正弦函数和余弦函数图像与性质

6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质

一、复习引入1、复习

（1）函数的概念

在某个变化过程中有两个变量、，若对于在某个实数集合内的每一个确定的x y x D 值，按照某个对应法则f ，都有唯一确定的实数值与它对应，则就是的函数，记作

y y x ，。

()x f y =D x ∈（2）三角函数线

设任意角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点αO x ，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，设它与角的(,)P x y P x M (1,0)A α终边（当在第一、四象限角时）或其反向延长线（当为第二、三象限角时）相交于αα.

T 规定：当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值；

OM x OM x 当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值；MP y MP y 当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值；

AT y AT y 根据上面规定，则,

,OM x MP y ==由正弦、余弦、正切三角比的定义有：

；sin 1y y

y MP r α=

===；

cos 1

x x

x OM r α====；

tan y MP AT

AT x OM OA

α====这几条与单位圆有关的有向线段叫做角的正弦线、余弦线、正切线。

,,MP OM AT α二、讲授新课

【问题驱动1】——

结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定的角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由．

1、正弦函数、余弦函数的定义

（1）正弦函数：；

R x x y ∈=,sin （2）余弦函数：R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——

如何作出正弦函数、余弦函数的函数R x x y ∈=,sin R x x y ∈=,cos 图象？

2、正弦函数的图像

R x x y ∈=,sin （1）的图像[

]π2,0,sin ∈=x x y

【方案1】——几何描点法

步骤1：等分、作正弦线——将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；步骤2：描点——平移定点，即描点；()x x sin ,步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结各个点

小结：几何描点法作图精确，但过程比较繁。

【方案2】——五点法

步骤1：列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标；步骤2：描点——定出五个关键点；

步骤3：连线——用光滑

的曲线顺次连结五个点

e a

n d

小结：的五个关键点是、、、、。[

]π2,0,sin ∈=x x y ()0,0⎪⎭⎫ ⎝⎛1,2π()0,π⎪⎭

⎫

⎝⎛0,23π()0,2π（2）的图像

R x x y ∈=,sin 由，所以函数在区间()Z k x x k ∈=+,sin 2sin πx y sin =[

]πππ22,2+k k 上的图像与在区间上的图像形状一样,只是位置不同.

()0,≠∈k Z k []π2,0于是我们只要将函数的图像向左、右平行移动(每次平行移动[

]π2,0,sin ∈=x x y π2个单位长度)，就可以得到正弦函数的图像。

R x x y ∈=,sin 3、余弦函数的图像

R x x y ∈=,cos （1）的图像[

]π2,0,cos ∈=x x y （2）的图像

R x x y ∈=,cos 图像平移法 由，可知只须将的图像向左平移即可。x x cos 2sin =⎪⎭⎫

⎝

⎛+

πR x x y ∈=,sin 2

π

三、例题举隅

例、作出函数的大致图像；[

]π2,0,sin 1∈+=x x y 【设计意图】——考察利用“五点法”作正弦函数、余弦函数图像【解】①列表

x 02π

π

23π

π2x sin 0101-0x

y sin 1+=1

2

1

1

②描点

在直角坐标系中，描出五个关键点：

、 、、、()1,0⎪⎭

⎫ ⎝⎛2,2

π()1,π⎪⎭

⎫

⎝⎛0,2

3π()

1,2π③连线

A

l l 练习、作出函数的大致图像[]π2,0,sin 2

1

∈-=

x x y 二、性质

1．定义域：

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(－∞，＋∞)］，分别记作：

y ＝sin x ，x ∈R y ＝cos x ，x ∈R

2．值域

因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sin x ｜≤1，｜cos x ｜≤1，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1

也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1

］其中正弦函数y =sin x ，x ∈R

①当且仅当x ＝

＋2k π，k ∈Z 时， 取得最大值1

2

π

②当且仅当x ＝－

＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1

2

π

而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R

①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1

②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1

3．周期性

由sin(x ＋2k π)＝sin x ，cos(x ＋2k π)＝cosx (k ∈Z )知：

正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。

一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是这两个函数