a 2＝b 2＝c 2﹣a 2，整理得e =c a =√2； （2）双曲线C 的焦距为4，则c ＝2，即F （2，0），b 2＝4﹣a 2＞0，由于直线l 的斜率不为零，设其方程为x ＝my +2，联立{x =my +2x 2a 2−y 24−a 2=1，消去x 得[a 2（m 2+1）﹣4m 2]y 2+4m （a 2﹣4）y ﹣（a 2﹣4）2＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=−4m(a 2−4)a 2(m 2+1)−4m 2，y 1y 2=−(a 2−4)2a 2(m 2+1)−4m 2， 由于A ，B 两点均在双曲线的右支上，所以y 1y 2=−(a 2−4)2a 2(m 2+1)−4m 2＜0， 所以a 2（m 2+1）﹣4m 2＞0，即0≤m 2＜a 24−a 2， 所以OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=(my 1+2)(my 2+2)+y 1y 2＝（m 2+1）y 1y 2+2m （y 1+y 2）+4=(m 2+1)⋅−(a 2−4)2a 2(m 2+1)−4m 2+2m ⋅−4m(a 2−4)a 2(m 2+1)−4m 2+4 =m 2a 2(4−a 2)−a 4+12a 2−16a 2(m 2+1)−4m 2， 由0°＜∠AOB ＜90°恒成立，得m 2＜a 24−a 2时，均有OA →⋅OB →＞0， 并且OA →，OB →不可能同向，即m 2a 2（4﹣a 2）﹣a 4+12a 2﹣16＞0，由于a 2（4﹣a 2）＞0，因为不等式左边是关于m 2的增函数，所以只需m 2＝0时，﹣a 4+12a 2﹣16＞0成立即可，解得√5−1＜a＜√5+1，又0＜a＜2，所以√5−1＜a＜2，所以双曲线C的实轴长的取值范围为(2√5−2，4)．。
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高二年级期末考试数学试卷（理科）（选修2-1）考试时间：120分钟 试卷满分：150分第Ⅰ卷 （100分）一、选择题:（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
每小题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在相应位置上）1．命题"042,"2>+-∈∃x x R x 的否定是A ．"042,"2<+-∈∃x x R xB ．"042,"2>+-∈∀x x R xC ．"042,"2≥+-∈∀x x R xD ．"042,"2≤+-∈∀x x R x2. 双曲线52x +k 2y =50），那么实数k 的值为A ．-25B ．25C ．-1D ．13. 在空间直角坐标系中，点A （1,2,1）关于x 轴对称的点的坐标为A.(-1,2,1）B.（-1,-2,1）C.（1,-2,-1）D.（1,2,-1）4. 下列命题是假命题的是 A.命题“若220,x y +=则,x y 全为0”的逆命题 B.命题“全等三角形是相似三角形”的否命题C.命题“若0,m >则20x x m +-=有实数根”的逆否命题D.命题“ABC ∆中，如果090C ∠=，那么222c a b =+” 的逆否命题 5. 已知(0,1,1)a =-, (1,2,1)b =-，则向量a ，b 的夹角为A.30B.60C.90D.1506. “直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的 A ．充要条件 B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分又非必要条件7. 如图，四面体ABCD 中，设M 是CD 的中点，则1()2AB BD BC ++化简的结果是A ．AMB ．BMC ． CMD ．DM8. 已知P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为043=-y x ，21,F F 分别是双曲线的左右焦点，若3||2=PF ，则||1PF 等于A ．11B ．5C ．5或11D ．7二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9. 已知向量(0,1,1)a =-，(4,1,0)b =，||29a b λ+=且0λ>，C DBMAC则λ= _______.10. 若抛物线22(0)y px p =>上横坐标为6的点到焦点的距离等于8，则焦点到准线的距离是____.11. 已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点,若1222=+B F A F ，则AB =_______．12. 如图，抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，测得拱桥内水面宽为12米，当水面升高1米后，则拱桥内水面的宽度为_____米.三、解答题（本大题共有3个小题，共40分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
）13. (本小题满分13分)已知命题p ：方程2212x y m+=表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：关于X的方程22230x mx m +++=无实根，若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围.14.（本题满分14分）已知四边形ABCD 是正方形，P 是平面ABCD 外一点，且PA=PB=PC=PD=AB=2，M 是棱PC 的中点．建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题：(1)求证：PA //BMD 平面； (2) 求证：PC BMD ⊥平面；(3)求直线PA 与直线MB 所成角的余弦值．15.（本题满分13分）已知顶点在坐标原点，焦点为(1,0)F 的抛物线C 与直线b x y +=2相交于B A ,两点，53||=AB .（1）求抛物线C 的标准方程； （2）求b 的值；（3）当抛物线上一动点P 从点A 到B 运动时，求∆ABP 面积的最大值．第Ⅱ卷（50分）一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。
每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1. 设向量},,{c b a 是空间一个基底，则一定可以与向量b a q b a p -=+=,构成空间的另一个基底的向量是A ．aB ．bC ．cD ．b a 或2. 双曲线1522=-mx y 的离心率6(,2)e ∈，则m 的取值范围是 A.5(,5)2B.10(,5)C.5610(,525)-- D.25(,15)23. 已知AB =3 , A,B 分别在x 轴和y 轴上运动，O 为原点，1233OP OA OB =+,则动点P 的轨迹方程是A ．2214x y +=B ．2214y x +=C ．2219x y +=D ．2219y x += 二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）4. 设椭圆13422=+y x 的长轴两端点为M 、N ，异于M 、N 的点P 在椭圆上，则,PM PN 的斜率之积为 .5. 如图，在60︒的二面角AB αβ--内，,,AC BD AC AB βα⊂⊂⊥于A ，BD AB ⊥ 于B ，且1AC AB BD ===，则CD 的长为 。
三、解答题（本大题共有2个小题，共25分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
）6. (本小题满分12分)如图，在平行四边形ABCD 中，01,2,90AB BD ABD ==∠=，将它们沿对角线BD 折起，折后的点C 变为1C ，且12AC =．（1）求点B 到平面1AC D 的距离；（2）E 为线段1AC 上的一个动点，当线段1EC 的长为多少时,DE 与平面1BC D 所成的角为030？ 7. (本小题满分13分)如图，已知椭圆C :12222=+by a x )0(>>b a左焦点为(1,0)-F ，过点(0,2)D 且斜率为k 的直线l 交椭圆于,A B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求k 的取值范围；（Ⅲ）在y 轴上，是否存在定点E ，使AE BE ⋅恒为定值？若存在，求出E 点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．x高二数学 选修2-1 试卷参考答案及评分标准第I 卷一．选择题1-8：DCCBD CAA 二．填空题9-12：3，4，8，6214. 解：连结AC 、BD 交于点O ，连结OP 。
∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ∵PA=PC ，∴OP ⊥AC ，同理OP ⊥BD ，以O 为原点，OAOB OP 、、分别为,,x y z 轴的正方向， 建立空间直角坐标系O xyz …………………2分221(0,0,2),(2,0,0),(0,2,0),(,0,)2222(2,0,2),(0,2,0),(,0,)0,P A B M PA OBOM BMD PA PA n-∴=-==-∴∴=∴⊥∉（）平面的法向量为n=(1,0,1)n 又P 平面BMD//PA BMD ∴平面 …………………6分2(,0,)0,0,OB OM PC OB PC OM OB OM O∴===∴⊥⊥=（）C(-2,0,0) PC -2-2PC PC 又PC BMD ∴⊥面…………………10分33322||||cos )22,2,22()3(=⨯=⋅=∴-=MB PA MB θ 33PA MB 即直线与直线所成角的余弦值为…………………14分 15. 解：（1）设所求的抛物线方程为22(0)y px p =>，根据题意12p =，2p ∴=∴所求的抛物线标准方程为24y x =. …………2分 （2）设A （x 1,y 1)、B(x 2,y 2), 由⎩⎨⎧=+=xy bx y 422得4x 2+4(b -1)x +b 2=0, …………3分Δ=16(b -1)2-16b 2>0. ∴21<b . …………5分 又由韦达定理有x 1+x 2=1-b ,x 1x 2=42b ,∴AB =,2154)(21212212b x x x x -⋅=-+⋅+ …………7分 即53)21(5=-b . ∴4b =-. …………8分第Ⅱ卷一．选择题：1-3：CAB二．填空题：4.43-5. 26. 解法一：（1）22211112AC AC AB BC AB BC =⇒=+⇒⊥又AB BD ⊥ 11AB BC D C D AB ∴⊥⇒⊥平面11C D BDC D AB⊥⊥1C D ABD ⇒⊥平面1ABD AC D ⇒⊥平面平面过点B 做BF AD⊥于F ，则BF 即为B 到平面1AC D 的距离，则1263BF ⨯== …6分（2）过E 作1EH BC ⊥于H ，则//EH AB ，故1EH BC D ⊥平面，连DH ， 则EDH ∠就是DE 与平面1BC D 所成的角．设1||C E x =，∵1AB =，12AC =，故知0130AC B ∠=，则12EH x =， 同理可知，0160DC E ∠=，在1DC E ∆中，由余弦定理得220212cos601DE x x x x =+-=-+． 若030EDH ∠=，则2DE EH x ==，故有221x x x =-+，解得1x =，即1||1C E =时，DE 与平面1BC D 所成的角为030．………12分解法二：22211112AC AC AB BC AB BC =⇒=+⇒⊥又AB BD ⊥ ∴AB ⊥平面BC 1D 依题意，建立空间直角坐标系B-xyz ……2分 则A(0,0,1),C 1 (1,2, 0),D(0, 2,0)∴),1,2,0(),1,2,1(1-=-=AD AC )1,0,0(=BA设 1(,,)n x y z =是平面1AC D 的一个法向量，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=-+=⋅0202111z y AD n z y x AC n 解得⎩⎨⎧==y z x 20，令y=1，∴)2,1,0(1=n ……4分∴B 到平面1AC D 的距离3632||===n n BA d …………6分 （2）设1AC AE λ=，则)1,2,(λλλ-E ∴)1,22,(λλλ--=DE 又)1,0,0(=BA 是平面BC 1D 的一个法向量 …………8分 依题意得2160cos |)1(31||,cos |22==-+-=><o DE BA λλλ…………10分 有λ>0得，21=λ，即1||1C E =时，DE 与平面1BC D 所成的角为030．…12分所以k 的取值范围是66(,(,)-∞+∞． ……6分（Ⅲ）设1122(,),(,)A x y B x y ， 则12122286,1212k x x x x k k+=-=++． 又2212121212224(2)(2)2()421k y y kx kx k x x k x x k -=++=+++=-+，12121224(2)(2)()421y y kx kx k x x k +=+++=++=+． ……7分 设存在点(0,)E m ，则11(,)AE x m y =--，22(,)BE x m y =--，所以2121212()AE BE x x m m y y y y ⋅=+-++124212412622222+--+⋅-++=k k k m m k2222(22)41021m k m m k -+-+=+， ……9分 要使得AE BE t ⋅=(t 为常数)，只要2222(22)41021m k m m t k -+-+=+， 从而222(222)4100m t k m m t --+-+-=，即222220, (1)4100, (2)m t m m t ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩ ……11分 由（1）得21t m =-，代入（2）解得114m =，从而10516t =，故存在定点11(0,)4E ，使AE BE ⋅恒为定值10516．……13分。