中考复习之解直角三角形及其应用

第24讲┃ 归类示例 ► 类型之三 利用直角三角形解决坡度问题
命题角度： 1. 利用直角三角形解决坡度问题； 2. 将实际问题转化为直角三角形问题．
[2012· 衡阳] 如图 24－5，一段河坝的横断面为梯形 ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽 AD.(i＝CE ∶ED，单 位：m)
图 24－5
第24讲┃解直角三角形及其应用
第24讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点 解直角三角形的应用常用知识
仰角和 仰角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方 俯角 俯角 的叫仰角，视线在水平线下方的叫俯角 坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡面的 坡度 坡度和 坡度(或坡比)，记作 i＝____ h∶l 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角， 记作 α.i＝tanα ， 坡角 坡度越大，α 角越大，坡面_________ 越陡
第24讲┃ 回归教材
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回归教材
航海中的数学问题
教材母题 北师大版九下P23引例
第24讲┃ 回归教材
如图24－6，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗 礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处， 往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮 继续往东航行．你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危 险吗？你是如何想的？与同伴进行交流．
第24讲┃ 归类示例
[解析] 画出如图示意图，延长BC交DA于E.设AE的长 为x米，在Rt△ACE中，求得CE＝AE，然后在Rt△ABE中 求得BE，利用BE－CE＝BC，解得AE，则AD＝AE＋DE.
第24讲┃ 归类示例
解：如图所示，延长BC交DA于E.
设AE的长为x米，在Rt△ACE中， ∠ACE＝45°，∠AEB＝90°， 则∠CAE＝45°， ∴AE＝CE＝x米；
第24讲┃ 归类示例
在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构 造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题．常见的 构造的基本图形有如下几种： ①不同地点看同一点 ②同一地点看不同点
图24－1 ③利用反射构造相似
图24－2
图24－3
第24讲┃ 归类示例
►
类型之二
利用直角三角形解决航海问题
第24讲┃ 归类示例
在Rt△ABE中，∠B＝30°，AE＝x， AE ∴tanB＝ ， BE x 即tan30°＝ ， BE ∴BE＝ 3x. ∵BE－CE＝BC，BC＝20米， ∴ 3x－x＝20， 解得x＝10 3＋10. ∴AD＝AE＋DE＝10＋10 3＋1.6≈28.9(米)． 答：这棵汉柏树的高度约为28.9米．
第24讲┃ 回归教材
[点析] 通过作垂线将实际问题转化为解直角三角形的 问题，然后利用解直角三角形的知识来解决，这是解此类 问题的常规思路．
第24讲┃ 回归教材
中考变式
[2013· 南京] 如图 24－7，一艘巡逻艇航行至海面 B 处时， 得知正北方向上距 B 处 20 海里的 C 处有一渔船发生故障， 就立 即指挥港口 A 处的救援艇前往 C 处营救. 已知 C 处位于 A 处的 北偏东 45°的方向上， 港口 A 处位于 B 处的北偏西 30°的方向 上. 求 A、 两处之间的距离． C (结果精确到 0.1 海里. 参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)
第24讲┃ 归类示例
[2012· 凉山州] 某校学生去春游， 在风景区看到一棵 汉柏树，不知这棵汉柏树有多高，下面是两位同学的一段对 话： 小明：我站在此处看树顶仰角为 45°. 小华：我站在此处看树顶仰角为 30°. 小明：我们的身高都是 1.6 m. 小华：我们相距 20 m. 请你根据这两位同学的对话，计算这棵汉柏树的高 度．(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732，结果保留三个有效 数字)
命题角度： 1. 利用直角三角形解决方位角问题； 2. 将实际问题转化为直角三角形问题．
第24讲┃ 归类示例
[2012· 常德] 如图24－4，一天，我国一渔政船航行到A 处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12 海里/小时的速度向西北方向航行. 我渔政船立即沿北偏东60°方 向航行，1.5小时后，在我领海区域的C处截获可疑渔船．问我渔 政船的航行路程是多少海里？(结果保留根号)
第24讲┃ 归类示例
[解析] 作 BF⊥AD 于点 F， 在直角△ABF 中利用勾 股定理即可求得 AF 的长，在直角△CED 中，利用坡比 的定义即可求得 ED 的长度，进而即可求得 AD 的长．
第24讲┃ 归类示例
解：如图所示，过点 B 作 BF⊥AD，可得矩形 BCEF.
∴EF＝BC＝4；BF＝CE＝4. 在 Rt△ABF 中，∠AFB＝90°，AB＝5，BF＝4， 由勾股定理可得：AF＝ 52－42＝3. CE 1 又∵Rt△CED 中，i＝ ＝ ， ED 2 ∴ED＝2CE＝2×4＝8. ∴AD＝AF＋FE＋ED＝3＋4＋8＝15(m)．
图24－6
第24讲┃ 回归教材
解：过A作BC的垂线，交BC于点D，得到Rt△ABD和 Rt△ACD，从而BD＝ADtan55°，CD＝ADtan25°， 由BD－CD＝BC，又BC＝20海里，得 ADtan55°－ADtan25°＝20， AD(tan55°－tan25°)＝20， 20 AD＝ ≈20.79(海里)． tan55°－tan25° 因为AD≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险．
图24－4
第24讲┃ 归类示例
解：作 CD⊥AB 于点 D. 在 Rt△BDC 中， 因为 BC＝12×1.5＝18(海里)，∠CBD＝90°－45°＝45°， 所以 CD＝18· sin45°＝9 2(海里)． 在 Rt△ADC 中， 因为∠CAD＝90°－60°＝30°， 所以 AC＝2CD＝18 2(海里)． 答：我渔政船的航行路程是 18 2海里．
第24讲┃ 考点聚焦
指北或指南方向线与目标方向线所成的小 定义 于 90°的水平角叫做方向角 方向角 (或方位 角)
图例
第24讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 利用直角三角形解决和高度(或宽度)有关的问题
命题角度： 1. 计算某些建筑物的高度(或宽度)； 2. 将实际问题转化为直角三角形问题．