高中物理第1章法拉第电磁感应定律、楞次定律的综合应用学案教科版选修Word版

学案6 习题课：法拉第电磁感应定律、楞次定律的综合应用
[目标定位] 1.掌握电磁感应现象中电路问题的分析方法和解题基本思路.2.综合应用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电磁感应中的图像问题．
一、电磁感应中的电路问题
在电磁感应现象中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势．若回路闭合，则产生感应电流，所以电磁感应问题常与电路知识综合考查．
解决与电路相联系的电磁感应问题的基本方法是：
(1)明确哪部分导体或电路产生感应电动势，该导体或电路就是电源，其他部分是外电路．
(2)画等效电路图．分清内、外电路，画出等效电路图是解决此类问题的关键．
(3)感应电动势的大小由法拉第电磁感应定律E ＝n ΔΦΔt 或E ＝BLv 确定，感应电动势的方向由楞次定律或右手定则确定，在等效电源内部从负极指向正极．
(4)运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点、电功率、电热等公式联立求解．
例1 用相同导线绕制的边长为L 或2L 的四个闭合导线框，以相同的速度匀速进入右侧匀强磁场，如图1所示．在每个线框进入磁场的过程中，M 、N 两点间的电压分别为U a 、U b 、U c 和U d .下列判断正确的是( )
图1
A ．U a <U b <U c <U d
B ．U a <U b <U d <U c
C ．U a ＝U b <U c ＝U d
D ．U b <U a <U d <U c
解析 U a ＝34BLv ，U b ＝56BLv ，U c ＝34·B ·2Lv ＝32BLv ，U d ＝46B ·2L ·v ＝43
BLv ，故选B. 答案 B
例2 如图2所示，有一范围足够大的匀强磁场，磁感应强度B ＝0.2 T ，磁场方向垂直纸面向里．在磁场中有一半径r ＝0.4 m 的金属圆环，磁场与圆环面垂直，圆环上分别接有灯L 1、L 2，两灯的电阻均为R 0＝2 Ω.一金属棒MN 与圆环接触良好，金属棒与圆环的电阻均忽略不计．
图2
(1)若金属棒以v0＝5 m/s的速率在圆环上向右匀速滑动，求金属棒滑过圆环直径的瞬间MN 中的电动势和流过灯L1的电流；
(2)撤去金属棒MN
，若此时磁场随时间均匀变化，磁感应强度的变化率为
ΔB
Δ
t
＝
4
π
T/s，求回路中的电动势和灯L1的电功率．
解析(1)等效电路如图所示．
MN中的电动势E1＝B·2r·v0＝0.8 V
MN中的电流I＝
E1
R0
2
＝0.8 A
流过灯L1的电流I1＝
I
2
＝0.4 A
(2) 等效电路如图所示
回路中的电动势E2＝
ΔB
Δt
·πr2＝0.64 V
回路中的电流I′＝
E2
2R0
＝0.16 A
灯L1的电功率P1＝I′2R0＝5.12×10－2 W
答案(1)0.8 V 0.4 A (2)0.64 V 5.12×10－2 W
二、电磁感应中的图像问题
1．对于图像问题，搞清物理量之间的函数关系、变化范围、初始条件、斜率的物理意义等，往往是解题的关键．
2．解决图像问题的一般步骤
(1)明确图像的种类，即是B－t图像还是Φ－t图像，或者E－t图像、I－t图像等．
(2)分析电磁感应的具体过程．
(3)确定感应电动势(或感应电流)的大小和方向，有下列两种情况：
①若回路面积不变，磁感应强度变化时，用楞次定律确定感应电流的方向，用E ＝n ΔΦΔt
确定感应电动势大小的变化；
②若磁场不变，导体杆切割磁感线，用右手定则判断感应电流的方向，用E ＝BLv 确定感应电动势大小的变化．
(4)涉及受力问题，可由安培力公式F ＝BIL 和牛顿运动定律等规律写出有关函数关系式．
(5)画图像或判断图像．特别注意分析斜率的变化、截距等．
例3 在竖直方向的匀强磁场中，水平放置一圆形导体环．规定导体环中电流的正方向如图3甲所示，磁场方向向上为正．当磁感应强度B 随时间t 按图乙变化时，下列能正确表示导体环中感应电流变化情况的是 ( )
图3
解析 根据法拉第电磁感应定律有：E ＝n ΔΦΔt ＝nS ΔB Δt
，因此在面积、匝数不变的情况下，感应电动势与磁场的变化率成正比，即与B －t 图像中的斜率成正比，由图像可知：0～2 s ，斜率不变，故形成的感应电流不变，根据楞次定律可知感应电流方向为顺时针方向(俯视)即为正值；2～4 s 斜率不变，感应电流方向为逆时针方向(俯视)，即为负值．整个过程中的斜率大小不变，所以感应电流大小不变，故A 、B 、D 错误，C 正确．
答案 C
例4 如图4所示，等腰三角形内分布有垂直于纸面向外的匀强磁场，它的底边在x 轴上且长为2L ，高为L ，纸面内一边长为L 的正方形导线框沿x 轴正方向做匀速直线运动穿过匀强磁场区域，在t ＝0时刻恰好位于如图所示的位置，以顺时针方向为导线框中电流的正方
向，下列选项中，能够正确表示导线框的电流—位移(
I －x )关系的是( )
图4
解析 如图甲所示，线框运动距离x ≤L 时的感应电动势E ＝Bvx ；当L ≤x ≤32
L 时几何关系如图乙所示，此时感应电动势为E ＝Bv (2L －x )－Bv (x －L )＝Bv (3L －2x )，此时图线斜率的绝对值为x ≤L 时的2倍，由右手定则可知感应电流的方向为顺时针方向，由对称性可知A 正确．
答案 A
1．(电磁感应中的电路问题)粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行．现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框一边a 、b 两点间的电势差绝对值最大的是( )
答案 B 解析 在磁场中的线框与速度垂直的边等效为切割磁感线产生感应电动势的电源．四个选项中的感应电动势大小均相等，回路电阻也相等，因此电路中的电流相等，B 中a 、b 两点间
电势差为路端电压，为感应电动势的34倍，而其他选项则为感应电动势的14
倍．故选项B 正确． 2. (电磁感应中的图像问题)如图5所示，两条平行虚线之间存在匀强磁场，虚线间的距离为L ，磁场方向垂直纸面向里，abcd 是位于纸面内的梯形线圈，ad 与bc 间的距离也为L ，
t＝0时刻bc边与磁场区域边界重合．现令线圈以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过磁场区域，取沿abcda方向为感应电流的正方向，则在线圈穿越磁场区域的过程中，感应电流I随时间t变化的图线可能是 ( )
图5
答案 B
解析由于bc进入磁场时，根据右手定则判断出其感应电流的方向是沿adcba方向，其方向与电流的正方向相反，故是负的，所以A、C错误；当逐渐向右移动时，切割磁感线的条数在增加，故感应电流在增大；当bc边穿出磁场区域时，线圈中的感应电流方向沿abcda 方向，是正方向，故其图线在时间轴的上方，所以B正确，D错误．
3. (电磁感应中的电路问题)如图6所示，在磁感应强度B＝2 T的匀强磁场中，有一个半径r＝0.5 m的金属圆环．圆环所在的平面与磁感线垂直，OA是一个金属棒，它沿着顺时针方向以20 rad/s的角速度绕圆心O匀速转动．A端始终与圆环相接触，OA棒的电阻R＝0.1 Ω，图中定值电阻R1＝100 Ω，R2＝
4.9 Ω，电容器的电容C＝100 pF.圆环和连接导线的电阻忽略不计，则：
图6
(1)电容器所带的电荷量是多少？
(2)电路中消耗的电功率是多少？
答案 (1)4.9×10－10 C (2)5 W
解析 (1)等效电路如图所示
导体棒OA 产生的感应电动势为
E ＝BL v ＝Brω·r 2
＝5 V. I ＝E R ＋R 2
＝1 A. 则q ＝CU C ＝CIR 2＝4.9×10－10 C.
(2)电路中消耗的电功率P ＝I 2(R ＋R 2)＝5 W ，或P ＝IE ＝5 W.
题组一 电磁感应中的图像问题
1．如图1甲所示，一个闭合线圈固定在垂直纸面的匀强磁场中，设磁场方向向里为磁场的正方向，线圈中的箭头为电流I 的正方向．线圈中感应电流I 随时间变化的图线如图乙所示，则磁感应强度B 随时间变化的图线可能是 ( )
图1
答案 CD
2．如图2甲所示，光滑导轨水平放置在竖直方向的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度B 随时间的变化规律如图乙所示(规定向下为正方向)，导体棒ab垂直导轨放置，除电阻R的阻值外，其余电阻不计，导体棒ab在水平外力F的作用下始终处于静止状态．规定a→b 的方向为电流的正方向，水平向右的方向为外力的正方向，则在0～2t0时间内，能正确反映流过导体棒ab的电流与时间或外力与时间关系的图线是 ( )
图2
答案 D
解析在0～t0时间内磁通量为向上减小，t0～2t0时间内磁通量为向下增加，两者等效，且根据B－t图线可知，两段时间内磁通量的变化率相等，根据楞次定律可判断0～2t0时间内均产生由b到a的大小不变的感应电流，选项A、B均错误．在0～t0时间内，可判断导体棒ab所受安培力的方向水平向右，则导体棒ab所受水平外力方向向左，大小F＝BIL随B 的减小呈线性减小；在t0～2t0时间内，可判断导体棒ab所受安培力的方向水平向左，则导体棒ab所受水平外力方向向右，大小F＝BIL随B的增加呈线性增加，选项C错误，D正确．3．如图3所示的区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.一个电阻为R、半径为L、圆心角为45°的扇形闭合导线框绕垂直于纸面的O轴匀速转动(O轴位于磁场边界)，周期为T，导线框以图示位置开始转动，则线框内产生的感应电流的图像为(规定顺时针方向的电流为正) ( )
图3
答案 A
解析(1)正确利用法拉第电磁感应定律，在本题中由于扇形导线框匀速转动，因此导线框进入磁场的过程中产生的感应电动势是恒定的．(2)注意导线框在进入磁场和离开磁场时，有感应电流产生，当完全进入时，由于磁通量不变，故无感应电流产生．导线框刚进入磁场时，感应电流的方向为逆时针方向，即为负，故A正确．
4．如图4所示，宽度为d的有界匀强磁场，方向垂直于纸面向里．在纸面所在平面内有一对角线长也为d的正方形闭合线圈ABCD，沿AC方向垂直磁场边界匀速穿过该磁场区域．规定逆时针方向为感应电流的正方向，t＝0时C点恰好进入磁场，则从C点进入磁场开始到A 点离开磁场为止，闭合线圈中感应电流随时间的变化图像正确的是 ( )
图4
答案A
解析线圈在进入磁场的过程中，根据楞次定律可知，感应电流的方向沿CBADC方向，即为正值，在出磁场的过程中，根据楞次定律知，感应电流的方向沿ABCDA方向，即为负值．在线圈进入磁场直到进入一半的过程中，切割的有效长度均匀增大，感应电动势均匀增大，则感应电流均匀增大，在线圈继续运动至全部进入磁场的过程中，切割的有效长度均匀减小，感应电动势均匀减小，则感应电流均匀减小；在线圈出磁场直到离开一半的过程中，切割的有效长度均匀增大，感应电流均匀增大，在线圈全部出磁场的过程中，切割的有效长度均匀减小，感应电流均匀减小．故A正确，B、C、D错误．
5．如图5所示，在0≤x≤2L的区域内存在着匀强磁场，磁场方向垂直于xOy坐标系平面(纸面)向里．具有一定电阻的矩形线框abcd位于xOy坐标系平面内，线框的ab边与y轴重合，bc边长为L.设线框从t＝0时刻起在外力作用下由静止开始沿x轴正方向做匀加速运动，则线框中的感应电流i(取逆时针方向的电流为正)随时间t变化的函数图像可能是图中的( )
图5
答案 D
解析线框的ab边刚进入磁场时，产生逆时针方向的感应电流，随着速度的增加，感应电流逐渐增大；线框全部进入磁场后，无感应电流；当线框的ab边离开磁场时，此时cd边切割磁感线，产生顺时针方向的感应电流，且随速度的增加而增大，因为线框此时的速度不为零，所以感应电流是从某一值增大，选项D正确．
6. 如图6所示，一载流长直导线和一矩形线框固定在同一平面内，线框在长直导线右侧，且其长边与长直导线平行．已知在
t＝0到t＝t1的时间间隔内，长直导线中电流i发生某种变化，而线框中的感应电流总是沿顺时针方向，线框受到的安培力的合力先水平向左、后水平向右．设电流i正方向与图中箭头所示方向相同，则i随时间t变化的图线可能是( )
图6
答案 A
解析因通电导线周围的磁场离导线越近磁场越强，而线框中左、右两边的电流大小相等，方向相反，所以其受到的安培力方向相反，线框的左边受到的安培力大于线框的右边受到的安培力，所以合力与线框的左边受力的方向相同．因为线框受到的安培力的合力先水平向左、后水平向右，根据左手定则，线框处的磁场方向先垂直纸面向里、后垂直纸面向外，根据右手螺旋定则，导线中的电流先为正、后为负，所以选项A正确，选项B、C、D错误．
7．如图7甲所示，固定在水平桌面上的光滑金属框架cdef处于方向竖直向下的匀强磁场中，金属杆ab与金属框架接触良好．在两根导轨的端点d、e之间连接一电阻，其他部分电阻忽略不计．现用一水平向右的外力F作用在金属杆ab上，使金属杆由静止开始向右在框架上滑动，运动中金属杆ab始终垂直于框架．图乙为一段时间内金属杆ab受到的安培力F安随时间t的变化关系，则下列选项中可以表示外力F随时间t变化关系的图像是( )
图7
答案 D
解析 金属杆切割磁感线产生感应电动势E ＝BLv ，感应电流为I ＝BLv R ，安培力F 安＝B 2L 2v
R
，
所以v ∝F 安，再由题图乙知v ∝t ，金属杆的加速度为定值，又由牛顿第二定律得F －F 安＝
ma ，即F ＝F 安＋ma >0，可知D 项正确．
题组二 电磁感应中的电路问题
8. 如图8所示，用粗细相同的铜丝做成边长分别为L 和2L 的两只闭合正方形线框a 和b ，以相同的速度从磁感应强度为B 的匀强磁场区域中匀速地拉到磁场外，不考虑线框的重力，若闭合线框的电流分别为I a 、I b ，则I a ∶I b 为 ( )
图8
A ．1∶4 B．1∶2 C．1∶1 D．不能确定 答案 C
解析 产生的感应电动势为E ＝BLv ，由闭合电路欧姆定律得I ＝BLv
R
，又L b ＝2L a ，由电阻定律知R b ＝2R a ，故I a ∶I b ＝1∶1.
9. 如图9所示，两个相同导线制成的开口圆环，大环半径为小环半径的2倍，现用电阻不计的导线将两环连接在一起，若将大环放入一均匀变化的磁场中，小环处在磁场外，a 、b 两点间电压为U 1，若将小环放入这个磁场中，大环在磁场外，a 、b 两点间电压为U 2，则 ( )
图9
A.U 1U 2＝1
B.U 1U 2＝2
C.U 1U 2＝4
D.U 1U 2＝14
答案 B
解析 根据题意设小环的电阻为R ，则大环的电阻为2R ，小环的面积为S ，则大环的面积为4
S
，且
ΔB
Δt
＝k .当大环放入一均匀变化的磁场中时，大环相当于电源，小环相当于外电路，所以E 1＝4
kS ，U 1＝E 1R ＋2R R ＝43kS ；当小环放入这个磁场中时，同理可得U 2＝E 2R ＋2R 2R ＝2
3
kS ，故
U 1
U 2
＝2，选项B 正确． 10. 如图10所示，竖直平面内有一金属圆环，半径为a ，总电阻为R (指拉直时两端的电阻)，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直穿过环平面，在环的最高点A 用铰链连接长度为2a 、电阻为R
2的导体棒AB ，AB 由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B 点的线速度为v ，则这时AB 两端的电压大小为( )
图10
A.
Bav
3
B.
Bav
2 C.2Bav 3
D ．Bav 答案 A
解析 摆到竖直位置时，AB 切割磁感线的瞬时感应电动势E ′＝B ·2a ·(1
2
v )＝Bav .由闭合
电路欧姆定律有U AB ＝E ′R 2＋R 4·R 4＝1
3Bav ，故选A.
11. 如图11所示，在宽为L ＝0.5 m 的平行导轨上垂直放置一个有效电阻为r ＝0.6 Ω的直导体棒ab ，在导轨的两端分别连接两个阻值为R 1＝4 Ω、R 2＝6 Ω的电阻，其他电阻不计．整个装置处在垂直导轨向里的匀强磁场中，磁感应强度B ＝0.1 T ．当直导体棒在导轨上以v ＝6 m/s 的速度向右运动时，求：直导体棒两端的电压和流过电阻R 1和R 2的电流大小．
图11
答案 0.24 V 0.06 A 0.04 A
解析 由题意可画出如图所示的等效电路图，则感应电动势E ＝BLv ＝0.1×0.5×6 V＝0.3 V
R 外＝R 1R 2R 1＋R 2
＝2.4 Ω.
U ab ＝ER 外R 外＋r ＝0.3×2.42.4＋0.6 V ＝0.24 V ，
I 1＝U ab R 1＝0.06 A ，I 2＝U ab
R 2
＝0.04 A.
12．面积S ＝0.2 m 2
、n ＝100匝的圆形线圈，处在如图12所示的匀强磁场内，磁感应强度随时间t 变化的规律是B ＝0.02t T ，R ＝3 Ω，C ＝30 μF，线圈电阻r ＝1 Ω，求：
图12
(1)通过R 的电流方向和4 s 内通过导线横截面的电荷量； (2)电容器的电荷量．
答案 (1)b →a 0.4 C (2)9×10－6
C
解析 (1)由法拉第电磁感应定律可得出线圈中的电动势，由欧姆定律可求得通过R 的电流．由楞次定律可求得电流的方向为逆时针，通过R 的电流方向为b →a ，
Q ＝It ＝E R ＋r t ＝n ΔB ·S t R ＋r t ＝n ΔB ·S
R ＋r ＝0.4 C
(2)由E ＝n ΔΦΔt ＝nS ΔB
Δt ＝100×0.2×0.02 V＝0.4 V ，
I ＝E R ＋r ＝0.43＋1
A ＝0.1 A ， U C ＝U R ＝IR ＝0.1×3 V＝0.3 V ， Q ＝CU C ＝30×10－6×0.3 C＝9×10－6 C
13. 把总电阻为2R 的均匀电阻丝焊接成一半径为a 的圆环，水平固定在竖直向下的磁感应强度为B 的匀强磁场中，如图13所示，一长度为2a ，电阻等于R ，粗细均匀的金属棒MN 放在圆环上，它与圆环始终保持良好的接触，当金属棒以恒定速度v 向右移动经过环心O 时，求：
图13
(1)金属棒上电流的大小和方向及金属棒两端的电压U MN；
(2)圆环消耗的热功率和在圆环及金属棒上消耗的总热功率．
答案 (1)4Bav 3R N →M 2
3Bav
(2)8Bav 29R 8Bav 2
3R
解析 (1)金属棒切割磁感线产生的感应电动势为E ＝BLv ＝2Bav .
外电路的总电阻为R 外＝R ·R R ＋R ＝1
2R
金属棒上电流的大小为
I ＝E R 外＋R ＝2Bav 12
R ＋R ＝4Bav 3R
，电流方向从N 到M 金属棒两端的电压为电源的路端电压U MN ＝IR 外＝2
3
Bav .
(2)圆环消耗的热功率为外电路的总功率P 外＝I 2
R 外＝
8Bav 2
9R
圆环和金属棒上消耗的总热功率为电路的总功率
P 总＝IE ＝8Bav
2
3R
.
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。