2014年北京高考数学理科试题及答案

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2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1) 已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，若A
B =
(A) {0} (B) {0,1} (C) {0,2} (D) {0,1,2}
(2) 下列函数中，在区间(0,}+∞上为增函数的是
(A) y = (B) 2=(1)y x - (C) 2x y -= (D) 0.5log (1)y x =+
(3) 曲线1cos 2sin x y =-+⎧⎨=+⎩
θ
θ ，（θ为参数）的对称中心
(A) 在直线2y x =上 (B) 在直线2y x =-上 (C) 在直线1y x =-上 (D) 在直线1y x =+上
(4) 当7m =,3n =时，执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 (A) 7 (B) 42 (C) 210 (D) 840
(5) 设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的 (A) 充分且不必要条件 (B) 必要且不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D) 既非充分也非必要条件
(6) 若,x y 满足20
200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为4-，则k 的值是
(A) 2 (B) 2- (C)
1 (D) 1- S k
(7) 在空间坐标系O xyz -中，已知(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，D ，若1S ，2S ，3S 分
别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 则坐标平面上的正投影图形的面积，则
(A) 1S =2S =3S (B) 1S =2S 且31S S ≠ (C) 1S =3S 且32S S ≠ (D) 2S =3S 且13S S ≠
(8) 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A 同学每科成绩不低于B 同学，
且至少有一颗成绩比B 高，则称 “A 同学比B 同学成绩好，”现在若干同学，他们之中没有一个人比另一个人成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的。

问满足条件的多少学生 (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D ) 5
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

(9) 复数2
11i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭
_____ ．
(10) 已知向量a 、b 满足||1a =，(2,1)b =且0a b +=λ，则||=λ_____ ．
(11) 在设曲线C 经过点(2,2)，且2
214
y x -=具有相同渐近线，则C 的方程是 ．
(12) 若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =______时，{}n a 的前 n 项和最大．
(13) 把5件不同的产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻 ，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法
有_____ 种．
(14) 设函数 ()sin()f x A x =+ωϕ（,,A ωϕ是常数，0,0A >>ω），若()f x 在区间[
,]62
ππ
上具有单调
性，且2()(
)-()2
36
f f f π
ππ
==，则()f x 的最小正周期为 ．
三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出必要的文字说明，演算步骤。

(15)（本小题13分） 如图，在ABC ∆中，3
B ∠=
π
，8AB =，点D 在BC 边上，且CD =2，1
cos 7
ADC ∠=
（Ⅰ）求sin BAD ∠．（Ⅱ）求BD ，AC 的长．
(16)（本小题13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛相互独立）
（Ⅰ）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；
（Ⅱ）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，另一场不超过0.6
的概率；
（Ⅲ）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命
中次数，比()E X 和x 的大小。

(17)（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2， B ，C 分别为AM 和MD 的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为PE 的中点，平面ABC 与棱PD ，PC 分别相较于点G 、H ．（Ⅰ）求证：//AB FG ； （Ⅱ）若PA ⊥平面ABCDE ，且P A=AE ，求直线BC 与平面ABF 所成的角，并求线段PH 的长
(18)（本小题13分）已知函数()cos sin f x x x x =-，[0,]2
x ∈π
（Ⅰ）求证：()0f x ≤；（Ⅱ）若sin x
a b x
<<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．
E D
C M
F
B
A
P
H
G
(19)（本小题14分）已知椭圆C ：22
24x y +=．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）设O 为原点，若点A 在椭圆G 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222
x y +=的位置关系，并证明你的结论．
(20)（本小题13分）对于数对序列11(,)P a b ，22(,)a b ，…，(,)n n a b ， 记111()T P a b =+,112()max{(),}k k k k T P b T P a a a -=++++(2)k n ≤≤，
其中 112max{(),}k k T P a a a -++
+表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数．
（Ⅰ）对于数对序列(2,5)P ，(4,1)，求1()T P ，2()T P ；
（Ⅱ）记m 为四个数a 、b 、c 、d 的最小值，对于两个数对(,)a b ，(,)c d 组成的数对序列(,)P a b ，(,)
c d 和'(,)P c d ，(,)a b ，试分别对m a =和m b =时的情况比较2()T P 和2(')T P 的大小；
（Ⅲ）在由5个数对(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)组成的有序数对序列中，写出一个数对序
列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值（只需写出结论）。

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2014年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）A （3）B （4）C （5）D （6）D （7）D （8）B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）-1 （10
（11）
22
1312
x y -= 2y x =± （12）8 （13）36 （14）π
三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：
（I ）在ADC ∆中，因为1
7
COS ADC ∠=
，所以sin ADC ∠=。

所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠
sin cos cos sin 11727214
ADC B ADC B =∠-∠=⨯-⨯=
（Ⅱ）在ABD ∆中，由正弦定理得
8sin 3sin AB BAD BD ADB ⋅∠===∠，
2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅
221
8528549
2
=+-⨯⨯⨯=
所以7
AC=
（16）（共13分）
解：
（I）根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.
所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.
（Ⅱ）设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，
事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，
事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过
0.6”。

则C=AB AB，A,B独立。

根据投篮统计数据，
32 (),()
55 P A P B
==.
()()()
P C P AB P AB
=+
3322
5555
=⨯+⨯
13
25
=
所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的
概率为13 25
.
（Ⅲ）EX x
=.
解：
（I ） 在正方形中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE 。

又因为AB ⊄平面PDE ， 所以AB ∥平面PDE ，
因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF 平面PDF FG =，
所以AB ∥FG 。

（Ⅱ）因为PA ⊥底面ABCDE,所以PA AB ⊥，PA AE ⊥.
如图建立空间直角坐标系Axyz ,则
(0,0,0)A ,(1,0,0)B ,(2,1,0)C ,(0,0,2)P ,(0,1,1)F ,
BC (1,1,0)=.
设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =，则
0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩即0,
0.x y z =⎧⎨+=⎩
令1,z =，则1y =-。

所以(0,1,1)n =-，设直线BC 与平面ABF 所成角为a,则
1
sin cos ,2
n BC a n BC n BC
⋅==
=。

设点H 的坐标为(,,).u v w 。

因为点H 在棱PC 上，所以可设(01),PH PC λλ=<<， 即(,,2)(2,1,2).u v w λ-=-。

所以2,,22u v w λλλ===-。

因为n 是平面ABF 的法向量，所以0n AH ⋅=，即(0,1,1)(2,,22)0λλλ-⋅-=。

解得23λ=
，所以点H
的坐标为422
(,,).333。

所以2PH ==
D
解：
（I ）由()cos sin f x x x x =-得
'()cos sin cos sin f x x x x x x x =--=-。

因为在区间(0,
)2
π
上'()f x sin 0x x
=-，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减。

从而()f x (0)0f ≤=。

（Ⅱ）当0x >时，“
sin x a x >”等价于“sin 0x ax ->”“sin x
b x
<”等价于“sin 0x bx -<”。

令()g x sin x cx =-，则'()g x cos x c =-，
当0c ≤时，()0g x >对任意 (0,
)2
x π
∈恒成立。

当1c ≥时，因为对任意(0,
)2x π
∈，'()g x cos x c =-0<，所以()g x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减。

从而()g x (0)0g <=对任意(0,
)2
x π
∈恒成立。

当01c <<时，存在唯一的0(0,
)2
x π
∈使得0'()g x 0cos x c =-0=。

()g x 与'()g x 在区间(0,
)2
π
上的情况如下：
因为()g x 在区间[]00,x 上是增函数，所以0()(0)0g x g >=。

进一步，“()0g x >对 任意(0,
)2x π
∈恒成立”当且仅当()1022
g c ππ=-≥，即2
0c π<≤，
综上所述，当且仅当2
c π
≤
时，()0g x >对任意(0,
)2
x π
∈恒成立；当且仅当1c ≥时，
()0g x <对任意(0,)2
x π
∈恒成立。

所以，若sin x
a b x <<对任意(0,)2x π∈恒成立，则a 最大值为2π
，b 的最小值为1.
（19）（共14分） 解：
（I ） 由题意，椭圆C 的标准方程为22
142
x y +=。

所以2
2
4,2a b ==，从而222
2c a b =-=。

因此2,a c ==。

故椭圆C
的离心率c e a =
= （Ⅱ）直线AB 与圆2
2
2x y +=相切。

证明如下：
设点A,B 的坐标分别为00(,)x y ，(,2)t ，其中00x ≠。

因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即0020tx y +=，解得0
2y t x =-。

当0x t =时，2
02
t y =，代入椭圆C
的方程，得t =，
故直线AB
的方程为x =O 到直线AB
的距离d =
此时直线AB 与圆2
2
2x y +=相切。

当0x t ≠时，直线AB 的方程为002
2()y y x t x t
--=
--， 即0000(2)()20y x x t y x ty ---+-=， 圆心0到直线AB 的距离
d =
又2
2
0024x y +=，0
2y t x =-
故
d =
== 此时直线AB 与圆222x y +=相切。

（20）（共13分）
解：
（I ） 1()257T P =+=
{}11()1max (),24T P T P =++{}1max 7,6=+=8 （Ⅱ）2()T P {}max ,a b d a c d =++++
2(')T P ={}max ,c d b c a b ++++.
当m=a 时，2(')T P ={}max ,c d b c a b ++++=c d b ++ 因为c d b c b d ++≤++，且a c d c b d ++≤++，所以2()T P ≤2(')T P 当m=d 时，2(')T P {}max ,c d b c a b =++++c a b =++ 因为a b d ++≤c a b ++，且a c d c a b ++≤++所以2()T P ≤2(')T P 。

所以无论m=a 还是m=d ，2()T P ≤2(')T P 都成立。

（Ⅲ）数对序列:P （4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的5()T P 值最小， 1()T P =10， 2()T P =26， 3()T P =42， 4()T P =50， 5()T P =52。